第二章 信号的时域分析
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第二章 信号与系统的时域分析
17
二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t
x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，
二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t
x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，
信号时域分析
0 t 2T otherwise
y(t) x(t) h(t) x( )h(t )d
x(t )h( )d h( )
如果用图解法做:
x( )
x(t )
2T
0
2T
1
T
t T 0 t
① 当 t 0 时， y(t) 0
② 当 0 t T 时， y(t)
t
d
1 t2
③ 当T t 2T 时， y(t)
第二章 信号与系统的时域分析
§2.1 信号的时域分解:
一.用(t) 表示连续时间信号:
结论:以上讨论表明,任何连续时间信号可以分解成无数
多个移位、加权的单位冲激之和,解决了连续时间信号时
域分解的问题.
二.用(n) 表示离散时间信号:
u可(n以) 由 线(性n)组合构成即：
n
u(n) (k) (n k)
x(t t0 ) (t t1) x(t t0 t1)
若: y(t) x(t)h(t)
则: x(t t1) h(t t2) y(t t1 t2)
证 : x(t t1) h(t t2 ) [x(t) (t t1)][h(t) (t t2 )] [x(t) * h(t)]*[ (t t1) * (t t2 )];结合率 y(t) *[ (t t1) * (t t2 )]
1 t2 Tt 2
5.t 2T y(t) 0
h(t)
T
求y(t)=?
T
h(t )
t-T
-T 0 tT
h(t )
t T t T T
t T t T T
-T t-T T t
h(t ) t T T
-T
T t-T t
第二章 信号与系统的时域分析
3信号分析基础2(时域相关分析)
因此，有
T
0
x (t )dt S x ( f )df
2
1 2 S x lim X f T T
信号的频域分析
自功率谱密度函数是偶函数,它的频率范围 (,) ， 又称双边自功率谱密度函数。它在频率范围 (,0) 的函数值是其在 (0, ) 频率范围函数值的对称映射， 因此 Gx ( f ) 2Sx ( f ) 。
x(t - τ)
自相关函数的性质 自相关函数为实偶函数
Rx ( ) Rx ( )
1 T 证明： Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt T T 0 1 T lim x(t ) x(t )d (t ) T T 0 Rx ( )
波形变量相关的概念（相关函数 ）
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数， 即x(t)与y(t)：
x(t)
y(t)
2.4信号的时差域相关分析 这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为 函数的相关系数，简称相关函数，并有：
x ( t ) y ( t ) dt xy ( ) 2 [ x ( t ) dt y 2 ( t ) dt ]1/ 2
2 2 x x
自相关函数的性质
周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数
1 Rx ( nT ) lim T T 1 lim T T
T 0 T 0
x(t nT ) x(t nT )d (t nT ) x(t ) x(t )d (t ) Rx ( )
相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。
x(t) y(t) y(t) y(t) y(t)
2.2.2 自相关(self-correlation)分析
T
0
x (t )dt S x ( f )df
2
1 2 S x lim X f T T
信号的频域分析
自功率谱密度函数是偶函数,它的频率范围 (,) ， 又称双边自功率谱密度函数。它在频率范围 (,0) 的函数值是其在 (0, ) 频率范围函数值的对称映射， 因此 Gx ( f ) 2Sx ( f ) 。
x(t - τ)
自相关函数的性质 自相关函数为实偶函数
Rx ( ) Rx ( )
1 T 证明： Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt T T 0 1 T lim x(t ) x(t )d (t ) T T 0 Rx ( )
波形变量相关的概念（相关函数 ）
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数， 即x(t)与y(t)：
x(t)
y(t)
2.4信号的时差域相关分析 这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为 函数的相关系数，简称相关函数，并有：
x ( t ) y ( t ) dt xy ( ) 2 [ x ( t ) dt y 2 ( t ) dt ]1/ 2
2 2 x x
自相关函数的性质
周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数
1 Rx ( nT ) lim T T 1 lim T T
T 0 T 0
x(t nT ) x(t nT )d (t nT ) x(t ) x(t )d (t ) Rx ( )
相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。
x(t) y(t) y(t) y(t) y(t)
2.2.2 自相关(self-correlation)分析
信号与系统-第2章
f (t)
K
两式相加:
cosωt =
1 2
(e
jωt
+
e
jωt )
(2-4)
0 K
t
两式相减:
sinωt =
1 2j
(e
jωt
－e
jωt )
(2-5)
(3) 复指数信号: f(t) = Ke st = Ke (σ+ jω)t
= Keσt (cosωt + j sinωt)
当 σ > 0 时为增幅振荡 ω = 0 时为实指数信号 σ < 0 时为衰减振荡
2
01
t
f(
1 2
t)
=
1 2
t
0
0＜t ＜4 其它
f(12 t)
2 0
4t
注意: 平移、反折和展缩都是用新的时间变量去代换原来的
时间变量, 而信号幅度不变.
t +2 －2＜t＜0 例2-5：已知 f(t) = －2t + 2 0＜t＜1
f (t)
2
0
其它
－2 0 1
t
求 f(2t－1),
f(
1 2
(1) 相加和相乘
信号相加: f t f1t f2 t fn t 信号相乘: f t f1t f2 t fn t
0 t＜0 例2-1：已知 f1(t) = sint t ≥ 0 , f2(t) =－sint, 求和积.
解: f1(t) + f2(t) =
－sint 0
t＜0 t≥0
0
t＜0
f1(t) f2(t) = －sin2t t ≥ 0 也可通过波形相加和相乘.
∞ t=0 作用: 方便信号运算.
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
2．单位冲激信号 1) 单位冲激信号(Delta函数)的定义
∞ δ (t )dt = 1 ∫ ∞ (2-14) δ (t ) = 0 t ≠ 0 冲激信号用箭头表示，如图2.8(a)所示。冲激信号具有强度，其
强度就是冲激信号对时间的定积分值。在图中以括号注明，以与信 号的幅值相区分。 冲激信号可以延时至任意时刻 t0 ，以符号 δ (t t 0 ) 表示，定义 为
Ae st = Ae(σ + jω
0 )t
= Aeσ t cos(ω0 t ) + jAeσ t sin(ω0 t )
(2-8)
式(2-8)表明，一个复指数信号可以分解为实部﹑虚部两部分。 实部﹑虚部分别为幅度按指数规律变化的正弦信号。若 σ < 0 ，复指 数信号的实部﹑虚部为减幅正弦信号，波形如图2.4(a)﹑(b)所示。 若 σ > 0 ，其实部﹑虚部为增幅正弦信号，波形如图2.4(c)﹑(d)所 示。
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
4．抽样函数 抽样函数是指 sin t 与 t 之比构成的函数，其定义如下：
sin t Sa(t ) = t
抽样函数的波形如图2.5所示。
(2-10)
图2.5 抽样函数的波形 抽样函数具有以下性质：
Sa(0) = 1， Sa(kπ) = 0 ，k
= ±1, ±2,L ∫∞ Sa(t )dt = π
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
应用阶跃信号与延时阶跃信号，可以表示任意的矩形波脉冲信号。 例如，图2.7(a)所示的矩形波信号可由图2.7(b)表示,即 :
f (t ) = u (t T ) u (t 3T )
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
函数
3、 非周期离散信号的傅里叶变换:频率函数是周期的连续函数 4、 离散周期序列的傅里叶变换:具有既是周期又是离散的频谱，即
时域和频域都是离散的、周期的 规律：一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓。 1、如果信号频域是离散的，则该信号在时域就表现为周期性的时间函 数。 2、在时域上是离散的，则该信号在频域必然表现为周期性的频率函 数。 3、如果时域信号离散且是周期的，由于它时域离散，其频谱必是周期 的，又由于时域是周期的，相应的频谱必是离散的， 4、离散周期序列一定具有既是周期又是离散的频谱，即时域和频域都 是离散周期的。
对于，将以为周期进行周期延拓，得到所示的周期序列， 周期为16， 求的DFS。 可以看出，在时，处频谱的幅度和处是一样的。也就是说，点数越多， 频谱越精确。
..2 离散周期序列的傅里叶变换 各种形式的傅里叶变换 1、 非周期实连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是一个非周期的连续
函数 2、 周期性连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是非周期性的离散频率
例：设， f0=50 Hz，以采样频率对进行采样， 得到采样信号和时域离 散信号， 求)、和的傅里叶变换的FT。
2.5 序列的Z变换 双边Z变换的定义：序列x(n)的Z变换定义为： 式中：z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中，对 n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。
为单边Z变换： 适用于因果序列，如果不特别强调，均用双边Z变换对信号进行分析和 变换。 Z变换成立条件： Z变量取值的域称为收敛域。 一般收敛域用环状域表示
在模拟系统中， 的傅里叶变换为 对于时域离散系统中， ，它的傅立叶变换 对于
（
例：求对进行的周期延拓后的周期序列的傅立叶变换FT 注意：对于同一个周期信号， 其DFS和FT分别取模的形状是一样的， 不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。 因此周期序列 的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数 的画法。 例：设 ，为有理数，求其FT 物理含义：的FT是在处的单位冲激函数，强度为π，且以2π为周期进行 延拓。
3、 非周期离散信号的傅里叶变换:频率函数是周期的连续函数 4、 离散周期序列的傅里叶变换:具有既是周期又是离散的频谱，即
时域和频域都是离散的、周期的 规律：一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓。 1、如果信号频域是离散的，则该信号在时域就表现为周期性的时间函 数。 2、在时域上是离散的，则该信号在频域必然表现为周期性的频率函 数。 3、如果时域信号离散且是周期的，由于它时域离散，其频谱必是周期 的，又由于时域是周期的，相应的频谱必是离散的， 4、离散周期序列一定具有既是周期又是离散的频谱，即时域和频域都 是离散周期的。
对于，将以为周期进行周期延拓，得到所示的周期序列， 周期为16， 求的DFS。 可以看出，在时，处频谱的幅度和处是一样的。也就是说，点数越多， 频谱越精确。
..2 离散周期序列的傅里叶变换 各种形式的傅里叶变换 1、 非周期实连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是一个非周期的连续
函数 2、 周期性连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是非周期性的离散频率
例：设， f0=50 Hz，以采样频率对进行采样， 得到采样信号和时域离 散信号， 求)、和的傅里叶变换的FT。
2.5 序列的Z变换 双边Z变换的定义：序列x(n)的Z变换定义为： 式中：z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中，对 n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。
为单边Z变换： 适用于因果序列，如果不特别强调，均用双边Z变换对信号进行分析和 变换。 Z变换成立条件： Z变量取值的域称为收敛域。 一般收敛域用环状域表示
在模拟系统中， 的傅里叶变换为 对于时域离散系统中， ，它的傅立叶变换 对于
（
例：求对进行的周期延拓后的周期序列的傅立叶变换FT 注意：对于同一个周期信号， 其DFS和FT分别取模的形状是一样的， 不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。 因此周期序列 的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数 的画法。 例：设 ，为有理数，求其FT 物理含义：的FT是在处的单位冲激函数，强度为π，且以2π为周期进行 延拓。
信号与系统 时域分析
主要用于描述（1）信号的重复，（2）周期信号 的一个周期与其卷积后表示周期信号。
2. 周期冲激信号定义
δ T ( t − t0 ) = ∑ δ ( t − t0 -nT )
−∞
∞
（2－1－7）
δT ( t )
3. 周期冲激信号波形
−T
0 T
2T
3T
t
2 信号与系统的时域分析
2.1.3 阶跃信号
1.阶跃信号（Step Signal）描述
（4）尺度特性
1 δ (at ) = δ ( t ) a b 1 δ (-at + b) = δ ( t − ) a a
2 信号与系统的时域分析
4. 冲激信号的性质
（5）冲激偶函数
dδ (t ) δ (t ) = dt
'
冲激函数的微分为具有正、负极性的一对冲激 （其强度无穷大），称作冲激偶函数。
Aδ ( t )
2.1.3 阶跃信号
4. 阶跃信号波形
Au( t − t0 )
A
0
A u[ n − N 0 ]
t0
连续
t
离散
2 信号与系统的时域分析
2.1.3 阶跃信号
5. 冲激信号和阶跃信号的关系
冲激信号的积分是阶跃信号：
U (t) =
∫
t −∞
δ (τ ) d τ
阶跃信号的微分为冲激信号：
dU ( t ) δ (t) = dt
（2－1－11）
2 信号与系统的时域分析
2.1.4 符号信号
3.符号信号波形
ASgn( t )
A
0 −A
连续
A Sgn[ n ]
t
离散
2 信号与系统的时域分析
2. 周期冲激信号定义
δ T ( t − t0 ) = ∑ δ ( t − t0 -nT )
−∞
∞
（2－1－7）
δT ( t )
3. 周期冲激信号波形
−T
0 T
2T
3T
t
2 信号与系统的时域分析
2.1.3 阶跃信号
1.阶跃信号（Step Signal）描述
（4）尺度特性
1 δ (at ) = δ ( t ) a b 1 δ (-at + b) = δ ( t − ) a a
2 信号与系统的时域分析
4. 冲激信号的性质
（5）冲激偶函数
dδ (t ) δ (t ) = dt
'
冲激函数的微分为具有正、负极性的一对冲激 （其强度无穷大），称作冲激偶函数。
Aδ ( t )
2.1.3 阶跃信号
4. 阶跃信号波形
Au( t − t0 )
A
0
A u[ n − N 0 ]
t0
连续
t
离散
2 信号与系统的时域分析
2.1.3 阶跃信号
5. 冲激信号和阶跃信号的关系
冲激信号的积分是阶跃信号：
U (t) =
∫
t −∞
δ (τ ) d τ
阶跃信号的微分为冲激信号：
dU ( t ) δ (t) = dt
（2－1－11）
2 信号与系统的时域分析
2.1.4 符号信号
3.符号信号波形
ASgn( t )
A
0 −A
连续
A Sgn[ n ]
t
离散
2 信号与系统的时域分析
第二章：信号的时域分析方法
信号的幅值概率密度函数在工程实际中我们所测得的许多信号是随机信号其幅值取值的概率有一定的规律性即同一过程的多次观察中信号中各种幅值出现的频次将趋于确定值
第二章：信号的时域分析方法
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 信号的分类 信号的获取 信号的时域参数分析 信号的相关分析 时域平均 信号的预处理
Rx (t1，t1 +τ ) = Rx (τ )
1 µ x (t 1 ) = lim N →∞ N
Rx (t1， t1 +τ) = lim
1 xk (t1 )xk (t1 +τ) ∑ N→ ∞N k−1
k =1 N
∑ x (t )
k 1
N
信号的获取过程
信号的获得及处理过程如下图所示
信号预处理 A/D
φ
k
=
1 π
t t x(t ) = sin + sin 3 5
周期为30π
一.确定性信号
2.准周期信号 当若干个周期信号叠加时，如果它们的周期的最 小公倍数不存在（T→∞），则和信号不再为周 期信号，但它们的频率描述还具有周期信号的特 点，称为准周期信号。例：下式由两个谐波成分 组成，式中的 T1与T2的最小公倍数→∞，所以 为准周期信号。
5 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 ÿ
三.采样长度与频率分辨率
分析频 率范围
fc （Hz）
2.3信号的时域参数分析
数 2048 △T（s） △f(Hz) 80 40 16 8 4 1.6 0.8 0.4 0.16 0.08 0.04 0.016 0.008 0.0125 0.025 0.0625 0.125 0.25 0.625 1.25 2.5 6.25 12.5 25 62.5 125
第二章：信号的时域分析方法
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 信号的分类 信号的获取 信号的时域参数分析 信号的相关分析 时域平均 信号的预处理
Rx (t1，t1 +τ ) = Rx (τ )
1 µ x (t 1 ) = lim N →∞ N
Rx (t1， t1 +τ) = lim
1 xk (t1 )xk (t1 +τ) ∑ N→ ∞N k−1
k =1 N
∑ x (t )
k 1
N
信号的获取过程
信号的获得及处理过程如下图所示
信号预处理 A/D
φ
k
=
1 π
t t x(t ) = sin + sin 3 5
周期为30π
一.确定性信号
2.准周期信号 当若干个周期信号叠加时，如果它们的周期的最 小公倍数不存在（T→∞），则和信号不再为周 期信号，但它们的频率描述还具有周期信号的特 点，称为准周期信号。例：下式由两个谐波成分 组成，式中的 T1与T2的最小公倍数→∞，所以 为准周期信号。
5 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 ÿ
三.采样长度与频率分辨率
分析频 率范围
fc （Hz）
2.3信号的时域参数分析
数 2048 △T（s） △f(Hz) 80 40 16 8 4 1.6 0.8 0.4 0.16 0.08 0.04 0.016 0.008 0.0125 0.025 0.0625 0.125 0.25 0.625 1.25 2.5 6.25 12.5 25 62.5 125
信号与线性系统分析+课件(第四版)吴大正第二章_连续系统的时域分析
• y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t= (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t
• • • • •
将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0 解得C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0 注：上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0， 因而也不能区分自由响应和强迫响应。
• 解: (1) 特征方程为λ 2 + 5λ + 6 = 0 其特征根λ 1= – 2， • λ 2= – 3。齐次解为 • yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t ？？ • 因为f(t) = 2e – t，故其特解可设为 • yp(t) = Pe – t • 将其代入微分方程得 • Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得P=1 • 于是特解为yp(t) = e – t
三、零输入响应
• • • • y(t) = yzs(t) + yzi(t) 。 零输入响应，对应的输入为零，所以方程为 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t)＝0 若其特征根都为单根，则零输入响应为：
y zi (t ) C zij e
• 自由响应 强迫响应
注意：自由响应的系数Cj由系统的初始状态和激 励信号共同来确定
• • • • •
将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0 解得C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0 注：上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0， 因而也不能区分自由响应和强迫响应。
• 解: (1) 特征方程为λ 2 + 5λ + 6 = 0 其特征根λ 1= – 2， • λ 2= – 3。齐次解为 • yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t ？？ • 因为f(t) = 2e – t，故其特解可设为 • yp(t) = Pe – t • 将其代入微分方程得 • Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得P=1 • 于是特解为yp(t) = e – t
三、零输入响应
• • • • y(t) = yzs(t) + yzi(t) 。 零输入响应，对应的输入为零，所以方程为 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t)＝0 若其特征根都为单根，则零输入响应为：
y zi (t ) C zij e
• 自由响应 强迫响应
注意：自由响应的系数Cj由系统的初始状态和激 励信号共同来确定
信号与系统第二章
§2.1 经典时域解法
2 连续时间信号与系统的时域分析
2.1.1 微分方程式的建立与求解
1．物理系统的模型
•许多实际系统可以用线性系统来模拟。
•若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用
线性常系数微分方程来描述。
2 连续时间信号与系统的时域分析
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 •对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络
2 连续时间信号与系统的时域分析
2 冲激函数匹配法 配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t) 及各阶导数应该平衡.
【例】
d y t 3 y t 3 t 已知y0 , 求y0 dt
ut : 表示0 到0 相对单位跳变函数
该过程可借助数学描述
所以系统响应的完全解为
需要注意的: 特解的函数形式由系统所加的激励决定，齐次解 的函数形式完全取决于特征方程的根。 由于构成系统的各元件本身所遵从的规律、系统 的结构与参数决定了微分方程的阶次与系数，因此， 齐次解只与系统本身特性有关。
2 连续时间信号与系统的时域分析
2.1.2 从 到 状态的转换
2 连续时间信号与系统的时域分析
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 注意重根情况处理方法。 特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。
完全解:齐次解和特解相加, 齐次解中的待定系数可通过初始条件求得.
在系统分析中，响应区间定义为激励信号 加 入后系统的状态变化区间。系统响应的求解区间为
a 3 即 b 9 c 9
即 y0 y0 9
2 连续时间信号与系统的时域分析
冲激函数匹配法实现过程中应注意的问题： (1) 对于冲激函数只匹配 及其各阶导数项， 微分方程两端这些函数项都对应相等。 (2) 匹配从方程左端 的最高阶项开始，首 先使方程右端冲激函数最高阶次项得到匹配,在已 匹配好的高阶次冲激函数项系数的条件下，再匹配 低阶项。 (3) 每次匹配方程低阶冲激函数项时，如果方 程左端所有同阶次冲激函数各项系数之和不能和右 端匹配，则由左端 高阶项中补偿。
第二章信号的时域分析(1)
(3)4 e 2t (t 8)dt
(4)
t e
6
(7)e 4t (2 2t )
(8)e 2t u(t ) (t 1)
23
(2 2t )dt
解:
(1)
sin(t )
π π (t )dt sin( ) 2 / 2 4 4
③ 冲激信号的物理意义：
表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型。
16
二、奇异信号
2. 冲激信号
(4) 冲激信号的极限模型
f (t ) 1 2
h (t )
2
g (t ) 1
t
1/
t
t
(t ) lim f (t ) lim g (t ) lim h (t )
t
du (t ) (t ) dt
22
[例] 计算下列各式
(1)
sin(t )
π (t )dt 4
(5)
2 2 (t 2
t 3t ) ( 1)dt 3
(2)
3 5t e 2
(t 1)dt
(6)(t 3 2t 2 3) (t 2)
t 0
3
一、典型普通信号
2. 正弦信号
A: 振幅
x(t ) A sin( 0t )
:初始相位
周期信号
t 0 0
0:角频率
A
x (t ) sin(0t )
T0
2π
0
4
A
一、典型普通信号
3. 指数类信号 — 实指数信号
信号与系统(教案) 第二章
二、图解机理
用图形方式理解卷积运算过程，包括以下6个步骤： Step1：换元。画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴 改换成τ轴，分别得到f1(τ)和f2(τ)。 Step2：翻转。将f2(τ)波形以纵轴为中心轴翻 180°，得 到f2(-τ)波形。 4
信号与系统
2.2
卷积积分
Step3:平移。给定t值,将f2(-τ)波形沿τ轴平移|t|。
卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质 （或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。 下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
性质1.卷积代数 满足乘法的三律： 1. 交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t) 2. 分配律： f1(t)*[ f2(t)+ f3(t)] =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t) 3. 结合律： [f1(t)* f2(t)]* f3(t)] =f1(t)*[ f2(t) * f3(t)]
1.奇异信号
单位冲激信号 (t), 单位阶跃信号 (t).
2.正弦信号
也称为虚指数信号。 f (t ) A cos( t ) A [e j (t ) e j (t ) ] 2
式 中A、和分 别 为 正 弦 信 号 的 振 幅 角 频 率 和 初 相 。 、 f ( t )是 周 期 信 号 ， 其 周 期 2 T＝
1 0
f 1(t)
2
t
14
信号与系统 例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) 解： f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1) f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1)
2.2 卷积积分 2.2 卷积积分
信号分析与处理-信号的时域分析
第二章信号的时域分析◆典型、基本信号（连续、离散）◆信号的时域运算和分解
◆连续系统的时域分析
◆离散系统的时域分析
§ 2.1 典型基本信号
rt
ωrt
θ
ω
θ
周期复指数信号( a＝±jω)
at
at
)(
f=
t
Ce
奇异信号:本身、其导数或其积分有不连续点的函数。
▪单位阶跃信号▪符号函数▪斜变信号▪单位冲激信号▪冲激偶信号
奇异信号
G
)(t
已知f（t）在（0，t）区间按e－t规律变化，试写出
3斜变信号
4单位冲激信号奇异信号
0τ
)
(t δ
定义：
（2）狄拉克（Dirac）定义
⎪⎩⎪⎨⎧≠==⎰∞+∞
-0
0)(1)(t t dt t δδ)
(t δ)
1(0
t
)
(t δ)
1(0
t
t ⎪⎩⎪⎨⎧≠=-=-⎰∞+∞-0
000)(1)(t t t t dt t t δδ移位的冲激信号：
δ
)(t
δ
)(t
t
d δ=
t)(
)('δ
应用冲激信号的抽样性，求下列表示式的函数值：练习
二离散时间信号u(n)常用来表示序列
的定义域。
离散时间信号
β
αj =
C+。
2. 随机信号分析_随机信号的时域分析
2· 4、随机过程的数字特征 1·
一、数学期望
如果将过程X(t)中的 t 看成是固定的，则 X(t)就是一个随机变量， 它随机的取值x，其在 t 时刻取x值的概率密度为 f X ( x, t ) 。 据期望的定义： E[ X (t )]
x f X ( x, t )d mX (t )
X (t ) X (t1 ) 0 t1 X (t 2 ) t2 X (ti ) ti X (t n ) tn t
随机过程X(t)在任意n个时刻t1,t2,…,tn状态X(t1) ,X(t2) ,…,X(tn)构 成n维随机变量[ X(t1),X(t2),…,X(tn) ]，当t0,n ∞时的 n维随 机变量近似随机过程。因此，可以借用对n维随机变量的分析研 究来“替代”或“近似”对随机过程的分析研究。 一、随机过程的一维分布
整个时间段T上，任意两个时刻的状态的联合概率分布情况。
所以定义随机过程X(t) 二维分布函数：
FX ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) P{X (t1 ) x1 ; X (t 2 ) x2 }......... .........1 , t 2 T t
随机过程X(t) 二维概率密度：
E[ X (t )] x 2 f X ( x, t )dx
2
将t视为变量时，即为过程X (t)的均方值。 同理，过程X(t)的方差：
D[ X (t )] E{[ X (t ) mX (t )] } [ x mX (t )]2 f X ( x, t )dx X 2 (t )
可见随机过程必定是两个参变量的函数X(t，)， t∈T，∈S。 对于某个时刻t=ti， X(ti，) －通常称为随机过程X(t，)在t=ti时刻 的“状态”。它仅是参变量的函数，对所有实验结果∈S而言， 它随机地取{X(ti ，1) ， X(ti ，k)，… ， X(ti，n)} 中的任一个 “值” 所以随机过程X(t，)在t=ti时刻的“状态” －X(ti，) 是定义 在S上的一个“随机变量”Xi。 而随机过程X(t，)在t=tj时刻的 “状态” － X(tj，)是定义在S上的另一个“随机变量”Xj 。随着t 的变化，得到一个个不同的“状态” ——X(t1，) ,…,X(ti，), …, X(tn，)是一个个不同的随机变量X1,X2, …, Xm。所以又可以将随机 过程X(t，)看成一个“随时间变化的随机变量X(t) ”。对于随机过 程X(t)而言： 固定， t变化。 ———一个确定的时间函数。 t 固定， 变化。 ———一个随机变量（状态）。 t固定， 固定。 ———一个确定的值。… ， X(t， n)}， t变化， 变化。 ———随机过程（一族时间函数的总体， 或随时间变化的随机变量） 一般随机变量写成:X,Y,Z。一般随机过程写成:X(t),Y(t),Z(t) 一般样本函数写成: x(t ), y(t ), z (t )
第2章-连续时间信号与系统的时域分析PPT课件
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号 第二节 LTI连续系统的时域响应 第三节 冲激响应与阶跃响应 第四节 卷积积分及其应用
-
1
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号
一、单位阶跃函数与单位冲激函数
单位阶跃信号 (unit step function)用(t)表
求：当f(t)=t2,y(0+)=1,y’(0+)=1时的全解。
例5：已知某LTI连续系统的方程为
y ( t ) 4 y ( t ) 4 y ( t ) 2 f ( t ) 8 f ( t )
求：当f(t)=e-t,y(0+)=3,y’(0+)=4时的全响应。
-
15
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例6：如图所示电路图，其中R=5，L=1H，
C=1/6F,is(t)=4A,uc(0-)=0,i(0-)=0，电感电流
为i(t)为响应，求系统全响应。
+ uR(t) -
解：激励is(t)，响应i(t)
ic(t)is(t)i(t)
iS(t)
ic(t)
R
+
C vc(t)
-
i(t) + L uL(t) -
-
21
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例9：描述某线性时不变系统的微分方程为： y”(t)+4y’(t)+3y(t)=f’(t)+4f(t)
已知输入： f(t)=2e-2t(t)
y(0+)=1 y’(0+)=7 (1)求系统的零状态响应yf(t)； (2)求系统的零输入响应yx(t)； (3)全响应y(t)。
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号 第二节 LTI连续系统的时域响应 第三节 冲激响应与阶跃响应 第四节 卷积积分及其应用
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第二章连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号
一、单位阶跃函数与单位冲激函数
单位阶跃信号 (unit step function)用(t)表
求：当f(t)=t2,y(0+)=1,y’(0+)=1时的全解。
例5：已知某LTI连续系统的方程为
y ( t ) 4 y ( t ) 4 y ( t ) 2 f ( t ) 8 f ( t )
求：当f(t)=e-t,y(0+)=3,y’(0+)=4时的全响应。
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第二章连续时间信号与系统的时域分析
例6：如图所示电路图，其中R=5，L=1H，
C=1/6F,is(t)=4A,uc(0-)=0,i(0-)=0，电感电流
为i(t)为响应，求系统全响应。
+ uR(t) -
解：激励is(t)，响应i(t)
ic(t)is(t)i(t)
iS(t)
ic(t)
R
+
C vc(t)
-
i(t) + L uL(t) -
-
21
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例9：描述某线性时不变系统的微分方程为： y”(t)+4y’(t)+3y(t)=f’(t)+4f(t)
已知输入： f(t)=2e-2t(t)
y(0+)=1 y’(0+)=7 (1)求系统的零状态响应yf(t)； (2)求系统的零输入响应yx(t)； (3)全响应y(t)。
信号与系统 第二章 线性时不变系统的时域分析
r
外加信号 常数A
特解 常数B
r 1i k t i r 1 i 1
tr
sin t或cos t
eλt
k1 cost k2 sin t keλt， λ不是方程的特征根 kteλt， λ是方程的特征根
k t
i 1 i
r 1
r 1i t
e ， λ是方程的r阶特征重根
一、微差分方程的建立以及经典解法
'' 1
di1 (t ) 1 t L i2 ( )d R2i2 (t ) f (t ) dt C
一、微差分方程的建立以及经典解法
1 (2) Li (t ) i2 (t ) R2i2 ' (t ) f ' (t ) C 1 ( R2i2 i2 ( )d ) 1 U C i2 (t ) y (t ) (3) i1 i2 i2 (4) R2 R1 R1
(1)
t
i ( )d
1 (2) Li (t ) i2 (t ) R2i2 ' (t ) f ' (t ) C 1 ( R2i2 i2 ( )d ) 1 U C i2 (t ) y (t ) (3) i1 i2 i2 (4) R2 R1 R1
例题，已知线性时不变系统方程如下： y˝(t)+6y΄(t)+8y(t)= f(t), t>0. 初始条件y(0)=1， y΄(0)=2，输入信号f(t)=e-tu(t) , Q求系统的完全响应y(t)。
解：1）求方程的齐次解 特征方程为：m2+6m+8=0 显然特征根为：m1=-2，m2=-4
故原方程的齐次解为：yn(t)= Ae-2t+Be-4t
外加信号 常数A
特解 常数B
r 1i k t i r 1 i 1
tr
sin t或cos t
eλt
k1 cost k2 sin t keλt， λ不是方程的特征根 kteλt， λ是方程的特征根
k t
i 1 i
r 1
r 1i t
e ， λ是方程的r阶特征重根
一、微差分方程的建立以及经典解法
'' 1
di1 (t ) 1 t L i2 ( )d R2i2 (t ) f (t ) dt C
一、微差分方程的建立以及经典解法
1 (2) Li (t ) i2 (t ) R2i2 ' (t ) f ' (t ) C 1 ( R2i2 i2 ( )d ) 1 U C i2 (t ) y (t ) (3) i1 i2 i2 (4) R2 R1 R1
(1)
t
i ( )d
1 (2) Li (t ) i2 (t ) R2i2 ' (t ) f ' (t ) C 1 ( R2i2 i2 ( )d ) 1 U C i2 (t ) y (t ) (3) i1 i2 i2 (4) R2 R1 R1
例题，已知线性时不变系统方程如下： y˝(t)+6y΄(t)+8y(t)= f(t), t>0. 初始条件y(0)=1， y΄(0)=2，输入信号f(t)=e-tu(t) , Q求系统的完全响应y(t)。
解：1）求方程的齐次解 特征方程为：m2+6m+8=0 显然特征根为：m1=-2，m2=-4
故原方程的齐次解为：yn(t)= Ae-2t+Be-4t
第2章 随机信号的时域分析
3、n维分布 n维概率分布函数
FX (x1, x2,⋅⋅⋅xn；t1,t2,⋅⋅⋅tn ) = P{X (t1) ≤ x1, X (t2) ≤ x2,⋅⋅⋅X (t2) ≤ x2}
若n阶偏导数存在，可有n维概率密度函数
fX
( x1 ,
x2 ,⋅⋅⋅xn；t1, t2
, ⋅ ⋅ ⋅tn
)
=
∂n
FX
(x1, x2 ,⋅⋅⋅xn；t1, t2 ,⋅⋅⋅tn ∂x1∂x2 ⋅⋅⋅ ∂xn
一个“所有样本函数的集合”。这种理解方式有助于后面随机信号两个基本概念“各态历经性”、 “功率谱密度”的理解。
t
t
t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t
图 2.1.2 随机信号的理解 ②随机过程X(t，ζ)看成一个“随时间变化的随机变量”。 随机信号X(t，ζ)在t=ti时刻－X(ti，ζ)是定义在Ω上的一个“随机变量”Xi。而随机过程X(t， ζ)在t=tj时刻－X(tj，ζ)是定义在Ω上的另一个“随机变量”Xj。随着t的变化，得到一个个不同——
……
……
X (tn )
mX (t)
t
o t1
t2
……
ti
……
tn
图 2.1.4.1 随机信号的数学期望
【说明】1o ∀t ∈T ，X(t)代表一随机变量，它的随机取值x(t)(t固定)，记为X。
( 2o 由于mX(t)是随机过程X(t)的所有样本函数在t时刻所取的样本 x1, x2,
平均，随t的取值而变化，是时间t的确定函数。如图2.1.4.所示。
, xn ) 的统计
【物理含义】1 o mX(t)是随机过程X(t)的所有样本函数在各个时刻摆动的中心，是X(t)在各个时刻的 状态的概率质量分布的“中心位置”。
FX (x1, x2,⋅⋅⋅xn；t1,t2,⋅⋅⋅tn ) = P{X (t1) ≤ x1, X (t2) ≤ x2,⋅⋅⋅X (t2) ≤ x2}
若n阶偏导数存在，可有n维概率密度函数
fX
( x1 ,
x2 ,⋅⋅⋅xn；t1, t2
, ⋅ ⋅ ⋅tn
)
=
∂n
FX
(x1, x2 ,⋅⋅⋅xn；t1, t2 ,⋅⋅⋅tn ∂x1∂x2 ⋅⋅⋅ ∂xn
一个“所有样本函数的集合”。这种理解方式有助于后面随机信号两个基本概念“各态历经性”、 “功率谱密度”的理解。
t
t
t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t
图 2.1.2 随机信号的理解 ②随机过程X(t，ζ)看成一个“随时间变化的随机变量”。 随机信号X(t，ζ)在t=ti时刻－X(ti，ζ)是定义在Ω上的一个“随机变量”Xi。而随机过程X(t， ζ)在t=tj时刻－X(tj，ζ)是定义在Ω上的另一个“随机变量”Xj。随着t的变化，得到一个个不同——
……
……
X (tn )
mX (t)
t
o t1
t2
……
ti
……
tn
图 2.1.4.1 随机信号的数学期望
【说明】1o ∀t ∈T ，X(t)代表一随机变量，它的随机取值x(t)(t固定)，记为X。
( 2o 由于mX(t)是随机过程X(t)的所有样本函数在t时刻所取的样本 x1, x2,
平均，随t的取值而变化，是时间t的确定函数。如图2.1.4.所示。
, xn ) 的统计
【物理含义】1 o mX(t)是随机过程X(t)的所有样本函数在各个时刻摆动的中心，是X(t)在各个时刻的 状态的概率质量分布的“中心位置”。
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4.单位脉冲序列
单位脉冲序列定义为：
图2-13单位脉冲序列和有移位的单位脉冲序列
5.单位阶跃序列
单位阶跃序列定义为：
图2-14单位阶跃系列和有移位的单位阶跃序列
2.3
尺度变换
信号的尺度变换是指将信号 变化到 的运算。
图2-15信号的尺度变换
翻转
信号的翻转是指将信号 变化为 的运算，即将 以纵轴为中心作 翻转。
图2-16信号的翻转运算
时移
信号的平移是指将信号 变化为信号 的运算。
图2-17信号的时移
相加与相乘、信号的微分和信号的积分
同函数的运算相同。
【例2-4】已知f(5-2t)的波形如图2-18所示，试画出f(t)的波形。
图2-18f(5-2t)的波形
【解】
1、时移： 以 代替 ，而求得 ，即 左移 。
图2-10单位冲激偶信号
图2-10单位冲激偶信号
冲激偶函数的性质：
取样特性：
筛选特性：
展缩特性：
卷积特性：
冲激偶信号和冲激信号的关系： 和
【例2-3】计算 的值。
【 解 】
4.单位斜变信号
斜变信号又称斜坡信号，是指信号在某时刻以后随时间呈现正比例增长。当斜变信号随时间增长的速率为1时，称为单位斜变信号或单位斜坡信号，用符号表示，定义为：
当 ， 时， 为实指数信号；
3.抽样信号
抽样函数定义为：
可以看出，抽样函数满足以下性质：
（1） ；
（2） ；
（3）
（4）抽样函数为偶函数；
（5）当t趋近 时，抽样函数的振幅趋近于零。
2.1.2
奇异信号：是指函数本身或其导数（或积分）具有不连续点的函数。
1.单位阶跃信号
单位阶跃信号的定义为：
单位阶跃信号的波形如图2-4，单位阶跃信号又称为开关信号，其示意图如图2-5。
第二章
1、主要内容：本章主要介绍信号与系统分析中常用的连续时间基本信号和离散时间基本信号及其特性。信号的基本运算及时域分解。
2、学习目标：掌握常见基本信号的定义及特性，能对信号进行基本的运算和时域分解。
3、学习重点：掌握冲击信号和单位脉冲信号及其特性。掌握信号的翻转、平移和尺度变换运算。掌握信号分解为单位脉冲序列的线性组合。
【例2-2】计算下列各式的值。
（1） （2）
（3） （4）
【 解 】
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】
利用了单位冲激信号的取样特性；
积分区间不包括冲激信号 的 时刻，积分结果必为零；
先利用冲激信号的展缩特性，再利用其取样特性；
利用冲激信号的筛选特性。
3.单位冲激偶信号
单位冲激信号的求导称为单位冲激偶信号，又称二次冲激信号，用符号表示。冲激偶信号顾名思义是有两个上下对称的冲激信号，如图2-10（a）所示，或简单表示为图2-10（b）所示的形式。
其图形如图2-9。
（a）冲激信号（b）延迟的冲激信号（c）冲激强度K
图2-9单位冲激信号
单位冲激信号的性质：
（1）筛选特性：设有一函数 ，它在 处连续，则有：
（2）取样特性：设有一函数 ，它在 处连续，则有：
（3）展缩特性：
推论1：冲激信号是偶函数。
推论2：
（4）卷积特性：
（5）冲激信号和阶跃信号的关系：
图2-21由f(2t)尺度变换得到f(t)
2.4
翻转与位移、相加与相乘
离散时间信号的翻转与位移、相加与相乘与连续信号基本相同。只是处理的的对象为离散时间信号。
尺度变换
离散时间信号的尺度变换是指将原离散序列样本个数减少或增加的运算，分别成为抽取和内插。
序列 的倍抽取定义为 ，其中 为正整数，表示在序列 中每隔 点抽取一点。
图2-4单位阶跃信号图2-5开关电路
单位阶跃信号具有单边性，可以用来截断某个信号。
【例2-1】已知正弦函数 的图形如图2-6所示，试画出 和 的波形。其中 为单位阶跃信号。
【 解 】
图2-7例2-1答案波形图
2.单位冲激信号
单位冲激信号的引入：冲激信号的概念来源于某些物理现象，如自然界中的雷电、电力系统中开关启闭产生的瞬间电火花、通信系统中的抽样脉冲等。
式中
对于离散时间信号有：
序列 的 倍内插定义为 ，其中 为正整数，表示在序列 每两点之间插入 个零值点。
差分与求和
分别与连续时间信号的微分与积分相对应。
差分的公式为： （后向差分）；
（前向差分）。
求和的公式为：
2.5
确定信号的时域分解指的是确定信号分解为基本信号的线性组合。
信号分解为直流分量和交流分量
对于任意连续时间信号有： ，
图2-12由连续时间信号到离散时间信号
2.2.2
1.实指数序列
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ实指数序列可表示为：
式中，A和r均为实数，Z表示整数集。
2.虚指数序列和正弦序列
虚指数序列定义为：
正弦序列定义为：
3.复指数序列
若 ，则复指数序列为一般的实指数序列；
若 ，则成为离散直流信号；
若 ，则为衰减正弦序列，若 ，为增幅正弦序列。
图2-8所示为一无初始储能的充电电路，直流电压源的电压为E，当电容容量C不变，电阻R减少时，充电速率提高，当时，开关闭合后，电容两端电压由原来的0值突变到电源电压值E，此时电流值为无限大，如何来表示这一无限大的电流呢？可以用单位冲激信号来表示这种信号。
图2-8无初始储能的充电电路
单位冲激信号的定义：
4、应用：信号的MATLAB表示和利用MATLAB实现信号的基本运算。
5、教案：
2.1
2.1.1
1.指数信号
数学表达式：
2.复指数信号
函数表达式：
由欧拉公式可得：
图2-2复指数信号实部与虚部的波形
根据 和 的不同取值，复指数信号可以表示为以下信号：
当 ， 时， 为直流信号；
当 ， 时， 为正弦指数信号；
2、翻转：f(-2t)中以－t代替t，可求得f(2t)，表明f(-2t)的波形以t＝0的纵轴为中心线对褶，注意 是偶数，故
3、尺度变换：以 代替f(2t)中的t，所得的f(t)波形将是f(2t)波形在时间轴上扩展两倍。
图2-19f(5-2t)时移得到f(2t)
图2-20由f(-2t)翻转得到f(2t)
图2-11斜坡信号
2.2
2.2.1
离散时间信号是指仅在不连续的离散时刻有确定函数值的信号，简称离散信号，也称离散序列。
时间上离散的数据在时域内表示为离散时间信号，其只在离散时刻才有定义。除了这类本来就是在时间上离散的信号外，工程上还有许多从连续时间信号经抽样得到的离散时间信号的应用。
图2-12所示为由连续时间信号f(t)经抽样得到离散时间信号f(n)的示意图，这一系列数值可以表示为一个集合形式，即：
单位脉冲序列定义为：
图2-13单位脉冲序列和有移位的单位脉冲序列
5.单位阶跃序列
单位阶跃序列定义为：
图2-14单位阶跃系列和有移位的单位阶跃序列
2.3
尺度变换
信号的尺度变换是指将信号 变化到 的运算。
图2-15信号的尺度变换
翻转
信号的翻转是指将信号 变化为 的运算，即将 以纵轴为中心作 翻转。
图2-16信号的翻转运算
时移
信号的平移是指将信号 变化为信号 的运算。
图2-17信号的时移
相加与相乘、信号的微分和信号的积分
同函数的运算相同。
【例2-4】已知f(5-2t)的波形如图2-18所示，试画出f(t)的波形。
图2-18f(5-2t)的波形
【解】
1、时移： 以 代替 ，而求得 ，即 左移 。
图2-10单位冲激偶信号
图2-10单位冲激偶信号
冲激偶函数的性质：
取样特性：
筛选特性：
展缩特性：
卷积特性：
冲激偶信号和冲激信号的关系： 和
【例2-3】计算 的值。
【 解 】
4.单位斜变信号
斜变信号又称斜坡信号，是指信号在某时刻以后随时间呈现正比例增长。当斜变信号随时间增长的速率为1时，称为单位斜变信号或单位斜坡信号，用符号表示，定义为：
当 ， 时， 为实指数信号；
3.抽样信号
抽样函数定义为：
可以看出，抽样函数满足以下性质：
（1） ；
（2） ；
（3）
（4）抽样函数为偶函数；
（5）当t趋近 时，抽样函数的振幅趋近于零。
2.1.2
奇异信号：是指函数本身或其导数（或积分）具有不连续点的函数。
1.单位阶跃信号
单位阶跃信号的定义为：
单位阶跃信号的波形如图2-4，单位阶跃信号又称为开关信号，其示意图如图2-5。
第二章
1、主要内容：本章主要介绍信号与系统分析中常用的连续时间基本信号和离散时间基本信号及其特性。信号的基本运算及时域分解。
2、学习目标：掌握常见基本信号的定义及特性，能对信号进行基本的运算和时域分解。
3、学习重点：掌握冲击信号和单位脉冲信号及其特性。掌握信号的翻转、平移和尺度变换运算。掌握信号分解为单位脉冲序列的线性组合。
【例2-2】计算下列各式的值。
（1） （2）
（3） （4）
【 解 】
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】
利用了单位冲激信号的取样特性；
积分区间不包括冲激信号 的 时刻，积分结果必为零；
先利用冲激信号的展缩特性，再利用其取样特性；
利用冲激信号的筛选特性。
3.单位冲激偶信号
单位冲激信号的求导称为单位冲激偶信号，又称二次冲激信号，用符号表示。冲激偶信号顾名思义是有两个上下对称的冲激信号，如图2-10（a）所示，或简单表示为图2-10（b）所示的形式。
其图形如图2-9。
（a）冲激信号（b）延迟的冲激信号（c）冲激强度K
图2-9单位冲激信号
单位冲激信号的性质：
（1）筛选特性：设有一函数 ，它在 处连续，则有：
（2）取样特性：设有一函数 ，它在 处连续，则有：
（3）展缩特性：
推论1：冲激信号是偶函数。
推论2：
（4）卷积特性：
（5）冲激信号和阶跃信号的关系：
图2-21由f(2t)尺度变换得到f(t)
2.4
翻转与位移、相加与相乘
离散时间信号的翻转与位移、相加与相乘与连续信号基本相同。只是处理的的对象为离散时间信号。
尺度变换
离散时间信号的尺度变换是指将原离散序列样本个数减少或增加的运算，分别成为抽取和内插。
序列 的倍抽取定义为 ，其中 为正整数，表示在序列 中每隔 点抽取一点。
图2-4单位阶跃信号图2-5开关电路
单位阶跃信号具有单边性，可以用来截断某个信号。
【例2-1】已知正弦函数 的图形如图2-6所示，试画出 和 的波形。其中 为单位阶跃信号。
【 解 】
图2-7例2-1答案波形图
2.单位冲激信号
单位冲激信号的引入：冲激信号的概念来源于某些物理现象，如自然界中的雷电、电力系统中开关启闭产生的瞬间电火花、通信系统中的抽样脉冲等。
式中
对于离散时间信号有：
序列 的 倍内插定义为 ，其中 为正整数，表示在序列 每两点之间插入 个零值点。
差分与求和
分别与连续时间信号的微分与积分相对应。
差分的公式为： （后向差分）；
（前向差分）。
求和的公式为：
2.5
确定信号的时域分解指的是确定信号分解为基本信号的线性组合。
信号分解为直流分量和交流分量
对于任意连续时间信号有： ，
图2-12由连续时间信号到离散时间信号
2.2.2
1.实指数序列
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ实指数序列可表示为：
式中，A和r均为实数，Z表示整数集。
2.虚指数序列和正弦序列
虚指数序列定义为：
正弦序列定义为：
3.复指数序列
若 ，则复指数序列为一般的实指数序列；
若 ，则成为离散直流信号；
若 ，则为衰减正弦序列，若 ，为增幅正弦序列。
图2-8所示为一无初始储能的充电电路，直流电压源的电压为E，当电容容量C不变，电阻R减少时，充电速率提高，当时，开关闭合后，电容两端电压由原来的0值突变到电源电压值E，此时电流值为无限大，如何来表示这一无限大的电流呢？可以用单位冲激信号来表示这种信号。
图2-8无初始储能的充电电路
单位冲激信号的定义：
4、应用：信号的MATLAB表示和利用MATLAB实现信号的基本运算。
5、教案：
2.1
2.1.1
1.指数信号
数学表达式：
2.复指数信号
函数表达式：
由欧拉公式可得：
图2-2复指数信号实部与虚部的波形
根据 和 的不同取值，复指数信号可以表示为以下信号：
当 ， 时， 为直流信号；
当 ， 时， 为正弦指数信号；
2、翻转：f(-2t)中以－t代替t，可求得f(2t)，表明f(-2t)的波形以t＝0的纵轴为中心线对褶，注意 是偶数，故
3、尺度变换：以 代替f(2t)中的t，所得的f(t)波形将是f(2t)波形在时间轴上扩展两倍。
图2-19f(5-2t)时移得到f(2t)
图2-20由f(-2t)翻转得到f(2t)
图2-11斜坡信号
2.2
2.2.1
离散时间信号是指仅在不连续的离散时刻有确定函数值的信号，简称离散信号，也称离散序列。
时间上离散的数据在时域内表示为离散时间信号，其只在离散时刻才有定义。除了这类本来就是在时间上离散的信号外，工程上还有许多从连续时间信号经抽样得到的离散时间信号的应用。
图2-12所示为由连续时间信号f(t)经抽样得到离散时间信号f(n)的示意图，这一系列数值可以表示为一个集合形式，即：