1.1.2导数的概念(优秀经典公开课比赛课件)

f(x)在 x＝x0 处的导数，记作__f′__(_x_0_)或__y_′__|_x＝__x0__，
即
f′(x0)＝
li m Δx→
0
Δy Δx
＝_Δl_ixm→_0__f__x_0＋__Δ_Δx_x_－__f__x_0_.
1．Δx，Δy的值一定是正值吗？ 提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但 Δx不能为零． 2．平均变化率一定为正值吗？ 提示：平均变化率可正、可负、可为零．
3t2＋2，0≤t<3，
29＋3
t－32，t≥3，
求此物体在 t＝1 和 t＝3 时的速度．
【思路点拨】 t＝1 时，s＝3t2＋2；t＝3 时，s＝29
＋3(t－3)2，分别求出 Δs，再由 v＝li m Δt→0
Δs求得． Δt
【解】 当 t＝1 时，s＝3t2＋2，
Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝3(1＋Δt)2＋2－(3＋2)
＝li m Δx→0
Δy Δx
①平均速 度；②曲线
割线的斜 率.
①瞬时速 度：物体在 某一时刻的 速度；②切
线斜率.
实例 作用 刻画函数值在 区间_[_x_1，__x_2_]_ 上变化的快慢
刻画函数值在 _x_0_点___附近变
化的快慢.
2.函数 f(x)在 x＝x0 处的导数
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的_瞬__时__变__化__率__称为函数 y＝
一、求物体的瞬时速度
求瞬时速度的步骤： (1)设非匀速运动的规律 s＝s(t)； (2)求时间改变量 Δt，位移改变量 Δs＝s(t0＋Δt) －s(t0)； (3)平均速度－v ＝ΔΔst；
(4)瞬时速度：当 Δt→0 时，ΔΔst→v(常数)．
例1 若 一 物 体 运 动 方 程 为 ： s ＝
＝6Δt＋3(Δt)2，
∴v＝li m Δt→0
ΔΔts＝liΔmt→0
6Δt＋3Δt2 Δt
＝li m (6＋3Δt)＝6. Δt→0
当 t＝3 时，s＝29＋3(t－3)2，
Δs＝s(t＋Δt)－s(t)
＝29＋3(3＋Δt－3)2－29－3(3－3)2＝3(Δt)2，
∴v＝
li m Δt→0
ΔΔst ＝liΔmt→0
平均 变化
率
定义
函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变 化率为_f__xx_2_2－ －__fx_1_x_1，简记作：ΔΔxy.
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变
瞬时 变化
率
化率是函数 f(x)从 x0 到 x0＋Δx 限的，平即均_变_li_Δ化_mx_→率_0__在f_x_Δ0_＋x_→_Δ_Δx0_x_时－__的f__x极_0_
∴y′|x＝
3＝
lim
Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
(2Δx＋16)＝16.
【名师点评】 利用导数的定义求导数，“三步法”
的模式是固定的，关键是要注意在求ΔΔxy 时，分式的通 分、无理式的分子有理化等常用技巧的使用．
方法感悟
1．函数 f(x)在 x0 处可导，是指 Δx→0 时，ΔΔxy有极限．如 果ΔΔxy不存在极限，就说函数在点 x0 处无导数． 2．导数是研究在点 x0 处及其附近函数的改变量 Δy 与自变量的改变量 Δx 之比的极限，它是一个局部性
3Δt Δt
2
＝li m Δt→0
(3Δt)＝0.
∴物体在 t＝1 和 t＝3 时的瞬时速度分别是 6 和 0.
二、求函数f(x)在某处的导数
求函数 f(x)在 x0 处的导数的基本步骤： (1)求函数值的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy；
(3)求极限 f′(x0)＝Δlixm→0
1．1.2 导数的概念
1A．B的已斜知率直k线AB上＝两_xy_点22_－－_A_yx_(11x_(1x_，1_≠_y_1x)_2，_)_B. (x2，y2)，则直线 2．某物体发生的位移s(单位：m)与时间t(单位： s)的关系为s＝2t2，那么2秒内的平均速度是_4_m__/s_.
1．函数的变化率
Δy Δx.
例2 求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
【思路点拨】
求Δy
→ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求Δy Δx
→
求 lim Δx→0
Δy Δx
【解】 Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx ＝2(Δx)2＋16Δx， ∴ΔΔxy＝2ΔxΔ2＋x 16Δx＝2Δx＋16.
的概念，即
li m Δx→0
Δy 存在表示是一个定数，函数 Δx
f(x)
在点 x0 处的导数应是一个定数．