专题四：函数零点的解题思路及技巧(解析版)——王彦文

专题五：函数零点的解题思路及技巧

【高考地位】

函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.

【方法点评】

一、零点或零点存在区间的确定

使用情景：一般函数类型

解题模板：第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否大于0；

第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.

例1 函数()43x

f x e x =+-的零点所在的区间为（ ）

A ．10,

4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭

【答案】B

考点：零点存在定理．

【变式演练1】方程220x x +-=的解所在的区间为（ ）

A ．(1,0)-

B ．(0,1)

C ．(1,2)

D ．(2,3) 【答案】B

试题分析：由题意得，设函数()22x

f x x =+-，则()()0

1

02021,12121f f =+-=-=+-=，

所以()()010f f <，所以方程220x x +-=的解所在的区间为(0,1)，故选B. 考点：函数的零点.

【变式演练2】函数21

()log f x x x

=-

的零点所在区间（ ） A ．

1(0,)2 B ．1(,1)

2 C ．(1,2) D ．(2,3) 【答案】C 试题分析：

()211(1)log 1110,2122

f f =-=-<=-

=，()()120f f ∴⋅< ，故函数21

()log f x x x =-的零点所

在区间为(1,2)． 考点：函数零点的判断．

二、零点的个数的确定

方法1：定义法

使用情景：一般函数类型

解题模板：第一步 判断函数的单调性；

第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，

则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点；

第三步 得出结论.

例2.函数x e x f x

3)(+=的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B

考点：函数的零点．

【变式演练3】函数3

()22x

f x x =+-在区间（0,1）内的零点个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B

试题分析：由于函数3

()22x f x x =+-在区间(0,1)内为单调递增函数，且()010,(1)10f f =-<=>，即

()()010f f <，所以函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内只有一个零点，故选B.

考点：函数的零点.

【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中涉及到函数的单调性的应用、函数零点的判定方法、指数函数与幂函数的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、本题的解答中，根据题意得

出函数3

()22x f x x =+-在区间(0,1)内为单调递增函数且()()010f f <是解答的关键.

【变式演练4】方程3sin x x =的根的个数是（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 【答案】C

考点：图象的交点．

【思路点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题．首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数

的交点问题,再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关系画出两个基本函数图象,需要注意的是,两个函数都过)0,0(点,而y 轴右侧的高低情况需要比较两个函数在0=x 处的切线斜率得到,为本题的易错点． 【变式演练5】已知函数()()ln x f x x x g x x e -==，．

（1）记()()()F x f x g x =-，求证：函数()F x 在区间()1+∞，内有且仅有一个零点；

试题分析：（1）求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，得到函数的单调性，结合零点存在定理证出结论即可；

方法2：数形结合法 使用情景：一般函数类型

解题模板：第一步 函数()g x 有零点问题转化为方程()()f x m x =有根的问题；

第二步 在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像； 第三步 观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数；

第四步 由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论.

例3. 方程31

()|log |3

x x =的解的个数是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B

试题分析：由图象可知，函数1()3

x y =与函数3log y x =有2个交点，所以方程有2个解。

考点：函数与方程。

【高考再现】

8.【2015高考北京，理14】设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪

=⎨--⎪⎩

‚‚‚≥

①若1a =，则()f x 的最小值为

；

②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是

．

【答案】(1)1，(2)

1

12

a ≤<或2a ≥.

考点定位：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解

【名师点睛】本题考查函数图象与函数零点的有关知识，本题属于中等题，第一步正确画出图象，利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，第二步涉计参数问题，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合零点要求的参数a ，讨论要全面，注意数形结合．

【反馈练习】

1．【 2017年福建福州外国语学校高二上月考一数学试卷,】函数1

()()22

x f x x =-+的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2 D ．()2,3 【答案】D