对数频率稳定判据
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K (1 jωTi ) jω (1 jωT j )
j 1 i 1 n 1 m
G K (jω)
对数幅频特性的低频部分 如下图所示
这一特性的特点： 在低频段的渐进线斜率为-20dB/十倍频； 低频渐进线（或其延长线）与0分贝的交点为ω c=K，由之可以确定 系统的稳态速度误差系数kv= K ； 低频渐进线（或其延长线）在ω =1时的幅值为20lgKdB。
1. 解： K ＝10－３，v ＝2，各个环节的交接频率:ω1=1/100=0.01， ω2=1/10=0.1， ω3=1/0.125=8， ω4=1/0.05=20 。
2. 低频渐近线的斜率为 －20 v dB/dec＝ －40dB/dec 。 当ω＝1时，低频渐近线的坐标，L (1)＝20 log 10－3 ＝ －60 dB，即低频渐近线过点 (1，－60)。 3. 当ω =ω1=0.01时，因为系统是具有两个时间常数为100的一阶微分环节，分段直 线的斜率变化量为＋2×20 dB/dec，原来是－40 dB/dec，过ω ＝0.01后，斜率变为 0 dB/dec。当ω =ω2=0.1时，在此频率上作斜率为－20 dB/dec 的直线。当ω =ω3= 8时， 在此频率上作斜率为－40 dB/dec 的直线。当ω =ω4=20时，在此频率上作斜率为－ 60dB/dec 的直线。这五段直线 即是系统的近似对数幅频特性。
当ω＝1时，L(1)=20logK(dB)。由此可绘出过ω＝1，L(1)=20logK(dB) 点的斜率为－20νdB的一条直线，即为低频渐近线。 3、以低频渐近线作为分段直线的第一段，从低频端开始沿频率增大的方向， 每遇到一个交接频率改变一次分段直线的斜率 当遇到 ωi 时，斜率的变化量为＋20dB/dec； 当遇到 ω k 时，斜率的变化量为＋40dB/dec； 当遇到 ω j 时，斜率的变化量为－20dB/dec； 当遇到 ωl 时，斜率的变化量为－40dB/dec； 4、高频渐近线，其斜率为 20(n m)dB / dec n为极点数，m为零点数
–绘出用渐进线表示的对数幅频特性以后，如果需要，可 以进行修正。通常只需在交接频率出以及交接频率的二 倍频和1/2倍频处的幅值就可以了。 对于一阶项，在交接频率处的修正值为±3dB； 在交接频率的二倍频和1/2倍频处的修正值为±1dB。 对于二阶项，在交接频率处的修正值可由公式求出。 系统开环对数幅频特性L(ω)通过0dB线，即
3、2型系统
2型系统的开环频率特性有如下形式
K (1 jωTi ) ( jω) (1 jωT j )
j 1 i 1 n 2 2 m
G K (jω)
对数幅频特性的低频部分如下图所示
这一特性的特点： 低频渐进线的斜率为-40dB/十倍频； 低频渐进线（或其延长线）与0分贝的交点为 c K ，由 之可以确定加速度误差系数 ka= K ； 低频渐进线（或其延长线）在ω =1时的幅值为20lgKdB。
L( c ) 0 或 A( c ) 1
时的频率 c 称为穿越频率。穿越频率 c 是开环对数相 频特性的一个很重要的参量。
–绘制开环系统对数相频特性时，可分环节绘出各分量
的对数相频特性，然后将各分量的纵坐标相加，就可
以得到系统的开环对数相频特性。
二、系统类型与开环对数频率特性
不同类型的系统，低频段的对数幅频特性显著不同 。 1、0型系统
1、确定K值、 ν值和各环节的交接频率 1 1 1 1 ωi , ωk , ωj , ωl τi τk Tj Tl 并将交接频率从小到大标注在角频率ω轴上。 2、绘制对数幅频特性的低频渐近线。 把ω→0时的对数幅频特性称为对数幅频特性的低频渐近线 低频渐近线的方程为
L(ω) 20log A(ω) 20logK 20υ logω
绘制步骤： 设开环系统频率特性的标准形式为
m1 m2
G K (jω)
i 1 k 1 n2 ( jω) υ n1 (1 jωT j ) (1 ω 2Tl 2 j 2ξ l ωT l ) j 1 l 1
K
(1 jωτ i ) (1 ω 2 τ k 2 j 2ξ k ωτ k )
例1：设系统的开环传递函数为 相频特性。
G K (s)
10 ，试绘出系统的对数幅频特性和对数 (1 s )(1 0.1s )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：1、K＝10，ν ＝0，交接频率ω 1＝1，
2、低频渐近线的斜率为－20νdB/dec=0dB/dec。
。 ω2
1 10 0.1
当ω＝1时，L(ω)=20logK＝20dB。即低频渐近线的斜率为0，且过点(1，20)。
0型系统的开环频率特性有如下形式：
G K (jω) K (1 jωτi )
j 1 m i 1 n
(1 jωT j )
对数幅频特性的低频部分如下图所示
这一特性的特点： 在低频段，斜率为0dB/十倍频； 低频段的幅值为20lgK，由之可以确定稳态位置误差系数。
2、1型系统 1型系统的开环频率特性有如下形式
当ω＝1时，斜率变为－20dB/dec； 当ω＝10时，斜率变为－40dB/dec； 对数幅频特性如下图所示。 φ (ω) tan1 ω tan1 0.1ω ω→0时， φ(0)=0°； ω→∞时，φ(∞)=－180° 对数相频特性亦见下图。
例2:
设开环系统的频率特性为
103 (1 j100 ) 2 GK ( j ) 2 ( j ) (1 j10 )( 1 j 0.125 )(1 j 0.05 ) 试绘制用分段直线表示的对数幅频特性。
§5-4 系统开环对数频率特性的绘制及对数 稳定判据
一、Bode图的绘制
例5-1 一系统开环传递函数为
GK (s)
求得频率特性为
K s (1 T1s )(1 T2 s )
T1 T2
L( ) 20lg A( ) 20lg K 20lg 20lg (T1 ) 2 1 20lg (T2 ) 2 1 ( ) 0 (90 ) arctan(T ) arctan(T ) 1 2
j 1 i 1 n 1 m
G K (jω)
对数幅频特性的低频部分 如下图所示
这一特性的特点： 在低频段的渐进线斜率为-20dB/十倍频； 低频渐进线（或其延长线）与0分贝的交点为ω c=K，由之可以确定 系统的稳态速度误差系数kv= K ； 低频渐进线（或其延长线）在ω =1时的幅值为20lgKdB。
1. 解： K ＝10－３，v ＝2，各个环节的交接频率:ω1=1/100=0.01， ω2=1/10=0.1， ω3=1/0.125=8， ω4=1/0.05=20 。
2. 低频渐近线的斜率为 －20 v dB/dec＝ －40dB/dec 。 当ω＝1时，低频渐近线的坐标，L (1)＝20 log 10－3 ＝ －60 dB，即低频渐近线过点 (1，－60)。 3. 当ω =ω1=0.01时，因为系统是具有两个时间常数为100的一阶微分环节，分段直 线的斜率变化量为＋2×20 dB/dec，原来是－40 dB/dec，过ω ＝0.01后，斜率变为 0 dB/dec。当ω =ω2=0.1时，在此频率上作斜率为－20 dB/dec 的直线。当ω =ω3= 8时， 在此频率上作斜率为－40 dB/dec 的直线。当ω =ω4=20时，在此频率上作斜率为－ 60dB/dec 的直线。这五段直线 即是系统的近似对数幅频特性。
当ω＝1时，L(1)=20logK(dB)。由此可绘出过ω＝1，L(1)=20logK(dB) 点的斜率为－20νdB的一条直线，即为低频渐近线。 3、以低频渐近线作为分段直线的第一段，从低频端开始沿频率增大的方向， 每遇到一个交接频率改变一次分段直线的斜率 当遇到 ωi 时，斜率的变化量为＋20dB/dec； 当遇到 ω k 时，斜率的变化量为＋40dB/dec； 当遇到 ω j 时，斜率的变化量为－20dB/dec； 当遇到 ωl 时，斜率的变化量为－40dB/dec； 4、高频渐近线，其斜率为 20(n m)dB / dec n为极点数，m为零点数
–绘出用渐进线表示的对数幅频特性以后，如果需要，可 以进行修正。通常只需在交接频率出以及交接频率的二 倍频和1/2倍频处的幅值就可以了。 对于一阶项，在交接频率处的修正值为±3dB； 在交接频率的二倍频和1/2倍频处的修正值为±1dB。 对于二阶项，在交接频率处的修正值可由公式求出。 系统开环对数幅频特性L(ω)通过0dB线，即
3、2型系统
2型系统的开环频率特性有如下形式
K (1 jωTi ) ( jω) (1 jωT j )
j 1 i 1 n 2 2 m
G K (jω)
对数幅频特性的低频部分如下图所示
这一特性的特点： 低频渐进线的斜率为-40dB/十倍频； 低频渐进线（或其延长线）与0分贝的交点为 c K ，由 之可以确定加速度误差系数 ka= K ； 低频渐进线（或其延长线）在ω =1时的幅值为20lgKdB。
L( c ) 0 或 A( c ) 1
时的频率 c 称为穿越频率。穿越频率 c 是开环对数相 频特性的一个很重要的参量。
–绘制开环系统对数相频特性时，可分环节绘出各分量
的对数相频特性，然后将各分量的纵坐标相加，就可
以得到系统的开环对数相频特性。
二、系统类型与开环对数频率特性
不同类型的系统，低频段的对数幅频特性显著不同 。 1、0型系统
1、确定K值、 ν值和各环节的交接频率 1 1 1 1 ωi , ωk , ωj , ωl τi τk Tj Tl 并将交接频率从小到大标注在角频率ω轴上。 2、绘制对数幅频特性的低频渐近线。 把ω→0时的对数幅频特性称为对数幅频特性的低频渐近线 低频渐近线的方程为
L(ω) 20log A(ω) 20logK 20υ logω
绘制步骤： 设开环系统频率特性的标准形式为
m1 m2
G K (jω)
i 1 k 1 n2 ( jω) υ n1 (1 jωT j ) (1 ω 2Tl 2 j 2ξ l ωT l ) j 1 l 1
K
(1 jωτ i ) (1 ω 2 τ k 2 j 2ξ k ωτ k )
例1：设系统的开环传递函数为 相频特性。
G K (s)
10 ，试绘出系统的对数幅频特性和对数 (1 s )(1 0.1s )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：1、K＝10，ν ＝0，交接频率ω 1＝1，
2、低频渐近线的斜率为－20νdB/dec=0dB/dec。
。 ω2
1 10 0.1
当ω＝1时，L(ω)=20logK＝20dB。即低频渐近线的斜率为0，且过点(1，20)。
0型系统的开环频率特性有如下形式：
G K (jω) K (1 jωτi )
j 1 m i 1 n
(1 jωT j )
对数幅频特性的低频部分如下图所示
这一特性的特点： 在低频段，斜率为0dB/十倍频； 低频段的幅值为20lgK，由之可以确定稳态位置误差系数。
2、1型系统 1型系统的开环频率特性有如下形式
当ω＝1时，斜率变为－20dB/dec； 当ω＝10时，斜率变为－40dB/dec； 对数幅频特性如下图所示。 φ (ω) tan1 ω tan1 0.1ω ω→0时， φ(0)=0°； ω→∞时，φ(∞)=－180° 对数相频特性亦见下图。
例2:
设开环系统的频率特性为
103 (1 j100 ) 2 GK ( j ) 2 ( j ) (1 j10 )( 1 j 0.125 )(1 j 0.05 ) 试绘制用分段直线表示的对数幅频特性。
§5-4 系统开环对数频率特性的绘制及对数 稳定判据
一、Bode图的绘制
例5-1 一系统开环传递函数为
GK (s)
求得频率特性为
K s (1 T1s )(1 T2 s )
T1 T2
L( ) 20lg A( ) 20lg K 20lg 20lg (T1 ) 2 1 20lg (T2 ) 2 1 ( ) 0 (90 ) arctan(T ) arctan(T ) 1 2