不等式选讲习题含答案

不等式选讲习题

1 1 * _____

1. (2014全国新课标I 卷)若a 0,b 0,且一 一 • ab. a b (I )求a 3 b 3的最小值；

(II )是否存在a,b,使得2a 3b 6?并说明理由.

(I )证明:f(x) 2;

(II )若f(3) 5,求a 的取值范围.

(I )当a 2时，求不等式f(x) g(x)的解集;

2.2 2

a b e d

(II ) 1..

b e a

5. (2012全国新课标卷)已知函数f(x) x a x 2

(I )当a 3时，求不等式f(x) 3的解集；

(II )若f(x) |x 4的解集包含1,2，求a 的取值范围. 6. (2011全国新课标卷)设函数f(x) x a 3x ，其中a 0.

(II )设a 1,且当x

舅时，f(x) g(x)，求 a 的取值范围.

4. (2013全国新课标II

卷)设a,b,c 均为正数，且a

c 1,证明:

2. (2014全国新课标II 卷)设函数f(x)

x a (a 0).

3. (2013全国新课标I 卷)已知函数f(x)

2x 1 2x a ,g(x) x 3.

(I) ab be ac

(I)当a 1时，求不等式f(x) 3x 2的解集；

(II )若不等式f(x) 0的解集为{x|x 1},，求a的值.

7. ( 2015第一次省统测)已知a是常数，对任意实数x，不等式

|x1||2x|a|x1||2 x| 都成立.

1

(I)求 a 的值；(II )设m n 0,求证：2m —--------- 2 2n a.

m 2mn n

8. 设函数f(x) 2x 4 1.

(I)画出函数y f (x)的图象；(II)若不等式f(x) ax的解集非空，求a的取值范围. y

所以a3 b3的最小值为4、、2 . .......... 5分

(II )由(I)知2a 3b 2 2a 3b 2 6. ab 4.3

由于4.3 6，从而不存在a,b,使得2a 3b 6. ...................... 10分

2. (2014全国新课标II卷)

解：(I )由 a 0，有 f (x)

所以，f(x) 2.

设 f (x) 2x 1

2x 2 x 3,则

所以，不等式f (x) g(x)的解集为(0, 2).

吕,丄 时，f (x)

1 a.不等式f (x) g(x)可化为1 a x 3.

2 2

(II 1 3

a

3 a

)f(3)

a 3 时，f(3) 5,得6

a 3.

3 时，f(3) a 由 f (3) 5,得a

1

-5，解得3 a

5 .21 2

综上所述，a 的取值范围是(丁 3. (2013全国新课标I 卷) 解：(I )当 a 2 时，f(x) 2x 2x 2.

由 f (x) g(x)，得 2x 1 2x 2

其图象如图所示，由图象可知，当且仅当

x (0,2)时,

f (x) 0.

(II )当 x

2 a a 2.

所以，x a 2对x -,-都成立.故-a 2,即a -.

2 2

2 3

所以，a 的取值范围是（1,-].. ................. 10分

3

-.（2013全国新课标II 卷）.

证明：（I ）Q a 2 b 2 2ab ,b 2 c 2 2bc,a 2 C 2ac

(II )Q f(x)

2.2.2 2 2 2

a b

b c a c

又Q(a b c) 1 ，即 a 2

1 2ab 2bc 2ac ab be

2ab 2bc 2ac ，即 a 2 b 2 c 2 ab bc 2 2

b c 2ab 2bc 2ac 1

ac ，即卩 3(ab bc ac) 1

ac

ab bc ac 1 …

3

....... 5分 2

2b,c

a a

2

(II ) Q b b 2a, c

c

2 2 2

a b c

— — -—(a b c) 2(a

b c a

2

.2

2

a b_ c

1.…… …10分

b c

a

5. （2012

全国新课标卷）

2c

2 ,2 2

a b c b c)，即

a b c 1.

b c a

解：（I ）不等式f （x ） 3的解集为

（

,1]U[4,)

x a x 2 x 4，即 x 4 x 2 x a

当 x 1,2 时，由 x 4 x 2 x a ，得 4xx2 x a ，即 x a 2 解得2 a x 2 a

又因为f(x) x 4的解集包含1,2

所以，2 a 1且2 a 2，即3 a 0.

所以，a 的取值范围是[3,0].

6. (2011全国新课标卷)

解：(I)当a 1时，f(x) 3x 2可化为|x 1 2，由此可得 x

1或x 3

故不等式f (x) 3x 2的解集为{x|x 1或x 3}.

(n )由f(x) 0得x a 3x 0此不等式化为不等式组

x

或x a 即 0 x a 3x 0 x

a

由题意知a J 解得a 2. 7. (2015第一次省统测)

(I )解：|x 1| |2 x| | x 1 2 x| 3

又因为a 0，所以不等式x a 3x

0的解集为x|x

x a a x 3x

a x a a 或 a x _ 2

4