画法几何( 2.2 )直线的投影

E5与4D 相交垂直 4D与67 交叉
1’ 4’(3’) 2’
b′
a′ X
d′ 0
a′ a
3
d′
a
d
d
c c
b
1(2)
4
b
判断两直线的位置关系
c’ f’ e’ X c e a’
b’ d’
g’ b’
a’ c’
0 X a 0
d’
a（ f） g
d
c b b d
AB与CD 交错
AB与AE 相交 AB与FG 交错
CD与AE 交错
AB与CD 平行
量取 △ZAB
b″
量取 △YAB
AB真长
β
b′ △ZAB
α
γ a″ b △YAB
a′
b α
a
AB真长
在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长， 另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的 真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的 倾角。
真长（TL)
坐标差 △Z、△Y、△X
α 、β 、γ
H、V、W投影长
c′
b′
(4)
a′
d′
d′
c′
b d
b
c
a
d
d b
c a
a
相交
(5) a′ b′ d′ (6)
a
交错
d
b
交错
(7)
c
a′
平行
(8)
c′
b′
d′
d′
c′ b′
d′
c′
d a c b
a′
a′
c′ c a
b′
c
a b d a
c
d b
b d
交错
相交垂直
交错
交错垂直
相交
相交垂直
交错垂直
相交
【例】如图，已知直线AB和点M的两面投影，求过点M 作
a′
e′ c′ b′
f′
e c
a
量取bc=30mm
b
f
【例题】已知正方形ABCD的对角线位于侧平线EF 上，试完成该正方形的正面、侧面投影。
e′ e″ d″
=△XAO
d′
a′ o′
a″
o″
△XAO
c′ b′ f′
c″
b″
半对角线长
f″
【例】如下图过A点作直角三角形△ABC。已知一条直角边 为BC 居于ＭＮ，（ＭＮ为水平线），另一直角边为Ａ Ｂ，且ＡＢ:ＢＣ＝３:２
△y=ab
a′
△z

a0

X
b′
O
a
b
方法二：
a′
Z

a″
AB真长

b′ X
b″ YW
a
O
b
YH
【例题】试在直线AB上其一点 C，使AC = 25 mm， 求点C的投影。
b′
c′ a′
X
Δ ZAB
a A
O
C c
b
B
在AB上量取 AC=25mm
=Δ ZAB
【例题】已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的 点C的投影， 使BC 的实长等于已知长度L。
b′
60° Δ zAB
直线AB真长
a′
30°
b1
直线的H投影长
a
b2
以直线的H投影长 为半径，作圆弧
2.2.3.2
已知直线的真长和倾角求解有关的定位 和度量问题
【例题】如图所示：已知直线CD的两面投影，求CD对投影面 V、W的倾角，并在CD上取点T，T与C的真实距离为10mm ， 作点T的两面投影。
a c k
d b
(3)两直线交叉
d’ 1’(2’) a’ b’ d’
X
c’
2 2 1
A
a
B D O
b
1’(2’) a’
b’
X
c’ 2 b d
O
C 1
c
d
a c
1
两直线交叉的投影特性：
既不满足两直线平行的投影特性,也不满足两直线 相交的投影特性，均属于两直线交叉.
判定条件：
（1） 两直线的三面投影相交，但交点不符合空间点的投影规律； （2） 两直线的一面投影平行，其余两面投影均相交，则两直 线交错; （3） 两直线为投影面平行线时，若在平行的投影面内的投影 相交，则两直线交错。
直线AB的垂线的两面投影。
k’ b’ b’
n’
m’
n’
m’
a’
a’
X a m
0
X a k
0
m
b
n
b
【例题】求点K到直线AB的距离 。
k′
△ZK
L
a′
l′
b′
a
l b
k
△ZK
L
垂线KL的实长
【例题】求两直线AB、CD之间的距离。
mˊ
bˊ
cˊ
nˊ
aˊ
dˊ m
b
a
两交叉线间距离
c (d)(n)
【例题】已知直角三角形ABC，其一直角边BC在EF线上， 长30mm，试完成三角形ABC的投影。
1． 求直线的实长及对水平投影面的夹角角
b′ B a′ X |zA-zB| a′ X b |zA-zB | a b′ AB |zA-zB| ab


A
a
O c b

AB
AB

ab
|zA-zB|
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
b′ B AB |yA-yB| O X b

a′
X |yA-yB| A a
【例题】作直线KL与AB、CD相交，且平行于EF直线。
d′
e′
l′
f′
作kˊlˊ∥e ˊf ˊ
a′ (b′) (k′)
作kl∥ef
c′
d b
l
e
f
c
k
a
2.2.5 两直线垂直(直角投影定理)
垂直相交(交错）的两直线，其中有一条直线 平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影 仍反映直角。 （1）垂直相交两直线
a”
c a d b
两面投影均平行的直线空间不一定平行
判断两直线是否平行的方法
1、第三面投影是否平行？ 2、同面投影长度之比是否相等，且方向是否一致？ 3、同面投影对角连线的交点是否符合点的投影规律？
s’
s
s’
(2)两直线相交
d’ d’
b’
k’ a’ B K C D a’
b’
k’
x
c’
A c
o
b d
b
L
BC=L
c
a X b a c
c0 zA-zB
ab
AB
【例题】已知直线AB的V面投影，且AB=40mm， 求AB的H面投影。
b′
△YAB
a′
a
量取△YAB b
【例题】已知直线AB的V投影，且β=30° 求AB的H投影。
β △YAB例题】已知直线AB的V投影，且α=30°， 求AB的H投影。
a’
c’ b’ c’
m’
n’
X m c b
0
Ｂ
ZA-ZB c n a Ｃ
a
b
判断下面形体的轮廓线的位置关系
(6) 6 4 (1)
3 (2)
5(7)
1
4 2 3 5
1(2)
6(7)
4 (3)
(5)
1A与4D 平行 AD与BC 平行 1A与CD 交叉 AB与57 交叉垂直 43与67 平行
AB与CE
交叉
两直线相交 两直线交叉（交错）—异面
相对位置
(1)两直线平行
b ´ a x´
c B´
d ´
C
b´
D
d´
a´
c´
A a
o
b
x
b c d
o
b
c
a
两直线平行的投影特性：
(1)两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。
即AB∥CD，则：ab∥cd ；a′b′∥c′d′；a″b″∥c″d ″。 (2)平行两线段之比等于其投影之比。 AB:CD=ab:cd= a′b′:c′d′= a″b″∥c″d″

a b

c
b

ab
AB
a AB
|yA-yB|

|yA-yB|
ab
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
Z b
b′ Z
a〞
B
X a O A a
b
a′ X b
b〞

b a Y
O
YW
a
YH
|xA-xB|
【例题】如图所示，求直线AB的真长及其对 投影面H、V的倾角 、
方法一：
d′
β
Z
d″

t0
c0
t′
c′
△
t″
c1
x O
△
y
c″
【例题】如图所示：已知直线EF的水平投影ef和端点E的 正面投影e′，并知EF的真长为20mm，补全EF的正面投影 e′f′,同时，请回答这个题目有几解。
有两解
e
f′
△z
X e f
△z
f′
O
2.2.4
两直线的相对位置
两直线平行 两直线的
共面
两直线平行的判定：
若直线的三面投影均平行，则空间两直线平行。
一般根据两面投影便能判断两直线是否平行： 两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影平行则两直线空间也平行 当两直线为投影面平行线时，需判断两直线在其平行的投影面上的 投影是否平行，若平行则两直线平行，否则交错。
b’ d’ a’ c’ c” d” b”
a
O b
c
（2） 垂直交错两直线 A
B
a′
b′ n
N
C
X
m
O
a
n b
a c
M m
n
b
H
m
MN⊥AB ,过点A作AC∥ MN,则AC⊥AB,且AB∥H面, 则有ab ac，又mn∥ac,则mnab
判断两直线的位置关系
(1) a′ c′ b′ d′ (2) a′(b′) d′ c b′ c′ (3) a′
2.2 直线的投影
2.2.3
2.2.3.1
求直线的真长及其对投影面的倾角
求直线的真长及其对投影面的倾角
求解一般位置线段的实长及倾角 是求解画法几何综合题时经常遇到的 基本问题之一，也是工程上遇到的问 题。而用直角三角形法求解实长、倾 角又最为方便、简捷。求实长或可采 用辅助平面法。
直角三角形法
b′ Z B a′ β A X a Y
x
c’
c
o
b k
a
k
a d
两直线相交的投影特性：
两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投 影的交点符合点的投影规律。
一般根据直线的两面投影即可判断是否相交
两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影相交且交 点符合点的投影规律，则两直线空间也相交。


当其中有一条直线为投影面平行线时，则需要作出该直线 在所平行的投影面上的投影来判断；也可根据其两面投影中 的交点将直线分成的两段是否成比例来判断。 c a b k d
a′
c′
b′
d′
c
b d
a
【例题】判断两直线的相对位置（方法一）
c′
Z
b′
d″
c″ b″ 两 直 线 交 叉
a′
d′
X
a d
o
a″
YW
c
b
YH
【例题】判断两直线的相对位置(方法二）
c′ b′ 两 直 线 交 叉
1′
x
a′ a
d′
d
1
o
c
=1′d′ =1′c′
b
判断两根管子的可见性
c′ b′
c′
A
B
a′ c′
b′
C
c a b
X H
a
O b
c
如果两直线互相垂直， 它们在某一投影面上的投 影也互相垂直，则此两直 线中至少有一直线平行于 该投影面
证明：AB⊥BC、AB⊥Bb AB⊥AacC
又 ab∥AB，
ab⊥AacC ab⊥bc，
即∠abc=90°
A
B
a′ c′
b′
C
c a b
X H