排列组合中的一题多解和一题多变.

排列组合中的一题多解和一题多变

正确熟练地运用两个原理来分析和解决排列组合的应用题，历来是高中数学教学中的难点，之所以难，主要是排列组合应用题的内容比较抽象，题型繁多，灵活多变，解题方法独特，与学生原有的解题经验甚不相同.因此，恰当充分运用一题多解和一题多变的教学方法，是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好方法.

教师在备课中，善于运用“直接法”和“排除法”，或从位置考虑、或从元素考虑，熟悉各种解法，做到胸有成竹，以便教学时有计划有步骤有目的地启发引导学生积极思考，探讨一题多解.

教学中，一题多解和一题多变往往可以结合运用，限于篇幅，这里仅举两例.

例1.有六种不同工作分配给6人担任，每个人只担任一种工作，且甲不能担任其中某两种工作，问有几种方法？

解法1：（元素分析直接法）先满足特殊元素甲，甲能担任的工作有4种，先分配甲，分配后，余下工作由其余5人分担，有A 55种分担方法，故共有分配方法数4A 55=4×5！

=480. 解法2：（位置分析直接法）先满足特殊“位置”（甲不能担任的某两种工作），由先除

甲之外的5人中任选2人分别担任甲不能担任的某两种工作，有A 25种方法，再由其余4人

（含甲）来分担余下四项工作，有A 44种方法，故共有分配法数A 25A 4

4=（5×4）4！=480 解法3：（元素分析排除法）先不考虑限制条件，每人分担一种工作，共有A 6

6种方法，

而其中包含甲担任了他不能担任的两种工作中的任一种，而其余五人分担剩下的工作有A 1

2A 5

5种情况，由加法原理（这里实际上用了减法）得共有分配方法种数

A 6

6－A 12A 55=（6－2）5！=480 解法4：（位置分析排除法）每人分担一种工作，共有A 6

6种方法，而除甲外的5人，每

次任选4人分别担任甲能胜任的四种工作，留下2人（含甲）担任剩下的两种工作，有A 2

2

45A 种方法，故共有分配方法种数：

22456

6A A A =6！－2×5！=480

解法5：（利用概率论的思想）每人分担一种工作，有A 6

6种方法，而甲担任每一种工作

的机会是均等的，都是总数的1/6，故共有分法种数：A 6

6×6

4=480

然后，可将原题的限制条件加上附加条件为“而乙只能担任该两项工作”，那么分配方法有几种？

解法1：4×2×A 44=8×24=192（种）

解法2：44221411A )A C C (=192（种）

（这里121411A C C 表示先由乙和除甲、乙外的4人中任选1人分担甲不能担任的某两项

工作，余下的四项工作包括甲在内的4人分担，有A 4

4种）

解法3：4414123514551266A C C )A C A C (A ++-

（.A C C ,A C C A C A C 44141

244141235145512故再加上重复减的中重复了和 这时排除法因

运算偏繁更易出错，故实际解题时并不可取）

例2.从8个女同学，10个男同学中选出5个代表参加学代会，其中：

（1）女同学甲与男同学A 都不可能当选，有几种选法？

（2）至少有一个女同学，有多少种选法？

（3）至多有3个男同学，有多少种选法？

解（1）（直接法）C 516=4368（种）

（间接法）C 316

417518C C 2+-（种） （注意避免遗漏和重复，错解为C 417

518316518C 2C C --或者，此法实际应用时并不可取）. （2）581104821038310284101

8C C C C C C C C C ++++（种）或510518C C -=8316（种）

（3）58481

103821028310C C C C C C C +++=6636（种）或)C C C (C 51018410518+-（种）

解完例2后，如果将原题中“选出5个代表参加学代会”改变为“选出5个同学分别担任班内5种不同工作”，那么各小题的结果呢？

这样，就由原来的纯组合题变成先取后排的排列组合综合题，它们都只要在原有各式的后面再乘以P 5

5就可得其解了.

教学时着重于分析，列出式子后可不必计算，留给学生课外去作计算检验.