北京工业大学工程力学复习

转角


y
max
[ ]
曲
积分常数
0 0, y 0 0 0 0, y 0 0
max
[ y]
1 2 , y1 y 2
B Ml EI Pl 2 2 EI ql 3 6EI
yB
Ml 2 EI Pl 3 3EI ql 4 8EI
2
A Ml 6 EI Pl 2 16 EI ql 3 24 EI
x 0
u x
， 相邻直角的改变量
1
一． 外力 ⑴ 轴向拉压 —— 外力合力作用线与杆轴线重合。 ⑵ 扭转 —— 外力偶（力矩）作用在⊥杆轴线的平面
N 9550 ( N m ) N : kW n m N 7024 ( N m) N : 马力 n
⑴斜截面上的应力




x
y
2

y

x
y
2
cos 2 x sin 2



x

2
sin 2 x cos 2
广义虎克定律
1( x )

1 [ ( 2 ( y ) 3( z ))] ; E 1( x )

2( y )

1 [ ( 1( x ) 3( z ))] E 2( y )
dQ P dP ，正应力 dN ；剪应力 dA A dA dA
工程应力与内力（正比）、截面几何性质（反比）成函数关系。 轴拉压 任 意 点

N A
剪切和挤压


bs
扭转

T
弯曲
p
Q ， A
P bs A bs
I
My IZ
T
Max

max

N
max
A

max
⑶ 剪切 —— 外力大小相等、方向相反，二力间距很小。 ⑷ 弯曲 —— 外力在杆轴面内且⊥轴线（此面为对称面）。 二．内力、截面法、内力图
N —— 轴力，拉为正，压为负 T —— 扭矩，右手法则 Q —— 剪力，左上右下“正”；左下右上“负” M —— 弯矩，
+ -
2
三．应力 通式
p lim
A 0


P M A W
r
r

3
2 4 [ ]

2
2
r
3
( M N ) 2 4 [ ]
2

4
3
2
[ ]
r
r
r
4
( M N ) 2 3 [ ]
( M N 2 T ) 4( ) 2 WZ A Wt
M N 2 T ) 4( ) 2 WZ A Wt

W

t
max

M
W
z
3
四．变形和刚度条件
基本变形 轴 向 拉 压 圆 轴 扭 转 弯
d y M ( x) EI z dx 2
2
基本变形方程
d ( l ) Ndx EA
变形计算 轴向变形 l l
N dx EA Nl Nl ， l i i l EA Ei Ai
刚度条件
M 2 0.75T 2 [ ] WZ
2
2
3
[ ]
(
4

4
[ ]
10
十、压杆稳定
Pcr
2 EI min a s P 2E ul E P , , , , 0 , n cr n w , [ ] 2 2 cr i b A PI ( l )
l [ l ]
' ,
'
扭转角 L
d Tdx GI p
T dx GI p
Nl T i i ， Gi Ipi l GI p
max [ ]

max

Tmax 180 [ ] GI p
M ( x) dx C EI z M ( x) 挠度 y dxdx Cx D EI z
第三 最大剪应力
屈服或显著塑性变形 第四 形状改变比能
其他 莫尔
破坏因素
1
1 1

max

u f u0 f
1 [(1 2 )2 (2 3)2 (3 1)2 2
1
b 3 b bc
[ t ] 3 [ c ]
3 1 3
2
强 度 条 件 中 性 轴

max
M max (
cos sin ) WZ Wy

max

Pmax M max A W
2 Z
圆截面
[ ]
tg I y Z tg Z Iy
[ ]
y* IZ i Ae y ey
r
r

3
M T [ ] WZ
7
七．截面几何性质
⑴静矩和形心位置 ⑵极惯性矩和轴惯性矩
A
S z ydA; S y ZdA 或
A
I dA
A
A
2
⑶平行移轴公式 条件 ①有一形心轴 ②二轴平行
（4）转轴公式
S z Ai y i ; S y Ai Z i
I Z y 2 dA ;
2 A
11
A Ai yci
I y I yc b 2 A
I zy I Z c yc abA
I y1

cos 2 I Zy sin 2
主轴位置 tg 2 0
2 I Zy IZ I y
I Z I y I Z1 I y1
I Z1 y1
（相似
IZ I y 2
x y
2
)2 x
2
⑶三向应力状态

1

min
3

max
1
3 2
5
应力公式简表
变形 轴 向 拉 压 假设 应变公式 应力分布与公式 应用条件 N 外力合力作用线 与杆轴线重合
=常数
横截面保持为平面，并沿杆轴线 相对移动

N A
圆 轴 扭 转

横截面在原位置饶轴线做相对转 动，保持为平面
强度条件
1 [ ]
脆材、 塑材三 向受拉
1 3 [ ]
4
M 1
1 [( 1 2)2 (2 3)2 (3 1)2 [t ] 2
塑材 塑材、脆材三向受压
1
[ t ] 3 [ t ] [ c ]
使用范围
有压应力或以压应力 为主的脆断材料的许 多拉应力或许多压应 力不等。

sin a2 I Zy cos 2
）
截面图形
4
I
Wt
IZ
WZ
D h
d
d 32 D 4 (1 4 ) d D 32
d 16 D 3 (1 4 ) 16
3
Z b
d 64 D 4 (1 4 ) 64 bh 3 12
4
d 32 D 3 (1 4 ) 32 bh 2 6
2. 重要概念：
材力任务：运用强度、刚度、稳定性理论解决构件安全与经济的矛盾。 内力 —— 外力作用引起物体内部相互作用的力。 应力 —— 内力在截面上分布的集度。 变形 —— 外力作用下物体形状尺寸发生变化。 位移 —— 由于变形物体某点处在空间位置所发生的变化。 应变 —— 单位变形量的衡量。 lim
y (中) B
Ml 2 Ml 16 EI 3EI Pl 3 48 EI 5ql 4 384EI
4
五．应力状态
单向应力状态 符号 ⑴ 拉为正


cos 2
⑵ τ 单元体顺时针+，逆时针⑶ α 自 x 轴逆时针+，顺时针-。


1 sin 2 2
纯剪状态


x sin 2 ； x cos 2
材料力学复习
1. 基本假设： 连续均匀性 —— 物体所占几何空间连续无隙，力学性能处处相等。（可用连续函数） 各向同性 —— 物体各个方向上的力学性能是相同的。（材料性能常数可通用） 小变形 —— 物体的变形比起物体本身尺寸很小。（平衡条件用原尺寸）
弹性变形 —— 物体受力后，当外力去掉完全可以恢复的变形。 塑性变形 —— 物体受力后，当外力去掉不可以恢复的变形。
I Z1
IZ I y 2
IZ Iy 2

IZ I y 2
IZ I y 2
cos 2 I Zy sin 2
I Z I Zc a A
2
（相似 ）
yc
S
A
ydA ; Zc
S
A
ZdA I y Z dA
A 圆形 I 2 I Z Ai Z ci W 2W Z yc ;Zc A A i i
柔度是一个与杆件长度、约束、截面尺寸、形状有关的数据，λ↑Pcr↓σcr↓ 提高杆件稳定性的措施有 1、减少长度 2 、选择合理截面 3、加强约束 4、合理选择材料
十一、交变应力
金属疲劳破坏特点：破坏应力小于静荷强度；断裂前无显著塑性变形；断口成光滑区和粗糙区。 循环特征 r min ；平均应力 m max min ； 应力幅度 max min 2 2 max 材料疲劳极限：材料经无限次应力循环而不发生疲劳破坏的应力极限值。 0 0 1 k 1 ; 1 k 1 提高构件疲劳强度的主要措施：减缓应力集中；提高表面光洁度；增强表面强度。