第四章 曲线积分与曲面积分 第四节 对面积的曲面积分
第一类曲面积分
2 2
D : x 2 + y 2 ≤ 2x
∂z ∂z dS = 1 + + dσ = 2dσ ∂x ∂y
于是 zdS = ∫∫ x 2 + y 2 · ∫∫
∑ D
2dσ
= 2∫
π
2 −
π
2
dθ ∫
2 cos θ 0
∫∫
Σ
2 f ( x, y, z )dS = ∫∫ f [ x, y ( z , x), z ] 1 + y x + y z2 dzdx Dzx
3. 若曲面∑的方程为 x=x(y,z） ∑在yoz面上的投影区域为 D yz 则
∫∫
Σ
2 f ( x, y, z )dS = ∫∫ f [ x( y, z ), y, z ] 1 + x y + x z2 dydz D yz
16 2 = 2 ∫ 2 cos 3 θ dθ r dr 0 3
π
32 = 2 9
x2 y2 + z 2 = 1的上半部分，点 P( x, y, z ) ∈ S， 例4. 设 S 为椭球面 + 2 2 π 为 S 在点 P 处的切平面, ρ ( x, y, z ) 为点 O(0,0,0) 到平面 π 的距离， z dS . 求 ∫∫ ρ ( x, y , z ) S
2 2 2 ∑: z = 2 R − x − y ( z ≥ R)
y 2 z 3 dS 例1 计算 ∫∫
Σ
2 dS = 1 + z x + z 2 dxdy = y
2R 2R 2 − x 2 − y 2
dxdy
曲线积分与曲面积分
目录1对弧长的曲线积分 （扩展）对弧长曲线积分的应用2对坐标的曲线积分 3格林公式及其应用 4对面积的曲面积分课后典型题1对弧长的曲线积分之前已经学过计算曲线长度的积分（1）对于y=y(x)（2）对于参数方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩（3）对于极坐标方程是()r r θ=，转成直角坐标()cos ()sin x r y r θθθθ== ，则'()'cos sin '()'sin cos x r r y r r θθθθθθ=-=+。
代入上面3个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。
那么，如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。
当然如果密度均匀为1，则求的弧长积分就是弧长。
如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。
对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。
扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L 的密度，求得的结果就是空间的线质量。
定义：01(,)lim (,)niiii Lf x y ds f s λξη→==∆∑⎰ 计算步骤 1画出图形2写出L 的方程，指出自变量范围，确定积分上下限（下限必须小于上限） 3由L 类型写出对应ds 的表达式4因被积函数f(x,y)的点x ，y 在L 上变动，因此x ，y 必须满足L 的方程。
即把L 中的x ，y 代入被积函数f(x,y)中。
5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。
注，二重积分中xy 在投影域D 内动，而被积函数的xy 在L 上动，故(x ，y)必须满足L 。
如，L 的方程y=k,则()LLf x ds kds ks ==⎰⎰（保留。
还不太懂）参数方程设曲线有参数方程()()x x t L y y t =⎧⎨=⎩，则有：显式方程 设曲线为L ：y=y(x) ，则有：设曲线为L ：x=x(y) ，则有： 极坐标方程 设曲线为:(),([,])L rr θθαβ=∈ 则有：空间曲线方程设曲线为空间曲线():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则有： 设在L 上f(x,y)<=g(x,y)，则(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤⎰⎰，特别的，有(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤⎰⎰此性质不能用于第二类曲线积分扩展 对弧长曲线积分的应用（其实和二重积分一样，完全可以自己推导）质心坐标：LLx dsx dsρρ=⎰⎰ 、LLy dsy dsρρ=⎰⎰转动惯量：I=mr^2,因此有2(,)x LI y x y ds ρ=⎰设平面力场的力为(,)(,)(,)x y P x y Q x y =+F i j 求该力沿着曲线L 从a 到b 所做的功。
高数第四节.对面积的曲面积分 (1)
1. f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
1
2
当为闭曲面时, f ( x, y, z)dS 可写成 f ( x, y, z)dS.
2. 当 f ( x, y, z) 1时, dS 是曲面的面积.
复习：
z n
设光滑曲面
M
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z) S dA
处小切平面的面积 d A 无限积累而成. o
设它在 D 上的投影为 d , 则
x
y
d
d cos d A n ( fx( x0 , y0 ), fy( x0 , y0 ), 1 )
cos
1
1 fx2 (x, y) f y2 (x, y)
d A 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
z
h
oD xy
ay
x
因为dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
a
dxdy，
a2 x2 y2
dS
a
dxdy，
a2 x2 y2
ห้องสมุดไป่ตู้
dS z
Dxy
a2
adxdy x2
y2
add Dxy a2 2
a
2π
d
0
a2 h2 0
d a2 2
2πa
1 2
ln( a 2
2
) 0
a2
h2
2πa ln a . h
f (i ,i , i )Si
积分曲面
面积元素
积分和式
以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的 曲面积分.
§10.4对面积的曲面积分
Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式.
按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式:
(1) 若曲面 为: z=z(x, y), 则
f ( x, y, z)dS
Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
)
i
.
i 1
由以上假设知: 上式两边当0时的极限存在, 即
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
i
)Si
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
z(i
,i
))
1
z
2 x
(i
,i
)
z
2 y
(
i
,i
)
i
.
上式左边为函数f(x, y, z)在 上对面积的曲面积分, 而
右边为一个在区域Dxy上的二重积分, 因此有
f ( x, y, z)dS
对面积的曲面积分的性质:
由上述定义可知, 其性质与对弧长的曲线积分的 性质完全类似.
(1) 对函数的线性性质:
[f ( x, y, z) g( x, y, z)]dS
f ( x, y, z)dS g( x, y, z)dS.
(2) 对积分曲面的可加性:
12 f ( x, y, z)dS
0
i 1
(
i
,i
,
i
)Si
.
实例: 若曲面 是光滑的, 它的面密度(x, y, z)为
连续函数, 求它的质量. 所谓曲面光滑即曲面上各点处
高等数学曲线积分与曲面积分
典
型
双 侧
n
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
章曲线积分与曲面积分
一、主要内容 二、线、面积分的基本计算法
一、对弧长的曲线积分的概念
1.定义 设L为xoy面内一条光滑曲线,弧函数f (x, y)
在L上有界.用L上的点M1, M2,, Mn1把L分成n
个小段.设第i个小段的长度为si ,又(i ,i )为第
i个小段上任意取定的点一, y
i1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的直径的最大值0时, 这和式的极限存在,
则称此极限为函数f(x, y,z)在曲面上对面积
的曲面积分或第一类曲面积分.
记 为 f(x,y,z)d.S
n
即 f(x,y,z)d S l i0im 1f(i, i, i) S i
其中 f(x, y,z)叫被积函数 叫积 ，分曲.面
B
作乘积f (i ,i ) si ,
n
并作和 f (i ,i ) si ,
i1
L Mn1
(i,i) M i
M2
A M1
Mi1
o
x
如果当各小弧段长的度的最大值 0时, 这和的极限存, 在则称此极限为函f数 (x, y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分第或一类曲
线积分, 记作 f (x, y)ds, 即 被积函数 L
n
f(x ,y,z)d sl i0im 1f(i,i,i) si.
注意：
1 . 若 L (或 )是分,段 (L L 光 1L 2)滑
f ( x ,y ) d sf ( x ,y ) d s f ( x ,y ) d . s
L 1 L 2
对面积的曲面积分公式
对面积的曲面积分公式1. 对面积的曲面积分的概念。
- 设曲面∑是光滑的，函数f(x,y,z)在∑上有界。
把∑任意分成n小块Δ S_i（Δ S_i同时也表示第i小块曲面的面积），设(ξ_i,eta_i,ζ_i)是Δ S_i上任意取定的一点，作乘积f(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i，并作和∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
- 如果当各小块曲面的直径的最大值λto0时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作∬_∑f(x,y,z)dS=limlimits_λto0∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
2. 对面积的曲面积分的计算方法。
- 一、利用曲面的方程化为二重积分计算。
- 设曲面∑的方程为z = z(x,y)，∑在xOy面上的投影区域为D_xy，函数z(x,y)在D_xy上具有连续偏导数，被积函数f(x,y,z)在∑上连续，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{xy}f[x,y,z(x,y)]√(1 + z_x)^2+z_{y^2}dxdy。
- 类似地，如果曲面∑的方程为x = x(y,z)，∑在yOz面上的投影区域为D_yz，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{yz}f[x(y,z),y,z]√(1 + x_y)^2+x_{z^2}dydz。
- 如果曲面∑的方程为y = y(z,x)，∑在zOx面上的投影区域为D_zx，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{zx}f[x,y(z,x),z]√(1 + y_z)^2+y_{x^2}dzdx。
- 二、利用曲面的参数方程计算（略高于一般要求）- 设曲面∑的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(u,v) y = y(u,v) z =z(u,v)end{array}right.，(u,v)∈ D，且x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D上具有连续偏导数，(∂(x,y))/(∂(u,v)),(∂(y,z))/(∂(u,v)),(∂(z,x))/(∂(u,v))不全为零，则dS=√(EG - F^2)dudv，其中E=x_u^2+y_u^2+z_u^2，F = x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v，G=x_v^2+y_v^2+z_v^2。
高等数学课件D104对面积曲面积分
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例1. 计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出的顶部.
解:
z
Dxy : x2 y2 a2 h2
1
z x2
z
2 y
h o
Dxy a y x
d S z
a dxdy
2
Dxy a2 x2 y2 a 0 d
1 x
1y
4 xyz d S
4 : z 1 x y,
(x,
y)
Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x
1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
0
0
3 120
2019/11/24
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例3. 设 : x2 y2 z2 a2
内容小结
1. 定义:
n
lim 0
f (i ,i , i ) Si
i 1
2. 计算: 设 : z z(x, y), (x, y) Dxy , 则
f (x, y, z(x, y) )
Dxy
1
z
2 x
z
2 y
dxd y
(曲面的其他两种情况类似)
• 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式
z 1 x o Dx y y
计算结果如何 ?
2019/11/24
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例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.
对面积的曲面积分
| xyz| dS 4 xyzdS d S 1 (2 x )2 (2 y )2 d x d y
1
4 xy (x2 y2) 1(2x)2(2y)2d xd y
D x y
42d1r2co ssinr21 4 r2rd r 00
极 坐 标
22sin2d1r5 14r2dr
0
0
u
(3) 若曲面 ：xx(y,z)
则 f(x,y,z)dS f [x(y,z), y, z] 1x2 yxz2dydz D yz
对面积的曲面积分
计算面积的曲面积分的解题步骤：
1、应根据曲面Σ选好投影面. 2、确定投影域并写出 曲面Σ的显函数形式,
并算出曲面面积元素dS.
3、将曲面方程代入被积函数,化为二 重积分进行计算.
Dxy
对面积的曲面积分
补充
设分片光滑的 曲面Σ关于yOz面对称,则
f(x, y,z)dS
0,
当f(x,y,z)为x的奇函数
2f(x,y,z)dS.
当f(x,y,z)为x的偶函数
1
其中 1 :x x (y ,z ) 0 .
对面积的曲面积分
例 计算 |xy|zdS,
其为 中抛 zx 2物 y2 (0 面 z 1 ).
1 5 u(u1)2du 125 51
41
4
420
对面积的曲面积分
例 计算xdS, 其中 是圆x2柱 y2面 1,
平 z 面 x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
z
z
z
O
x
y
O
x
y
O
x
y
对面积的曲面积分
例 计算xdS, 其中 是圆x2柱 y2面 1,
高等数学第四节 曲 面 积 分
例 1 计算曲面积分 (xz2)dS, 其中 为
球面 x2 + y2 + z2 = 1.
解 球面方程为 z 1x2y2 与z 1x2y2.
上半球面记为 1，下半球面记为 2，则根据
对面积的曲面积分的性质，有
(xz2)dS(xz2)dS(xz2)dS.
设曲面 是双侧的. 例如方程 z = z(x, y) 表示的曲
面，有上侧与下侧之分；方程 y = y(x, z)表示的曲面.
有左侧与右侧之分；方程 x = x(y, z) 所表示的曲面， 有前侧与后侧之分；对于封闭曲面，有内侧与外侧之
分
z
上侧
z
外侧
Mo
内侧
下侧
内侧
O
y
x (a)
O
外侧 y
x (b)
P 1, Q 1,
x
y
所以由高斯公式，得
R 0. z
I(x1 )d yd zyd zd xd x d y
2dV
211111.
6
3
时，则曲面的法向量
n与
z
轴正向的夹角不大于 π
2
,
于是，曲面的面积元素 dS 在 xy 平面的投影 dxdy 不
为负值，如果 Dxy 表示曲面 在 xy 平面上的投影区
域，那么我们可将对坐标的曲面积分化成在 xy 平面
上区域 Dxy 的二重积分来计算，即
R(x, y,z)dxdy R[x,y,z(x,y)d ]xdy.
在曲面 上连续，则
f
(x,
y,
z)dS
曲线积分与曲面积分
第十一章曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.教学目标1．理解对弧长曲线积分和对坐标曲线积分的概念和性质；2．掌握对弧长曲线积分和对坐标曲线积分的计算方法；3．理解两类曲线积分之间的关系；4．掌握格林公式；5．会应用平面曲线积分与路径无关的条件；6．理解对弧长曲线面积分和对坐标曲面积分的概念和性质；7．掌握对弧长曲面积分和对坐标曲面积分的计算方法；8．理解两类曲面积分之间的关系。
教学要求1．掌握对弧长曲线积分和对坐标曲线积分的计算方法。
2．掌握格林公式。
3．应用平面曲线积分与路径无关的条件解决相关类型的问题。
4．掌握对弧长曲面积分和对坐标曲面积分的计算方法。
知识点、重点归纳1．分析实际问题，将其转化为相关的数学问题；2．应用曲线或者曲面积分的计算方法求解问题；3．理解格林公式的实质；4．应用平面曲线积分与路径无关的条件解决相关类型的问题。
第一节 对弧长的曲线积分一、对弧长曲线积分的概念与性质定义 L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧，),(y x f 在L 上有界，用i M 将L 分成n 小段i S ∆，任取一点i i i S ∆∈),(ηξ()1,2,3...,i n =， 作和ini iiS f ∆∑=1),(ηξ，令},,,m ax {21n s s s ∆∆∆= λ，当λ0→时，01lim (,)ni i i i f S λξη→=∆∑存在，称此极限值为),(y x f 在L 上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为=⎰ds y x f L),(01lim (,)ni i ii f S λξη→=∆∑注意：（1）若曲线封闭，积分号⎰ds y x f ),(（2）若),(y x f 连续，则ds y x f L⎰),(存在，其结果为一常数.（3）几何意义),(y x f =1，则ds y x f L⎰),(=L （L 为弧长）（4）物理意义 M =ds y x L⎰),(ρ（5）此定义可推广到空间曲线ds y z x f ⎰Γ),,(=01lim (,,)ni i i ii f S λξηζ→=∆∑（6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上重心：Mxdsx L⎰=ρ，Mydsy L⎰=ρ，Mzdsz L⎰=ρ。
第四节 曲面积分
从而在单位时间内流过曲面Σ指定一侧的流量为
Δ i Δ i
i 1 n n
P i ,i , i ΔSi yz Q i ,i , i ΔSi zx R i ,i , i ΔSi xy .
i 1
令λ=max{ΔSi的直径}，当λ→0时，上面和式的极 限值就是所求的流量Φ，即
Σ1,Σ2合并而成，即Σ=Σ1+Σ2，则有
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Σ
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy.
Σ1 Σ2
上式可以推广到Σ是由有限片光滑曲面
Σ1,Σ2,…,Σn合并而成的情形.
性质2 设Σ是光滑的有向曲面，Σ－表示与
x2+y2=25所截得的部分(图10-59).
解 积分曲面Σ的方程为
z=5-y，它在xOy面上的
投影为闭区域
Dxy
又
x, y x
2
y 25 .
2
图10-59
2 z z 2 1 1 0 1 2, x y
v P( x, y, z )i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k,
Σ是速度场中的一片有向光滑曲面，函数P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在Σ上连续.求在单位时间内流体
流过曲面Σ指定侧的流量Φ.
如果流体在这区域上各点的流速为常向量v，那 么单位时间内流过平面上面积为A的流量为
eni cos i i cos i j cos i k
近似代替ΔSi上各点处的流速，以该点的单位法 向量
代替上各点处的单位法向量，把小曲面近似看成平
高数 对面积的曲面积分讲解
4 xd S 4 x d S
x xd S d S
25
例8 求半径为R 的均匀半球壳 的重心。
解 设 的方程为 利用对称性可知重心的坐标 x y 0 ,而
用球面坐标系
z Rcos
d S R2 sin d d
R3
2
3
0
5 4cos2 t dcos t
z oz y
L ds x
29
内容小结
1. 定义:
n
lim
0
i 1
f
(
i
,i
,
i
)
Si
2. 计算: 设 :z z( x, y),( x, y) Dx y , 则
Dx y f ( x, y, z( x, y) )
1
1
x x2
y2
2
y x2
y2
2
O
dxdy
a
2a x
2dxdy
I ( xy y x2 y2 x x2 y2 ) 2dxdy
Dxy
20
y
0 2 x x2 y2dxdy
Dxy
2a cos
2
18
例3 计算
其中是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解 设 1, 2 , 3, 4分别表示 在平面 1
上的部分, 则 o
原式
=
1
2
3
4
x
yz
dS
曲线积分与曲面积分对面积的曲面积分
目录
• 引言 • 曲线积分与曲面积分的基本概念 • 曲线积分与曲面积分对面积的应用 • 案例分析 • 结论
01 引言
主题简介
曲线积分与曲面积分
曲线积分和曲面积分是微积分中的重 要概念，它们分别用于计算曲线和曲 面上的积分。
面积的曲面积分
面积的曲面积分是曲面积分的一种特 殊形式，它涉及到计算曲面在某个方 向上的投影面积。
面积的曲面积分还可以用于计算曲面 上的高斯曲率、平均曲率等几何量。
04 案例分析
曲线积分在几何图形面积计算中的应用
总结词
曲线积分可以用于计算某些特殊几何图形的面积，如圆、椭圆等。
详细描述
曲线积分通过将图形边界上的曲线长度转化为数值积分，进而求得图形的面积。 例如，对于圆，其面积可以通过计算圆周长度的曲线积分来获得。
定义
面积的曲面积分是计算曲面在某个方 向上的投影面积的累积效果。
性质
面积的曲面积分具有线性性质、可加 性、积分区间的可加性等。
03 曲线积分与曲面积分对面 积的应用
曲线积分在面积计算中的应用
曲线积分可以用于计算曲线围成的面 积。通过选择适当的参数，将曲线转 化为直线，然后利用定积分计算面积。
曲线积分还可以用于计算曲线长度、 曲线上某点的切线方向等几何量。
曲面积分在几何图形面积计算中的应用
总结词
曲面积分可以用于计算某些曲面图形的 表面积。
VS
详细描述
曲面积分通过将曲面各点的法向量与给定 向量或标量函数相乘，并对整个曲面进行 积分来求得表面积。这种方法在计算复杂 几何形状的表面积时非常有用。
面积的曲面积分在几何图形面积计算中的应用
总结词
高等数学 第四节 对面积的曲面积分
第十一章 第四节
8
轮换对称性 如果积分曲面 Σ 的方程中某两个变量对调其方程 不变， 则将被积函数的这两个变量对调积分值不 变，例如：Σ 中 x 与 y 对调 Σ 不变
f ( x , y , z)dS f ( y , x , z)dS
Σ
Σ
注意：利用曲面方程化简曲面积分
曲面积分和曲线积分一样，积分区域是由积分变
一卦限中的部分，则有( C )。
( 2000 考研 )
第十一章 第四节
15
例6 设 : x2 y2 z2 a2
计算 I f ( x , y , z)dS 。
Σ
z
a
Σ1 a
2
O Dxy
xa
ay Σ2
第十一章 第四节
16
例7
计算 I =
dS x2 y2 z2
其中 Σ 是介于平面
之间的圆柱面
量的等式给出的，因而可以将 Σ 的方程直接代入
被积表达式。
第十一章 第四节
9
例1 计算曲面积分 I x2dS ， Σ 为
Σ
x2 y2 a2 介于 z 0 与 z k 之间的部分。
z k
O y
x
第十一章 第四节
10
具体步骤： 1 根据曲面的形状确定最简的投影方法，将曲 面表示为显函数，同时确定相应的坐标面上的投 影区域； 2 根据曲面方程求得相应的面积元素 dS ； 3 将曲面方程的表达式和面积元素 dS 代入被积 表达式而得到相应投影区域上的二重积分； 4 计算转化后的二重积分。
第十一章 第四节
6
若曲面为：y y( x , z) , ( x , z) Dxz 往 zOx 平面投影
则 f ( x , y , z)dS f [x , y( x , z) , z] 1 yx2 yz2dxdz
对面积的曲面积分
第四节 对面积的曲面积分4.1 学习目标了解对面积的曲面积分的概念、 性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法， 会用曲面积分求一些几何量与物理量 .4.2 内容提要1.定义 设函数f x, y,z 在光滑曲面上有界，将曲面任意分成n 小块 s ( S i也表示第i 小块曲面的面积)，在 S i 上任取一点 M i ( i , i , J ，作乘积f( i , i , i ) S i n (i 1,2,L ,n )，并作和 f i , i , is i ，记各小曲面直径的最大值为，如果对曲i 1面的任一分法和点(i , i , i )的任意取法，当 0时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数 f x,y,z 在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记nf(x, y,z)dS lim 0 i 1 f ( i , i , i ) S •【注】定义中的“ S i ”是面积元素，因此，S i 0 .2•性质f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x, y,z)dS ;1 2②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面的面积S ，即f (x, y, z)dS S .3.对面积的曲面积分的计算在xoy 面上的投影区域为 D xy ,函数z z x, y 在Dxy同样地:x x y,zf (x, y, z)dSD yzD xy 上具有连续偏导数，被积函数f (x, y,z)在 上连续，则f (x,y,z)dSf(x, y,z(x,y)h 1dxdy①关于曲面具有可加性，若12，且1与2没有公共的内点，则设曲面 由z z x, y 给出,x y,z , y,z dydz ,:y y z,xf(x,y,z)dS f x, yz,x ,zD xz4•对面积的曲面积分的应用设曲面上任意一点x, y, z处的面密度是x, y,z①曲面的质量x, y, zdS.②曲面的质心x,y,z 2 dzdx .x,y,z dS, x,y,z dS③曲面的转动惯量I x x,y,z dS Iyx, y,zI z x,y,z dS, I o z x, y, z dSdS,x, y,zdS.4.3 典型例题与方法基本题型I :计算对面积的曲面积分1 填空题:x2y2z24，则Q(X2y2)dS由积分区域的对称性知乙x2dS y2dS? z2dS而积分在上进行,乙（x2故应填12832 选择题(A) xdS (C) zdS乙（X2y2)dS - (x23z24,y2)dSa2(z 0),代入上式得,z2)dS .22128在第一卦限中的部分，则有（）4 xdS ；( B) ydS 4 xdS ；1 14 xdS ；( D) xyzdS 4 xyzdS解因为曲面是上半球面， 关于yoz 面对称且被积函数f i (x, y,z) x ,f 2(x, y, z) xyz 都是变量X 的奇函数，于是 xdS xyzdS ° .类似地， 关于xoz面对称且f 3(x, y,z) y 是变量y 的奇函数，于是 yds 0 .而 xdS 0, xyzdS 0 ,1 1故应选(C ).事实上，由对称性，zdS 4zdS ,zdS xdS, (0正确.1 1 1【方法点击】 在计算对面积的曲面积分时，应注意下列技巧： (1) 利用对称性，但要注意，曲面 关于某坐标面对称，被积函数关于相应变量具有 奇偶性，两者缺一不可.(2)利用积分曲面 的方程化简被积函数.例3计算曲面积分 (2x 2y z)ds ，其中 是平面2x 2y z 2 0被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分D : 0 x 1,0 y22dSJ 1~x ~ dxdy ^ 2dxdy ,解法2x 2y,z x2,Z y 2.在xoy 平面上的投影是三角形，记为(2x 2y z)ds2g 1 z x 2 z y 2 dxdy6dxdy 3.D解法(2x 2y z)ds 2dS22 3 .【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里, 形，最后用到了三角形的面积公式 .例 4 计算 | (x2y 2)dS ,因为积分曲面是一个三角为立体.x 2 y2z 1的边界.【分析】］根据积分曲面 的方程, 分转化为投影区域上的二重积分进行计算.确定投影区域，计算曲面面积微元dS ，将曲面积1为锥面zx 2 y 2 , 0 z 1，在 1 上,图4-12为z 1上x 2y 21部分，在 2上，dS dxdy ,2 2i, 2在xOy 面的投影区域为D ：x y 1，所以图4-2【注】该题不能将积分曲面向xoy 面作投影，因为投影为曲线，不是区域•基本题型II :对面积的曲面积分的应用(x 21y 2)dS + (x y 2)dS2 (x 2 2 y )、. 2dxdy (xD2y )dxdy(.2 1) (x 2y 2)dxdy (1D3d八2).例5计算 z 2dS ，其中 为 x 2 y 24介于z 0,z 6之间的部分•【分析】积分曲面 如图11-13所示，此积分为对面积的曲面积分，积分曲面关于xoz 面，yoz 面对称，被积函数是偶函数，则有z 2dS = 4 z 2dS ， 1故可利用对称性解之•解 设1 : x 4 y 2,其在yoz 面的投影域为D yz :dS . 1 x y 2x z2dydzdydzz dS = 4 z ? dS =4Ddy 288 .1例6求物质曲面S: z (x2 y2)(0 z 1)的质量，其面密度z((x, y,z) S).2解S在xoy平面上的投影区域D : x2 y2(、‘2)2.解以球心为原点，铅锤直径为Z 轴建立直角坐标系，则球面方程为x 2y 2z 2R 2， 且任意点M (x,y, z)处的密度为x 2y 2.设球壳的质心坐标为(x,y,z)，由对称性知，x y 0 .z dS于是球壳的质量为2 R43 R4R12 3 3，于是半球壳的质心坐标为-2R 3 324.4 教材习题解答1.有一个分布着质量的曲面，在点(X, y, z)处它的面密度u(x,y, z)，用对面积的曲面积分表示这曲面对于 x 轴转动惯量。
曲面的面积与曲面积分
其中dS 1Fra bibliotekz2 x
z
2 y
dxdy几何上代表小切面块的面积.
特别的，曲面∑的面积 1dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
Dxy
2. 若曲面：y y(z, x)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x, y(z, x), z]
1
y
2 z
y
2 x
dzdx
;
Dzx
3. 若曲面：x x( y, z)
D yz
如果曲面的方程为： y y(z, x)
曲面面积公式为：S
1
yz2
y
2 x
dzdx
.
Dzx
例1. 证明球的表面积 4 R2 .
解: 上半球面的方程为 : z R2 x2 y2
它在xoy面上的投影区域Dxy : x2 y2 R2 .
z x
x
, z
R2 x2 y2 y
y
R2 x2 y2 , z
球面面积S 2
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
R
Dxy
2
dxdy
Dxy R2 x2 y2
o Dxy R y x
2
R
2 d
R
R
rdr 2a
1
d(R2 r2)
0
0 R2 r2
0 R2 r2
4 R2 .
例2. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度
h = 36000 km,运行的角速度与地球自转角速度相同,
S
y
(x, y)
的 边 界 为 准 线 ， 作 母 线平 行 于z 轴 的 小 柱 面 ，
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( x y )( 0 z 1 ) 的质量,此壳
2 2
zdS
z
D xy : x y 2
2
2
dS
1 zx z y dxdy
2 2
o
y
1 x y dxdy
2 2
x
1 2
D xy
( x y ) 1 x y dxdy
2
2
2
2
2
1
2 0
2
f ( x, y, z ) dS
Dxy
f ( x, y,
)
证明: 由定义知
lim
0
k 1
n
-5-
第四节
对面积的曲面积分
z
则
( k )
1
2 zx
2 z y dxd
y
( k , k , k )
第 1 z x ( k , k ) z y ( k , k ) ( k ) 十 章 取 k k , k k k z ( k , k )
曲 D xy : 0 y 1 x , 0 x 1 线 2 2 2 积 ( x y z ) dS , 由对称性得 分 与 x 曲 8 ( x 2 y 2 z 2 ) dS 面 1 积 分 8 ( x 2 y 2 ( 1 x y ) 2 ) 1 1 1 dxdy
曲面面积为
-3
记作
第四节
对面积的曲面积分
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
• 积分的存在性. 在有界光滑曲面 上
第 连续, 则对面积的曲面积分存在. 十 章 • 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的,例如分成两 曲片光滑曲面 , , 则有 1 2 线 积 f ( x , y , z ) d S f ( x , y, z ) d S 分 1 与 曲 • 线性性质. 面 积 分 k1 f ( x , y , z ) k2 g( x , y, z )d S
4
x y z dS
x
x y z d S
4
4 : z 1 x y , ( x , y ) Dx y
3 x dx
0 1 1 x 0
0 y 1 x : 0 x1
y(1 x y ) d y
-9-
3 120
第四节
例3
第 任意取点, “乘积和式极限” 十 章
f ( x , y , z )d S 曲 线 积 分 都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 与 的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积 曲 面 积 函数, 叫做积分曲面. d S 叫做曲面面积元素。 分 据此定义, 曲面形构件的质量为 M ( x , y , z ) d S
( y , z ) D yz ( y , z ) D yz
x
2 2 1 x y x z dydz
o
y
D yz : R y R , 0 z H
在
1, 2
上
R R
dS
R R y
2
2
2
dydz
原式
1
2
2
2
D yz
1 R z
第四节
对面积的曲面积分
第四节 对面积的曲面积分
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
一 对面积的曲面积分的概念与性质
二 对面积的曲面积分的计算法
-1-
第四节
对面积的曲面积分
一 对面积的曲面积分的概念与性质
第 十量 章
曲 线 “大化小, 常代变, 积 分 的方法, 可得 与 n 曲 面 M 积 k 1 分
极限为函数
f ( M ) 在Q
记为 上的积分，
Q
f ( M ) dQ ,
即
- 14 -
第四节
对面积的曲面积分
Q
f ( M ) dQ lim
0
k 1
n
f ( M k ) Q k
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
- 15 -
y
a h
2
2
0
-8-
第四节
对面积的曲面积分
例2. 计算
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
其中 是由平面
z
1
与
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 1 , 2 , 3 , 4 分别表示 在平面
上的部分, 则 原式 =
o
1 1 y
1
2
3
D xy
z
1
o
y
8
3 dx
0
1
1 x 0
(1 2 x 2 y 2 x y 2 x 2 y ) d y
2 2
2
3
- 11 -
第四节
对面积的曲面积分
2 的面密度的大小为 z .
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
例5 解
求抛物面壳z
M
1
k1 f ( x , y , z ) d S k2 g ( x , y , z ) d S
-4-
第四节
对面积的曲面积分
二 对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面 积分 存在, 且有
2 2
R R y
2
dydz
2
1 R y
2
dy
0
H 2
R R z
2
dz 2 arctan
H R
- 10 -
第四节
对面积的曲面积分
2 2
例4
计算
( x y z ) dS ,
2
其中 是由平面
围成的正八面体的表面. | x | | y | | z | 1 第 十 解 设 1 : z 1 x y , ( x , y ) D xy 章
2
2
-7-
第四节
对面积的曲面积分
例1. 计算曲面积分 被平面
第 十 章
其中是球面 截出的顶部.
解:
Dx y : x y a h
2 2 2 2
z
曲 2 2 线 h 1 zx z y 积 分 o a dxd y 与 dS x z a 2 x 2 y 2 曲 Dxy 面 积 2 2 a h 1 2 d 2 2 分 2 a ln( a ) a d 2 2 0 0 2 a
R
R x y
2 2 2
R x y
2
2
2
dxdy
R
3
z
M
xy
R 2
- 13 -
A
第四节
对面积的曲面积分
三 积分的统一定义
定义 设Q 为一可以度量的有界的几何形状，f ( M
)
第 如果将Q 任意分割成n 个小的 十 定义在Q 上的有界函数， 章 可以度量的几何形状 Q k ,（其度量仍记为 Q k ) 在每个 曲 Q k 上任取一点 M k , 作和式 线 n 积 分 f ( M k ) Q k 与 k 1 曲 记 max [ d ] 和式的极 k ( d k 为 Q k 的直径 ), 当 0 时， 面 1 k n 积 分 限存在 则称此 （与Q的划分，点M k 在 Q k 取法无关），
2 2
曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
S k
o
y
( k , k ,0)
n
lim
0
k 1
x
D xy
k
f ( k ,k , z ( k ,k ))
2 2
(光滑)
1 z x ( k , k ) z y ( k , k ) ( k )
引例: 设曲面形构件具有连续面密度 z M. 类似求平面薄板质量的思想, 采用
近似和, 求极限”
求质
( k , k , k )
S k
o x
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的
-2-
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
第四节
对面积的曲面积分
定义: 设 为有界光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域
D xz
f ( x , y ( x , z ), z )
1 y x y z x ( y , z ), ( y , z ) D y z
f ( x , y , z ) dS
D yz
f ( x ( y , z ), y , z )
1 x y x z dydz
-6-
第四节
对面积的曲面积分
2 2
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
Dxy
f ( x, y,
) 1 z x ( x , y ) z y ( x , y )d xd y
: y y ( x , z ), ( x , z ) D xz