分块矩阵的应用研究-[开题报告]

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分块矩阵的性质及其应用【开题报告】

阵的相关计算简单化, 而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题. 分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题, 以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上, 对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解, 所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念, 我们需要透彻的了解分块矩阵, 在此基础上较好地学会在何时应用矩阵分块, 从而研究它的性质及应用是非常必要的.根据目前国内外对矩阵应用研究的发展, 可以知道矩阵已经广泛应用到线性规划、线性代数、统计分析, 以及组合数学等.在这样的形式下, 必须要求对矩阵有一种科学的处理方式以提高应用效果.本文是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨了分块矩阵在各方面的应用.当前对分块矩阵的应用主要发展到计算和证明两大方面.证明方面: 通过对矩阵的分块证明了有关矩阵秩的定理以及其他线性代数证明问题; 计算方面,本文通过对分块矩阵的性质的研究很好的解决了求矩阵的逆矩阵问题, 求行列式, 求矩阵的秩等问题的新的快捷方式.二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题:研究的基本内容: 通过学习分块矩阵的相关的几种定义, 掌握分块矩阵的性质, 从而熟练分块矩阵的应用.解决的主要问题:1．了解分块矩阵的基本概念.2．探讨分块对角化的性质.3．研究分块矩阵的应用.三、研究步骤、方法及措施:研究步骤:1．查阅相关资料, 做好笔记;2．仔细阅读研究文献资料;3．在老师指导下, 确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告;4．翻译英文资料;5．撰写毕业论文;6．上交论文初稿;7．反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述;8．论文定稿.方法、措施:通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 参考相关内容. 在老师指导下, 与同组同学研究讨论, 用确定合理的方法来解决问题.四、参考文献:[1] 居余马. 线性代数[M]. 清华大学出版社,1992.[2] 穆大禄, 裴惠生. 高等代数教程[M]. 山东大学出版社, 1990.[3] 北京大学数学系. 高等代数[M]. 高等教育出版社.[4] 叶伯诚. 高等代数[M] . 青岛海洋大学出版社, 1989.[5]张敏. 分块矩阵的应用[J]. 吉林师范大学学报(自然科学版), 2003, 1(1): 120.[6] S.K.Jain. Linear Algebra: An Interactive Approach[M]. 北京: 机械工业出版社, 2003,7.[7] Hamilton J.D, “Time Series Analysis1” Princeton University Press[J].1999, 26 – 291.。

开题报告

鞍山师范学院数学系11届学生毕业设计（论文）开题报告课题名称：浅谈分块矩阵的性质及应用学生姓名：李超专业：数学与应用数学班级：11级1班学号：110113指导教师：赵丹15年01月17日一、选题意义1．理论意义在处理级数较高的矩阵时，常用到这样一种方法：把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样，特别是在运算中，把这些小矩阵当做数一样处理，这就是矩阵的分块。

分块矩阵在高等代数中具有很重要的应用，学术界对分块矩阵的研究已逐渐成熟，对某些问题的研究也比较深入。

分块矩阵作为高阶矩阵或结构特殊矩阵的处理工具，它的产生使得代数学中的其他知识点的联系构建了桥梁，恰当利用分块矩阵可使问题变得简单而明了。

其应用也相当广泛，如利用分块矩阵计算矩阵的行列式、求可逆矩阵的逆矩阵、证明矩阵秩的一些性质、解决方程组意义等。

2.实际意义传统的高等代数教学中，关于分块矩阵的应用并没有全面的归纳总结，很多教程都只是简单的距离了某几个应用而已，因此对矩阵的分块技巧及其应用的总结归纳，就显得比较具有现实意义。

因为通过这些归纳总结，学生在学习时就能更加轻松牢固地掌握它，使他们从中体会到在解决问题使用创新的方法所带来的乐趣，进而激发他们的求知欲。

二、论文综述1、理论的渊源及演进过程矩阵（Matrix）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。

在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数构成的方阵。

矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的。

就如矩阵的元素(数)一样，特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理。

把矩阵分块进行运算有许多方便之处。

因为在分块之后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是处理级数较高的矩阵时常用的方法。

分块矩阵是处理矩阵问题的重要技巧。

分块矩阵思想来源于对矩阵运算复杂度及存储空间的考虑。

特别当矩阵太大不适合存储在计算机内存中的时候，通过分块矩阵允许计算机每次只处理存储在内存中几个子矩阵，支持向量传输结构的向量计算机能够更加高效地运行支持分块矩阵的矩阵算法。

浅析分块矩阵的应用开题报告

毕业论文开题报告信息与计算科学浅析分块矩阵的应用一、选题的背景、意义1、选题的背景矩阵（Matrix）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。

在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（有深圳网域提出）等等。

“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵。

[4]矩阵理论是经典数学的基础，也是实用性最强的数学分支之一，是处理大量有限维空间形式与数学关系的强有力的工具.矩阵理论在系统科学、优化方法、控制论、图论、稳定性理论等众多领域中都有广泛的应用.计算机的普及进一步促进了矩阵理论的发展.为了便于分析和计算，根据矩阵的特点和实际运算的需要，用若干条位于行与行之间的横线及若干条位于列与列之间的纵线将矩阵分成若干小矩阵，以子块为元素形式的矩阵称为分块矩阵。

对于分块矩阵可以定义类似于普通矩阵的运算。

这些运算会使许多问题化繁为简。

[2]2、选题的意义矩阵理论是经典数学的基础，也是实用性最强的数学分支之一，是处理大量有限维空间形式与数学关系的强有力的工具.矩阵理论在系统科学、优化方法、控制论、图论、稳定性理论等众多领域中都有广泛的应用.计算机的普及进一步促进了矩阵理论的发展.为了便于分析和计算，根据矩阵的特点和实际运算的需要，用若干条位于行与行之间的横线及若干条位于列与列之间的纵线将矩阵分成若干小矩阵，以子块为元素形式的矩阵称为分块矩阵。

对于分块矩阵可以定义类似于普通矩阵的运算。

这些运算会使许多问题化繁为简。

[2]分块矩阵是一个矩阵，它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵。

然后把每个小矩阵看成一个元素。

由矩阵A 的若干行、若干列的交叉位置元素按原来顺序排成的矩阵称为A 的一个子矩阵。

把一个矩阵A 的行分成若干组，列也分成若干组，从而A 被分成若干个子矩阵，把A 看成是由这些子矩阵组成的，这称为矩阵的分块，这种由子矩阵组成的矩阵称为分块矩阵。

【开题报告】关于循环分块矩阵计算及其应用

开题报告数学与应用数学关于循环分块矩阵计算及其应用一、选题的背景与意义在现在的生产生活中，矩阵这一数学工具一直发挥着自己的作用。

简单的我们平时通过列表来分析数据，复杂的我们同样也利用矩阵来处理计算机的图像。

尽管他被广泛使用，并且其作用巨大。

但是我们对矩阵的认识并不完善，也正因为如此，国内外数学家对矩阵这一方面的内容的研究从没有停止过。

这也使得矩阵的结构越来越庞杂。

而其中的循环矩阵，也在很多领域都有着广泛的应用，如在编码理论，数理统计，理论物理，固态物理，结构计算，分子轨道理论，数学图象处理等方面应用很广。

而循环矩阵的逆特征值问题，在力学振动系统设计，分子结构理论，线性多变量控制理论及数值分析等领域中也经常出现。

因此，自1950年提出循环矩阵的概念以来，许多数学工作者对它进行了大量研究，得出很多成果。

目前由于循环矩阵的理论还不是很完善，而在实际生活中许多的数学模型是有关循环矩阵的，数学工作者对循环矩阵的研究仍在继续着。

因此，我也对循环矩阵做了进一步的学习和理解，并决定从循环分块矩阵入手，做一些相关的研究、整理，找到一些好的方法去求解分块循环矩阵的线性方程。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题1.分块矩阵及其性质。

1.1分块矩阵。

1.1.1分块矩阵的定义。

1.1.2分块矩阵的运算规则。

1.2.分块矩阵的性质及其推论。

2.循环分块矩阵性质及其求解。

2.1循环分块矩阵。

2.1.1循环矩阵定义。

2.1.2循环分块矩阵的定义。

2.1.3循环分块矩阵的性质及其推导过程。

2.2循环分块矩阵线性方程求解。

2008,24（4）:122-126[8]Davis P. Circulant matrices[M].New York: Wiley,1979.[9]Blahut R E. Fast Algorithm for Digltal Signal Processing. Addison-Wesley Reading,Mass,1984[10]Horowity E. A Fast Method for Interpolation Using Preconditioning. Information Processing Letter Vol.1,1972,157-163。

分块法求矩阵开题报告

分块法求矩阵开题报告分块法求矩阵开题报告一、引言矩阵是线性代数中非常重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。

而求解矩阵的问题一直是一个热门的研究方向。

本文将介绍一种求解矩阵的方法——分块法。

二、分块法的基本原理分块法是一种将大规模的矩阵分解成多个较小规模矩阵的方法。

通过将矩阵按照一定的规则进行分块，可以简化矩阵运算的复杂度，提高计算效率。

分块法的基本原理是将矩阵划分为多个子矩阵，然后利用这些子矩阵之间的关系来求解原始矩阵。

三、分块法的应用1. 线性方程组的求解分块法在求解线性方程组时发挥了重要作用。

通过将系数矩阵和常数向量分块，可以将大规模的线性方程组转化为多个较小规模的子方程组。

然后，通过求解这些子方程组，最终得到原始线性方程组的解。

2. 特征值和特征向量的计算求解矩阵的特征值和特征向量是许多科学和工程问题中常见的任务。

分块法可以将大规模的特征值问题转化为多个较小规模的子问题。

通过求解这些子问题，可以得到原始矩阵的特征值和特征向量。

3. 矩阵的乘法和逆矩阵的计算矩阵的乘法和逆矩阵的计算是线性代数中常见的操作。

利用分块法，可以将大规模的矩阵乘法和逆矩阵的计算转化为多个较小规模的矩阵操作。

通过求解这些子问题，可以得到原始矩阵的乘积和逆矩阵。

四、分块法的优势和挑战1. 优势分块法可以将大规模的矩阵问题转化为多个较小规模的子问题，从而简化了计算的复杂度。

通过合理地选择分块方式，可以充分利用矩阵的结构特点，提高计算效率。

2. 挑战分块法在实际应用中面临一些挑战。

首先，选择合适的分块方式是一个关键问题。

不同的分块方式可能会导致不同的计算效果。

其次，分块法需要处理子矩阵之间的边界问题，这对于算法的实现和优化提出了一定的要求。

五、总结分块法是一种求解矩阵的方法，通过将矩阵分解为多个较小规模的子矩阵，可以简化计算的复杂度，提高计算效率。

分块法在线性方程组的求解、特征值和特征向量的计算以及矩阵的乘法和逆矩阵的计算等方面有广泛的应用。

分块矩阵开题报告

分块矩阵开题报告引言分块矩阵算法是一种在计算机科学和数学领域用于处理大规模矩阵的算法。

在许多应用中，如图像处理、机器学习和科学计算等领域，矩阵操作是非常常见的。

然而，当面对大规模矩阵时，传统的算法可能面临内存不足、计算速度慢等问题。

分块矩阵算法可以通过将大规模矩阵划分为多个小块，并进行并行计算，从而提高计算效率和降低内存占用。

目标本文旨在探讨分块矩阵算法在大规模矩阵处理中的应用，并对其性能进行评估和分析。

具体目标如下： - 研究分块矩阵算法的基本原理和基础知识； - 探讨分块矩阵算法在不同应用领域的应用情况； - 分析分块矩阵算法在大规模矩阵处理中的性能表现，并与传统算法进行对比； - 提出进一步优化分块矩阵算法的可能方法。

方法本文将通过以下步骤来完成对分块矩阵算法的研究和评估： 1. 收集和整理分块矩阵算法的相关文献和资料，了解其基本原理和应用情况； 2. 分析分块矩阵算法在不同应用领域的具体应用案例； 3. 设计实验证明分块矩阵算法的性能，包括计算时间、内存占用等方面的指标； 4. 对比分块矩阵算法与传统算法在性能上的差异； 5. 提出针对分块矩阵算法的优化方法，并进行实验验证。

预期结果通过本文的研究，预期可以得出以下结论： 1. 分块矩阵算法在大规模矩阵处理中具有较高的计算效率和较低的内存占用； 2. 分块矩阵算法在不同应用领域的性能表现存在差异； 3. 分块矩阵算法与传统算法在性能上存在一定的优劣势； 4. 可以通过优化算法和并行计算等方法进一步提升分块矩阵算法的性能。

计划和进度本文的计划和进度如下： 1. 收集和整理相关文献和资料（2天）； 2. 阅读和理解分块矩阵算法的基本原理和知识（2天）； 3. 搜索和分析分块矩阵算法在不同应用领域的应用案例（3天）； 4. 设计实验并进行实验验证（5天）； 5. 分析实验结果，撰写开题报告（3天）。

结论本文将通过对分块矩阵算法的研究与评估，探讨其在大规模矩阵处理中的应用和性能表现。

矩阵分块的技巧及其应用开题报告 2

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六、参考文献目录（参考文献量不少于 15 部/篇，近五年的文献量不少于 8 部/篇） [1]邱维声.高等代数[M].北京：清华大学出版社，2010.6. [2]Steven J.Leon 著；张文博，张丽静译.线性代数(第七版)[M]。北京：机械工业出版社，2007.2. [3]杨子胥.高等代数精选题集[M].北京：高等教育出版社，2008.6 [4]谢国瑞.线性代数及应用[M].北京：高等教育出版社.1999. [5]王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.9. [6]黄有度，狄成恩，朱士信.矩阵论及其应用[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2004. [7]李启文，谢季坚.线性代数内容、方法与技巧[M].武汉：华中科技大学出版社，2003.7. [8]卢建立，卢占华.矩阵的分块方法及运算结果的一致性[J].中国西部科技，2007（06）. [9]孙莉，陈传良，王品超.分块矩阵的理论应用[J].曲皁师范大学学报，2002（01）. [10]祁秋菊.分块矩阵的相关应用[J].科技信息，2009（02）. [11]孙要伟，郑远平.分块矩阵在矩阵特征值问题中的应用[J].牡丹江大学学报，2008（08）. [12]徐天保.分块矩阵的应用[J].安庆师范学院学报，2010（02）. [13]蒋滟君.分块矩阵在求矩阵秩及其相关不等式证明中的应用[J].科协论坛，2011（10）. [14]高振兴.矩阵的分块与应用[J].辽宁师范大学学报，2011（02）. [15]王秀芳.分块矩阵的应用讨论.连云港师范高等专科学校学报，2008（03）. [16]张树元，战心和.矩阵分块的 Jacobi 迭代收敛的几个准则[J].东北师范大学学报自然科学学报，1992（02）.
凯里学院本科毕业论文开题报告表

分块矩阵的初等变换及其应用开题报告 [开题报告]

毕业论文开题报告信息与计算科学分块矩阵的初等变换及其应用一、选题的背景、意义1．选题的背景在数学的矩阵理论中，一个分块矩阵或是分段矩阵就是将矩阵分割出较小的矩形矩阵，这些较小的矩阵就称为区块。

换个方式来说，就是以较小的矩阵组合成一个矩阵。

分块矩阵的分割原则是以水平线和垂直线进行划分。

分块矩阵中，位在同一行（列）的每一个子矩阵，都拥有相同的列数（行数）。

通过将大的矩阵通过分块的方式划分，并将每个分块看做另一个矩阵的元素，这样之后再参与运算，通常可以让计算变得清晰甚至得以大幅简化。

例如，有的大矩阵可以通过分块变为对角矩阵或者是三角矩阵等特殊形式的矩阵。

2．选题的意义矩阵的分块是处理较高阶矩阵时常用的方法，用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵分成若干子块，使得阶数较高的矩阵化为阶数较低的分块矩阵。

在运算中，我们有时把这些子块当作元素一样来处理，从而简化了表示，便于计算。

分块矩阵初等变换是线性代数中重要而基本的运算，它在研究矩阵行列式、特征值、秩等各种性质及求矩阵的逆、解线性代数方程中有着广泛的应用。

因此，如何直接对分块矩阵实行初等变换显得非常重要，本文的目的就是讨论分块矩阵的初等变换及其应用[1]。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题2.1 分块矩阵及其初等变换2.1.1 分块矩阵的定义：将一个分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多块的低阶矩阵，每一块低阶矩阵称为A 的子块。

以子块为元素的矩阵A称为分块矩阵。

我们将单位矩阵E分块：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s r r E E E 000001O ，其中E r 是r i 阶单位矩阵(1<i<s) 称E 为分块单位矩阵[2]。

2.1.2 分块矩阵与广义初等变换[3]分块矩阵可以解释为矩阵中的矩阵,而对这个矩阵进行初等变换, 相应的初等矩阵也要变为可计算的分块矩阵,所进行的变换陈维广义初等变换.其目的在于简化计算和证明.定义 1 矩阵称为分块矩阵,如果元素A ij 为阶矩阵,其中m 1+m 2+m 3+…+m r =M 注释：定义规定分块矩阵为与同行的矩阵有相同的行数,位于同列的元素有相同的列数.它们的行数之和构成分块矩阵的行数, 列数之和构成分块矩阵的列数. 分块矩阵的运算满足矩阵的运算定义,由于它的特殊性,故此给出各自的定义.•设 A,B 为两个分块矩阵,则定义它们的加法为 A+B=(A ij + B ij )条件：A,B 为同阶矩阵而且A ij , B ij 也为同阶矩阵.•设 A=(A ij )rxt , B=(B ij )txs 为两个分块矩阵,则定义它们的乘法为A X B=(C ij )其中∑==tj kj ikij B AC 1的列数t 等于B 的行数而且A ij x B ij 也存在.同样地,广义初等变换与广义初等矩阵可简单叙述如下：定义 2 广义初等变换是对分块矩阵进行以下的变换的统称.• 交换矩阵的两行(列)； • 将某行(列)左(右)乘可逆矩阵；•将某行(列)左(右)乘矩阵加到另一行(列)上；定义 3 设E nXn 为分块的单位矩阵,对其进行一次广义初等变换所得到的矩阵称为广义初等矩阵[4].例子 1 广义初等矩阵具体形式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000mn n mE E E E , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n mE P E E 0000, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛En Q E E E mn m000 广义初等矩阵(变换)的作用如同一般的初等矩阵(变换),遵守"左行右列"原则. 例子 2 设 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D C B A M那么 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A D C D C B A EE m n 00, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C PB PA D C B A En P 00 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D QB C QA B A D C B A En Q E m 02.1.3 分块矩阵的初等行（列）变换的定义[5]与普通矩阵的初等行变换类似，分块矩阵也有三种类型的初等行变换：1.把一个块行的左P 倍（P 是矩阵）加到另一个块行上；2.换两个块行的位置；3.用一个可逆矩阵左乘某一块行。

开题报告_分块矩阵

200年月日
本题目研究的意义
本课题的基本内容
本报课题的重点和难点
论文提纲
1引言
2分块矩阵及其性质
3分块矩阵在计算、证明方面的应用
3.1用分块矩阵解决行列式问题
3.2用分块矩阵解决方程组问题
3.3用分块矩阵证明矩阵秩的一些性质
4对分块矩阵推广的研究
5结论
主
要参考文献
[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社,2007:181-186.
学校级（届）
学生毕业论文（设计）开题报告
论文题目专业
学பைடு நூலகம்姓名指导教师
本题目研究的现状
分块矩阵是矩阵论中一个比较重要的内容，它的应用研究非常广泛和深刻，特别是在高等代数和线性代数中分块矩阵的应用更加广阔，例如在计算行列式、求逆矩阵及矩阵的秩等方面，都有着很重要的应用。但国内一些专家对其研究主要是在证明和计算等方面。如文献[5]中研究了用分块矩阵解决行列式和方程组等问题，文献[3]中研究了用分块矩阵解循环分块矩阵方程问题，文献[6]中研究了用分块矩阵求逆矩阵问题。但在分块矩阵的推广方面很少有研究，难以创新，但分块矩阵的应用的研究不能仅仅停留于现在这个程度，应该使其推广和应用到其它领域之中，使之能够成为我们学习和研究便利的工具。
[5]张敏.分块矩阵的应用[J].吉林师范大学学报（自然科学版），2003，
1(1):1-3.
[6]祁秋菊.分块矩阵的相关应用.科技信息，2009:1.
[7]李晓红，卜啸天.分块矩阵的初等变换及其应用.高等函授学报(自
然科学),2007:1-3.
指导教师审核意见
签名：
年月日
教研室主任（签名）教学学院院长（签名）

分块矩阵的初等变换及其应用开题报告 [开题报告]

换个方式来说，就是以较小的矩阵组合成一个矩阵。

分块矩阵的分割原则是以水平线和垂直线进行划分。

分块矩阵中，位在同一行（列）的每一个子矩阵，都拥有相同的列数（行数）。

通过将大的矩阵通过分块的方式划分，并将每个分块看做另一个矩阵的元素，这样之后再参与运算，通常可以让计算变得清晰甚至得以大幅简化。

例如，有的大矩阵可以通过分块变为对角矩阵或者是三角矩阵等特殊形式的矩阵。

在运算中，我们有时把这些子块当作元素一样来处理，从而简化了表示，便于计算。

分块矩阵初等变换是线性代数中重要而基本的运算，它在研究矩阵行列式、特征值、秩等各种性质及求矩阵的逆、解线性代数方程中有着广泛的应用。

因此，如何直接对分块矩阵实行初等变换显得非常重要，本文的目的就是讨论分块矩阵的初等变换及其应用[1]。

以子块为元素的矩阵A称为分块矩阵。

我们将单位矩阵E分块：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s r r E E E 000001O ，其中E r 是r i 阶单位矩阵(1<i<s) 称E 为分块单位矩阵[2]。

分块矩阵的应用研究报告

1引言在数学名词中，矩阵（英文名Matrix ）是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据.这个定义很好的解释了Matrix 代码是制造世界的数学逻辑基础.数学上，矩阵就是方程组的系数及常数所构成的方阵.把它用在解线性方程组上既方便，又直观.例如对于方程组111122223333(1.1)(1.2)(1.3)a xb yc zd a x b y c z d a x b y c z d ++=++=++= 我们可以构成一个矩阵111122223333(1.4)a b c d a b c d a b c d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为这些数字是有规则的排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵，通过矩阵的变化，就可以得出方程组的解来.数学上，一个*m n 矩阵乃一个m 行n 列的矩形阵列.矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成.矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常用于很多学科中.如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等.在实际生活中有许多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算的证明中则会是一个很繁琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解决，矩阵分块的思想由此产生，对级数较高矩阵的处理是矩阵的相关内容中重要的一部分，分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构.本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨分块矩阵在各方面的应用，以计算和证明两大方面为主.在已有的相关文件中，分块矩阵的一些应用如下：（1）从行列式的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.（2）分块矩阵在线性代数中是一个基本工具，研究许多问题都需要它.借助分块矩阵的初等变换可以发现分块矩阵在计算行列式、求逆矩阵及矩阵秩方面的应用.如：设A B M C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是一个四分块n 阶矩阵，其中A 、B 、C 、D 分别是,r r ⨯(),r n r ⨯-(),n r r -⨯()n r -⨯()n r -阶矩阵，若A 可逆，可证M =AD - 1CA B -，另若D 可逆，则可证得1M D BD C -=-.（3）通过绪论证明矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理问题，用分块矩阵求逆矩阵问题，用分块矩阵求矩阵行列式的问题，用分块矩阵求矩阵的秩的问题，利用分块矩阵证明一个矩阵是零矩阵的问题. 如用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理：已知矩阵秩()AB ≤秩()A ，且秩()AB ≤秩()B 可证得秩()AB ≤ {}min (),()r A r B .（4）利用分块矩阵求高阶行列式.如设A 、C 都是n 阶矩阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则可求得A B AD BC CD.（5）给出利用分块矩阵计算行列式A D H CB=的方法，可分几个方面讨论，当矩阵A 或B 可逆时;当矩阵A =B ，C =D 时;当A 与C 或C 与B 可交换时；当矩阵H 被分成两个特殊矩阵的和时，行列式的计算.（6）分块矩阵有非常广泛的应用，特别利用分块矩阵证明矩阵秩的性质显得非常简洁，而且方法也比较统一，有其独特的优越性.本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算与证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题可以带来很大的便利.2 分块矩阵及其性质2.1 分块矩阵2.1.1【5】【6】分块矩阵的定义用纵线与横线将矩阵A 划分成若干较小的矩阵：111212122212t t s s st A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （2.1）其中每个小矩阵 (1,2,,;1,2,,)ij A i s j t ==叫做A 的一个子块；分成子块的矩阵叫做分块矩阵.2.1.2【5】【6】分块矩阵的运算规则1(1)()()()(2)()()(3)()()(),(1,2,,;1,2,,)(4)()()ij st ij st ij ij st T T ij st ji tstij st ij tp ij sp ij ik kj k ij st ij stA B A B A A A B C C A B i s j t k A k A =±=±======∑在用规则（1）时，A 与B 的分块方法须完全相同；用性质（3）时，A 的列的分法与B 的行的分法须相同.2.2分块矩阵的性质及其推论在行列式计算中，我们经常用到下面三条性质：（1）若行列式中某行有公因子，则可提到行列式号外面；（2）把行列式中的某行乘上某一个非零数，加到另一行中去，其值不变；（3）把行列式的某两行互换位置，其值变号.利用矩阵的分块，我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行推广. 性质1【2】设方阵A 是由如下分块矩阵组成123123123A A A A B B B C C C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2.2）其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，又M 是任一s 级方阵，对于矩阵123123123A A A B MB MB MB C C C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2.3）则B M A =.证明：设s E 为s 级单位矩阵，则12312312300000000000sss s E A A A E B M B B B M A E C C C E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是 0000ssE B M A M A E == 性质2【2】设矩阵A 是由如下分块矩阵组成123123123A A A A B B B C C C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2.4）其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，又M 是任一s 级方阵，对于矩阵123112233123A A A D B MC B MC B MC C C C ⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （2.5）则A D =证明：由123123123000ss s E A A A E M B B B E C C C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦= 123112233123A A A B MCB MC B MC C C C ⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中s E 为s 级单位矩阵，对上式两边同时取行列式得A D =性质3【2】设方阵A 和B 写成如下的形式：123123123A A A A B B B C C C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，123123123B B B B A A A C C C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，则：B =A ，当s 为偶数时；B =-A ，当s 为奇数时.证明：A 可由B 中的123,,,B B B 与123,,A A A 相应的两行对换而得到，而对换行列式得两行，行列式反号，故当s 为偶数时B =A ，当s 为奇数时B =-A 可以证明，对于一般分块矩阵也具有类似的性质.同时，这些性质不仅对行成立，对列也同时成立.推论1 设,A B 都是n 阶方阵，则有AB A B = （2.6）证明：作2n 阶行列式0AB A C E=由拉普拉斯展开定理得C AB E AB ==. 又由性质2并应用于列的情况，有000AB A AB AB A AA B EEBEB E-===--推论2 设,A B 都是n 阶方阵，则有A B A B A B BA=+- （2.7）证明：根据性质2并应用于列的情况，有A B A B B A B B A B A B BAB A AA B++===+-+-下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用. 例 1 计算2n 阶行列式00000000000000000000000a b a b a b D b a b a b a =解：令A=000000000000a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B=000000000000b b b⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0000000000000a b a b a b ab A BD A B A B B Ab a b a b a b a--==+-=--()()n n a b a b =+-.推论3 设A 、B 、C 、D 都是n 阶方阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则有A B AD CB C D=- （2.8）证明：根据性质2.因为A 可逆，并注意到AC CA =，用1CA --乘矩阵A B C D ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的第一行后加到第二行中去得10A B D CA B -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 从而10A B A B CDD CA B-=-111A D CA B AD ACA B AD CAA B AD CB ---=-=--=-例 2 计算行列式4110320143422113=P解：设 A BP C D=其中31121023,,,24340114A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 由计算知100A =≠ 且AC CA =，所以61153518P AD CB =-==.把行列式的性质在分块矩阵中进行推广之后，我们又由这三个新的性质得到三个结论.设A 、B 、C 、D 都是n 阶方阵.则有AB A B = （2.6） A B A B A B BA=+- （2.7）A B AD CB C D=- （2.8）结论(2.6)告诉我们两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵行列式的乘积.结论(2.7)则说明,当一个行列式可以分解成四个级数相等的方阵A 、B 、B 、A 时(即A BB A),那么我们可以转化为求A B A B +-这样我们就把求2n 级的行列式转换成了求n 级的行列式.结论（2.8）同样也说明当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵A 、B 、C 、D 时（即A B CD），我们可以转换为求AB CD -，同样将一个2n 级的行列式转换成了n 级的行列式，这样的处理能给我们的计算带来很大的方便.例题1和例题2就是很好的印证.但并不是任何矩阵都能做到这样，因此我们在解行列式计算题时应首先观察其特点.一但发现有以上行列式的特点，即可用之.3 分块矩阵在证明方面的应用3.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用3.1.1分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用定理1【11】【12】【15】秩（AB ）≤秩（A ），且秩（AB ）≤秩（B ）,则秩（AB ）≤min ｛秩（A ），秩（B ）｝证明：令1212,(,,...,),(,,...,)m s m n n s n s C A B A a a a C r r r ⨯⨯⨯===则1112121222121212(,,...,)(,,...,)s s s n n n ns b b b b bb r r r a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11112121212122221122n n n n s s s ns nr b a b a b a r b a b a b a r b a b a b a =+++=+++=+++12,,...,(1)s r r r ∴可由12,,...,n a a a （2）线性表示所以秩（1）≤秩（2），即秩（C ）=秩（AB ）≤秩（A ）令1122,m n n n C B n βββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以1111211221222212n n m m m mn n n a a a n aa a n a a a βββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即11111221221122221122n n n n m m m mn na a a a a a a a a ηβββηβββηβββ=+++=+++=+++12,,...,(3)m ηηη∴可由12,,...,(4)n βββ 线性表示所以秩（3）≤秩（4），即秩（C ）=秩（AB ）≤秩（B ）也即秩（AB ）≤min ｛秩（A ），秩（B ）｝定理2【11】【12】【15】设A ，B 都是n 阶矩阵，若AB =0则秩（A ）+秩（B ）≤n .证明：对B 分块如下：12()n B B B B =.由于AB =0，即12()0n AB AB AB =.即0(1,2,...,)i AB i n ==.说明B 的各列都是0AX =的解.从而秩12()n B B B ≤基础解系=n -秩（A ）.即秩（A ）+秩（B ）≤ n .3.1.2 分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用例 3 设A ，B 都是n 阶矩阵，求证：秩（AB A B ++）≤秩（A ）+秩（B ）证明：因为0000A AB A B A AB A A B B B +++⎡⎤⎡⎤⎡⎤→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以0000E E A AB A B E B E A E B EE B -++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为 ,0E E E B E E E E ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 都可逆 . 所以秩0A AB A B B ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦=秩00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦而秩0A AB A B B ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦≥秩[]AB A B ++且秩00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=秩（A ）+秩（B ）. 所以秩（AB A B ++）≤秩（A ）+秩（B ）.例 4 设A 为n m ⨯矩阵，s A 是从A 中取s 行得到的矩阵，则秩（s A ）≥秩（A ）+s m -.证明：不妨设s A 是A 的前s 行，而后m s -行构成的矩阵为B ，则00s s A A A B B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.又显然有秩（A B +）≤秩（A ）+秩（B ）.于是秩（A ）≤秩0s A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+秩0B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=秩（s A ）+m s -.利用分块矩阵证明矩阵秩的问题，一般采用两种方法，一是利用已知矩阵作为元素来拼成高级的矩阵来证明，如例题1.另一种方法是将已知矩阵拆成低级数的矩阵来证明，如例题2.这两种方法在证明矩阵的秩的问题时都是很有效的，很大一部分相关矩阵秩的问题都可以用分块矩阵来证明.3.2 分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中有着广泛的应用，欲透彻掌握达到运用自如却非易事.其基础知识抽象，解题方法技巧性强，稍有不慎就会陷入困境.作为线性代数的一个重要内容和工具的矩阵，我们大家往往容易忽视它重要的一点——矩阵分块的作用，本节就谈谈它在线性相关性及矩阵的分解证明中的应用.3.2.1 关于矩阵列（行）向量线性相关性定理1【4】【8】【9】【10】矩阵A 的列向量线性无关的充分必要条件是0AX =只有零解.证明：令12()k A A A A =，其中(1,2,...,)i A i k =是A 的列向量，且 11220(1,2,,)k k a A a A a A i k +++== .即 1212()0k k a a A A A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，也即 120k a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 若12,,,k A A A 线性无关，则有120,0k a a a AX =====只有零解，反之亦成立. 例5 矩阵B 列线性无关，BC A =.求证：C 列线性无关的充要条件是A 列线性无关.证明：充分性：使0,CX =即()0B AX =，记AX Y =，则0BY =，因为B 列无关，须0Y =，即0AX =，又A 列无关，须0X =，从而C 列无关.必要性：要使0AY =，两边左乘B ，则0BAY =，即0CY =，因为C 列无关，所以0Y =，从而A 列无关.3.2.2 矩阵的分解定理2【4】【8】【9】【10】设(),nk A γγ=（1）,,()()n k M N M N γγγγβγ∃==使A MN =；（2）,,()()nk kk R S R S γγγ∃==使A RS =；（3）,,()()nn nk R S R S γγγ∃==使A RS =.证明：,,0,0,nn kk P Q P Q ≠≠使110000.00nk I PAQ I A P Q γγ--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦（1）将1P -与1Q -作如下分块：11(,),k n N P M L Q H γγ--⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ . 则0(,)00I N A M L MN H γ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. （2）令10,00nn nn I P P γ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦因为000000000nk nk kk I I I γγγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 令1000nn nk I P P γ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1000kk kk I S Q γ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦即得，A RS =. （3）因为10000,00000000nk kk nn nk I I I I S Q γγγγ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得，A RS =. 矩阵的列（行）向量相关与无关性的问题很显然都会涉及到利用矩阵分块，因为矩阵的列（行）都可以看作是矩阵的子块，对于处理矩阵的分解也是一样，在线性代数中还有很多问题都可类似的通过分块矩阵来解决.4 分块矩阵在计算方面的应用4.1 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用定理1【16】【20】【21】设A B P C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是一个四分块方阵,其中B 为r 阶方阵,C 为k 阶方阵,当B 与1()C DB A --都是可逆矩阵时,则P 是可逆矩阵,并且11111111111111()()()()C DB A DB C DB A P B B A C DB A DB B A C DB A --------------⎡⎤---=⎢⎥+---⎣⎦ 特例 (1)当0,0,A D B ==与C 都可逆时,有.11100C P B ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.(2)当0,0,A D B =≠与C 都可逆时,有111110C DB C P B -----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦. (3)当0,0,A D B ≠=与C 都可逆时,有111110C P B B AC -----⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 证明：设P 可逆,且1X Y P Z W -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,其中Y 为k 阶方阵,Z 为r 阶的方阵.则应有1X Y A B P P E Z W C D -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 即00k r E XA YC XB YD E ZA WC ZB WD ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦. 于是得到下面的等式(4.1)0(4.2)0(4.3)(4.4)kr XA YC E XB YD ZA WC ZB WD E +=+=+=+= 因为B 可逆,用1B -右乘(4.2)式可得1X YDB -=-代入(4.1)式得11()Y C DB A --=-，则 111()X C DB A DB ---=--.用B 右乘(4.4)式可得 111()r Z E WD B B WDB ---=-=-.代入(4.3)式得111()W B A C DB A ---=-.则可得11111()Z B B A C DB A DB -----=+-.所以11111111111111()()()()X Y C DB A DB C DB A P Z W B B A C DB A DB B A C DB A --------------⎡⎤---⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦.定理2【16】【20】【21】设A B Q C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是一个四分块方阵,其中A 为r 阶方阵,D 为k 阶方阵,当A 与1()D CA B --都是可逆矩阵时,则Q 是可逆矩阵,并且111111*********()()()()A B A A B D CA B CA A B D CA B Q C D D CA B CA D CA B ---------------⎡⎤+---⎡⎤==⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦特例(1)当0,0,B C A ==与D 都可逆时,有11100A Q D ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. (2)当0,0,C B A =≠与D 都可逆时,有111110A A BD Q D -----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦. (3)当0,0,C B A ≠=与D 都可逆时,有111110A Q D CA D -----⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 此结论可参考命题1.例6 设3741025901001000004000006M -⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,求1M -. 解：令0010037410,,00,0402590100006A B C D -⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 则很容易求得1110057,01/4025001/6A D ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥-⎣⎦且111005741001/4025901001/6A BD ---⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦435/47/6191/21/2--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 由命题2可得,1111157435/47/623191/21/20010000001/4000001/6A A BD M D -------⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎡⎤-⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦例 7 求矩阵0001200035400000200003400M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵. 解：设4000000012,,020,000003503400A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则111/40052,01/203103/81/4B C --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦. 由命题1可得:111001/4100001/2000003/81/405200031000C M B ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 本节主要讲述了欲求一个矩阵的逆矩阵,现将该矩阵分成四小块,,,A B C D 再根据该四小块的具体情况推导出了求这个矩阵的逆矩阵的公式.这里我们重点的区别,,,A B C D 中哪些可逆哪些不可逆，再具体运用.4.2 分块矩阵在行列式计算方面的应用在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.本节给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.4.2.1 矩阵A 或B 可逆时，行列式H 的计算定理1 ,A B 分别为m 与n 阶行列式.（1）当A 可逆时，有1A DA B CA D C B -=- （4.5）（2）当B 可逆时，有1A DA DBC B C B -=- （4.6）证明：（1）根据分块矩阵的乘法，有1100E A D A D CA E C B B CA D --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 由引理知，两边取行列式即得（4.5）.（2）根据分块矩阵的乘法，有1100A D E DB A DB C C B E C B --⎡⎤⎡⎤--⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦两边取行列式即得（4.6）.此命题可以用来解决一些级数较高的矩阵的求逆问题，但在利用命题（1）时，要特别注意条件有矩阵A 或B 可逆，否则此命题不适用，下面给出此命题的应用.推论1【22】设A 、B 、C 、D 分别是,,,m n m n n m ⨯⨯矩阵.证明mE D B CD CB =- （4.7） m AD A DC CE =- （4.8）证明：只需要在命题1的（4.5）中令m A E =，即得（4.7）；在（4.6）中令 m B E =即得（4.8）.推论2【22】 ,C D 分别是n m ⨯和m n ⨯矩阵.证明mn m n E D E CD E DC C E =-=- （4.9）证明：在推论1的（4.7）中，令m B E =，在（4.8）中，令m A E =，即得（4.9）. 例 8 计算下面2n 阶行列式20(0)0n a dNa dH a c b N c b=≠解：令0,0,,a b c d A B C N D N a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦为n 阶矩阵.由于0a ≠,故A 为可逆方阵.又易知：11110b ca d b ca dB CA D b ca d ----⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦从而由命题1中（1）得：112()()n n n n A DH A B CA D a b ca d ab cd C B --==-=-=-.例9 计算行列式(1) 012111100100,(0,1,2,,)0100i n a a a a i n a ≠=；(2) 1231231000010000100001nn a a a a b b b b c解：（1）设A DQ C B =，其中120(),,(1,1,,1),(1,1,,1)0T n a a A a B C D a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎣⎦.因为0,1,2,,i a i n ≠= 所以B 是可逆矩阵，又易知：1011/njiA DBC a a -=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑.从而由命题1中的结论（4.2）得112011/nn iiA DA DBC B a a a a a C B -=⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦∑.（2）设n E DQ C B =，其中 1212(),(,,,),(,,,)T n n B c C b b b D a a a ===.由于12121(,,,)(,,,)nT n n i i i CD b b b a a a a b ===∑，从而由推论1知，1nn i i i E DQ B CD c a b C B ===-=-∑.4.2.2 矩阵,A B C D ==时行列式H 的计算定理2【10】【22】【23】 ,A C 是两个n 阶方阵，则A CA C A C C A =+-证明：根据行列式的性质和定理，有0A CA C C A C CA C A C C A C A A A C ++===+-+-.例 10 计算行列式0000x y zx z yD y z x z y x = .解：这道题看似简单，但如果方法选择的不好，做起来并不轻松，这里设 0,0x y z A C x z y ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由命题2知2222()()()()()()A C y x z y x z D A C A C y x z y x z C A x z y x z yx y z x y z x y z x y z +--⎡⎤⎡⎤==+-==-+--⎣⎦⎣⎦+--=++-+-+--++ 行列式的计算是线性代数中的一个重要内容，本节就行列式的计算问题具体就形如A DH C B =（A 、B 、C 、D 分别是,,,m n n m m n ⨯⨯的矩阵）的类型的行列式计算进行了分析，其中将一个行列式分快成A 、B 、C 、D 后，又细分为几种情况进行了讨论，依据不同的情况给出了不同的计算方法，在计算行列式时可依据这几种不同的情况具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程.在这一部分可见，利用分块矩阵计算行列式主要是靠分块矩阵来改变原来矩阵的级数从而达到简化计算过程，快速解决问题的目的.5 结束语本文对分块矩阵进行了两方面的应用总结分析，在证明方面,涉及了矩阵秩的相关问题以及矩阵列(行)向量线性相关等问题.在证明线性相关问题上,利用分块矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容.对一些具体的解与矩阵列(行)向量组线性相关性之间的关系给出了结论；在计算方面利用分块矩阵这一工具我们主要解决了求逆矩阵与求高级行列式的问题,再求逆矩阵方面,本文着重论述了将一个高级矩阵进行矩阵分块分成二级矩阵后,通过讨论四子块的各自特点来求原矩阵逆矩阵的快捷方法,并且给出了求解具有特殊性质行列式的方法,通过本文的论述,充分体现了分块矩阵在代数计算与证明方面具有一定的优越性,也给出了分块矩阵和矩阵分块在代数学中所具有的重要地位.当然在对分块矩阵的应用论述上.本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论,所以在应用的完整性上还有待改进,并可以继续进行研究探讨.6 致谢本文是在导师夏丹的悉心指导下完成的，导师在学业上的谆谆教诲和身体力行，在生活上的默默关心和无私帮助将使我受益终身，在此谨向导师表示衷心的感谢！导师对科学事业的献身精神以及高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今后所追求的目标.参考文献[1]王品超.高等代数新方法[M].山东:山东教育出版社.1989[2]张贤达.矩阵分析与应用[M].北京：清华大学出版社.2004[3]张贤科,许甫华.高等代数学[M].北京:清华大学出版社.1998[4]北京大学数学系，高等代数[M].北京：北京大学出版社.1978[5]王仁发.代数与解析几何[M].长春：东北师范大学出版社.1998[6]谢邦杰，线性代数[M].第1版，人民教育出版社.1978[7]唐盛明.社会科学研究方法新解.上海：上海社会科学院出版社.2003[8]李明斐，卢小君.胜任力与胜任力模型构建方法研究.大连：大连理工大学学报（社会科学版）.2004[9]徐仲、张凯院.高等代数考研教案[M].西安：西北工业大学出版社.2006[10]王萼芳，石生明.高等代数.北京：北京大学出版社.2003[11]钱吉林.高等代数解题精粹[M].北京：科学出版社.2003[12]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社.2007[13]林瑾瑜.分块矩阵的若干性质及其在行列式中的应用[J].广东广播电视大学学报.2006[14]严坤妹.分块矩阵的应用[J].福建广播电视大学学报.2006[15]俞正光，王飞燕，叶俊，赵衡秀编.大学数学概念、方法与技巧.线性代数与概率统计部分[M].清华大学出版社，施普林格出版社.2002[16]孔庆兰.分块矩阵的应用[J].枣庄学院学报.2006[17]胡景明.分块矩阵在求高阶行列式的应用[J].河北工程技术高等专科学校学报.2004 [19]陈大新编.矩阵理论[M].上海：上海交通大学出版社.1997[19]潘晏仲，李洪军.高等代数与几何[M].西安交通大学出版社.1999[20]姚慕生，高汝熹.线性代数[M].武汉：武汉大学出版社.2000w .. . ..[21]赵树原.线性代数（第三版）[M].北京：中国人民大学出版社.1998[22]R.A合恩C.R约翰逊、杨奇译.矩阵分析[M].天津：天津大学出版社.1989[23]G.W.斯图尔特.矩阵计算引论.上海：上海科技出版社.1980. . . 资料. .。

基于Matlab分块矩阵运算的WARD静态等值及实例分析的开题报告

基于Matlab分块矩阵运算的WARD静态等值及实例分析的开题报告一、研究背景静态等值（isovalue）是在地质勘探、医学影像等领域中常用的数据分析方法。

其核心思想是将数据集分成若干个等值区域来进行分析。

手动计算静态等值一般比较耗时耗力，因此利用计算机算法来自动计算静态等值是一种有效的解决方法。

其中，WARD静态等值算法是一种非常常用的算法，其能够准确地计算出一个数据集中的等值线。

二、研究内容本文将结合Matlab软件，通过对基于分块矩阵运算的WARD静态等值算法进行实践，对其原理和应用进行深入探究。

具体来说，将研究以下内容：1. 分析WARD静态等值算法的原理及其数学模型，并对其内部计算步骤进行详细介绍；2. 基于MATLAB软件，以地震数据为例，利用WARD静态等值算法进行等值线的绘制，并探究其绘制过程中的算法实现细节；3. 给出案例分析，验证利用分块矩阵运算进行WARD静态等值计算的正确性和有效性，并与其他常用等值算法进行比较分析。

三、研究意义本文提出了一种基于分块矩阵运算的WARD静态等值算法，其具有计算速度快、精度高等优点。

成功地实现了对该算法的MATLAB实现，为科技工作者提供了一种新的工具，使得等值线的绘制更加的科学准确。

本文所得出的结论可以为后续的计算机算法研究提供参考依据。

四、研究方法本文采用的研究方法主要有文献调研法、理论分析法以及实验模拟法，其中：1. 文献调研法：对分块矩阵运算和WARD静态等值算法相关的文献进行查找和调研，获取相关算法的知识理论基础；2. 理论分析法：对分块矩阵运算和WARD静态等值算法的本质特点及运作原理进行深度分析和挖掘；3. 实验模拟法：在Matlab软件环境下，针对地震数据进行算法实现和验证，并利用实验数据进行性能测试和比较分析，验证算法的正确性。

五、论文结构本文的论文结构大致如下：第一章为绪论，简要介绍了研究的背景和前沿，明确了研究的目的和意义。

研究矩阵分块的方法及应用

研究矩阵分块的方法及应用矩阵分块（Matrix Partition）是一种将一个大矩阵分割成若干个块或子矩阵的方法。

这种方法在许多数学和工程应用中非常有用，因为它可以简化复杂的矩阵运算，并提供更高效的算法和快速的计算。

矩阵分块的方法具有广泛的应用，包括线性代数、微积分、信号处理、图像处理、统计学、优化等领域。

矩阵分块的方法可以根据不同的目的和要求采用不同的策略和分块方式。

一般来说，矩阵分块的方法分为两种类型：按行分块和按列分块。

按行分块是将矩阵按照横向划分为若干行向量子矩阵，而按列分块则是将矩阵按照纵向划分为若干列向量子矩阵。

除了按行和按列划分外，还可以将矩阵按照主对角线、次对角线、对称轴等方式进行分块。

矩阵分块的方法可以大大简化复杂的矩阵运算，使得问题的求解更加直观和高效。

一种常见的应用是矩阵乘法。

对于两个大型矩阵相乘的情况，采用普通的矩阵乘法算法的计算复杂度很高，但通过将大矩阵分块成若干小块矩阵，可以采用并行计算的方式，提高计算效率。

另一个常见的应用是矩阵求逆。

对于大型矩阵求逆的计算复杂度很高，并且可能出现数值不稳定的问题。

通过将大矩阵分块成若干小块矩阵，可以使用分块逆矩阵的方法来计算整体矩阵的逆矩阵，从而提高计算的稳定性和效率。

矩阵分块的方法还广泛应用于图像处理和信号处理领域。

在这些领域中，矩阵表示图像或信号的数据，通过将大矩阵分块为若干小块，可以对局部区域进行处理，从而实现对整体数据的处理和分析。

例如，对图像进行滤波操作时，可以将图像分为若干小块，分别进行滤波处理，然后将处理后的小块矩阵合并成一个大矩阵，从而得到滤波后的图像。

此外，矩阵分块的方法还可以应用于线性代数的求解和优化问题。

例如，在解线性方程组时，可以将系数矩阵和右侧向量分块，从而将问题分解为多个小规模的子问题，通过求解这些子问题，最终获得整个线性方程组的解。

类似地，在优化问题中，可以通过将大矩阵分块为若干小块，将复杂的优化问题分解为多个简单的子问题，从而更高效地求解问题。

分块矩阵的应用

本科生毕业论文（设计）册学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学班级 07级C班学生常会敏指导教师刘稳河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目：分块矩阵的应用学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学学班级： 07级C班学生姓名：常会敏学号： 2007010656 指导教师：刘稳职称：1、论文（设计）研究目标及主要任务分块矩阵在高等代数中具有很重要的应用，本文旨在总结分块矩阵在代数学中的几个重要的应用，体会分块矩阵的应用技巧，恰当利用分块矩阵可使问题变得简单而明了。

本文的主要任务是通过大量理论和具体的例子总结出分块矩阵在证明有关矩阵的秩、求解矩阵方程以及求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似三方面发挥出的巨大作用。

2、论文（设计）的主要内容①分块矩阵证明有关矩阵的秩②求解矩阵方程③求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似3、论文（设计）的基础条件及研究路线在复数域上，关于分块矩阵及其初等变换的研究已经有深刻的结果，关于分块矩阵的应用也有不少的文章提及，可见分块矩阵的应用之广泛，因此要想将其应用全部总结出来是不可能的。

正式基于这样一种情况，本文分别就分块矩阵在证明有关矩阵的秩、求解矩阵方程以及求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似三方面做一详细总结，展示分块矩阵的应用技巧，从而开拓思维，培养创新能力。

4、主要参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003：181～320.[2]丘维声.高等教育学习指导用书[M].北京:清华大学出版社，2005：213～238.[3]陈公宁.矩阵理论与应用[M].北京:北京科学出版社，2007：1～25.[4]张焕玲，刘爱奎.利用分块矩阵法求解矩阵方程的一种简单方法[J].山东工业大学学报，2000，Vol.30(3):268～273.[5]钱吉林.高等代数题解精粹（修订版）[M].北京：中央民族大学出版社，2002：189.[6]徐天保.分块矩阵的应用[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2010，Vol.16(2):105～108.[7]王卿文，杨家骐.用矩阵的初等行变换解矩阵方程A X=B[J].数学通报，1993：m n ns m s16～25.[8]A.J.M.SPENCER & R.S.RIVELIN .Further Results in the Theory of Matrix Polynomials [J].Brown University Providence ,1959:214 ～230.5、计划进度指导教师：刘稳 2010 年 11 月日教研室主任： 2010 年 11 月日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书数学与信息科学学院学院数学与应用数学专业 2011 届河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章本科生毕业论文设计题目分块矩阵的应用作者姓名常会敏指导教师刘稳所在学院数学与信息科学学院专业（系）数学与应用数学班级（届） 2011届完成日期 2011 年 5 月日目录中文摘要、关键词 (1)1、分块矩阵的定义及运算法则 (1)1.1定义矩阵的分块 (1)1.2分块矩阵的运算法则 (1)2、利用分块矩阵证明有关矩阵的秩 (4)2.1证明关于矩阵乘积的秩的定理 (4)2.2证明有关矩阵秩的等式 (5)2.3证明Sylvester不等式 (6)2.4证明Sylvester公式 (7)3、利用分块矩阵求解矩阵方程 (8)3.1解矩阵方程A X=B的原理 (8)m n ns m s3.2求解矩阵方程 (9)4、分块矩阵在其它方面的应用 (10)4.1求矩阵的最小多项式 (10)4.2判断两矩阵是否相似 (12)5、总结 (13)参考文献 (13)英文摘要、关键词 (14)分块矩阵的应用数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师刘稳作者常会敏中文摘要：矩阵是代数特别是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，而矩阵的分块则是在处理级数较高的矩阵时常用的方法。

(完整)矩阵的应用开题报告

(完整)矩阵的应用开题报告
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山西大同大学 09 届本科毕业论文(设计)开题报告及任务书
题的解决有着很重要的作用。

就我阅读一些参考文献《矩阵分析与应用》理论及其性质都做了较深入的阐述对于矩阵的秩及矩阵的等价、相似、合。

分块矩阵的研究和应用

分块矩阵的研究和应用摘要：分块矩阵在高等代数中占有重要地位，在许多方面都有应用.本文系统分析了分块矩阵的概念，以及分块矩阵的运算和分块矩阵的转置，分块矩阵的初等变换等矩阵的一系列变化.介绍了矩阵的分块在求矩阵逆和在矩阵运算中的应用并通过几个列子来具体说明.关键词：分块矩阵；行列式；逆矩阵The research and application of partitioned matrixAbstract: The partitioned matrix in higher algebra has very important application, this paper systematically analyzed the concept of partitioned matrix and the partitioned matrix of the operation and partitioned matrix of the transpose partitioned matrix of the elementary transformation matrix of such as series of changes. This paper mainly summarizes the partitioned matrix for inverse matrix and in the application and the matrix through several liezi to specify.Keywords: partitioned matrix; determinant; inverse matrix1．引言在高等代数中矩阵的分块是一项非常重要的内容，许多问题的研究都要用到它，特别是在处理一些高级数的矩阵时运用矩阵分块能起到事半功倍的效果.矩阵分块后使各个矩阵之间和矩阵内部的关系变得更清楚。

矩阵应用的开题报告

矩阵应用的开题报告矩阵应用的开题报告一、引言矩阵是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域。

它不仅是线性代数的基础，也是计算机科学、物理学、经济学等学科中不可或缺的工具。

本文将探讨矩阵在实际应用中的重要性和应用领域。

二、矩阵在计算机图形学中的应用1. 三维变换计算机图形学中，矩阵被广泛应用于三维变换。

通过矩阵的乘法运算，我们可以实现物体的平移、旋转、缩放等操作。

例如，在三维游戏中，我们可以通过矩阵变换实现角色的移动和旋转，使得游戏画面更加逼真。

2. 图像处理图像处理是矩阵应用的另一个重要领域。

在数字图像中，每个像素的颜色可以表示为一个矩阵。

通过对这些矩阵进行运算，我们可以实现图像的平滑、锐化、滤波等操作。

例如，在图像识别中，我们可以通过矩阵运算提取图像的特征，从而实现物体的识别和分类。

三、矩阵在物理学中的应用1. 量子力学矩阵在量子力学中起着重要的作用。

量子力学中的态函数可以表示为一个矩阵，通过对这些矩阵进行运算，我们可以求解量子系统的能级、波函数等性质。

例如，在原子物理中，我们可以通过矩阵运算求解氢原子的能级和波函数，从而深入理解原子的结构和性质。

2. 电路分析矩阵在电路分析中也有广泛的应用。

通过电路中各个元件的电压和电流之间的关系，我们可以建立一个矩阵方程，通过求解这个方程，我们可以得到电路中各个元件的电压和电流。

例如，在电子电路设计中，我们可以通过矩阵分析方法求解复杂电路的性能和稳定性，从而优化电路的设计。

四、矩阵在经济学中的应用1. 输入产出模型输入产出模型是经济学中常用的模型之一，其中矩阵被广泛应用。

通过建立各个产业之间的关系矩阵，我们可以计算出不同产业之间的关联度和影响力。

例如，在经济政策制定中，我们可以通过输入产出模型预测政策的影响，从而制定出更加科学和有效的政策。

2. 金融风险分析矩阵在金融学中也有重要的应用。

通过建立资产收益率之间的相关矩阵，我们可以对投资组合的风险进行分析和评估。

分块矩阵的应用研究-[开题报告]

毕业论文开题报告数学与应用数学分块矩阵的应用研究一、选题的背景、意义作为解决线性方程的工具，矩阵已有不短的历史.拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究.矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的.但是追根溯源，矩阵最早出现在我国的＜九章算术＞中，在＜九章算术＞方程一章中，就提出了解线性方程各项的系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状.随后移动处筹，就可以求出这个方程的解.在欧洲，运用这种方法来解线性方程组，比我国要晚2000多年.1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德•威廉•莱布尼茨建立了行列式论(theory of determinants).1750年，加布里尔•克拉默其后又定下了克拉默法则.1800年，高斯和威廉•若尔当建立了高斯—若尔当消去法.1848年詹姆斯•约瑟夫•西尔维斯特首先创出matrix一词.研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、威廉•卢云•哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯•诺伊曼.分块矩阵的引进使得矩阵这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在矩阵的某些运算中，对于级数比较高的矩阵，常采用分块的方法将一个矩阵分割成若干个小矩阵，在运算过程中将小矩阵看成元素来处理，对问题的解决往往起到简化的作用.本文通过一些例子来说明分块矩阵的一些应用.二、研究的基本内容与拟解决的主要问题研究的基本内容是分块矩阵在计算中的应用。

本文主要研究分块矩阵的计算方法和分块矩阵在化简行列式、行列式运算、求矩阵的特征值等方面的应用，通过这个我们可以更深入的了解分块矩阵的应用。

拟解决的主要问题：1、了解分块矩阵的基本的概念。

2、举例说明分块矩阵在解题中的一些基本的应用。

3、真正的了解分块矩阵的内容，掌握分块矩阵的应用方法。

三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标（1）研究的方法探讨分块矩阵的计算与应用问题，要理论联系实际！怎么把定积分应用到解题中！分块矩阵在解题中有很广泛的作用．主要是通过大量的搜查资料，寻找相关信息，总结分块矩阵的计算技巧和实际应用.我将会通过上网和去图书馆借相关的书来得到资料信息．（2）技术路线尽可能的收集足够的相关资料，对资料中的理论研究成果进行整理分析，相互比较后进行总结并尽量得到新的应用．（3）研究难点怎样把分块矩阵应用到实际问题中．（4）预期达到的目标利用分块矩阵解决生活中的一些实际问题．四、论文详细工作进度和安排1、第七学期第9周至第12周：收集相关资料，阅读相关文献。