二分法求解

x
,则得到零点近似值
关于二分法Biblioteka Baidu适用范围和精确度
(1)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的 变号零点适合，对函数的不变号零点不使用； (2)若起始区间是长度是1,则经过n次二分法以后,精 1 确度为 n ,估计达到精确度 至少需要使用二 2
分法的次数:满足 (3) | f ( x ) | 0.001, 并不表示x 是满足精度的近似解.
3.1.2 用二分法求方程的近似解 (4)
一.基础知识
1．函数零点的定义： 方程 f ( x) 0 有实根 函数 y f ( x) 图象与
函数 y f ( x) 有零点。
x 轴有交点
2．函数变号零点与不变号零点（二重零点）性质： 上的图象 （1）定理：如果函数 y f ( x) 在区间 [ a, b]
x
（1）求证：f(x)在 ( 1,) 为增函数。
（2）若a=3,求方程f(x)=0的正根（精确到0. 1）
b 3．（1）一次函数y=ax+b的零点：x a 一定为变号零点
（2）二次函数 y ax bx c 的零点：
2
借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).
方法一： 用计数器或计算机作出x,f(x)的对应值表 方法二： 用《EXCLE》软件，演示 用几何画板作出函数y=f(x)的图象 用《几何画板》软件，演示 方法三： 画出y=2x及y=-3x-7的图象
n n
1 ,的最小自然数n. n 2
例1．求函数 y x 2 x x 2
3 2
的零点，并画出它的图象。
解:
y x 2x x 2 ( x 2)( x 1)( x 1)
3 2
所以零点为 1,1, 2 ，3个零点把横轴
分成4个区间，然后列表描点画图
二分法的解题步骤
给定精确度
，用二分法求函数f(x)零点近似解的步骤如下：
⑴确定区间[a,b],验证 f (a) f (b) 0 ,给定精确度 ⑵求区间(a,b)的中点
；
x1；
⑶计算f( x）； 1 ①若f( x1)=0，则 x1 就是函数的零点； ② f (a) f ( x1 ) 0，则令b= x ( 此时零点 x0 (a, x1 ) )； 1 若 ③若 f ( x1 ) f (b) 0 ，则令a= 1 (此时零点 x0 ( x1 , b))； ⑷判断是否达到精确度 ：即若|a-b|< 为a(或b);否则重复⑵~⑷
是连续不间断的一条曲线，并且有 f (a) f (b) 0 那么函数 y f ( x) 在区间 ( a, b) 内有零点，即存在 c (a, b) 使得 f (c) 0 , 这个
c 也就是方程
f ( x) 0 的实数根。
（2）连续函数变号了一定有零点 （能证明f(x)单调则有且只有一个零点）； 不变号不一定无零点（如二重零点）： 在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。
例2．已知函数 f ( x) ax bx 的图象如图所示，则 A．b (,0) B． (0,1) b b D． (2, ) C． b (1, 2)
3
2
cx d
2 1
例3．已知函数 f ( x) mx (m 3) x 1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数
2
m 的取值范围是（ ）
A．(0,1] C．,1) ( B． D．
(0,1)
(,1]
例4．求 3
3
的近似值。（精确度0.1）
解: x= 3 3
x3 3
x 3 0 再利用二分法求近似根
3
例5（上海02高考）、
x2 a 1 已知函数 f ( x ) a x 1