第四章 曲线积分与曲面积分 第四节 对面积的曲面积分

2 2

曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
S k
o
y
( k , k ,0)
n
lim
0
k 1
x

D xy
k
f ( k ,k , z ( k ,k ))
2 2
(光滑)
1 z x ( k , k ) z y ( k , k ) ( k )
d
0

3
1 d
2
2 15
(6 3 1)
- 12 -
第四节
对面积的曲面积分
z R x y
2 2 2
例5 求均匀半球壳
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
的形心.
z
解
由对称性
x y 0
A 2 R
半球壳的面积
M
xy
2
o



zdS
x
y


D
曲面面积为
-3
记作
第四节
对面积的曲面积分
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
• 积分的存在性. 在有界光滑曲面 上
第 连续, 则对面积的曲面积分存在. 十 章 • 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的,例如分成两 曲片光滑曲面 , , 则有 1 2 线 积 f ( x , y , z ) d S f ( x , y, z ) d S 分 1 与 曲 • 线性性质. 面 积 分 k1 f ( x , y , z ) k2 g( x , y, z )d S
( x y )( 0 z 1 ) 的质量,此壳
2 2
zdS

z
D xy : x y 2
2
2
dS
1 zx z y dxdy
2 2
o
y

1 x y dxdy
2 2
x

1 2

D xy
( x y ) 1 x y dxdy
2
2
2
2
2

1
2 0
2
2
2
-7-
第四节
对面积的曲面积分
例1. 计算曲面积分 被平面
第 十 章
其中是球面 截出的顶部.
解:
Dx y : x y a h
2 2 2 2
z
曲 2 2 线 h 1 zx z y 积 分 o a dxd y 与 dS x z a 2 x 2 y 2 曲 Dxy 面 积 2 2 a h 1 2 d 2 2 分 2 a ln( a ) a d 2 2 0 0 2 a
-6-
第四节
对面积的曲面积分
2 2

第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分

Dxy
f ( x, y,
) 1 z x ( x , y ) z y ( x , y )d xd y
: y y ( x , z ), ( x , z ) D xz
同理如果


f ( x , y , z ) dS

k1 f ( x , y , z ) d S k2 g ( x , y , z ) d S

-4-
第四节
对面积的曲面积分
二 对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面 积分 存在, 且有
第四节
对面积的曲面积分
第四节 对面积的曲面积分
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
一 对面积的曲面积分的概念与性质
二 对面积的曲面积分的计算法
-1-
第四节
对面积的曲面积分
一 对面积的曲面积分的概念与性质
第 十量 章
曲 线 “大化小, 常代变, 积 分 的方法, 可得 与 n 曲 面 M 积 k 1 分
极限为函数
f ( M ) 在Q
记为 上的积分，
Q
f ( M ) dQ ,
即
- 14 -
第四节
对面积的曲面积分

Q
f ( M ) dQ lim
0

k 1
n
f ( M k ) Q k
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
- 15 -

D xz
f ( x , y ( x , z ), z )
1 y x y z dxdz
2
2
: x x ( y , z ), ( y , z ) D y z


f ( x , y , z ) dS

D yz
f ( x ( y , z ), y , z )
1 x y x z dydz
y
a h
2
2
0
-8-
第四节
对面积的曲面积分
例2. 计算
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
其中 是由平面
z
1
与
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 1 , 2 , 3 , 4 分别表示 在平面
上的部分, 则 原式 =

o
1 1 y


1


2


3
R
R x y
2 2 2
R x y
2
2
2
dxdy
R
3
z
M
xy

R 2
- 13 -
A
第四节
对面积的曲面积分
三 积分的统一定义
定义 设Q 为一可以度量的有界的几何形状，f ( M
)
第 如果将Q 任意分割成n 个小的 十 定义在Q 上的有界函数， 章 可以度量的几何形状 Q k ,（其度量仍记为 Q k ) 在每个 曲 Q k 上任取一点 M k , 作和式 线 n 积 分 f ( M k ) Q k 与 k 1 曲 记 max [ d ] 和式的极 k ( d k 为 Q k 的直径 ), 当 0 时， 面 1 k n 积 分 限存在 则称此 （与Q的划分，点M k 在 Q k 取法无关），
曲 D xy : 0 y 1 x , 0 x 1 线 2 2 2 积 ( x y z ) dS , 由对称性得 分 与 x 曲 8 ( x 2 y 2 z 2 ) dS 面 1 积 分 8 ( x 2 y 2 ( 1 x y ) 2 ) 1 1 1 dxdy
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
z 0, z H
计算

对面积的曲面积分 1 dS , 其中 2 2 2 x y z
x y
2 2
是介于平面
z
之间的圆柱面
R y , R y ,
2 2 2 2
R .
2
解
1 2
1 : x 1 : x

f ( x, y, z ) dS


Dxy
f ( x, y,
)
证明: 由定义知
lim
0

k 1
n
-5-
第四节
对面积的曲面积分
z
则
( k )

1
2 zx

2 z y dxd
y
( k , k , k )
第 1 z x ( k , k ) z y ( k , k ) ( k ) 十 章 取 k k , k k k z ( k , k )
引例: 设曲面形构件具有连续面密度 z M. 类似求平面薄板质量的思想, 采用
近似和, 求极限”

求质
( k , k , k )
S k
o x
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的
-2-
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
第四节
对面积的曲面积分
定义: 设 为有界光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域


4
x y z dS
x
x y z d S
4
4 : z 1 x y , ( x , y ) Dx y
3 x dx
0 1 1 x 0
0 y 1 x : 0 x1
y(1 x y ) d y
-9-
3 120
第四节
例3
( y , z ) D yz ( y , z ) D yz
x
2 2 1 x y x z dydz
o
y
D yz : R y R , 0 z H
在
1, 2
上

R R
dS
R R y
2
2
2
Βιβλιοθήκη Baidudydz
原式


1

2
2
2
D yz
1 R z
D xy
z
1
o
y
8
3 dx
0
1
1 x 0
(1 2 x 2 y 2 x y 2 x 2 y ) d y
2 2
2
3
- 11 -
第四节
对面积的曲面积分
2 的面密度的大小为 z .
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
例5 解
求抛物面壳z
M
1
第 任意取点, “乘积和式极限” 十 章
f ( x , y , z )d S 曲 线 积 分 都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 与 的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积 曲 面 积 函数, 叫做积分曲面. d S 叫做曲面面积元素。 分 据此定义, 曲面形构件的质量为 M ( x , y , z ) d S
2 2
R R y
2
dydz
2
1 R y
2
dy
0
H 2
R R z
2
dz 2 arctan
H R
- 10 -
第四节
对面积的曲面积分
2 2
例4
计算

( x y z ) dS ,
2
其中 是由平面
围成的正八面体的表面. | x | | y | | z | 1 第 十 解 设 1 : z 1 x y , ( x , y ) D xy 章