数学必修二点线面的位置关系
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P∈α，且 P∈β⇒α∩β＝l，且 P∈l
想一想：“线段 AB 在平面 α 内，直线 AB 不全在平面 α 内”这 一说法是否正确，为什么？ 提示 不正确．∵线段 AB 在平面 α 内，Biblioteka Baidu线段 AB 上的所有点 都在平面 α 内，∴线段上的 A、B 两点一定在平面 α 内， ∴直线 AB 在平面 α 内(公理 1)．
4．立体几何与集合之间符号语言的差异 我们在立体几何中使用符号语言时，还应明确符号语言在代数 与几何中的差异，首先是运用集合知识了解规定符号的背景， 找出它们的区别与联系： (1)“∈，∉，∩”等符号虽来源于集合符号，但在读法上却用 几何语言．例如 ，A∈α 读作“点 A 在平面 α 内”；a⊂α 读作 “直线 a 在平面 α 内”；α∩β＝l 读作“平面 α，β 相交于直线 l”．
公 内容
理
如果一条直线上 公 的 两点 在一个平面 理1 内，那么这条直线在
此平面内
图形
符号
A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α⇒ l⊂α
过不在一条直线上的 公
三点， 有且只有 一 理2 个平面
如果两个不重合的平 公 面有一个公共点，那 理3 么它们有且只有一条
过该点的公共直线
A，B，C三点不共线 ⇒存在唯一的α使 A，B，C∈α
(2)几何符号的用法必须符合有关国家标准的规定，使用时原则 上与集合符号的含义一致，但为了方便起见，个别地方与集合 符号略有差异．例如：不再用 a∩b＝{A}来表示直线 a，b 相交 于点 A，而简记为 a∩b＝A，这里的 A 既是一个点，又可以理 解为只含一个元素(点)的集合．
题型一 三种语言的转换 【例 1】 用符号语言表示下列语句，并画出图形． (1)三个平面 α、β、γ 相交于一点 P，且平面 α 与平面 β 交于 PA， 平面 α 与平面 γ 交于 PB，平面 β 与平面 γ 交于 PC； (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD，平面 ABC 与平面 ADC 交于 AC. [思路探索] 根据条件，适当确定其中的某一个平面，然后根据 点、线、面的位置关系画图，注意图形的立体感，要将被遮挡 部分用虚线表示．
想一想：立体几何中的平面与平面几何中的平面图形有什么区 别？ 提示 (1)平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们有大小之 分；(2)平面是无．大．小．、厚．薄．之分的， 是不．可．度．量．的，无大小， 无面积，它可以无．限．延．展．，没．有．边．界．．．
2．点、线、面之间的关系 (1)直线在平面内的概念： 如果直线 l 上的 所有点 都在平面 α 内，就说直线 l 在平面 α 内， 或者说平面 α 经过直线 l. (2)一些文字语言与数学符号的对应关系：
文字语言表达 数学符号表示 文字语言表达 数学符号表示
点A在直线l上 A∈l
点A在直线l外
点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外
直线l在平面α内 l⊂α 直线l在平面α外
直线l，m相交于 l∩m＝ 平面α、β相交于直
点A
A
线l
A∉l A∉α l⊄α
α∩β＝l
试一试：一个平面把空间分成几部分？两个平面把空间分成几 部分？ 提示 一个平面把空间分成两部分；两个平面相交时，把空间 分成四部分，平行时，把空间分成三部分．
2．平面的画法及表示 当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时，感到它们都 很像平行四边形，因此立体几何中我们通常用平行四边形来表 示平面．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成 45°， 横边画成邻边的 2 倍长．如图 1 所示．
平面通常用希腊字母 α，β，γ 等来表示，如平面 α，平面 β，平 面 γ 等，也可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表 示，如图 1 所示的平面可表示为平面 α 或平面 AC 等．今后一 般用 A，B，C，…，表示点：a，b，c…，表示线；α，β，γ，…， 表示平面． 几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时， 应把被遮部分的线段画成虚线或不画．如图 2 所示中图(1)表示 平面 β 在平面 α 的上面．图(2)表示平面 α 在平面 β 的前面．这 样看起来立体感强一些．
(2)平面的画法 ①水平放置的平面通常画成一个 平行四边形 ，它的锐角通常 画成 45°，且横边长等于其邻边长的 2倍 ，如图①. ②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感， 把被遮挡部分用 虚线画出来．如图②.
(3)平面的表示法 图①的平面可表示为 平面α ，平面 ABCD， 平面AC 或平面 BD.
【核心扫描】 1．正确理解平面的概念．(难点) 2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重 点) 3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公 理的地位与作用．(易混点)
自学导引 1．平面的概念 (1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的 一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展 的．
名师点睛 1．平面的概念 “平面”是一个只描述而不定义的原始概念(像“点”、“直 线”、“集合”等概念一样)，常见的桌面、黑板面、平静的水 面等都给我们以平面的形象，几何里的平面就是从这些物体抽 象出来的．但是，几何里的平面是理想的，绝对的平且无大小， 无厚薄，不可度量．它与平面图形的区别在于：平面图形如三 角形、正方形、梯形等有大小，可以度量．
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2．1.1 平面
【课标要求】 1．了解平面的无限延展性，掌握其画法与表示，培养空间想象 能力． 2．掌握点、线、面之间的位置关系的符号表示． 3．理解平面的基本性质(三个公理)，能够用图形、文字、符号 语言进行刻画，明确其作用，培养逻辑推理与合情推理能力．
3．平面的基本性质 平面的基本性质，即教科书中的三个公理，它们是研究立体几 何的基本理论基础，每个都必须掌握好． 公理 1 的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内， 又可用直线检验平面． 公理 2 的作用：一是确定平面，二是证明点、线共面问题． 公理 3 的作用：一它是判断两个平面是否相交的依据．二它可 以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平 面的公共交线，则这点在交线上．
想一想：“线段 AB 在平面 α 内，直线 AB 不全在平面 α 内”这 一说法是否正确，为什么？ 提示 不正确．∵线段 AB 在平面 α 内，Biblioteka Baidu线段 AB 上的所有点 都在平面 α 内，∴线段上的 A、B 两点一定在平面 α 内， ∴直线 AB 在平面 α 内(公理 1)．
4．立体几何与集合之间符号语言的差异 我们在立体几何中使用符号语言时，还应明确符号语言在代数 与几何中的差异，首先是运用集合知识了解规定符号的背景， 找出它们的区别与联系： (1)“∈，∉，∩”等符号虽来源于集合符号，但在读法上却用 几何语言．例如 ，A∈α 读作“点 A 在平面 α 内”；a⊂α 读作 “直线 a 在平面 α 内”；α∩β＝l 读作“平面 α，β 相交于直线 l”．
公 内容
理
如果一条直线上 公 的 两点 在一个平面 理1 内，那么这条直线在
此平面内
图形
符号
A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α⇒ l⊂α
过不在一条直线上的 公
三点， 有且只有 一 理2 个平面
如果两个不重合的平 公 面有一个公共点，那 理3 么它们有且只有一条
过该点的公共直线
A，B，C三点不共线 ⇒存在唯一的α使 A，B，C∈α
(2)几何符号的用法必须符合有关国家标准的规定，使用时原则 上与集合符号的含义一致，但为了方便起见，个别地方与集合 符号略有差异．例如：不再用 a∩b＝{A}来表示直线 a，b 相交 于点 A，而简记为 a∩b＝A，这里的 A 既是一个点，又可以理 解为只含一个元素(点)的集合．
题型一 三种语言的转换 【例 1】 用符号语言表示下列语句，并画出图形． (1)三个平面 α、β、γ 相交于一点 P，且平面 α 与平面 β 交于 PA， 平面 α 与平面 γ 交于 PB，平面 β 与平面 γ 交于 PC； (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD，平面 ABC 与平面 ADC 交于 AC. [思路探索] 根据条件，适当确定其中的某一个平面，然后根据 点、线、面的位置关系画图，注意图形的立体感，要将被遮挡 部分用虚线表示．
想一想：立体几何中的平面与平面几何中的平面图形有什么区 别？ 提示 (1)平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们有大小之 分；(2)平面是无．大．小．、厚．薄．之分的， 是不．可．度．量．的，无大小， 无面积，它可以无．限．延．展．，没．有．边．界．．．
2．点、线、面之间的关系 (1)直线在平面内的概念： 如果直线 l 上的 所有点 都在平面 α 内，就说直线 l 在平面 α 内， 或者说平面 α 经过直线 l. (2)一些文字语言与数学符号的对应关系：
文字语言表达 数学符号表示 文字语言表达 数学符号表示
点A在直线l上 A∈l
点A在直线l外
点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外
直线l在平面α内 l⊂α 直线l在平面α外
直线l，m相交于 l∩m＝ 平面α、β相交于直
点A
A
线l
A∉l A∉α l⊄α
α∩β＝l
试一试：一个平面把空间分成几部分？两个平面把空间分成几 部分？ 提示 一个平面把空间分成两部分；两个平面相交时，把空间 分成四部分，平行时，把空间分成三部分．
2．平面的画法及表示 当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时，感到它们都 很像平行四边形，因此立体几何中我们通常用平行四边形来表 示平面．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成 45°， 横边画成邻边的 2 倍长．如图 1 所示．
平面通常用希腊字母 α，β，γ 等来表示，如平面 α，平面 β，平 面 γ 等，也可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表 示，如图 1 所示的平面可表示为平面 α 或平面 AC 等．今后一 般用 A，B，C，…，表示点：a，b，c…，表示线；α，β，γ，…， 表示平面． 几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时， 应把被遮部分的线段画成虚线或不画．如图 2 所示中图(1)表示 平面 β 在平面 α 的上面．图(2)表示平面 α 在平面 β 的前面．这 样看起来立体感强一些．
(2)平面的画法 ①水平放置的平面通常画成一个 平行四边形 ，它的锐角通常 画成 45°，且横边长等于其邻边长的 2倍 ，如图①. ②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感， 把被遮挡部分用 虚线画出来．如图②.
(3)平面的表示法 图①的平面可表示为 平面α ，平面 ABCD， 平面AC 或平面 BD.
【核心扫描】 1．正确理解平面的概念．(难点) 2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重 点) 3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公 理的地位与作用．(易混点)
自学导引 1．平面的概念 (1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的 一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展 的．
名师点睛 1．平面的概念 “平面”是一个只描述而不定义的原始概念(像“点”、“直 线”、“集合”等概念一样)，常见的桌面、黑板面、平静的水 面等都给我们以平面的形象，几何里的平面就是从这些物体抽 象出来的．但是，几何里的平面是理想的，绝对的平且无大小， 无厚薄，不可度量．它与平面图形的区别在于：平面图形如三 角形、正方形、梯形等有大小，可以度量．
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2．1.1 平面
【课标要求】 1．了解平面的无限延展性，掌握其画法与表示，培养空间想象 能力． 2．掌握点、线、面之间的位置关系的符号表示． 3．理解平面的基本性质(三个公理)，能够用图形、文字、符号 语言进行刻画，明确其作用，培养逻辑推理与合情推理能力．
3．平面的基本性质 平面的基本性质，即教科书中的三个公理，它们是研究立体几 何的基本理论基础，每个都必须掌握好． 公理 1 的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内， 又可用直线检验平面． 公理 2 的作用：一是确定平面，二是证明点、线共面问题． 公理 3 的作用：一它是判断两个平面是否相交的依据．二它可 以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平 面的公共交线，则这点在交线上．