特征值问题的计算方法

Gi ( A) = { z ∈ C : z − aii ≤ ∑ aij }; i = 1,L , n
j≠i
则 λ ( A) ⊂ G1 ( A) ∪ G2 ( A) ∪ L ∪ Gn ( A)
（ 分解定理） Th8.1.4 谱分解定理）/*Spectral Decomposition*/ n× n n× n 对称矩阵 则存在正交 矩阵， 正交矩阵 设 A ∈ R 为对称矩阵，则存在正交矩阵Q ∈ R T 使得 Q AQ = Λ = diag ( λ1 ,L , λn ) 个特征值。 其中 λ1 ,L , λn 是 A 的n个特征值。 个特征值 定理） （极大极小定理 Th8.1.5 极大极小定理） 对称矩阵 矩阵， 设 A ∈ R n× n 为对称矩阵，且 A的特征值为 λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λn
∀u0 , u0
∞
=1
设
yk = Auk −1 µk = yk ∞ yk uk =
For k=1,2,3,…
uk 和 µk均收敛，由算法知 收敛， 算法知 Auk −1 = µk uk
lim Auk −1 = lim µk lim uk
k →∞ k →∞ k →∞
Ax = λ1 x
uk
∞
µk → λ1
其中J (λi ) = diag( J1 (λi ), ,L , J k (λi )) ∈ C ni ×ni ;1 ≤ i ≤ r i
λi J j ( λi ) =
1
λi
且除了 J j (λi ) 的排列 O 次序外 J 唯一的 次序外， 是唯一的。 O 1 λi J 称作 A 的Jordan标准型 标准型
n× n
是可对角化的 存在如下分解： 是可对角化的，即 A 存在如下分解： 对角化
−1
A = X ΛX 其中 Λ = diag ( λ1 ,L , λn ) ; X = [ x1 ,L , x n ] ∈ C n× n
不妨假设
λ1 > λ2 ≥ L ≥ λn
对于 ∀ u0 ∈ C
n
u0 = α1 x1 + α 2 x2 + L + α n xn ;α i ∈ C
λi − µi ≤ ∆A 2 ; i = 1, 2,L , n
说明：对称矩阵的特征值总是良态的 矩阵的特征值总是良态 说明：对称矩阵的特征值总是良态的。
幂法与反幂法 §2 幂法与反幂法/*Power Method and Reversed Power Method*/ 幂法是计算一个矩阵的模最大的特征值和对应的特征 幂法是计算一个矩阵的模最大的特征值和对应的特征 是计算一个矩阵的模最大 向量的一种迭代方法（又称为乘幂法 迭代方法 乘幂法）。 向量的一种迭代方法（又称为乘幂法）。 幂法的 一、幂法的基本思想与算法 假设 A ∈ C
uT Au uT Au 则有λi = max min T = min max T n χ ∈ξ n− i +1 0 ≠ u∈χ u u χ ∈ξ in 0 ≠ u∈χ u u
其中 ξ
n k 表示
中所有k维子空间的全体 维子空间的全体。 R n中所有 维子空间的全体。
定理） （ 定理 Th8.1.6 Weyl定理） 对称矩阵 矩阵， 设 A, B ∈ R n× n为对称矩阵，其特征值分别为
j =1
j =1
说明： 充分大时, 说明：当k充分大时 充分大时
的一个近似特征向量 近似特征向量为 λ1 的一个近似特征向量为
uk =
A u0
k
λ
k 1
特征向量可以相差一个倍数 特征向量可以相差一个倍数
因为向量 uk
=
A u0
k
λ
k 1
中含有未知量 中含有未知量 λ1，实际不能计算
方向，故作如下处理： 但我们关心的仅是 uk 的方向，故作如下处理： 令 uk
k k 1
= X J y1 + X 2 J y2 + L + X P J y p
k 1 1 k 2 k p
k Ak u0 = X1J1k y1 + X 2 J 2 y2 + L + X P J k y p p
k = λ1k X1 y1 + X 2 J 2 y2 + L + X p J k y p p
T
µ3 = 4.92
u3 =
Step4
y3
y4 = Au3 = (1.5854 3.9268 4.8537 )
µ3
= (0.3659 0.8537 1)
T
T
µ4 = 4.8537
u4 = y4
µ4
= (0.3266 0.8090 1)
T
特征值及相应的特征向量精确值为 特征值及相应的特征向量精确值为: 特征向量精确值
分解） 分解 （ Th8.1.1 Jordan分解） n× n 设 A ∈ C ，有 r个互不相同的特征值λi (i = 1,L, r ) 个互不相同的特征值
，
重数分别为 则一定存在非奇异 非奇异矩阵 其重数分别为 ni (i = 1,L, r ) ，则一定存在非奇异矩阵
P ∈ C n×n 使得 P −1 AP = diag( J (λ1 ), J (λ2 ),L, J (λr )) = J
= λ ( X1 y1 + X 2 (
k 1
J2
λ1
) y2 + L + X p (
k
Jp
λ1
k
)k y p )
A u0
k
λ
k 1
= X1 y1 + X 2 (
−1 1 i
J2
λ1
) y2 + L + X p (
k
Jp
λ1
) yp
ρ (λ J ) = λi / λ1 < 1 ⇔ (λ J ) → 0
k −1 1 i
lim
A u0
k
k →∞
λ
k 1
= X1 y1 ( ≠ 0)
X1 y1 记 x1 = X1 y1 ∞
x1 是属于λ1 的一个特征向量
AX = XJ ⇒ AX1 = X1J1 = λ1 X1
A u0 λ A u0 = k = uk = λ1 Ak u0 µk µk −1 L µ1 µk ∞ X1 y1 uk → (k → ∞) lim uk = x1 X1 y1 ∞ k →∞
Def 3设 A, B ∈ C
n× n
， 若存在矩阵 P ，使得 B = P
−1
AP
相似的 则称 A 和 B 是相似的。 相似矩阵有相同的特征值 相似矩阵有相同的特征值 设 Ax = λ x
Ax = λ x ⇔ PAP Px = λ Px
−1
⇔ BPx = λ Px
本章QR算法的基本思想： 算法的基本思想 本章 算法的基本思想： 相似矩阵 要求： 寻求已知矩阵A的相似矩阵 B ，要求： 特征值和特征向量容易计算 矩阵 B 的特征值和特征向量容易计算
mi ≤ ni
Def 2设 A ∈ C ，对于矩阵 A 的特征值 λi ，如果 mi = ni ，则称该特征值 λi 为 A 的一个半单特征值。 的一个半单特征值。 半单特征值
的所有特征值都是半单 半单的 非亏损的 若 A的所有特征值都是半单的，则称 A是非亏损的。 非亏损的等价条件是 个线性无关的特征向量 A是非亏损的等价条件是 A有n个线性无关的特征向量
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ak u0 = ∑ α j Ak x j = ∑ α j λ jk x j
n
n
λj k = λ (α1 x1 + ∑ α j ( ) ) x j ) λ1 j=2 k n λj k A u0 = (α1 x1 + ∑ α j ( ) ) x j ) →α1x1(k →∞) k λ1 λ1 j=2
n k 1
λj k λ (α1 x1 + ∑ α j ( ) ) x j ) k λ1 A u0 j=2 = n µk λj k k λ1 (α1 x1 + ∑ α j ( ) ) x j ) λ1 j=2 ∞ x1 → (k →∞) x1 ∞
n k 1
=
A u0
k
µk
µk为 Ak u0 的模最大分量 其中
幂法迭代算法： 幂法迭代算法： 算法
if
uk − uk−1 ∞ < ε
µk
=1
输出 uk和 µk
幂法可以计算矩阵的模最大 幂法可以计算矩阵的模最大 可以计算矩阵的 的特征值和对应的特征向量
利用幂法 幂法求下列矩阵 例1：利用幂法求下列矩阵 A 的模
2 1 0 1 3 1 最大的特征值及相应的特征向量 特征向量. 最大的特征值及相应的特征向量 A = T 0 1 4 (取初始向量为 u0 = (1 1 1) ) 取初始向量为
⇒ AX1 y1 = λ1 X1 y1 ⇒ Ax1 = λ1 x1
Auk −1
k
k
k 1
Auk −1 = µk uk µk → λ1 ( k → ∞ )
λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λn ; µ1 ≥ µ 2 ≥ L ≥ µ n
λi − µi ≤ A − B 2 ; i = 1, 2,L , n
则有
注意：实际问题中矩阵一般都是由计算或实验得到， 计算或 得到， 注意：实际问题中矩阵一般都是由计算 实验得到 本身必然存在误差 误差， 本身必然存在误差，不妨假设 B = A + ∆A
半单的特征值 λ1是半单的特征值 如下分块： 将 y 和 X 如下分块：
J1 = λ1 I n1
T T
令y
= X u0
−1
y = ( y , y2 , L , y p ) n1 n2 L np