§2.4 n阶矩阵乘积的行列式
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证明：设 A = (aij )n×n , B = (bij )n×n , E 为n阶单位矩阵，B的行分 阶单位矩阵， 的行分 证明： 阶单位矩阵 块矩阵为
B1 M B= Bn
5
根据引理， 根据引理，有
A 0 AB = L L (2.11) L L −E B
式右端的行列式进行如下的等值的行变换： 对(2.11)式右端的行列式进行如下的等值的行变换： 式右端的行列式进行如下的等值的行变换 将第n+1行的 ai1 倍加到第 行 (i = 1,2,L, n) 倍加到第i行 将第 行的 将第n+2行的 a 倍加到第 行 (i = 1,2,L, n) 倍加到第i行 将第 行的 i2 ………………………………………………….. 将第n+n行的 ain 倍加到第 行 (i = 1,2,L, n) 倍加到第i行 将第 行的 则(2.11)式右端行列式变成 式右端行列式变成
§4 n阶矩阵乘积的行列式 阶矩阵乘积的行列式
引理 设
a11 a12 a21 a22 A= M M a a n1 n2 L a1n b11 b12 L a2n b21 a22 , B = M M M M b b L ann m1 m2 L b1m c11 c12 L b2m c21 c22 , C = M M M M c c L bmm m1 m2 L c1n L c2n M M L cmn
1 −1 2 A = ( − 1) = 9. 解 1 2 −2 1 * * 由 于 AA = A A = A E , 2
AA =A E=A
*
4
4
A = A = 729.
* 3
10
0
C
6
−E B
n ∑a1k Bk k=1 n C 其中， 其中， = ∑a2k Bk k=1 n M a B ∑ nk k k=1
利用分块矩阵的乘法
a11 a21 C = M a n1 a12 a22 M an2 L a1n B1 L a2n B2 M = AB M M B L ann n
E + A = AA + A = A( A + E) = A A + E = − A + E
T T T T
(
)
T
= − A+ E
所以结论成立。 所以结论成立。
9
111 例3 123 设 A= −1 −2
135 99 2 1
2× 2
2 1 0 0
1 2 * ,求 A . 0 0
a c 1 2 2 1 0 0
b d 1 3
=
1 2
2 1 1 2
1 3
= −3,
= ( − 1)
2× 2
1 22 1 ຫໍສະໝຸດ 21 3= − 3.
4
定理5 定理 则
(矩阵乘积的行列式定理 设A,B都是 阶矩阵， 矩阵乘积的行列式定理)设 都是n阶矩阵 矩阵乘积的行列式定理 都是 阶矩阵，
AB = A B
2
由归纳法知 (−1)1+ j d1 j = (−1)1+ j M1 j B = A1 j B ，故在 d中 a1 j 的代数余子式为 d1 j = M1 j B。所以把 按第一 中 所以把d按第一 行展开可得
A 0 C B = AB = a11 A B + a12 A B +L+ a1n A n B + 0 11 12 1
7
AB = = (−1 ) = AB
A −E
0 B
=
0 −E
AB B
n×n
− E AB
= (−1 n×n+n AB )
8
阶矩阵， 例 设A是n阶矩阵，且 AAT = E, A < 0 。 是 阶矩阵 证明： 证明： E + A = 0 。 证明： 证明： T = E ⇒ A AT = E ⇒ A 2 = 1 AA 由假设可知 A = −1，故
，
现证明n时的结论。 关于A的余子式和代数 现证明 时的结论。设 a1 j 关于 的余子式和代数 时的结论 关于d的余子式为 余子式分别为 M1 j , A1 j ，关于d的余子式为 d1 j
a21 M an1 d1 j = c11 M cm1 L a2 j−1 a2 j+1 L a2n 0 M M M M M M L anj−1 anj+1 L ann 0 , j = 1,2,L , n. L c2 j−1 c2 j+1 L cmn M M M M M B L cmj−1 cmj+1 L cmn
= (a11 A + a12 A +L+ a1n A n ) B 11 12 1
类似的可以证明： 类似的可以证明：
A D F A 0 A m n = A B, = (−1) A B, = (−1)mn A B 0 B B 0 B M
3
例
1 2 0 0 1 2 1 2 2 1 1 3
2 1 0 0 1 2 0 0
则
A 0 d= = AB C B
1
证明： 的阶数n作归纳法证明 证明：对A的阶数 作归纳法证明。当n=1时，A 的阶数 作归纳法证明。 时 中只有一个元素， 按第一行展开 公式成立。 按第一行展开， 中只有一个元素，d按第一行展开，公式成立。假设 n-1时结论也成立。 时结论也成立。 时结论也成立
B1 M B= Bn
5
根据引理， 根据引理，有
A 0 AB = L L (2.11) L L −E B
式右端的行列式进行如下的等值的行变换： 对(2.11)式右端的行列式进行如下的等值的行变换： 式右端的行列式进行如下的等值的行变换 将第n+1行的 ai1 倍加到第 行 (i = 1,2,L, n) 倍加到第i行 将第 行的 将第n+2行的 a 倍加到第 行 (i = 1,2,L, n) 倍加到第i行 将第 行的 i2 ………………………………………………….. 将第n+n行的 ain 倍加到第 行 (i = 1,2,L, n) 倍加到第i行 将第 行的 则(2.11)式右端行列式变成 式右端行列式变成
§4 n阶矩阵乘积的行列式 阶矩阵乘积的行列式
引理 设
a11 a12 a21 a22 A= M M a a n1 n2 L a1n b11 b12 L a2n b21 a22 , B = M M M M b b L ann m1 m2 L b1m c11 c12 L b2m c21 c22 , C = M M M M c c L bmm m1 m2 L c1n L c2n M M L cmn
1 −1 2 A = ( − 1) = 9. 解 1 2 −2 1 * * 由 于 AA = A A = A E , 2
AA =A E=A
*
4
4
A = A = 729.
* 3
10
0
C
6
−E B
n ∑a1k Bk k=1 n C 其中， 其中， = ∑a2k Bk k=1 n M a B ∑ nk k k=1
利用分块矩阵的乘法
a11 a21 C = M a n1 a12 a22 M an2 L a1n B1 L a2n B2 M = AB M M B L ann n
E + A = AA + A = A( A + E) = A A + E = − A + E
T T T T
(
)
T
= − A+ E
所以结论成立。 所以结论成立。
9
111 例3 123 设 A= −1 −2
135 99 2 1
2× 2
2 1 0 0
1 2 * ,求 A . 0 0
a c 1 2 2 1 0 0
b d 1 3
=
1 2
2 1 1 2
1 3
= −3,
= ( − 1)
2× 2
1 22 1 ຫໍສະໝຸດ 21 3= − 3.
4
定理5 定理 则
(矩阵乘积的行列式定理 设A,B都是 阶矩阵， 矩阵乘积的行列式定理)设 都是n阶矩阵 矩阵乘积的行列式定理 都是 阶矩阵，
AB = A B
2
由归纳法知 (−1)1+ j d1 j = (−1)1+ j M1 j B = A1 j B ，故在 d中 a1 j 的代数余子式为 d1 j = M1 j B。所以把 按第一 中 所以把d按第一 行展开可得
A 0 C B = AB = a11 A B + a12 A B +L+ a1n A n B + 0 11 12 1
7
AB = = (−1 ) = AB
A −E
0 B
=
0 −E
AB B
n×n
− E AB
= (−1 n×n+n AB )
8
阶矩阵， 例 设A是n阶矩阵，且 AAT = E, A < 0 。 是 阶矩阵 证明： 证明： E + A = 0 。 证明： 证明： T = E ⇒ A AT = E ⇒ A 2 = 1 AA 由假设可知 A = −1，故
，
现证明n时的结论。 关于A的余子式和代数 现证明 时的结论。设 a1 j 关于 的余子式和代数 时的结论 关于d的余子式为 余子式分别为 M1 j , A1 j ，关于d的余子式为 d1 j
a21 M an1 d1 j = c11 M cm1 L a2 j−1 a2 j+1 L a2n 0 M M M M M M L anj−1 anj+1 L ann 0 , j = 1,2,L , n. L c2 j−1 c2 j+1 L cmn M M M M M B L cmj−1 cmj+1 L cmn
= (a11 A + a12 A +L+ a1n A n ) B 11 12 1
类似的可以证明： 类似的可以证明：
A D F A 0 A m n = A B, = (−1) A B, = (−1)mn A B 0 B B 0 B M
3
例
1 2 0 0 1 2 1 2 2 1 1 3
2 1 0 0 1 2 0 0
则
A 0 d= = AB C B
1
证明： 的阶数n作归纳法证明 证明：对A的阶数 作归纳法证明。当n=1时，A 的阶数 作归纳法证明。 时 中只有一个元素， 按第一行展开 公式成立。 按第一行展开， 中只有一个元素，d按第一行展开，公式成立。假设 n-1时结论也成立。 时结论也成立。 时结论也成立