复杂计算问题

爱上数学复杂计算问题——基础学习一、解答题1、平均数问题例1：把自然数1，2，3，4，5····98，99分为三组，如果每组数的平均数恰好相等，那么此平均数为（）A.55B.60C. 45D. 50【答案】D【解题关键点】平均数问题解析：每组的平均数相等说明平均数等于1～99的平均数，1到99的平均数为（1+99）÷2=50，那么每组的平均数为50【结束】3、均值不等式例1：已知a ，b ，c 为不全相等的正数，则a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)+c(a 2+b 2)>（ ） . A.6abc B.7abc C.8abc D.9abc【答案】A【解题关键点】 222a b ab +≥(当且仅当a=b 时取“=”号)。

解析：观察要证不等式的两端都是关于a ，b ，c 的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和右积，具备均值不等式的特征。

∵ b 2+c 2≥2bc, a>0, ∴ a(b 2+c 2)≥2abc 同理，b(c 2+a 2)≥2bac, c(a 2+b 2)≥2cab, 又 ∵a ，b ，c 不全相等， ∴ 上述三个不等式中等号不能同时成立，因此 a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)+c(a 2+b 2)>6abc 。

【结束】5、数列的求和例1： A,B,C,D ，E 五个人在一次满分为100分的考试中，得分都大于91的整数。

如果A,B,C 的平均分为95分，B,C,D 的平均分为94分，A 是第一名，E 是第三名得96分，则D 的得分是（） A.96分 B. 98分 C. 97分 D. 99分【答案】C【解题关键点】平均数问题解析;A,B,C 的平均分为95分，那么A,B,C 的和为285，B,C,D 的平均分为94分，那么B,C,D 的和为282，所以A 和D 的差为3，显然B 项和D 项一定被排除，否则A 的得分将大于100分，如果D 等于96分，则意味D 和E 并列得三名，则B 和C 中必然有一个为第二名，也即成绩要大于96分，则B 和C 中的另一个的成绩一定要小于91分，显然不符题意，所以D 的得分只能为97分，所以选C.【结束】6、数列的通项公式例1：有一串数，第一个数是6，第二个数是3，从第二个数起，每一个数都比它前面的那个数与后面那个数的和小5，那么这串数，从第一个起到第400个数为止的400个数之和是（） A.1991 B. 1992 C. 1993 D. 1995【答案】D【解题关键点】考察数列的通项公式 解析:法一：因为115n n n a a a -+=++,所以115n n n a a a +-=-+,从第三个数起343254365,54,57a a a a a a a =-+=-+==-+=前400个数的和为122132399398239955?···52385S a a a a a a a a a a =++-++-+++-+=++⨯。

观察通项公式398397396395392510(10)10a a a a a =-+=-+=--++,多列几项会发现这个数列6项为一个循环。

则a 23399==a ,所以前400个数的和为3+2+398⨯5=1995法二：通过观察题目从第二个数起，每一个数都比它前面的那个数与后面那个数的和小5，即115n n n a a a +-=-+。

可以算出1234566,3,2,4,7,8a a a a a a ======，多列几项会发现这个数列6项为一个循环。

因为4006664=⨯+，所以123456123466()1995S a a a a a a a a a a =⨯+++++++++=【结束】8、比较大小例1：比较大小，1312-，43-，2120-，1110-（）。

A. 43-〈1110- 〈 1312- 〈 2120-B. 43- 〈1312- 〈 1110-〈2120-C. 2120-〈 1110-〈 1312-〈43-D.1312-〈1110-〈43-〈2120-【答案】D【解题关键点】考察数列的通项公式解析：原式等于比较101,201,31,121----的大小。

因为20112110131-<-<-<-即41113213101220-<-<-<-所以选A 【结束】10、比较大小例2：比较512与47的大小。

【答案】512<47【解题关键点】解析：因为512÷47=3548＜1，所以，512<47【结束】12、比较两个数的倒数例1：比较78与67的大小。

【答案】76 87 >【解题关键点】比较两个数的倒数解析：因为78的倒数是81177=+，67的倒数是71166=+，而1176<，因此7687>。

【结束】14、寻找中间数例1：比较815和37的大小。

【答案】83 157>【解题关键点】解析：因为81152>，3172<，所以83157>。

【结束】16、定义新运算例1：已知2*25a b a b =+-，那么13*(6*11)3+的结果是多少?( )A.215B.273C. 318D. 385【答案】B【解题关键点】按新运算规则逐步计算解析：2*25a b a b =+-,那么26*116211553=+⨯-=，213*(6*11)13*53132532270==+⨯-=，所以13*(6*11)32703273+=+=。

【结束】17、定义新运算例2：2x +5x+2=0，则2x +24x 的值为（ ）。

A.21 B.23 C. 25 D. 29【答案】A【解题关键点】按新运算规则组建方程 解析：由2X +5X+2=0可得2X =-5X-2,利用公式：214254)5(4)2(22)2(4,2)(222222222=-=--=-+=-+=+-+=+x x x x x x x x xx ab b a b a【结束】19、公倍数公约数例1：先将线段AB分成20等分，线段上的等分点用“”标注，再将线段分成21等分，等分点用“O”标注（AB两点都不标注），现在发现“”和“O”之间的最短处为2厘米，问线段AB的长度为多少？（）A.2460厘米B.1050厘米C. 840厘米D. 680厘米【答案】C【解题关键点】公倍数公约数解析：20到21的最小公倍数是420，所以AB的长度为420×2=840厘米【结束】22、整除问题例1：在1—300则300个自然数中，不能被7和9整除的数共有（）个A.42B.4C. 33D. 229【答案】D【解题关键点】整除规则能被7整除的有42个，能被9整除的有33个，能被63整除的有4个，所以不能被7和9整除的个数为300-（42+33）+4=229【结束】24、数码问题例1：一本故事书的页码，在排版时必须用972个数码，问：这本书共有多少页？【答案】360。

【解题关键点】一位数页数：9页 (1 2 3---9)，二位数页数：90页(10 11 12 13---99)假设100页以后有X 页，所以192903972x ⨯+⨯+⨯=即261x =.所以总共的页数是9+90+261=360。

【结束】25、数码问题例2：将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112…问：左起第2000位上的数字是多少？【答案】是0。

【解题关键点】本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码？”因为(2000－189)÷3＝603……2，所以2000个数码排到第99＋603＋1＝703(页)的第2个数码“0”．所以本题的第2000位数是0。

【结束】26、数码问题例3：从“1”一直写到“701”：12345678910111213…699700701。

共有多少个阿拉伯数字？【答案】1995. 【解题关键点】 解法一：第1到第9，字符数有：9个第10到第99，字符数有：90×2=180个第100到第701，字符数有：（701-99）×3=1806个 因此数字有：9+180+1806=1995个 解法二：由于一直是写道701，因此从100开始都是3个字符 因此我们将不是3个字符的1位数、2位数都补充成3位数我们看，第1到第9，补充成3位数的话就是001——009，也就多了2*9=18个数字10到99，补充成3位数的话就是010——099，也就多了1*90=90个数字因此就多了：18+90=108个数字所以701页的书本的字符数有：701×3-108=（701-36）×3=1995个【结束】28、分段计算例1：将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共6刀。

问这样操作之后，原来的绳子被剪成了几段？（）A.18B.49C. 42D. 52【答案】B【解题关键点】分段计算问题剪6刀应该是7×8=56段，但是原来还有7断连续，所以是56-7=49段，所以选B.【结束】29、分段计算例2：某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠措施：①一次购买金额不超过1万元，不予优惠；②一次购买金额超过1万元，但不超过3万元，给九折优惠；③一次购买金额超过3万元，其中3万元九折优惠，超过3万元部分八折优惠。

某厂因库容原因，第一次在该供应商处购买原料付款7800元，第二次购买付款26100元，如果他一次购买同样数量的原料，可以少付多少元？（）A. 1460元B. 1540元C. 3780元D. 4360元【答案】A【解题关键点】第一次付款7800元，因此第一次购买的原料价值7800元（不打折）；第二次付款26100元，因此第二次购买的原料价值26100÷0.9＝29000元（打九折）；所以两次购买的原料总价值为7800+29000=36800元。

①0～30000元的部分，应付30000×90%=27000元；②30000～36800元的部分，应付6800×80%=5440元。

综上，总共少支付（7800+26100）－（27000+5440）=1460元。

【结束】。