三角形的内切圆教学课例

教学课例：初中数学学科

三角形的内切圆教学课例

本节课的教学目标：

知识目标：1.让学生学会作三角形的内切圆；

2.理解三角形内切圆的有关概念；

3.掌握三角形的内心、外心的位置、数量特征；

4.会做关于内心的一些角度计算。

能力目标：应用类比的思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；激发学生动手动脑参与课堂教学活动。

情感目标：通过作图操作，经历三角形内切圆的产生过程；通过作图和探索，体验并理解三角形内切圆的性质。

教学重点和难点：

重点：三角形内切圆的概念和画法。

难点：画钝角三角形的内切圆，学生极有可能画出与三角形的边相交或相离的情形。

教学过程：

一、设计问题情境，导入新课。

合作学习：低碳达人李明在一家木料厂上班，在去年的哥本哈根气候大会召开以后，李明更加觉得自己要为节能低碳出一份力。于是他就想对厂里的三角形废料进行加工：裁出一块圆形用料，且使得圆的面积最大。应该怎样画出裁剪图？

分析：数学来源于生活，如果设计的问题情境脱离了实际，那么学生就会觉得自己所学习的数学是没什么用的，所以我就设计了这样一道废物利用的题目，并且和本节课所要学的内容是密切相关的。

二、新课教学。

（一）探究新知。

1、学生思考并讨论合作学习中的问题。

2、学生汇报讨论结果。

3、老师在几何画板中作图，请学生判断这样做出来的是不是最大的，到底怎样才会使得圆最大呢？

你觉得要做出这个圆需要考虑那几点？每次都靠凑行吗？如何确定圆心和

半径呢？

5、为了确定这个圆的圆心和半径，完成下面的探索。

（1）当裁得的圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？

（2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？

（3）如何确定一个与三角形的三边都相切的圆的圆心位置与半径的长？

（4）你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆？

分析：追问的设计让学生一步一步探究真理，接近真理。而学生自己探究出来的结论比老师告诉的要印象深刻得多。

6、得出三角形的内切圆的定义：与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

注意:（1）三角形的内心是三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。

（2）连接内心和三角形的顶点的线段平分三角形的这个内角。

7、出示三角形的外接圆，让学生回忆三角形的外接圆

（1）什么是三角形的外接圆？

（2）三角形外接圆的圆心叫什么？它是三角形中什么线的交点？

（3）图中哪几条线段会相等？为什么？

8、出示表格

分析：通过类比让学生们将内心和外心之间的区别予以罗列，这样就有助于学生将两颗心同时记忆，达到区别的目的。

（二）牛刀小试

1、出示例1，学生根据所学知识完成解题。 例1 如图，△ABC 中，O 是内心，∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点D.求证：DO ＝DB

2、教师分析并出示解题过程。 分析：

师：要证DO=DB,我们可以先证什么？ 生：∠BOD= ∠OBD

师：那么∠BOD 和 ∠OBD 又分别等于什么呢？ 生：∠BOD= ∠1+ ∠3, ∠OBD= ∠5+ ∠4 师：你能说明∠BOD= ∠1+ ∠3的理由吗？

生：是根据三角形的内外角关系，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

师：有了∠BOD= ∠1+ ∠3, ∠OBD= ∠5+ ∠4有什么用呢？我们仍然不能证明∠BOD= ∠OBD ，除非你们能找到∠1，∠3，∠5，∠4之间的关系。

生：∠1=∠2，∠3 =∠4。 师：为什么？

生：点O 是△ABC 的内心，连接内心和三角形的顶点的线段平分三角形的

D

这个内角。

师：说得很好，但是光有∠1=∠2,∠3 =∠4还不够，除非你能证明∠1=∠5。 生：因为∠1=∠2，∠2=∠5，所以∠1=∠5。 师：为什么∠2=∠5？

生：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。 解题过程： 证明：连接OB ， ∵点O 是△ABC 的内心， ∴∠1=∠2，∠3=∠4. ∵∠2=∠5， ∴ ∠ 1=∠5

∵ ∠BOD= ∠1+ ∠3, ∠OBD= ∠5+ ∠4 ∴ ∠BOD= ∠OBD ∴DO=DB

分析：在学习了三角形的内心和外心之后，我们将内心和外心的特点和性质做了区分，为了及时巩固内心与外心的性质，而不要将两者混淆在一起，及时进行了这道题的训练，以达到巩固的目的。

探索1、圆O 是△ABC 的内切圆，点O 是内心，切点分别是D 、E 、F

(1)当∠A=70°时，∠BOC=____________. (2)当∠A=100°时，∠BOC=____________. (3)当∠A=n °时，∠BOC=____________. 探索2.（1）在同一平面内，过圆外一个点向圆作切线，能作几条？这两条切线有什么特点？

（2）根据上述结论，图中有哪些线段相等？

（3）设△ABC 的周长为l,请判断AE,BC ，l 三者的关系，并说明理由. （4）设△ABC 的周长为l,圆O 的半径为r ，请探究△ABC 的面积S 与l 、r 之间的关系.

探索3、三角形内切圆的圆心是三个角角平分线的交点，那么怎么样的四边

B

形会有内切圆呢

?

例2 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直棱柱。圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆。已知直三棱柱的底面等边三角形边长为3cm.求圆柱地面的半径。

解：如图是这个木模的俯视图，设AB与圆O相切与点D，连接OA,OB,OD ∵圆O是△ABC的内切圆,

∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线.

∵△ABC是等边三角形，

∴∠OAB=∠OBA=30°

∵OD⊥AB,AB=3cm，

∴AD=BD=(1/2)AB=(3/2)cm,

∴OD=AD•tan30°=(√(3)/2)cm.

答：圆柱底面圆的半径是(√(3)/2)cm.

分析：这道例题要运用我们已经学过的三视图知识，还要运用刚学习的三角形内切圆知识，还有三角函数来解题。但是在这道题目中，我做得很不够的就是挖掘教材。因为这个三角形是一个等边三角形，利用这道题目还可以让学生求一求等边三角形的外接圆的半径以及等边三角形各条边上的高线长，因为在初三的综合卷中，经常会出现求等边三角形内切圆半径，外接圆半径以及高线长的比值。

三、学以致用

练习：1、已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别