数列求和-裂项相消法_PPT课件
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裂项相消法课件(微课堂)
寻找相邻项
在分式中寻找相邻的项，特别是那些 具有相反符号的项，它们是裂项相消 的关键。
裂项相消法的注意事项
验证因式
在应用裂项相消法之前，要确保 分母中的因式是正确的。错误的
因式会导致后续计算出错。
保持代数恒等性
在应用裂项相消法时，要确保等式 的两边在经过变换后仍然保持恒等， 即等式的两边在变换后具有相同的 值。
3
分数裂项相消法的练习题
如求$frac{1}{2} + frac{1}{6} + frac{1}{12} + frac{1}{20} + ldots$的和，可以通过裂项相消法 快速得出结果。
代数表达式的裂项相消法练习
代数表达式裂项相消法的原理
将代数表达式拆分成多个部分，使得在求和或求积的过程中某些项相互抵消，简化计算过 程。
消法快速得出结果。
06Biblioteka 总结与展望裂项相消法的总结
裂项相消法是一种重要的数学方 法，主要用于解决数列求和问题。
它通过将一个数列拆分成若干个 子数列，然后利用相邻子数列的 相消性质，简化了数列求和的过
程。
裂项相消法在数学中有着广泛的 应用，不仅在数列求和中有用， 还可以用于解决一些组合数学问
题。
裂项相消法的应用前景与展望
02
裂项相消法的原理
分数的裂项
01 分数裂项法
将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，以 便于计算。
02 常见裂项形式
如$frac{1}{n(n+1)}$可以拆分为$frac{1}{n}frac{1}{n+1}$。
03 裂项技巧
根据分数的分子和分母特点，选择合适的拆分方 式，简化计算。
数列求和的基本方法和技巧ppt课件
1
ppt精选版
数列求和基本方法：
公式法 分组求和法 错位相减法 裂项相消法 并项求合法
2
ppt精选版
一.公式法：即 直 接 用 求 和 公 式 ， 求 数 列 的 前 n 和 S n
①等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式 ③ 1 23 n 1 n (n 1)
：Sn
na1(q a1(1
1) qn )
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
2
④ 12 22 32
n2
1n(n1)(2n1) 6
⑤ 13 23 33
n3
n (n 1) 2 2
ppt精选版
3
例1：求和：
1 . 4 6 8 … … + （ 2 n + 2 ）
2.1111 1
37
ppt精选版
2．(2013·唐山统考)在等比数列{an}中，a2a3＝32，a5＝32. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，求 S1＋2S2＋…＋nSn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为 q，依题意得
a1q·a1q2＝32， a1q4＝32，
解得 a1＝2，q＝2，
20
ppt精选版
常见的裂项公式有：
1. 1 1 1 n(n1) n n1
2. 1 1(1 1 ) n(nk) k n nk
3. 1 1( 1 1) (2n1)2 (n1) 22n12n1
4. 1 1 ( a b) a b ab
5 . 1 1 [ 1 1 ] n (n 1 )n ( 2 ) 2n (n 1 ) (n 1 )n ( 2 )
ppt精选版
数列求和基本方法：
公式法 分组求和法 错位相减法 裂项相消法 并项求合法
2
ppt精选版
一.公式法：即 直 接 用 求 和 公 式 ， 求 数 列 的 前 n 和 S n
①等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式 ③ 1 23 n 1 n (n 1)
：Sn
na1(q a1(1
1) qn )
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
2
④ 12 22 32
n2
1n(n1)(2n1) 6
⑤ 13 23 33
n3
n (n 1) 2 2
ppt精选版
3
例1：求和：
1 . 4 6 8 … … + （ 2 n + 2 ）
2.1111 1
37
ppt精选版
2．(2013·唐山统考)在等比数列{an}中，a2a3＝32，a5＝32. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，求 S1＋2S2＋…＋nSn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为 q，依题意得
a1q·a1q2＝32， a1q4＝32，
解得 a1＝2，q＝2，
20
ppt精选版
常见的裂项公式有：
1. 1 1 1 n(n1) n n1
2. 1 1(1 1 ) n(nk) k n nk
3. 1 1( 1 1) (2n1)2 (n1) 22n12n1
4. 1 1 ( a b) a b ab
5 . 1 1 [ 1 1 ] n (n 1 )n ( 2 ) 2n (n 1 ) (n 1 )n ( 2 )
知识点——裂项相消法PPT课件
第16页/共31页
第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有
意识地、有目的的进行探究，并解题成功.
bn
(1 n 1
1 ) 3n1 3n
裂项即逆用分式减法
3n1 3n
bn
n 1
n
Tn
3n1 3 n 1
点评：裂项相消法能够实施的条件是项与项 之间的“轮转”， 即前一项的减数与后一项被 减数相同.
第17页/共31页
第三个层次：能根据裂项相消法的本质特征有
意识地、有目的的进行探究，并解题成功.
变式：已知数列数列{an}的首项、公差都是1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
(Ⅱ)令bn
n 1 Sn Sn1
(n
N *)，求数列{bn}的前
n项和Tn .
答案：(1)an
n, Sn
点评：该解法应用了三个思想: ①放大； ②裂项(使分母的两个因式都变为奇数)；③提高 算式的精确度（部分项放大，另一部分不变）.
问题：能否只进行一次放大就解决问题呢？
首先改造通项公式：
bn
1 2n(2n 1)
1 4
1 n(n
1)
2
第25页/共31页
第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵 活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.
n(n 1) ; 2
2 (2) Tn 2 (n 1)(n 2) .
第18页/共31页
第四个层次：构造裂项相消法，严守程式与灵 活运用相结合，体会其本质是两项取值的轮转.
例6.设各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn ,
且Sn2 (n2 n 3)Sn 3(n2 n) 0(n N *).
(1 1 )] n n 1
裂项相消法求和ppt课件
(4)an
log
a (1
1) n
__l__o__a_g (_n1)loag n
7
已知 Sn为数列an｝ ｛的n前 项和，且S满 n n足 223n, （1）求数an的 列通项 （2）若 bn an1an1,求数列bn｝ ｛的n前 项和 Tn
8
(15年全国)S卷 n为数列an｝ ｛的n前 项和，已 an 知 0, an2 2an 4Sn 3 (1)求｛ an｝的通项公式 （2）设 bn ana1n1,求数列bn｝ ｛的n前 项和
数列求和（二）—— 裂项相消法
能力提升
1 ________
anan1
2
三、重难点点拨
• •
裂项
1 1 1 n(n1) n n1
• 请填空：
nn1212(1nn 12)
• 一般地： nn1k1k(1nn1k)
3
• 变式训练
已知 an nn21，求 Sn
已知 an n(n12),求Sn
4
三、增效练习
5
三、增效练习
6
常见的裂项求和
11 1
(1) a n
1 n(n
k)
( )
__k___n__ nk
(2)an
1 4n2 1
___12__(_2_n_1__ 12n11)
(3)an
1 n 1
____n___1 n n
18
在数列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱan｝ ｛中， a1 若 1,an1 3an2, (1)证明数a列 n 1｛ ｝为等比数列 (2)求数a列 n的通项公式
19
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数列求和-裂项相消法-PPT课件
步骤： ①展开：将Sn展开
为等b比n 数列
②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比
③错位：让次数相同的相对齐④相减⑤解出Sn
数列求和-裂项相消法
例题探究·提炼方法
(教材必修5习题2.3B组第四题)
解：
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
Sn a1 a2 a3
an1 an
(1- 1）（1 - 1）（1 - 1） （ 1 1） (1 1 ) 2 2 3 3 4 n 1 n n n 1
1 (1 1 ) 3 3n 1
数列求和-裂项相消法
规律方法·反思提升
(1)an
1 n(n
k)
1 k
(
1 n
n
1
k
)
(2)bn
1 4n2 1
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(
1 2n 1
1) 2n 1
(3)bn
9n2
1 3n
2
(3n
1 2)(3n
1)
1 3
(1 3n
2
1) 3n 1
数列求和-裂项相消法
1 n＋1＋
＝ n
n＋1－
n，
S2 016＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 016＝( 2－ 1)＋( 3－ 2)＋( 4－ 3) ＋…＋( 2 016－ 2 015)＋( 2 017－ 2 016)＝ 2 017－1. 答案：C
数列求和-裂项相消法
强化练习·扩展延伸
强化练习2
题型3：
2n
11
an (2n 1)(2n1 1) 2n 1 2n1 1
数列求和 数列求和的基本方法
知识回顾
为等b比n 数列
②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比
③错位：让次数相同的相对齐④相减⑤解出Sn
数列求和-裂项相消法
例题探究·提炼方法
(教材必修5习题2.3B组第四题)
解：
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
Sn a1 a2 a3
an1 an
(1- 1）（1 - 1）（1 - 1） （ 1 1） (1 1 ) 2 2 3 3 4 n 1 n n n 1
1 (1 1 ) 3 3n 1
数列求和-裂项相消法
规律方法·反思提升
(1)an
1 n(n
k)
1 k
(
1 n
n
1
k
)
(2)bn
1 4n2 1
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(
1 2n 1
1) 2n 1
(3)bn
9n2
1 3n
2
(3n
1 2)(3n
1)
1 3
(1 3n
2
1) 3n 1
数列求和-裂项相消法
1 n＋1＋
＝ n
n＋1－
n，
S2 016＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 016＝( 2－ 1)＋( 3－ 2)＋( 4－ 3) ＋…＋( 2 016－ 2 015)＋( 2 017－ 2 016)＝ 2 017－1. 答案：C
数列求和-裂项相消法
强化练习·扩展延伸
强化练习2
题型3：
2n
11
an (2n 1)(2n1 1) 2n 1 2n1 1
数列求和 数列求和的基本方法
知识回顾
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
高考数学专题复习《等比数列求和,裂项相消思想》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)
-
等比数列求和
——裂项相消思想
高考分析
纵观近几年高考命题，数列求和是高考中每年必考的内容之一.
全国卷经常以等差数列、等比数列为基础考查程序化计算类的数
列求和，近几年侧重于新的情境，考查内容更加灵活多变.
2020年全 2020年
2021年新 2021年全 2022年全国甲 2022年新高
卷
考Ⅰ卷
国Ⅰ卷
∙ = ∙
前面学习了等差数列的前n项和，那么
如何求等比数列的前n项和呢？
忆一忆
等比数列的前n项和公式的推导
采用了什么方法？
等比数列前n项和：Sn=a1+a2+a3+ ···+an
即：Sn=a1+a1q+a1q2+······+a1qn-2+a1qn-1
qSn= a1q+a1q2+a1q3+······+ a1qn-1+a1qn
例：数列{an }的通项公式an n2，数列{bn }的通项公式bn 2n
求数列{anbn }的前n项和
解：anbn n2.2n cn
Sn c1 c2 c3 cn
Sn 1.21 4.22 9.23 n2.2n
2S n
1.22 4.23 (n 1)2 2n n2.2n1
S n bn 1
1 qn
b1 a1 (
)
1 q
例：数列{an }的通项公式an n，数列{b n }的通项公式b n 2 n
求数列{an bn }的前n项和
解：设anbn n.2 bn 1 bn
n
等比数列求和
——裂项相消思想
高考分析
纵观近几年高考命题，数列求和是高考中每年必考的内容之一.
全国卷经常以等差数列、等比数列为基础考查程序化计算类的数
列求和，近几年侧重于新的情境，考查内容更加灵活多变.
2020年全 2020年
2021年新 2021年全 2022年全国甲 2022年新高
卷
考Ⅰ卷
国Ⅰ卷
∙ = ∙
前面学习了等差数列的前n项和，那么
如何求等比数列的前n项和呢？
忆一忆
等比数列的前n项和公式的推导
采用了什么方法？
等比数列前n项和：Sn=a1+a2+a3+ ···+an
即：Sn=a1+a1q+a1q2+······+a1qn-2+a1qn-1
qSn= a1q+a1q2+a1q3+······+ a1qn-1+a1qn
例：数列{an }的通项公式an n2，数列{bn }的通项公式bn 2n
求数列{anbn }的前n项和
解：anbn n2.2n cn
Sn c1 c2 c3 cn
Sn 1.21 4.22 9.23 n2.2n
2S n
1.22 4.23 (n 1)2 2n n2.2n1
S n bn 1
1 qn
b1 a1 (
)
1 q
例：数列{an }的通项公式an n，数列{b n }的通项公式b n 2 n
求数列{an bn }的前n项和
解：设anbn n.2 bn 1 bn
n
1数列求和之裂项相消法优质课件PPT全
1
nn
k
1 k
1 n
n
1
k
变式4：
求和：
Sn
1+ 1 1+2
1 1+2+3
1
1+2+3
n
例2 数列an的前n项和Sn , 通项公式an 2n1,
设bn
=
an +1 Sn Sn+1
，求:数列bn
的前项和Tn
bn
2n 2n 1 2n1 1
1
1
2n 1 2n1 1
1
Tn =1 2n1 1
1 n 1
n ,求其前n项和为Sn.
知识归纳
裂项相消法 分式型
裂项相消法的一般步骤 求通项 裂项 相消
裂项相消法常见裂项公式
求和
变式4：数列的通项公式an
nn
1
1 n
2
, 求其前n项和Sn.
n
n
1
1
n
2
1 2
n
1
n 1
n
1
1
n
2
Sn
=
1 2
1 2
n
1
1
n
2
变式1： 已知数列an为等差数列,a1 1 ,a1 a2 a3
S 数列 bn
满足 bn
2n 1
anan1 2
求：数列 bn
的前n项和
n
bn
2n
n2 n
1
12
1 n2
1 n 1 2
提升
数列an的前n项和Sn ,通项公式an
1 n2
,
证明: Sn 2
小结
数列求和ppt课件
法，分别求和后相加减．
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.
高考专题复习数学数列求和 PPT课件 图文
设 n N * ， xn 是曲线 y x2n2 1 在点 (1，2)
处的切线与 x 轴交点的横坐标.
（1）求数列 {xn} 的通项公式；
（2）记Tn x12x32
x2 2n1
，证明
Tn
1 4n
.
在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n 2 个数 构成递增的等比数列，将这 n 2 个数的乘积记作Tn ， 再令 an lg Tn, n≥1.
（2）求数列an 的通项公式；
（3）是否存在实数 a ，使不等式
(1 1 )(1 1 ) (1 1 ) 2a2 3
a1
a2
an 2a 2n 1
对一切正整数 n 都成立？若存在，
求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
设数列an 的前 n 项和为 Sn ,满足
2Sn an1 2n1 1 , n N* ,
则数列
1
的前10
项和为_________
an
设数列an，其前 n 项和 Sn 3n2 ，
bn为单调递增的等比数列， b1b2b3 512 ， a1 b1 a3 b3
（1）求数列an, bn的通项公式；
（2）若 cn
bn
bn
2 bn
1 n
bn
bn1
1(n
N* )
.
（1）求 an 与 bn ；（2）记数列{anbn} 的前 n 项和为Tn ，求Tn .
已知数列an ,bn , an 3n 1,bn 2n
记 Tn anb1 an1b2 a1bn , n N * ，求：Tn
7.裂项相消法求和
3.
设 bn
=
(n
+
2
1)(n
+
2)
，记数列
{bn
}
的前
n
项和为
Tn
，求使
Tn
£
24 25
成立的 n 的最大值.
答案：48
解析： bn
=
(n
2
+1)(n
+
2)
=
2 n +1
-
n
2 +
2
， Tn
=
b1
+ b2
+ + bn
=
2
1 - 1 + 1 - 1 ++ 1 - 1
23 34
n +1 n + 2
∴ S6
+ a6
-
S4
- a4
=
S5
+ a5
- S6
- a6
，化简得 4a6
=
a4 ，设等比数列{an} 的公比为 q ，则 q2
=
a6 a4
=
1， 4
( ) ∵ an > 0 n Î N*
，∴
q
>
0 ，∴ q
=
1 2
，∴
an
=
2´
1
n-1
=
2
1
n-2
.
2
( )( ) （2）由（1）得： bn
=
log 1 a2n-1
已知数列 {an} 的通项为 an
=
lg
n
+ n
1
，若其前
n
项和为
高中数学_数列裂项相消法求和教学课件设计
，并证
2bn
1 16
1
n
2
1
n 12
Tn
1 16
1
n
1
12
课堂小结：
请同学们说说你这节课有什么收获？
nn
1
1n
2 ,求数列an的前n项和Sn
1 1
1
an
2
nn
1
n
1n
2SnΒιβλιοθήκη 1 212
1
n 1n
2
通项公式特点分析
（二）等比型
已知数列{an}中，an
2n 2n 1 2n1 1
求数列{an} 的前项和 Sn
1
1
an
2n
1
2n1
1
通项公式特点分析
（三）无理式型
已知数列{an}中，an
1 n 1
高中理科数学：基于问题解决的微专题复习
数列求和
-----之裂项相消法求和
山东高考近五年考点分析
年份 2016年 2015年 2014年 2013年 2012年
题号 18 18 19 20 20
考查求和的方法 错位相减求和 错位相减求和 裂项相消求和 错位相减求和 公式法求和
通项公式特点分析
（一）等差型
已知数列
an 中，an
2n
1, bn
1 an an 1
,
求数列
bn
的前n项和Sn
an
2n
1
12n
1
1 2
(1 2n 1
1) 2n 1
通项公式特点分析
（一）等差型
变式1：已知数列{an }中，an
6n
1
32n
等比数列的前项和裂项法PPT课件
典例1 求sn
1 1 1 1 L 12 123 1234
1
1 2 3 L
,(n N*) n
解：Q
an
1 1 2 n
2 n(n 1)
2( 1 1 ) n n 1
先裂项后 还原配平
Sn
2
1
1 2
1 2
1 3
1 n 1
1 n
1 n
1 n 1
2
1
n
1
1
2n n 1
剩余项前后
1 1 2n 2n 1 2n 1
剩余项前 后对称
思考：若n为 奇数呢？
当n为奇数时，
∵ bn
(1)n1
4n an an1
(1)n1
4n
(2n 1)(2n 1)
(1)n1( 1 2n 1
1) 2n 1
∴ S n (1
1) (1 1) (1 3 35 5
1) 7
( 1 2n 3
2 n 1
1
(3) (1)n1
4n
(1)n1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1)
2n 1 2n 1
微课小结
2、“裂项法”一般有两个特点：
一、是裂项后每个分式的分子相同；
二、是每项的分母都是两个数（也可能是三个 或更多）的乘积，且这两个数的第一个数是前 一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要 进行转化。同时要明确消项的规律，一般情况 下剩余项是前后对称的。(续…)
对称 王新敞 特级教师 源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯 ·2007·
新疆 王新敞
奎屯
典例2
已知数列 的通项公式为 ， an
an
2 (2n 3
1)(2n 11)bn2n an，
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2 3 35 57
2n 3 2n 1 2n 1 2n 1
1 (1 1 ) 2 2n 1
数列求和-裂项相消法
例题探究·提炼方法
解：Q
bn
9n2
1 3n
2
(3n
1 2)(3n
1)
1 3
(1 3n
2
1) 3n 1
Tn b1 b2 b3 L L bn1 bn
1 (1- 1）（1 - 1）（1 - 1 ）L （ 1 1 ） ( 1 1 )
k)
1 k
(1 n
n
1
k
)
数列求和-裂项相消法
例题探究·提炼方法
解：Q
bn
1 4n2 1
(2n
1 1)(2n 1)
1 2
(1 (2n 1)
1) (2n 1)
Tn b1 b2 b3 L L bn1 bn
1 (1- 1）（1 - 1）（1 - 1）L （ 1 1 ） ( 1 1 )
3 4 4 7 7 10
3n 5 3n 2 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) 3 3n 1
数列求和-裂项相消法
规律方法·反思提升
(1)an
1 n(n
k)
1 k
(1 n
n
1
k
)
(2)bn
1 4n2 1
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(1 2n 1
1) 2n 1
(3)bn
9n2
1 3n
2
强化练习·扩展延伸
强化练习12：．.(2017·福 州 质 检 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ xa 的 图 象 过 点 (4,2) ， 令 an ＝
fn＋11＋fn，n∈N*.记数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S2 016＝(
)
A. 2 015－1 C. 2 017－1
B. 2 016－1 D. 2 017＋1
2 23 34
n 1 n n n 1
1 1 n 1
数列求和-裂项相消法
变式探究·方法升华
变式.
解：Q
an
1
nn
2
1 2
1 n
n
1
2
sn
a1 a2
an
1 1 3
1 24
1 35
1
nn 2
1 2
1
1 3
1 2
1 4
1 3
1 5
n
1
2
1 n
1 n 1
1 n 1
1 n
2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数， 使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等。
数列求和-裂项相消法
课后作业
必做题：基础达标6.11
选做题：已知数列 {an } 满足
a1 1 a2 1 L
1
3
a2 1 3n1
3n,
n
N
.
（1）求数列{an} 的通项公式 ；
（2）题型2：
an
1 nk
1 ( n1 nk
n)
解析：由
f(4)＝2
可得
4a＝2，解得
a＝12，则
f(x)＝x
1 2
.
∴an＝fn＋11＋fn＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1－
n，
S2 016＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 016＝( 2－ 1)＋( 3－ 2)＋( 4－ 3) ＋…＋( 2 016－ 2 015)＋( 2 017－ 2 016)＝ 2 017－1. 答案：C
数列求和-裂项相消法 强化练习2
强化练习·扩展延伸
题型3：
an
(2n
2n 1)(2n 1
1)
1 2n 1
1 2n1 1
数列求和-裂项相消法
课堂小结
常见式的拆项:
(1) 1 n(n 1)
1 1 n n1
(2) 1 n(n k)
1 (1 1 ) k n nk
(3)
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
(4)
1
nk n
1 ( nk n) k
(5)
(2n
2n 1)(2n 1
1)
1 2n
1
2n
1
1
1
数列求和-裂项相消法
课堂小结
裂项相消求和法”的特征：
（1）通项一般是分式型, （2）分母是因式相乘的形式； （3）每项裂成两个式子的差； （4）裂开的项出现有规律的相互抵消
特别注意：
1.抵消后不一定只剩下第一项前式和最后一项后式； 也有可能前面两项前两式和后面两项的后式。
数列求和 数列求和的基本方法
知识回顾
1
.分
组
求和
：
一个数列的通项公式是由若干 个等差数列或等比数列之和构
成 常见的类型：cn an bn
其中数列an 为等差数列，数列bn为等比数列
2.错位相减法： 一个数列的通项公式是由一个 等差数列和等比数列之积构成
常见的类型： cn anbn
其中数列an 为等差数列，数列bn为等比数列
n
1
2
1 1 1 1 1 2 2 n1 n 2
3 4
2n
2n 3
1n
2
数列求和-裂项相消法
观察一下例1 及变式通项公 式的分母两个 式子之差有什 么规律呢？
规律方法·反思提升
例1.an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
变式.an
1
nn
2
1 2
1 n
n
1
2
小结：an
1 n(n
1
1( 1 1 )
= (6n 5) (6n 1) —6——6—n——5———6n———1
数列求和-裂项相消法
你能说说 “裂项相 消求和法” 的特征吗?
规律方法·反思提升
你能说说 其中“消 项的规律
吗?
1
通项一般是分式型,
2 分母是因式相乘的形式；
消项的规律：前面保留第几项， 后面则保留倒数第几项，符号相反。
3
每项裂成两个式子的差；
4 裂开的项出现有规律的相互抵消
数列求和-裂项相消法
规律方法·反思提升
温馨提示
特别注意： 抵消后不一定只剩下第一项前式和最后一项后式； 也有可能前面两项的前式和后面两项的后式。
将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数， 使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等。
数列求和-裂项相消法
(3n
1 2)(3n
1)
1 3
(1 3n
2
1) 3n 1
数列求和-裂项相消法
学以致用
把下列数列的通项拆成两项之差
1
1( 1 1 )
= (2n 1) (2n 1)
1
= (4n 1) (4n 3)
2 2n 1 2n 1 ——1—(——1——————1— ) ——4—4—n——1———4—n——3
，求数列{bn} 的前n项和数列
Sn
步骤： ①展开：将Sn展开
②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比
③错位：让次数相同的相对齐④相减⑤解出Sn
数列求和-裂项相消法
例题探究·提炼方法
(教材必修5习题2.3B组第四题)
解：Q
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
Sn a1 a2 a3 L L an1 an
(1- 1）（1 - 1）（1 - 1）L （ 1 1） (1 1 )