电多极距

② 新 定 义 并 不 影 响 电 势 ϕ ( )。 ur t t vv 2 D = ∫ 3x ′x ′ − r ′ I ρ x ′ dv ′。
2
(
) ( )
r r ruu t t urur uu uu uu r I为单位张量，I = e1 e1 + e2 e2 + e3 e3。
均匀带电的长形旋转椭球体半长轴为a 半短轴为b 例 均匀带电的长形旋转椭球体半长轴为a，半短轴为b 总电荷为Q 求它的电四极矩和远处的电势。 ，总电荷为Q，求它的电四极矩和远处的电势。
Q
1. 意义
（1）小区域内电荷体系在远处的电势可以看成是位于原点的点电 荷，偶极子，电四极子，电八极子产生的势的叠加。
u r ur （2）电偶极矩P = ∫ ρ x′dv′依赖于原点的选取，但当系统中正、负 u r 电荷数量一样多时，与原点无关。 P
u r ur urur （3）对点电荷系统 P = ∑ qi xi′， = 3∑ qi xi′ xi′。 D i i ur （ 4） 当 电 荷 分 布 关 于 原 点 对 称 时 P = 0。
1/ 2
b (1 − z 2 / a 2 ) 1 2 1 a 4 π ab 4 x 2 dV = ∫ y 2 dV = ∫ s dV = ∫ dz ∫ s 2 2 π s ds = ∫ 2 2 −a 0 15 3 2 4π a b 同样可得 ∫ z 2 dV = 15 2 D 33 = ρ 0 ∫ ( 3 z 2 − r 2 ) dV = ρ 0 ∫ ( 2 z 2 − 2 x 2 ) dV = ( a 2 − b 2 ) Q 5 V V
第五节电多极矩
分布在小区域内，而场点又距电荷分布区较远处的电势，即 分布在小区域内，而场点又距电荷分布区较远处的电势， l<<r。 <r。 一、电势的多极展开 r P ′ ′
v ϕ (x) =
∫
V
ρ ( x ) dV 。 4πε 0 r
r
l
r′ x
r Oρ ( x′)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
v v v v v 为 x − x′ ′ （ 对 x′ 展开：设 f x − x）
Q =
∫V
r ρ ( x ′) d V ′
电偶极矩矢量 r r r p = ∫ ρ ( x ′ ) x ′d V ′
V
t D =
r r r ∫ 3 x ′x ′ρ ( x ′) d V ′
V
电四极矩张量
r D ij = ∫ 3 x i′ x ′j ρ ( x ′ ) dV ′
r ϕ (x) =
i = 1 − 3, j = 1 − 3
其 中
1 (∇ ′ r
r x ′= 0
1 = −∇ r
r x′= 0
1 = −∇ , R
rr rr r r 2 aa : bb = ( a ⋅ b ) )
3. 小区域电荷分布产生的电势 ϕ ( x ) =
r ϕ (x) = 1 4π ε 0
r
∫∞
r ρ ( x ′) d V ′ 4 πε 0 r
∫
V
urur t t D = 3∫ ρ x′ x′dv′；Dij = 3∫ ρ xi x j dv′；Dij = D ji ,D有六个独立分量。
V
例在Z轴上 例在 轴上 u t r Z = ± a，Z= ± b处有 − q、 q 计算P、D及远处的电势。 + ur v 解：电偶极矩： P = ∑ q i x i′ = 0。 电四极矩
r r p ⋅ r+
r r p ⋅ r−
l r+ ≈ R − cos θ 2
1 1 r− − r+ l cos θ l − = ≈ r− ≈ R + cos θ 2 r+ r− r+ r− R2
( z = R cos θ )
2 2
∂ 1 1 ∂R 1 z cos θ = − 2 = − 2 =− 2 ∂z R R ∂z R R R
)
ur xdv ′
ur 解 ： 对 中 点 O： = P
∫
ur uu r r L 1 2 uu 若对一个端点 O ′： = ∫ λ xex dx = λ L ex。 P 0 2
L 2 L − 2
uu r λ xe x dx = 0。
（二）电四极矩——四极矩的出现标志着电荷偏离了球对称 电四极矩 四极矩的出现标志着电荷偏离了球对称
1 ∂ ∂ ∂ = f (0 ) + ( x1 + x2 + x3 ) f (0 ) 1! ∂ x1 ∂x2 ∂ x3 ∂ ∂ ∂ 2 1 ( x1 ) f (0 ) + L + + x2 + x3 2! ∂ x1 ∂x2 ∂ x3 3 ∂ 1 ∂2 = f (0) + ∑ x i f (0) + ∑ x i x j f (0) + L ∂ xi 2 ij ∂ xi ∂ x j i =1 r 1 r = f (0 ) + ( x ⋅ ∇ ) f (0 ) + ( x ⋅ ∇ ) 2 f (0 ) + L 2 1 r (3) 将 在 x ′ = 0 点展开 r
1 1 1 1 r r r = r r = f ( x − x ′) , x ′ = 0 , = r x − x′ r R r r r r r 1 r r 2 f ( x − x ′) = f ( x ) + ( x ′ ⋅ ∇ ′) f ( x ) + ( x ′ ⋅ ∇ ′) f ( x ) + L 2
旋转椭球体，其半长轴为a ，半短 旋转椭球体， 轴为b 轴为b，椭球方程为
x2 + y2 z2 + 2 =1 2 b a 4π 2 ab 椭球体积为 3 3Q 电荷密度为 ρ 0 = 4 π ab 2
由 D ij = ρ 0 ∫ ( 3 x i x j − r 2 δ ij ) dV
V
⇒
D 12 = D 23 = D 31 = 0
r 1 r 1 1 r r 1 ρ ( x ′ )[ − x ′ ⋅ ∇ + x ′x ′ : ∇ ∇ + L ] d V ′ R R 2 R
r ϕ (x) =
1 4π ε 0
∫
V
r 1 r 1 1 r r 1 ρ ( x ′ )[ − x ′ ⋅ ∇ + x ′x ′ : ∇ ∇ + L ] d V ′ R R 2 R
1 1 1 r = + ( x ′ ⋅ ∇ ′) r R r
r x ′= 0
1 r 2 1 + ( x ′ ⋅ ∇ ′) 2 r
r x ′= 0
+L
1 1 1 r 1 r ′ ⋅ ∇ ) + ( x′ ⋅ ∇ )2 = − (x +L R R 2 R 1 1 1 rr 1 r ′ ⋅ ∇ ) + ( x ′x ′ : ∇ ∇ ) + L = − (x R R 2 R
( 0) (1) ( 2)
ϕ 所以， = ϕ
(0)
+ϕ
(1)
+ϕ
( 2)
Q 1 a 2 − b 2 3cos 2 θ − 1 = + 。 3 4πε 0 R 10 R
三、电荷体系在外电场中的能量
1 df (0) 1 df 2 (0) 2 f ( x ) = f (0) + x+ x +L 2 1! d x 2! d x
(2) 三元函数的麦克劳林展开
r f ( x ) = f ( x1 , x 2 , x 3 ) 1 ∂ f (0, 0, 0) ∂ f (0, 0, 0) ∂ f (0, 0, 0) = f (0, 0, 0) + ( x1 + x2 + x3 ) ∂ x1 ∂x2 ∂ x3 1!
1 2 ∂ 2 f (0, 0, 0 ) ∂ 2 f (0, 0, 0 ) ∂ 2 f (0, 0, 0 ) 2 + [ x1 + x2 + x 32 2! ∂ x 21 ∂x 22 ∂x 23 ∂2 f ∂2 f ∂2 f + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3 + 2 x 2 x3 ]+L ∂ x1 ∂ x 2 ∂ x1 ∂ x 3 ∂ x 2 ∂ x3
在电荷分布区V内取一点为原点O 在电荷分布区V内取一点为原点O，则 1 1 v v = v x ′ < < x = R ，将 r v x − x′
r x
v 的任意函数，在 x′ = 0 点附近 v v ′ f x − x）的展开式为： （
1 的麦克劳林展开 r
(1) 一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开） 一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）
2 2 1 3 ∂2 1 Q 2 2 3z − R Qϕ = D33 2 = ( a − b ) R5 24πε 0 2 ∂z R 40πε 0 u r 又由于电荷分布关于原点对称，则 p = 0。
( 2)
Q 1 a2 − b2 3cos2 θ −1 ϕ 所以， = ϕ +ϕ +ϕ = + 。 3 4πε0 R 10 R
i
r ur ur uu r ur ur t D = 3 ∫ ∑ q i δ x − x i′ x i′ x ′j dv = 3 ∑ q i x i′ x i′。 i
(
)
D11 = 3∑ qi xi 2 = 0 xi = 0；
D12 = 3∑ qi xi yi = 0
i
yi = 0；
D 33 = 3∑ qi Z i 2 = 3 ( qb 2 − qa 2 − qa 2 + qb 2 ) = 6 q ( b − a )( b + a ) = bpl。
ϕ =
1 4 πε 0
∂2 1 pl ( ) 2 ∂z R
R= x +y +z
2
∂R z = ∂z R
1 定义一个新的电四极矩张量：由于∇ = 0，R ≠ 0。 R
2
1 i = j ∂2 1 2 1 引入δ ij = ，则∇ = 0可重写为： δ ij ∑ ∂x ∂x R = 0。 R 0 i ≠ j i j i, j
l = b + a是 电 偶 极 子 中 心 的 距 离 。
则ϕ
(2 )
1 ∂2 1 1 ∂2 1 = ∑ D ij ∂ x ∂ x R = 24πε D 33 ∂ Z 2 R 4πε 0 6 ij 0 i j 1
式 中 R= x 2 + y 2 + z 2 。
例 计算+q、-q组成的系统的电偶极矩。 u r ur P = ∫ ρ x′dv 解：
r uu r r uu r ′ ′ = ∫ qδ x − x+ − qδ x − x− uu uu r r ′ ′ = qx+ − qx− r = ql。
例 计算长为L的 均匀带电棒对中点 的偶极矩。
(
) (
Q 1 r 1 1 1 t 1 − p ⋅∇ + D :∇∇ +L 4 πε 0 R 4 πε 0 R 4 πε 0 6 R
=ϕ
(0)
+ϕ
(1)
+ϕ
(2)
+L
二、电多极矩 r ϕ x = ϕ( 0) +ϕ(1) +ϕ( 2) +L
()
( 0)
ϕ =
——体系为电荷集中于原点，在远处的电势。 4πε0 R ur ur P⋅R ϕ (1) = ——位于原点的电偶极子。 3 4πε 0 R 1 1 t 1 (2) ϕ = D : ∇∇ — — 电 四 极 矩 产 生 的 电 势 。 4πε 0 6 R
令 x2 + y2 = s2
⇒
1 1 2 D11 = D22 = − D33 = − ( a − b 2 ) Q则 2 5
ϕ
( 2)
1 ∂2 ∂2 ∂2 1 = D11 2 + D22 2 + D33 2 24πε 0 ∂x ∂y ∂z R
1 ∂ 2 ∂ 2 ∂2 1 1 = D33 − 2 + 2 + 2 。 24πε0 2 ∂x ∂y ∂z R
z b a + θ R
它与直接计算结果完全一致 （ l << R ）：
r+ r-
P
l
O -a -b +
x
1 r 1 1 − =− p ⋅ [∇ −∇ ] ϕ = 3 3 4π ε 0 r+ r− 4 π ε 0 r+ 4 π ε 0 r−
1 ∂ 1 1 =− p ( − ) 4 πε 0 ∂ z r+ r− r r ( p = pez )
定义：Dij = ∫ 3xi′x′j − r ′ δ ij
2
(
) ( )
ur ρ x′ dv′。
则ϕ
( 2)
ur ∂2 1 1 1 2 = 。 ∑ ∫ 3xi x′j − r ′ δ ij ρ x′ dv′ 4πε 0 6 i , j ∂xi ∂x j R
(
) ( )
① 这样新的D满足 D11 + D 22 + D33 = （称为无迹张量），因而Dij 只 0 有五个独立分量。