一类非线性偏微分方程的改进的Jacobi椭圆函数精确解

１ 方 法 简述
为了 方便应 用 本文 中提 出的改进 方 法 ， 面列 出主要求解 步 骤 ： 下
步骤 １ 对 给定 的非 线性 偏微 分方 程 （ 不妨 假设 仅含有 两 个变 量 ｚ， ￡ ）
Ｆ（ ｔ ，‘， 矗， ， ， ）＝ ０ ，‘ ｚ Ｕ 口 扛 … ｆ ， （） １
方程（ Ｅ） ＮＥ ｓ的精确 解 尤其是 孤 立子 解起 的重 要作 用 引起 了越来 越 多 学 者 的兴 趣 ． 近年来 ， 多 数学 家 许 和 物理 学家 经过 不 懈 努 力 ， 现 了孤 立 子 理 论 中蕴 藏 着 一 系 列 构 造 精 确 解 的有 效 方 法 ， 反 散 射 方 发 如 法 Ｂｉｋｕ ｄ变 换 、 ｒｏ ｘ变 换［ 、 ｒｔ 换 。齐 次 平 衡 法［ Ｐ ｉｌｖ 析［ Ｔ ｎ ｕ、￣ ｌｎ ｃ Ｄａｂ ｕ ３ Ｈｉ ａ变 ‘、 ］ ｏ 、 ａ ｅｅ分 、 ａｈ方 法 及 ｎ 推 广 的 Ｔａ ｈ方法 等［ １ ． ｎ ７ ０ 随着各 种方 法 的出 现 ， 多新 的 、 有重 要 物理 意义 的解 不断被 发现 和应用 ． －］ 许 具 最 近 ， ｉ ｈｋ ｏ等人 提 出 了 Ｊｃｂ 椭 圆函数展 开法 ， 功地 求 出 了一大 类非线 性 演化方 程的一 系 ＬｕＳ ｉｕ ａｏ ｉ 成
方程 （ ） 如下 形式 的解 ： ５有
～ ＋ｌ＾十 ｓ Ｊｌ ｎ ‰．
所求 得 的 Ａ、 、。 ａ ａ 和 。的值代 入 （ ） ， 得如 下精 确解 ： ６中 可
第 一组解 ：
㈤
根据前 述 步骤 ３ ５将 （） 入 （） ， － ， ６代 ５ 中 得到 一个 关 于 Ｄ‘Ａ （＝Ｏ １ ．） ．（ ， ，． 的代 数方 程 （ ） 收集 关 Ｓ ・ 组 ． 于 ｎ Ａ （＝Ｏ１ ．） 同幂 次项 ， ｓ（ ｆ ， ’． 的 ・ 并且 令 它们 的 系数 为零 ， 得到 一 个关 于 Ａ、ｌａ ／ 、。和 ａ ａ 的超 定 非 线 性代 数方 程组 ． 使用 Ｍａ ｌ软 件包 “ ｈ ｒｅｓ求 解上 面 的超 定代 数方 程组 ， ｐｅ Ｃ ａｓｔ” 可得 Ａ、。ａ 、。和 ａ 。的值． 将
３ 大连 理工 大学 数学科 学学 院 ， ． 辽宁 大连 １ ６ ２ ） １０ ４ 摘 要 ： Ｊｃｂ 椭圆 函数展开法进行 了改进 ， 对 ａｏ ｉ 并将其应用 到一类常微 分方 程 中， 比较方便 的得到其 Ｊｃｂ 椭 ａｏ ｉ
圆 函数解 ． 许多非线性发 展方 程都可借助该方程得到其相应 的精 确解 ， ＭＫ Ｖ方 程 、２ ） ＭＫＰ方 程及 如 ｄ （ ＋１ 维 非线性波方 程等方程的一 系列新 的精 确解 ．
文 章 编 号 ：１ ７ －９Ｘ（０ １ ０ －０ １０ ６ ２６ １ ２ １ ）４０ ０－５
一
类 非 线性 偏 微 分 方程 的 改进 的 Ｊ ｃｂ 椭 圆函数 精 确 解 ｏ ｉ ａ
肖亚峰 薛海 丽 张 鸿 庆 。 ， ，
（． １ 中北大学 数学 系， 山西 太原 ０ ０ ５ ；． ３０ １２ 中北 大学 软件学院 ， 山西 太原 ０ ０ ５ ； ３０ １
首先考 虑 如下 一类 常微 分 方程
＝
ｈ “４ ｈ ， ｉ －３
（） ５
其 中 ， ｈ ｈ ， 为 常数 ．
由于在行波变换下 ， ｄ ＭＫ Ｖ方程 、２ ） ＭＫ （ ＋１维 Ｐ方程及非线性波动方程等方程均可化为方程（） ５． 故本 文首先 考 虑方 程 （ ） ５ 的形 如 （ ） ４ 的解 ， 然后 借 助 （ ） ５ 的解 可 得到上 述三 个 方程 的解． 根据前 述 的求解 步 骤 ２ 通 过 平 衡 方程 （ ） 的最 高 阶线 性 项 和非 线 性项 ｈ 。 可 知 ＝ １ 故 设 ， ５中 。 ， ．
精确解． 下面我们 以 ＭＫ Ｖ方程 、２ ） ＭＫ ｄ （＋１维 Ｐ方程及非线性波方程为例来构造相应的精确解．
（ ）ＭＫｄ 方程 １ Ｖ
＝
一
“ （ 一 ± ０
＋ １
，
＋
ｍ
千ｓ ｉ ｎ
１
＋
１
一
） ＋ ） ＋
．
１
一
８
Ｊ ｌ （ ＝ ±
２ ｍ＋ １ （
ｌ＋ １ （
＋
ｑｓ ＝ ｉ ｎ
２ ｍ＋ １ （
！ ］ ， ！ ］ ，
一
（３ １）
（ ４ １）
（ 一 土 ９
ｎｓ
（ ８ １）
） ＋
１ ３
（ ＝ ±
卜
卜 厂
Ｌ
１ ５
２ ｍ一 １ （
一－
一 ｎｓ
ｆ
ｈ ｉ
！ ］ ，
（ ９ １）
２一 ｃ
ｌ ４
（ ＝ 士
ｎｓ
（ ２ － ｈ ） ｉ
ｓ
．
（Ｏ ２）
＋
当 一 １时 ， 述解 退化 为 ： 上
些方 法求 出了一 大类 非线 性 演化 方程 的 精 确 解及 其 相 应 的退 化 解 ． 文 受 上 述 文 献 的启 发 ， 出基 于 本 提 Ｊｃｂ 椭 圆函数 的新 的 Ｊｃｂ 函数 展 开方 法 ， ａｏ ｉ ａｏ ｉ 可构造 出非 线性 波 动方 程新 的 Ｊｃｂ椭 圆函数 解． 该方 ａｏ ｉ 将 法 应用 到 一类 常微 分 方 程 ， 到 了该 方 程 丰 富 的 精 确 解 ， 可 进 一 步 得 到 了 ＭＫｄ 方 程 、 ２ １ 维 得 并 Ｖ （＋ ） ＭＫＰ方 程及 非线 性 波动 方程 等方 程新 的精 确解 ．
注 ３ 如果 将式 （ ） ４ 中的 Ｊｃｂ 椭 圆 函数替换 为 另外 ｌ 类 Ｊｃｂ 椭 圆 函数 ， ａｏ ｉ １ ａｏ ｉ 则可 得到其 它新 的 Ｊ— ａ
４
甘 肃联合 大学学报 （ 自然科 学版）
第２ ５卷
３ 三类非线性演化方程 的精确解
如果 非线 性 发展方 程 能在行 波 变换 下化 为常微 分 方程 （）则 可 利用 （） ５， ５ 的解 （） ２ ） ７ 一（２获得 对应 的
解） ．
注 １ Ｊｃ ｂ椭 圆函数 ｎ 具 有性 质 ： ａｏ ｉ ｓ
（ ） ｓ ＝ １ｎ （
Ｓ ｎ
， ２ ｌ ｓ ＝ ｃ ｔ ｇ ，ｉ ｓ ￣ ＝ ｃ ｃ ． （ ）ｉ ｍｎ （ ｏ ｈ（ ） ｌ ｍｎ （ ） ｓ （
肿 ＿１ ． 胛＿Ｏ ．
２ 一类 常微分方 程 的改进 的 Ｊｃ ｂ 椭 圆函数解 ａｏ ｉ
２
甘 肃 联 合 大 学 学报 （ 自然 科 学 版）
第２ ５卷
一
蔷
，
㈤
其中， 的值可通过平衡式（） ３ 中最高阶线性项和非 线性项来确定（ ： 注 如果得到 ７的值不是正整数 ， ／ ＂ 则 可 以作变 换 （ 一 （）代入 （）然 后再 平衡 其 中的最 高 阶线 性项 和非 线性 项 ） ， ３， ； 步骤 ３ 将（） ４代入（） 可得到一个关于 ｎ Ａ ）ｉ－ ，， 的代数方程 （ ． ３， ｓ （－ １ …） （ ＿０ 组） 收集关 于 ｎ Ａ ） ｓ（
步骤 ２ 设 （ ） ３ 的解 为
收 稿 日期 ：０ １０ －５ ２ １—４２ 。 基 金 项 目 ： 家重 点基 础 研 究 专 项 基 金 （０ ４ Ｂ １０ ０ ｌ 国 ２０ Ｃ ３ ８０ ） 国家 自然 科 学 基 金 青 年 基 金 （０ ０ １ ５ ． １ ９ １４ ）
作者 简介 ： 肖亚峰（ ９ ６） 男 。 １ ７ 一， 山西芮城人 ， 中北大学讲师 ， 博士 ， 主要 从事 符号计算和非线性物理研究。
第２ ５卷 第 ４期
２ １ 年 ７月 ０１
甘 肃联合大 学学报（ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｕ Ｌｉｎ ｅＵｎｖ ｒｉ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｆＧａ ｓ ａ ｈ ｉｅｓｔ ｙ（ ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅ ） Ｓ
Ｖｏ． ５Ｎｏ ４ １２ ．
Ｊ １２ １ ｕ． ０ １
“ ＝ 、 ｃ（￣ ， 土／ ｓ±／ （ 一 ｃ 二
ｌ ＝√ ｃ千 ． ｌ 土一 ｓ ￣ ｓ （ 。 ｃ／ （
（） １ ２
第 ４期
肖亚 峰 等 ： 类 非 线 性 偏 微 分 方 程 的 改进 的 Ｊｃｂ 椭 圆 函数 精 确 解 一 ａｏ ｉ
３
第二 组解
一 一 ＿ ２ ｍ ＋ １ （ 一 一 ：
（＝Ｏ １… ） 同幂次 项 ， ，， 的 并且 令 它们 的 系数 为零 ， 到 一个 关 于 Ａ、。ａ（＝０ １ ２ …） 得 、 ｆ ，， ， 的超 定 非线 性
代数方程组； 步骤 ４ 使用王东 明教授基 于吴代数消元法［］ ＂ 开发的 Ｍａ ｌ件包“ ｈ ｒ ｔ”求解步骤 ３中得 到 ｐｅ Ｃ ａｓ ｓ ， ｅ
Ｊ
（ ＝ 士
＋
幅 讪 ）
￣ｃ ） ：ｔ ｉｈ 十 ｏ
（ １ ２）
ｌ
Ｉ
Ｕ６ ＝士 ｈ １（ 一
３
一
幅
）
‘
（２ ２）
ｌ
汕 ） ＋
注 ２ 根据 所查 文献 ， 第二 组 解均 为新 解． 当式 （ ） ４ 中 一Ｏ时 ， 则文 中方 法退化 为 ＬｕＳ Ｋ． 提 出 ｉ ． 等 的 Ｊ ｃ ｂ 椭 圆 函数 法 引、 ｎ ａｏｉ Ｔａ ｈ方 法 和扩展 的 Ｔａ ｈ方 法Ｕ ｔ ． ｎ －ｏ ］ ｅ ｂ 椭 圆 函数 解 ， ｏｉ 限于篇 幅 ， 此不 再一 一列 出． 在
的超 定代 数方 程组 ， 可得 Ａ、ｉａ（＝０ １２ … ） ／ ， ｆ ，， ， 的值 Ｉ ￣ 步骤 ５ 将 步骤 ４中求得 的 Ａ、 、 ，， ， 代入 （） ， ａ（＝Ｏ １ ２ …） ４ 中 即可 得到方 程 （） １ 的精确解 ． 因此 ， 根据 上 面的 步 骤 ， 以得 到 方 程 （ ） 可 １ 的一 系 列 新 的 Ｊｃｂ 椭 圆 函 数 解 （ 括 孤 波 （ ￡ ｘ，）＝ （ ）， ＝ ． 一 ｃ ， ２ ７ ｔ （） ２
其 中 ， Ｃ 待定 常数 ． Ａ， 为 将 式 （） ２ 代入 式 （） ， １ 中 则式 （） 约化 为如下 的 常微分 方程 １可
Ｆ（‘ｔ ， ， ）＝ ０； ｔ，‘ … （） ３
（ ｈｑ 幅 ａ） ， ｌ ＝／ ２ ｓ ｈ￣ ： — （ ｉ） ￣ ｈ 辐 ． ． ｎ — ａ １
＝ ｓ
㈣ ㈣
㈤ （ １ ０
（） １ １
当 ｍ一 １时 ， 上述解 退 化为 ：
＝
＝
汕 （ 汕 （
） ， ） ．
当 仇一Ｏ时 ， 上述 解退 化 为 ：
列新 的 Ｊｃ ｂ 椭 圆 函数解 （ 括 退化形 式 的孤立 波 解 和 三角 函数 解 ）ｎ ． ｈＺ ｅ ｙ 等 人 提 出了扩 ａｏ ｉ 包 ［ Ｙａ ｈ ｎ ａ 展 的 Ｊ ｃｂ 椭 圆函数 展开 方法 及 Ｃ ｅ ｎ ａｏ ｉ ¨ ｈ ｎＹｏ ｇ等 提 出了 Ｗ ｅ ｒｔａｓ 圆 函数展开 方法 ］ 利用这 ｉ ｓｒ ｓ 椭 ｅ ，
关 键 词 ： 进 的 Ｊｃｂ 椭 圆 函数 展 开 法 ； 消 元 法 ｝ 立 子 Ｉ 线 性 演 化 方 程 改 ａｏ ｉ 吴 孤 非 中 圈分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ５２ 文 献 标识 码 ： Ａ
０ 引 言
，
物 理 学 中的很 多现 象都 可 以用 非线 性发 展方 程来 描述 ． 在研 究 非线 性物 理 现象 中 ， 寻找 非线性 演化
ｆ Ｉ ‰ （ ） 士 ＝
ｌ１ （ ＋
，
（５ １）
十 １ ｓ ｌ ｎ／
１－ ．
、
２ ＋ １ （
ｌ ｏ
（ ＝ 土
，
（ ６ １）
ｚｎ ￣ｓ ｉ（
２ 一 １ （
ｌ （ ｌ 一 土
） ＋
（ ７ １）
＋
） ＋
２ 一１ （
ｌ ２