北航矩阵论学习笔记
北航矩阵论学习笔记
Q −1 AQ = Q −1 A(α 1 , α 2 ," , α n )
= Q −1 ( Aα 1 , Aα 2 ,", Aα n ) = Q −1 (λα 1 ,",∗,∗,∗) = λ1Q −1α 1 , (∗), ", (∗) ∴ ⎛ ⎛ λ1 ⎞⎛#⎞ ⎛#⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟⎜#⎟ ⎜#⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ " ⎜ ⎟ ⎟ # # # ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟⎜#⎟ ⎜#⎟ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ 记 ⎛ λ1 =⎜ ⎜0 为⎝ ⎟ A1 ⎟ ⎠
(*) ⎞ ⎟
⎛ f ( A1 ) ⎜ ⎜ （2） f ( A) = ⎜ ⎜ ⎜ O ⎝
(*)
相似关系：A∽B， （P-1AP = B）
则：
存在可逆矩阵P
（1）(P-1AP)k = P-1AkP， （k=0,1,2,…） （2）f(P-1AP) = P-1f(A)P，f(x)为多项式
许尔公式（schur） ：每个复方阵，A = (aij)n×n 都相似于上三角形。
注： （1）若 A ∽ B（相似） ，则 A、B 有相同特征值 λ1,…,λn
可引入记号：谱集 σ ( A) = {λ1 , λ 2 ," , λn } （全体特征值，含重复） ∴A ∽ B ⇒ σ ( A) = σ (B ) （2）A ∽ B ⇒ λI − A = λI − B = (λ − λ1 )(λ − λ2 )" (λ − λn ) ，特征多项式 ∵ P −1 AP = B ⇒ λI − A = P −1 (λI − A)P = λI − B
(∗)⎞
⇒ P −1 f ( A)P = f P −1 AP = f (B ) = 0 （引理）
矩阵论学习复习资料共44页文档
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
矩阵论学习复习资料
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
矩阵论知识要点范文
矩阵论知识要点范文矩阵论（Matrix theory）是线性代数的一门重要分支，研究的是矩阵的性质、运算以及与线性方程组、线性变换等数学对象之间的关系。
矩阵论在多个领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
以下是一些矩阵论的重要知识要点：1.矩阵表示：矩阵由行、列组成，可以表示为一个矩形的数表。
矩阵的大小由行数和列数确定，常用的表示方法是用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。
2.矩阵运算：矩阵可以进行加法和乘法运算。
矩阵的加法是对应元素相加，矩阵的乘法是按照一定规则进行计算得到一个新的矩阵。
3.矩阵的转置：矩阵的转置是将矩阵按照主对角线进行镜像变换得到的新矩阵。
对于一个m×n的矩阵，转置后得到一个n×m的矩阵。
4.矩阵的逆：对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，满足AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
逆矩阵的存在与唯一性为解线性方程组提供了便利。
5.矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
秩是矩阵的一个重要性质，与矩阵的解空间、零空间等直接相关。
6.矩阵的特征值和特征向量：对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，其中λ为一个常数，则称常数λ为矩阵A的特征值，非零向量x称为对应于特征值λ的特征向量。
矩阵的特征值和特征向量可以用来描述线性变换的性质。
7.矩阵的相似性：如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵B与A相似。
相似矩阵具有一些相似的性质，如秩、迹、特征值等。
8.矩阵分解：矩阵分解是将一个复杂的矩阵表示分解为一些简单矩阵的乘积或和的形式，常见的分解方法有LU分解、QR分解、特征值分解等。
9. 矩阵的迹：矩阵的迹是主对角线上各个元素的和，记作tr(A)。
矩阵的迹与矩阵的特征值、秩等有一定的关系。
10.矩阵方程：矩阵方程是形如AX=B的方程，其中A、B为已知矩阵，X为未知矩阵。
矩阵方程的研究可以帮助解决线性方程组、线性变换等相关问题。
08级-北航博士-矩阵论试题与答案
一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求10d Ate t ⎰（用矩阵A 或其逆矩阵表示）； （2）设1234(,,,)Ta a a a =α是给定的常向量，42)(⨯=ij x X 是矩阵变量，求Td()d X αX ；（3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求kk A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→)(lim ρ。
二（15分）设微分方程组d d (0)xAx t x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩，508316203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，0111x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求Ate ； （3）求该方程组的解。
三（15分）对下面矛盾方程组b Ax =312312111x x x x x x =⎧⎪++=⎨⎪+=⎩ （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ；（3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。
四（10分）设1113A ⎫=⎪⎭求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。
五（10分） 设(0,,2)TnA R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2()tr()m A λλλ=-；（2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。
六（10分）设m n r A R ⨯∈，（1）证明rank()n I A A n r +-=-；（2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-∀∈。
七（10分）证明矩阵2121212311122222224333333644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。
八（15分） 设A 是可逆矩阵，11,B A Aαβ-=-=（这里矩阵范数都是算子范数）， 如果βα<，证明（1）B 是可逆矩阵；（2）11B αβ-≤-；（3）11()B A βααβ---≤-。
[考研数学]北京航天航空大学线性代数 5-(1,2)b
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1 1 k1 1 k 2 0 k1, k2不同时为零. 0 1 对3=5, 解方程组 (5EB)x=0, 4 x1 2 x 2 2 x 3 0 即 2 x1 4 x 2 2 x 3 0 2 x 2 x 4 x 0 1 2 3 4 2 2 1 2 1 1 0 1 由 2 4 2 0 6 6 0 1 1 2 2 4 0 0 0 0 0 0
x1 x 3 得一般解 x 2 x 3 x x 3 3
1 取基础解系为 1 1 因此B的属于=5的全部特征向量为 1 k 1 , k0为常数. 1 上面两个例子中, 特征方程的单根的线性 无关的特征向量为1个, 二重根可以是一个也 可以是两个. 都不超过特征根的重数.
定理2.4 若n阶可逆方阵A的特征值为1, 2, …, n，则A1的特征值为 1 1 , 1 2 ,1 n . 证明: 由定理2.3, 1 1 , 1 2 ,1 n 有意义. 设xi是A的属于i的特征向量, 则 Axi i xi ( i 1,2,, n) 1 1 x A xi , 左乘A , 有 i i 1 1 即 A xi xi .
例3 若A2=A, 称A为幂等矩阵, 证明幂等矩阵 的特征值只可能是0和1.
证明 设0是A的特征值, x是A的属于0的特 征向量, 则 Ax 0 x . 由于 0 x Ax A2 x A( Ax ) 2 A(0 x ) 0 ( Ax ) 0 x . 2 ( 即 0 0 ) x 0. 0 0或0 1. 而x0, 0 (1 0 ) 0. 得 注意：0和1不一定同时是幂等矩阵的特征值, 比如E是幂等矩阵, 但其特征值只有1.
矩阵论范数知识点总结
矩阵论范数知识点总结一、概述矩阵论是线性代数的一个分支，它研究矩阵及其性质。
矩阵的范数是矩阵的一种性质的度量，它在矩阵分析、数值线性代数、优化理论等领域中有着广泛的应用。
本文将对矩阵范数的定义、性质、应用以及相关的其他知识点进行总结和介绍。
二、矩阵的定义在数学中，矩阵是一个按照矩形排列的复数或实数集合。
也可以看成是一个数域上的矩形阵列。
矩阵的元素可以是实数、复数或者是其他的数学对象。
一个n×n矩阵A是一个由n×n个元素（a_ij）组成的矩形数组。
三、范数的定义在数学中，范数是定义在向量空间中的一种函数，它通常被用来衡量向量的大小或长度。
对于矩阵来说，范数是一种度量矩阵大小的方法。
对于一个矩阵A，它的范数通常记作||A||。
矩阵的范数满足以下性质：1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||四、矩阵范数的种类矩阵范数一般有几种不同的类型。
1. Frobenius范数：矩阵A的Frobenius范数定义为||A||_F = sqrt(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n|a_ij|^2)2. 1-范数：矩阵A的1-范数定义为||A||_1 = max(Σ_(i=1)^n |a_ij|)3. 2-范数：矩阵A的2-范数定义为||A||_2 = max(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n |a_ij|^2)^(1/2)4. ∞-范数：矩阵A的∞-范数定义为||A||_∞ = max(Σ_(j=1)^n |a_ij|)五、矩阵范数的性质矩阵范数具有一些重要的性质，下面将介绍其中一些主要性质。
1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||4. 乘法范数：||AB|| ≤ ||A|| * ||B||5. 谱半径：对于任意矩阵A，它的谱半径定义为rho(A) = max|λ_i(A)|6. 对称矩阵：对于对称矩阵A，其2-范数定义为rho(A)，即||A||_2 = rho(A)，其中rho(A)是A的最大特征值六、矩阵范数的应用矩阵范数在数学和工程领域有着广泛的应用，下面将介绍一些主要的应用。
北航硕士研究生矩阵理论2.2 正规矩阵及Schur分解
类似地，可证第二个结论.
证毕
二、正规矩阵 推论1 设A是一个正规矩阵, 则与 A酉相似的矩阵一定 是正规矩阵. 推论2 设 A是一个正规矩阵, 且又是三角矩阵, 则A必为 对角矩阵.
推论3 实对称矩阵正交相似对角矩阵.
推论4 设 T 是欧式空间 Vn的对称变换，则 在 Vn中存在标准正交基 y1 , y2 ,, yn ，使 T 在该 基下的矩阵为对角矩阵.
二、正规矩阵 现在将 X 1 单位化, 得到一个单位向量
i 2 2 1 , , 3 3 3
对于特征值
T
(9iI A) X 0
求得其一个基础解系
2 9i 解线性方程组
T
X 2 i, 1/ 2,1
将其单位化得到一个单位向量
二、正规矩阵
对于特征值 3
(U R) A(UR) B
因此
1
U AU RBR
H
1
一、Schur引理
n n 推论： A R 且A的特征值均为实数，则存在正交矩阵Q，使得
1 2 T Q AQ 0
n
即任一实方阵正交相似于一个上三角阵，其主对角元为A的特征值.
Q AQ Q AQ diag{1 ,
T 1
, n }
二、正规矩阵
证明： A为正规矩阵，存在酉矩阵U，使得
U AU diag{1 ,
H
, n }
, n }
共轭转置有
U H AU diag{1 ,
所以 i i (i 1, , n) 由的Schur引理可得，存在正交矩阵Q，使得
i 3 2 Q 1 ,2 ,3 3 2 3 2i 3 1 3 2 3 2i 3 2 3 1 3
学习矩阵论心得体会 如何学好矩阵论(优秀3篇)
学习矩阵论心得体会如何学好矩阵论（优秀3篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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北京航空航天大学线性代数第六章6-4-正定二次型和正定矩阵
所以 B 为对称矩阵. 对于任意的 n 维实向量 X ,有
X BX X
T T
(kE A A ) X kX
T T
T
X X
T
A AX
T
kX
X ( AX ) AX .
T
T T
当X
0 时,有 X X 0 , ( AX ) AX 0
.因此,当
线性代数
k 0
时,有
X
T
BX kX
t 1 1 2 5
1 t
2
0 , 即 1 t 1,
t 1 2
5t
2
4t 0, 即
4 5
t 0.
于是当 5 t 0 时, f 为正定二次型.
线性代数
AX 为n元 定义6.4.3 T 实二次型, X ( c1 , c 2 , , c n ) 为任一非零的实向
1 n
2
2
1
n
必要性 设
A
是 n 阶正定矩阵,则
A
线性代数
为实对称矩阵,从而存在正交矩阵 Q ,使得
1 1 T Q AQ Q AQ n
即
1 A Q T Q n
其中
1
, , n
是 A 的 n 个特征值,且都大于
Y
T
BY
2 1 y1
2 2 y2
2 n yn
由定理6.4.1可知,该二次型正定的充分必 要条件是 0 ( i 1, 2 , , n ).
i
线性代数
由于 A B 1 2 n ＞ 0 ,即正定矩阵 的行列式大于0.证毕. 例6.4.1 判断实二次型 f ( x , x , x )
矩阵理论知识点整理
欢迎来主页下载---精品文档精品文档三、矩阵的若方标准型及分解λ-矩阵及其标准型定理1 λ-矩阵()λA 可逆的充分必要条件是行列式()λA 是非零常数引理2λ-矩阵()λA =()()n m ij ⨯λa 的左上角元素()λ11a 不为0，并且()λA 中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一个与()λA 等价的()()()nm ij ⨯=λλb B 使得()0b 11≠λ且()λ11b 的次数小于()λ11a 的次数。
引理3任何非零的λ-矩阵()λA =()()nm ij⨯λa 等价于对角阵()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0...0.....d 21λλλr d d ()()()λλλr 21d ,....d ,d 是首项系数为1的多项式，且()()1......3,2,,1,/d 1-=+r i d i i λλ引理4等价的λ-矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子推论5 λ-矩阵的施密斯标准型是唯一的由施密斯标准型可以得到行列式因子 推论6两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的行列式因子，或者相同的不变因子推论7λ-矩阵()λA 可逆，当且仅当它可以表示为初等矩阵的乘积推论8两个()()λλλB A m 与矩阵的-⨯n 等价当且仅当存在一个m 阶的可逆λ-矩阵()λP 和一个n 阶的λ-矩阵()λQ 使得()()()()λλλλQ A P =B精品文档推论9两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的初等因子和相同的秩定理10设λ-矩阵()λA 等价于对角型λ-矩阵()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλn h h .....21h B ，若将()λB 的次数大于1的对角线元素分解为不同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按照重复的次数计算）就是()λA 的全部初等因子。
行列式因子不变因子初等因子初等因子被不变因子唯一确定但，只要λ-矩阵()λA 化为对角阵，再将次数大于等于1的对角线元素分解为不同的一次方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的必须重复计算）就为()λA 的全部初等因子，即不必事先知道不变因子，可以直接求得初等因子。
矩阵论知识点
矩阵论知识点最近考试不断，今天终于告一段落了。
矩阵论我花了将近两个礼拜复习，多少有点感悟，所以赶紧写下来，不然估计到时候又还给老师了，也希望自己的见解对你们也有帮助！！总的来说矩阵论就讲了如下6个知识点：（1）线性空间与线性变换（2）范数理论及其应用（3）矩阵分析及其应用（4）矩阵分解（5）特征值的估计（6）广义逆矩阵1.线性空间与线性变换1.1线性空间首先我们需要知道什么是空间？？空间其实就是向量的集合，而什么是线性空间呢？？线性空间就是满足8条性质的向量集合，这8条性质分别如下:所以矩阵论考试里面如果要你证明一个向量集合是线性空间？？只需要证明集合满足上述8条性质就可以了，该证明的难度在于怎么表示该集合中的向量。
然后对于线性空间中的元素（元素很多），我们肯定不可能通过枚举法将每个元素枚举出来的吧，这样不太现实。
最好的方法就是找到线性空间中的基，通过这些基和坐标我们就可以表示出线性空间中所有的向量。
针对上述想法，我们就应该考虑满足条件基的存在性和唯一性，得到的结果是这样的基是存在的但是不唯一！！当时这里就牵涉到另一个问题，线性空间的基是不唯一的，对于同一个元素在不同基下坐标肯定是不同的！！如果我们知道基与基之间的关系，我们是否可以知道坐标与坐标的关系，这就推导出了下面公式：之后的一个概念就是线性子空间，这个名词我们可以拆开进行理解，子空间说明了该空间是一个线性空间的子集，线性说明这个子空间满足齐次性和叠加性，具体形式如下：最后一个概念是线性子空间的交与和，这和集合的交与和性质差不多，这里我需要重点介绍的直和的概念，直和的概念和集合的并类似，不同的是直和中并的两个集合是不相交的，即两个集合中没有共同元素。
以上就是线性空间中所有的知识点。
1.2线性变换及其矩阵这一节出现一个概念叫做线性变换，记为T，出现线性变换的原因就是对于一个向量我们希望通过某种变换将该向量转变成我希望的目标向量，换句话说线性变换就相当于函数，自变量就相当于我们已知的向量，因变量就是我们的目标向量，这样应该好理解点。
北航研究生矩阵论课后参考答案
矩阵论课后参考答案：第1章 线性代数引论习题1.12（1）解：由定义知n m C n m ⋅=⨯)dim(故可知其基为n m ⋅个n m ⨯阶矩阵，简单基记为在矩阵上的某一元素位置上为1，其他元素为0 ，如下⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000000001 ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00000010000（2）解：对约束A A T =分析可知，其为一个上下对称的矩阵（对称阵），则其维数为2)1(1)1()dim(+=++-+=n n n n V 其基为2)1(+n n 个n n ⨯阶的矩阵，故基可写为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000001，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000010010 ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10000000000（3）解：同上理，对A A T -=分析可知其为一个上下成负对称的矩阵，且对角元全为0，则其维数为 2)1(2)1)1)((1(1)2()1()dim(-=+--=++-+-=n n n n n n V其基为2)1(-n n 个n n ⨯阶的矩阵，故基可写为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0000000000010010 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-000000010000010， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-01100000000000003解：由题可得},,,{212121ββααspan W W =+ 不难看出其秩为3，则3)dim(21=+W W 设21W W x ∈,则存在2121,,,l l k k 有 22112211ββααl l k k x +=+=则 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+=+++=---0703020221222121212121l l k l k k l l k k l l k k ，故有⎪⎩⎪⎨⎧-==-=21222134l l l k l k 即)4,3,2,5()4(21222211-=-=+=l l k k x αααα 所以1)dim(21=W W 8(先补充定理：定理：设n 元齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(，则齐次线性方程组的基础解析存在，并且基础解系所含线性无关的解向量的个数等于r n -)证：1）对任意的21V V B ∈,则有0=AB 且0)(=-B I A 成立，故0=B 所以{0}21=V V 。
矩阵论基础笔记
二次型：数域F上任意二次型都可以经过非退化线性变换化为标准型。
如在复数域上考虑，可进一步化为规范型，且规范型是唯一的。
行列式行列式值不变行列式与其转置行列式的值相等行列式某一行（列）的元素的若干倍加到另外一行（列）的对应元素上，行列式的值不变行列式值改变交换行列式两行（列）对应元素位置，行列式的值反号把行列式某一行（列）的元素同时乘以数k，等于用数k乘这个行列式行列式等于零某一行元素全0，行列式为0两行元素对应成比例，行列式为0矩阵可逆（以下命题等价）行列式不为0满秩矩阵可以表示成若干个初等矩阵之积列（行）向量组线性无关初等矩阵任意矩阵可经过一系列初等变换化为标准型。
行列初等变换初等行变换可把矩阵化为行阶梯型或行最简型再经过初等列变换可以化为标准型相似矩阵与A相似的矩阵并不唯一，也不一定是对角矩阵矩阵相似对角化（以下命题类似）N阶方阵A相似于N阶对角矩阵的充要条件是A有N个线性无关的特征向量A的每个k重特征值r对应有k个线性无关的特征向量线性变换T可以对角化的充分必要条件是T的最小多项式是一次因子的乘积实对称矩阵存在正交矩阵P，使得P-1ＡＰ＝Ｖ，其中Ｖ是以Ａ的ｎ个特征值为对角元的对角矩阵上三角阵和下三角阵行列式均等于对角线乘积对角行列式也等于对角线乘积线性方程组线性方程组Ａｘ＝ｂ有解的充分必要条件是Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）（B为增广矩阵）；当都等于ｎ时，有唯一解；当＜Ｎ时，有无穷多个解线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩Ｒ＜Ｎ矩阵极大线性无关组个数与线性无关特征向量个数无关特征值在复数范围内，n阶方阵就有n个特征值，重根按重数计算特征值与特征向量不同特征值对应的特征向量线性无关实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交都与对角矩阵相似实对称矩阵一定可以对角化线性空间线性空间作为向量集合。
空间中任一向量可用一组线性无关的向量表示，则称这组向量作为空间的一组基。
基就是向量集合的极大线性无关组Vn(F)中向量组线性相关的充分必要条件是其坐标向量组是Fn中的线性相关组过渡矩阵过渡矩阵一定是可逆矩阵，因为变换前后的基矩阵的秩都是n，则过渡矩阵必然满秩生成空间V中一组向量，则由它们一切线性组合构成的集合是V的一个子空间维数公式dimW1+ dimW2=dim(W1+W2)+dim(W1 n W2)不含零向量的正交向量组是线性无关的向量和变换矩阵在两组基下线性空间向量在两组基坐标分别为X,Y 则X=CY线性变换在两组基下的矩阵分别为A和B,则B=C-1AC线性变换在不同基下的矩阵是相似的V分解为不变子空间的直和，取每个子空间的基构成空间的基，T在这组基下的矩阵为准对角矩阵Jordan标准型主对角线上的元素就是A的全部特征值Jordan矩阵构造矩阵A有k个互异的特征值，则可以分为k个约当矩阵；每个约当矩阵有m个线性无关的特征向量，则约当矩阵可以分为m个约当块。
矩阵知识点总结大纲
矩阵知识点总结大纲一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义1.2 矩阵的元素1.3 矩阵的维数1.4 矩阵的转置1.5 矩阵的特殊矩阵二、矩阵运算2.1 矩阵的加法2.2 矩阵的数乘2.3 矩阵的乘法2.4 矩阵的转置2.5 矩阵的幂2.6 矩阵的逆2.7 矩阵的行列式2.8 矩阵的秩三、线性方程组与矩阵3.1 矩阵的行简化阶梯形式3.2 矩阵的列简化阶梯形式3.3 矩阵的增广矩阵3.4 矩阵的系数矩阵3.5 矩阵的齐次线性方程组3.6 矩阵的非齐次线性方程组四、矩阵的应用4.1 线性代数4.2 计算机图形学4.3 信号处理4.4 优化问题4.5 统计学4.6 量子力学五、矩阵分析5.1 矩阵的迹5.2 矩阵的本征值与本征向量5.3 矩阵的相似矩阵5.4 矩阵的对角化5.5 矩阵的奇异值分解5.6 矩阵的正交矩阵六、矩阵的特征6.1 矩阵的周期性6.2 矩阵的稀疏性6.3 矩阵的对称性6.4 矩阵的正定性6.5 矩阵的随机性七、矩阵的发展历程7.1 矩阵的起源7.2 矩阵的发展7.3 矩阵的应用八、矩阵的未来发展8.1 矩阵的应用领域拓展8.2 矩阵的理论深化8.3 矩阵的计算方法改进九、矩阵的教学与研究9.1 矩阵的教学模式9.2 矩阵的教学资源9.3 矩阵的研究方向十、矩阵的未来前景10.1 矩阵的应用前景10.2 矩阵的教学前景10.3 矩阵的研究前景十一、矩阵的总结与展望11.1 矩阵的总结11.2 矩阵的展望结语矩阵知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个按照长方形排列的数表。
其中的元素可以是数字、符号或数学式。
矩阵是线性代数的基本概念，应用非常广泛，涉及几何学、概率论、微分方程以及物理学和工程学等各个学科。
1.2 矩阵的元素矩阵的元素是矩阵中的一个具体数值或符号。
1.3 矩阵的维数一个矩阵的维数是指矩阵的行数与列数。
如果一个矩阵有m行n列，则称其为m×n阶矩阵。
矩阵论学习内容总结
矩阵论学习内容总结
矩阵论是一门重要的数学课程，许多本科生都需要完成。
然而，矩阵论看起来有点抽象，难以理解。
本文旨在总结矩阵论的学习内容，以便帮助学生了解并掌握这门课程。
首先，矩阵论涉及矩阵的概念和定义。
矩阵是矩形的表格，可以表示任何数学运算。
矩阵可以有任意大小，可以是方形的或长方形的。
矩阵的行表示最初的数学构成，而列表示结果。
在矩阵论中，学生需要学习如何在矩阵中添加、减少和乘以数字。
其次，矩阵论涉及矩阵运算。
矩阵的运算包括加法、减法和乘法。
学生需要学习如何在矩阵中增加或减少元素，以及如何计算矩阵的乘积。
此外，学生还需要学习特殊矩阵，如单位矩阵、逆矩阵和逆单位矩阵。
第三，矩阵论还涉及矩阵分析。
这些分析包括行列合并、变换、投影和旋转等。
学生需要学习如何有效地改变矩阵的形状，以及如何分析它们，以估计矩阵的元素。
第四，矩阵论还涉及矩阵复习。
复习涉及将矩阵表示为向量空间，以及将多个矩阵合成一个矩阵。
学生需要学习如何计算矩阵分解，如特征值分解、奇异值分解和行列式分解等。
最后，矩阵论还涉及一些特殊的矩阵，如正交矩阵和马氏矩阵。
学生需要学习如何计算这些矩阵的特性，以及如何运用它们的特性来解决问题。
总的来说，矩阵论是一门复杂而又庞大的课程。
学生需要花费大
量的时间学习它，以便掌握矩阵相关的知识。
通过此文所总结的内容，希望能帮助学生更好地理解和掌握矩阵论，以面对矩阵论课程的挑战。
北京航空航天大学经济管理学院考博真题考博经验考博笔记
1、关于招考方式 报考北航博士研究生有四种方式：本科直博、硕博连读、申请考核与普通招考。 （一）申请考核：北京航空航天大学生物与医学工程学院从 2015 年开始试行“申请考核制”。凡
申请报考该学院的普通招考、硕博连读、本科直博的考生均纳入“申请考核制”，不再参加北京航空 航天大学普通招考博士研究生统一入学考试；北航专项招生计划（如工程博士、学科交叉培养博士、 少数民族高层次骨干人才专项计划等）仍需按照北航相关招生办法进行。
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高录取率的基础。考生们也可以借鉴这一复习规划来指导自己的备考。 第一阶段：框架的构建和重点的掌握 深入解构核心参考书，建立知识理论体系框架并对重点知识章节和常见考点进行整合。理清楚学
科发展史，特别是每一个阶段的代表人物，著作，主张，提出的背景和评价。根据专业课老师讲解借 鉴前辈经验最终形成学员的专属笔记。
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北京航空航天大学经济管理学院考博真题考博经验考博笔记
一、专业的设置以及初试考试内容
专业名称 071400 统计学
招生方式
082303 交通运输规划与管理 120100 管理科学与工程
公考招考 硕博连读 本科直博
1201Z1 金融工程
初试考试内容
1001 英语， 2001 矩阵理论、2005 概率统计选一， 3082 运筹学、3083 管理信息系统、3085 计 量经济学选一
1001 英语， 2003 数理方程、2004 常微方程、2005 概率 统计选一， 3081 生产与运作管理、3082 运筹学、3084 微观经济学与宏观经济学选一
北航考博考研矩阵_特估计,盖尔园
Ger 圆，特征根估计盖尔Ger 圆定义：n 阶方阵()n n ij A ⨯=α的n 个Ger （盖尔）半径为111||R a =121n a a +++ ，11112R a a =+1n a ++ ，….. ，n 11121n R a a a =+++其中：1||p p pp R a a =++ pn a ++ ，（记号||pp a 表示去掉该项） 规定第p 个Ger 圆盘为:{}p pp p R a Z Z G ≤-=，Z C ∈复平面， p = 1,2，…..，n 。
圆盘定理1：方阵()nn ijA ⨯=α的全体特征根都在A 的n 个Ger 圆的并集中。
即：(){}112,,=G()n n A G G G A λλλ=⊂⋃⋃⋃ （略证）（即，A 的全体根被n 个Ger 圆盖住）规定：若A 有k 个Ger 圆相连在一起，且与其它n--k 个圆分离，称此k 个圆盘为一个连通分支，简称分支。
注：一个孤立圆为一个分支圆盘定理2：设A 的k 个Ger 圆构成一个连通分支D ，则在D 中恰有k 个特征根（含重复）.特别， 一个孤立圆中恰有一个根（略证）注：由于A 与转置T A 有相同特征根，可用TA 的Ger 半径代替A 的半径，可得A的列圆盘定理。
A 的列Ger 圆盘可记为 {}'p p pp G Z Z a R=-≤ Eg. 20.35A ⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭10.20.50.30.6-10.20.430.70.20.30.3，画A 的盖尔圆，估计()A λ范围。
解：4个Ger 圆为8.05:4.13:8.12:11:4444333322221111=≤+=-=≤-=-=≤+=-=≤-=-R Z a Z G R Z a Z G R Z a Z G R Z a Z G ， 如图示()1234A G G G G λ⊂⋃⋃⋃，注：实矩阵A 的n 个Ger 圆中心都在x 轴上复习定理：实系数方程的虚根一定共轭（成双）出现。
南航《矩阵论》第1章
dim(V1 V2 ) dim(V1 ) dim(V2 ) dim(V1 V2 ).
在维数公式中，和空间的维数不大于子空间维数之和。那么何时等号成立呢？
证明
因为V1是有限维的，而V1 V2是V1的子
空间，所以V1 V2也是有限维的。设
dim(V1) n1, dim(V2 ) n2 , dim(V1 V2 ) m.
（a,bR）都有a+bi=(1,i)( a ),所以(a,b) T即为k的坐
标。
b
例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
是 基底， R [x]n的维数为 n。
例1.3.3 实数域 R上的线性空间 Rnn 的维数为
nn，标准基为Eij：（i=1,2…n;j=1,2…n）
0
0
1
0
,
0
1
1
0
1
E11
E22
( E11 ,
E12 , E21 ,
E22
)
0 0
1
类似地，
1
A2
0
1
0 1
E11
E22
( E11 ,
E12 ,
E21 ,
E22
)
0 0
B2
1
0
,
1 1
1 0
B3
0
0
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矩阵理论 A 笔记
北京航空航天大学
张京蕊
工程系统工程系
目录
§0 补充公式................................... 1 §1 Jordan（约当）标准形（简介）.............. 11 §2 线性变换与矩阵............................ 24 §3 欧式空间与QR分解.......................... 48 §4 常用矩阵分解.............................. 74 §5 范数与级数................................ 81 §6 广义逆A+ .................................. 97 §7 直积拉直及应用........................... 105
矩阵理论 A 笔记
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张京蕊
工程系统工程系
§0
补充公式
令 A = (aij)n×n∈Cn×n，f(x) = a0 + a1x + … + amxm
⎛1 " 0⎞ ⎟ ⎜ 定义 f(A) = a0I + a1A + … + amA ，其中 I = I n = ⎜ # % # ⎟ ⎜0 " 1⎟ ⎠ ⎝
北京航空航天大学 矩阵理论 A 笔记
任课教师：赵迪 编辑： 张京蕊
北京航空航天大学
张京蕊
工程系统工程系
写在前边
编者按：矩阵理论 A 课程是我校一门研究生公共课程，本人特将 2008 年秋季本 课程赵迪老师大班的笔记整理成电子版，以供后人学习、参考之用。本笔记包括七大 部分，编号从零至六。 众所周知，赵老师上课从不用课件，完全是板书，所以选这门课程的同学每堂课 必然要仔仔细细的记笔记，虽然我把赵老师这门课程的笔记整理成了电子版，但仍不 鼓励大家拿着打印稿，不记笔记，甚至不去上课。俗话说： “好记性不如烂笔头。 ”勤 奋一些，平时认认真真把笔记记清，可以巩固对这门课程知识的记忆，为以后考试和 应用打好基础，事半功倍。 同时严正声明： 禁止将此笔记用于任何商业用途。 虽然这个电子版是我搞出来的， 但我仍认为这套笔记的版权应该归赵老师或者北航理学院所有， 希望同学不要因贪小 利而忘大义。 最后，希望这份电子版的笔记能够给同学们学习这门课程带来方便，祝同学们在 北航生活、学习、工作愉快！
张京蕊
工程系统工程系
Pf： A k = 0 ⇒ 任意特征值 λ k = 0 ⇒ λ = 0
即全体特征值为 0,0,…,0 ∗⎞ ⎛0 ⎜ ⎟ % ⎟ ⇒ P −1 AP + I = 1 由需要 P AP = ⎜ ⎜O 0⎟ ⎝ ⎠
(
)
，其中 A1 为(n-1)阶
(∗) ⎞
∗⎞ ⎛ λ2 ⎜ ⎟ % ∴由假设，对于 A1 必有(n-1)阶 P1，可推出 P AP = ⎜ ⎟ ⎜O λn ⎟ ⎝ ⎠
−1
∴得证。
Eg.知 n 阶方阵 A，适合 Ak = 0，则| A + I | = 1
共 113 页 矩阵理论 A 笔记 第2页
北京航空航天大学
Q −1 AQ = Q −1 A(α 1 , α 2 ," , α n )
= Q −1 ( Aα 1 , Aα 2 ,", Aα n ) = Q −1 (λα 1 ,",∗,∗,∗) = λ1Q −1α 1 , (∗), ", (∗) ∴ ⎛ ⎛ λ1 ⎞⎛#⎞ ⎛#⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟⎜#⎟ ⎜#⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ " ⎜ ⎟ ⎟ # # # ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟⎜#⎟ ⎜#⎟ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ 记 ⎛ λ1 =⎜ ⎜0 为⎝ ⎟ A1 ⎟ ⎠
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矩阵理论 A 笔记
第1页
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张京蕊
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λ为A特
⎛ λ1 ⎜ ⎜ −1 即： P AP = ⎜ ⎜ ⎜O ⎝ Pf：用归纳法 n = 1 时成立
λ2
征值 ⎟ ⎟ ⎟ ，其中 λ1,…,λn 的次序可以任意指定 % ⎟ λn ⎟ ⎠
(∗)⎞
可以设为(n = 1)阶方阵成立 对于 n 阶方阵 A = (aij)n×n 设特征值为 λ1,…,λn 取 λ1 对应的特征向量，记为 α1 ≠ 0，Aα1 =λ1α1 把 α1 扩展为可逆方阵 Q = (α1,α2,…,αn) ∴QTQ = In = (e1,e2,…,en) 又∵Q -1(α1,α2,…,αn) = (Q -1α1, Q -1α2,…, Q -1αn) ⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ 其中 Q −1α 1 = ⎜ ⎟ = e1 ， Q −1α 2 = ⎜ ⎟ = e2 ，…， Q −1α n = ⎜ ⎟ = en # # # ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
m
若 g(x) = b0 + b1x + … + bkxk，f(x)•g(x)=g(x)•f(x)，则 f(A)•g(A)=g(A)•f(A)
分块公式
⎛ A1 令A=⎜ ⎜0 ⎝
则：Leabharlann 0⎞ ⎟ ，A1，A2 为方阵 A2 ⎟ ⎠ 0 ⎞ ⎟ k ⎟ A2 ⎠
⎛ A1k （1） A k = ⎜ ⎜ 0 ⎝
(*) ⎞ ⎟
⎛ f ( A1 ) ⎜ ⎜ （2） f ( A) = ⎜ ⎜ ⎜ O ⎝
(*)
相似关系：A∽B， （P-1AP = B）
则：
存在可逆矩阵P
（1）(P-1AP)k = P-1AkP， （k=0,1,2,…） （2）f(P-1AP) = P-1f(A)P，f(x)为多项式
许尔公式（schur） ：每个复方阵，A = (aij)n×n 都相似于上三角形。
⎛ f ( A1 ) （2） f ( A) = ⎜ ⎜ 0 ⎝
⎛ A1 ⎜ ⎜ 令A=⎜ ⎜ ⎜O ⎝ A2
0 ⎞ ⎟ ，f(x)为多项式 f ( A2 )⎟ ⎠
⎟ ⎟ ⎟ ，A1,…,As 为方阵 % ⎟ As ⎟ ⎠
k A2
(*) ⎞
则：
⎛ A1k ⎜ ⎜ （1） A k = ⎜ ⎜ ⎜O ⎝
⎟ ⎟ % ⎟ Ask ⎟ ⎠ f ( A2 ) % ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ f ( As )⎟ ⎠