2020届高三数学(理)小题每日一练(含部分往年真题)+答案详解 (24)

2020届高三数学（理）小题每日一练13. 14. 15. 16.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{y |y ＝2x ，x >0}，B ＝{x |y ＝log 2(x －2)}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[0，1) B.(1，2) C ．(1，2] D.[2，＋∞)2．已知复数z 满足(1＋3i)z ＝1＋i ，则复平面内与复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限 D.第四象限3．已知函数f (x )＝sin 4x －cos 4x ，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的最大值为2 C ．f (x )的图象关于y 轴对称 D ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递减4．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且b 7＝a 7，则S 13＝( )A ．26 B.52 C ．78 D.1045．已知直线m ，n 和平面α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2，若f (a )≥1，则a 的取值范围是( )A ．[1，2) B.[1，＋∞)C ．[2，＋∞) D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2，y －x ≤2，x －2≤0，则yx ＋2的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－12，1 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) C ．[0，1] D.⎣⎡⎦⎤12，18．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是( )A ．n ≤2 015 B.n ≤2 018 C ．n ≤2 020 D.n ≤2 0219.古希腊雅典学派算学家欧多克索斯提出了“黄金分割”的理论．利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点．具体方法如下：(1)取线段AB ＝2，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ＝12AB ，连接AC ；(2)以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；(3)以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E .点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE ≤AF ≤AE 的概率约为(参考数据：5≈2.236)( )A ．0.236 B.0.382 C ．0.472 D.0.61810．已知△ABC 的内角A ＝π3，AB ＝6，AC ＝4，O 为△ABC 所在平面上一点，且满足OA ＝OB ＝OC .设AO ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，则m ＋n 的值为( )A.1118B.1C.718D.211．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，|F 1F 2|＝12，直线PF 2的斜率为－43，△PF 1F 2的面积为243，则双曲线的离心率为( )A ．3 B.2 C.3 D.212．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点，∠ABC ＝60°，AC ＝2，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥P ­ABC 的体积为V 1，三棱锥O ­ABC 的体积为V 2.若V 1V 2的最大值为3，则球O 的表面积为( )A.16π9B.64π9C.3π2D.6π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有________种．14．已知正数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则当x ＝________时，1x ＋1y 取得最小值，最小值为________．15．已知函数f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的偶函数，且f (x －1)为奇函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝1－x 3，则f ⎝⎛⎭⎫292＝________．16．已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点．若点M 为线段EF 的中点，且|NF |＝12，则p ＝________．（答案解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{y |y ＝2x ，x >0}，B ＝{x |y ＝log 2(x －2)}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[0，1) B.(1，2) C ．(1，2]D.[2，＋∞)解析：选C 集合A ＝(1，＋∞)，B ＝(2，＋∞)，∴∁R B ＝(－∞，2]，则A ∩(∁R B )＝(1，2]．故选C.2．已知复数z 满足(1＋3i)z ＝1＋i ，则复平面内与复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限D.第四象限解析：选D 复数z ＝1＋i 1＋3i ＝（1＋i ）（1－3i ）4＝1＋34＋1－34i 在复平面内对应的点⎝⎛⎭⎪⎫1＋34，1－34在第四象限．故选D. 3．已知函数f (x )＝sin 4x －cos 4x ，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的最大值为2 C ．f (x )的图象关于y 轴对称 D ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递减解析：选C f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，则f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，A 错误；f (x )的最大值为1，B 错误；f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，C 正确；f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，D 错误．故选C.4．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且b 7＝a 7，则S 13＝( )A ．26B.52C ．78 D.104解析：选B 因为{a n }是等比数列，所以a 3a 11＝a 27＝4a 7，所以a 7＝4，则b 7＝4.又{b n }是等差数列，则S 13＝13（b 1＋b 13）2＝13b 7＝52.故选B.5．已知直线m ，n 和平面α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选D 若n ⊂α，m ∥n ，则m ∥α或m ⊂α；若n ⊂α，m ∥α，则m ∥n 或m ，n 是异面直线，所以“m ∥n ”是“m ∥α”的既不充分也不必要条件．故选D.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2，若f (a )≥1，则a 的取值范围是( ) A ．[1，2) B.[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B f (a )≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <2，e a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，log 3（a 2－1）≥1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a 2≥4，则1≤a <2或a ≥2，即a 的取值范围是[1，＋∞)．故选B.7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2，y －x ≤2，x －2≤0，则yx ＋2的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－12，1 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) C ．[0，1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 约束条件对应的可行域如图中阴影部分所示，目标函数yx ＋2的几何意义是可行域内的点(x ，y )与点P (－2，0)连线的斜率k ，由图可得k P A ＝－2－02－（－2）＝－12，k PB ＝4－02－（－2）＝1，∴k P A ≤k ≤k PB ，即－12≤yx ＋2≤1.故选A.8．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是( )A ．n ≤2 015 B.n ≤2 018 C ．n ≤2 020D.n ≤2 021解析：选C 数列{a n }：12，－1，2，12，－1，2，…，以3为周期．当输出的是2时，n 为3的整数倍，当判断框内的条件是n ≤2 015时，输出时n ＝2 016，A 有可能；当判断框内的条件是n ≤2 018时，输出时n ＝2 019，B 有可能；当判断框内的条件是n ≤2 020时，输出时n ＝2 021，C 不可能；当判断框内的条件是n ≤2 021时，输出时n ＝2 022，D 有可能．故选C.9.古希腊雅典学派算学家欧多克索斯提出了“黄金分割”的理论．利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点．具体方法如下：(1)取线段AB ＝2，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ＝12AB ，连接AC ；(2)以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；(3)以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E .点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE ≤AF ≤AE 的概率约为(参考数据：5≈2.236)( )A ．0.236 B.0.382 C ．0.472D.0.618解析：选A 由题意得，AB ＝2，BC ＝1，AC ＝5，AD ＝AE ＝5－1，BE ＝AB －AE ＝3－5，则BE ≤AF ≤AE 的概率P ＝AE －BE AB ＝（5－1）－（3－5）2＝5－2≈0.236.故选A.10．已知△ABC 的内角A ＝π3，AB ＝6，AC ＝4，O 为△ABC 所在平面上一点，且满足OA ＝OB ＝OC .设AO ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，则m ＋n 的值为( )A.1118B.1C.718D.2解析：选A 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示平面直角坐标系，则A (0，0)，B (6，0)，C (2，23)．因为OA ＝OB ＝OC ，所以点O 为△ABC 的外接圆的圆心，即各边垂直平分线的交点．AB 的垂直平分线为x ＝3，AC 的垂直平分线为y ＝－33x ＋433，解得O ⎝⎛⎭⎫3，33，则⎝⎛⎭⎫3，33＝m (6，0)＋n (2，2 3)，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝6m ＋2n ，33＝23n ，解得⎩⎨⎧m ＝49，n ＝16，则m ＋n ＝1118.故选A. 11．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，|F 1F 2|＝12，直线PF 2的斜率为－43，△PF 1F 2的面积为243，则双曲线的离心率为( )A ．3 B.2 C.3D.2解析：选B 设P (x ，y )，y >0，△PF 1F 2的面积S ＝12y |F 1F 2|＝6y ＝243，则y ＝4 3.又F 2(6，0)，直线PF 2的斜率43x －6＝－43，则x ＝5，所以P (5，43)．又F 1(－6，0)，由双曲线定义可得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝112＋（43）2－ （－1）2＋（43）2＝13－7＝6，则a＝3，所以双曲线的离心率e ＝ca＝2.故选B.12．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点，∠ABC ＝60°，AC ＝2，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥P ­ABC 的体积为V 1，三棱锥O ­ABC 的体积为V 2.若V 1V 2的最大值为3，则球O 的表面积为( )A.16π9B.64π9C.3π2D.6π解析：选B 如图所示，设△ABC 的外接圆圆心为O 1，半径为r ，则OO 1⊥平面ABC .设球O 的半径为R ，OO 1＝d ，则2r ＝AC sin ∠ABC ＝2sin 60°＝433，即r ＝233. 当P ，O ，O 1三点共线时，⎝⎛⎭⎫V 1V 2max＝R ＋dd ＝3，即R ＝2d .由R 2＝d 2＋r 2，得R 2＝169.所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝64π9.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有________种．解析：先分类，若甲同学选了牛，则乙同学有2种选法，丙同学有10种选法，共有1×2×10＝20种选法；若甲同学选了马，则乙同学有3种选法，丙同学有10种选法，共有1×3×10＝30种选法．故三位同学的选法共有20＋30＝50(种)．答案：5014．(2019·陕西榆林一模改编)已知正数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则当x ＝________时，1x ＋1y取得最小值，最小值为________． 解析：由基本不等式可得x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立．∵正数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，∴xy ≤12，当且仅当x ＝y ＝22时等号成立．∴1x ＋1y≥21xy≥ 22，当且仅当x ＝y ＝22时等号成立，∴1x ＋1y的最小值为2 2. 答案：2222 15．已知函数f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的偶函数，且f (x －1)为奇函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝1－x 3，则f ⎝⎛⎭⎫292＝________．解析：由函数f (x －1)为奇函数，则函数f (x )关于点(1，0)对称，则有f (－x )＝－f (2＋x )，又由函数f (x )为偶函数，则f (x )＝f (－x )，所以f (x )＝－f (x ＋2)，变形可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是以4为周期的周期函数，则f ⎝⎛⎭⎫292＝f ⎝⎛⎭⎫292－16＝f ⎝⎛⎭⎫－32.令x ＝12，得f ⎝⎛⎭⎫12－1＝－f ⎝⎛⎭⎫－12－1＝－f ⎝⎛⎭⎫32，则f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋⎝⎛⎭⎫123＝－78. 答案：－7816．已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点．若点M 为线段EF 的中点，且|NF |＝12，则p ＝________．解析：由题意知，直线EF 的斜率存在且不为0，故设直线EF 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，与抛物线方程y 2＝2px联立，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋p 2k 24＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24.又F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，点M 为线段EF 的中点，得x 1＝p 22＝p 4.由|NF |＝x 2＋p 2＝12，得x 2＝12－p2.由x 1x 2＝p 4⎝⎛⎭⎫12－p 2＝p 24，得p ＝8或p ＝0(舍去)．答案：8。