尺规作图(角平分线)
19.3_用尺规作图(第2课时__作角平分线)
联系知识综合运用
•已知：两条线段 a、t。 求作：△ABC，使一角的平分 线等于t，这一角边AB=a。
a
t
• 说说本节你的收获、体会、疑 惑
作业
• 已知：∠α，线段m。 • 求作：△ABC，使一角∠BAC=∠α， ∠Biblioteka AC的平分线为m。m
华东师大版八年级（下册）
第19章 全等三角形
19.3 尺规作图(第2课时)
作已知角的平分线
复习 1、什么叫做尺规作图？ （限定用直尺和圆规来画图，称为 尺规作图） 2、用尺规作图 （1）作线段，使它等于已知线段 的长； （2）作角，使它等于已知角；
求作一个角等于已知角∠AOB.
作法：（1）作 OM； （2）以点O为圆心，以 交 ，交 ； （3）以_____为圆心，以 交 ； （4）以 为圆心，以 弧交于 ； （5）经过 作 . 则 即为所求的角。
A C B D
作弧， 作弧， 半径作弧，两
O
做一做
1. 利用直尺和圆规把一个角二等 分。 你能说
明理由 吗？
可以看出，所画的射线OC是 ∠AOB的角平分线，根据图中的作 图痕迹，你能画一个角的角平分 线吗？并写出作图步骤。
试一试
试把下图所示的角四等分
O
任意画一个三角形， 画出三个内角的角平分 线（不写画法，保留作 图痕迹） .
尺规作图角平分线原理证明
尺规作图角平分线原理证明要证明尺规作图角平分线原理，我们可以考虑证明两个定理：1）尺规可以作出角的平分线，2）尺规不能作出非整数倍的角。
首先，我们来证明尺规可以作出角的平分线。
给定一个角，我们需要找到它的平分线。
我们可以利用角的一些性质来进行尺规作图。
设给定一个角AOB，我们需要作出它的平分线。
1.用尺子，在OA上任意取一点C，将OC延长到D，使得OC=OD，连接DB。
2.以O为圆心，OC为半径，画一个圆，与OB交于E。
3.连接OE。
我们来证明OE是角AOB的平分线：首先，我们可以证明△OAC≅△OAD，这是因为OC=OD，AC=AD，以及角AOC=角AOD=90度。
因此，OA=OA，OC=OD，角OAC=角OAD。
接下来，我们来证明△OBE≅△ODE，这是因为OB=OD，OE=OD，以及角OBE=角ODE。
因此，OB=OD，OE=OD，角OEB=角OED。
由于角OEB与角OED是△OBE内的相对角，而且△OBE≅△ODE，所以它们是相等的角。
因此，OE是角AOB的平分线。
证毕。
接下来，我们来证明尺规不能作出非整数倍的角。
设给定一个角AOB，我们需要证明尺规不能作出它的非整数倍角。
假设我们可以使用尺规作出角AOB的非整数倍角。
由于尺规只能作出长度为1的线段，所以我们只能作出整数长度的线段。
设尺规作出的非整数倍角为角COD。
由于COD是AOB的非整数倍角，所以COD不等于AOB。
我们可以通过多次作角分的操作来逼近COD。
例如，我们可以作出COE、EOF、FPG……，以此类推。
由于尺规只能作出整数长度的线段，所以每次作角分的操作都是有限的。
假设我们作了n次角分操作，最后得到的角为角CODn。
如果最后的角CODn等于角AOB，那么我们就成功地作出了非整数倍角。
然而，由于尺规只能作出有限次角分操作，所以最后得到的角CODn不可能等于角AOB。
因此，尺规不能作出角AOB的非整数倍角。
证毕。
综上所述，我们证明了尺规可以作出角的平分线，并且尺规不能作出非整数倍的角。
华师大八上数学 13.4.2 尺规作图--作角平分线
A Ｍ
Ｎ
Ｏ O
1、尺规作图作的 AOB 平分线方法如下： 以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C 、D，再分别以点C、D为圆心，以大于1 CD 长 2 为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法 得的根据是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2、试把下图所示的角四等分
A
O
B
6、如下图：用尺规过点Ｃ画直线Ｌ的垂线。 怎么画呢？
C
L
7.作出图中三角形三个内角的角平分 线.（不写作法，保留作图痕迹）
8、已知三角形中的一个角，此角的平分 线长以及这个角的一边长，求作三角形. 分析：首先作出符合条件的图形草图， 分析图形的特征，然后确定作图的顺序， 写出已知、求作、作法，作图中遇到属 于基本作图的，只叙述基本作图即可．
A
O
B
3.如图，已知∠A，试画∠B＝1/2∠A. （不写画法，保留作图痕迹）.
4.已知∠α与∠β，求作一个角，
使它等于（∠α＋∠β）的一半.
分析：要完成这个作图，先作出等于
（∠α＋∠β）的角，再作平分线即可．
5、试把下图所示的角四等分．
分析：首先把∠O二等分，再把得到的两部分 分别再二等分即可，请完成操作并写出画法．
Ｍ
３．作射线ＯＣ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
为什么OC是角平分线呢？ 已知：OM=ON，MC=NC。 求证：OC平分∠AOB。
证明：连接CM,CN 在△OMC和△ONC中， Ｃ OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌ △ONC（SSS） Ｂ ∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
D D1
O
C
角平分线尺规作图
角平分线尺规作图
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
尺规作图做一个角的角平分线按照以下步骤：
1、先在纸上画一个角∠AOB，这个角是作为要被平分的角。
2、以任意长度为半径，顶点为圆心画圆弧，交角两边于C、D。
3、然后以C为圆心，大于CD/2长度为半径用圆规画圆弧。
4、接着以D为圆心，同3步骤一样以长度为半径用圆规画圆弧。
5、最后两圆弧交于E点。
6、连接顶点O和E，OE即为角平分线。
在三角形中的定义。
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
12.8尺规作图2-角平分线 (1)
二.互助探究
环节1----师友探究
1.画一个角∠AOB，尺规作出它的角平分线。
2.在OC上任取一点C，过C点作CD⊥OA于D， 过C点作CE⊥OB于E. 3.你发现CD与CE有什么数量关系？请说明 理由。 4.请用最精炼的语言总结这一规律 8分钟
环节2----教师点拨 角平分线的性质： 定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
A D
P
O
E
B
9分钟
四.总结归纳
环节1----师友总结
1、这节课你学会了哪些知识和学习方法？ 1.会用尺规作已知角的角平分线，知道 其依据。 SSS 2.探索并证明角平分线的性质定理和逆定 理； 运用全等 3.会对的学师（友）提一条学习建议？ 4分钟
五.巩固反馈
作业：
1. 练习册61-62页
1分钟
定理：到角两边距离相等的点在这个角
的平分线上
3分钟
三.分层提高
环节1----师友探究
例1：如图,AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB, 垂足为点E， DF⊥AC，垂足为F,且BD=CD 求证：BE=CF
B D E
A
F
C
9分钟
三.分层提高
环节2----师友探究
例2：如图, PD⊥OA,垂足为点D， PE⊥OB， 垂足为E,且PD=PE 求证:点P在∠AOB的平分线上
12.8尺规作图—角平分线
角平分线
学习目标： 1.会用尺规作已知角的角平分线，知道 其依据。 2.探索并证明角平分线的性质定理和逆定 理； 3.会对角平分线的性质进行简单的应用。
2分钟
一.预习交流
环节1----学生动手操作 按以下步骤画图 1.画一个角∠AOB；
2.以O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA与D，
尺规作图角平分线
尺规作图角平分线尺规作图是古代数学中一种重要的作图方法。
它的原理基于几何学的基本公理和尺规作图的限制条件，通过使用尺和可调规来完成各种几何图形的作图问题。
其中，角平分线也是一类常见的作图问题之一。
角平分线是指将给定角分成两个相等的角的直线。
在几何学中，角平分线的作图问题被广泛应用于各个领域，包括建筑、城规、工程、地理等，因其在实际应用中的重要性而备受关注。
尺规作图的步骤一般分为：给定条件、画出所需图形的辅助线、使用尺规进行作图、绘制出所需的图形。
下面我们来具体讨论如何使用尺规作图来构造角平分线的过程。
首先，假设我们的目标是作出一个角的平分线。
我们有一个给定角A，我们的任务是找到一个直线BC，使得角ABC和角CBD相等。
角平分线的构造方法如下：步骤1：以点A为中心，画一个任意半径的圆（圆心为O），该圆将与角A相交于两个点D和E。
步骤2：以点D和E为中心，分别画两个半径等于AO的圆。
步骤3：连接点O和点F，其中F是这两个圆的交点之一。
步骤4：连接点A和点F，我们得到的线段AF即为角A的平分线。
通过以上的步骤，我们可以很容易地构造出给定角的平分线。
这个方法是尺规作图中常用的角平分线的构造方法。
需要注意的是，这个方法仅适用于使用尺规作图的工具和条件下。
尺规作图角平分线的方法所依赖的原理是，由于圆弧上的任意两个点到圆心的距离是相等的，所以通过相应的操作，我们可以得到使用圆弧相交构建角平分线的方法。
尺规作图角平分线的应用十分广泛。
在数学教学中，角平分线作图是几何学中的重要内容之一。
通过学习角平分线的构造方法，学生们可以深入理解几何学中关于角的概念和性质，并通过实际操作提高他们的几何图形构造能力。
此外，角平分线的应用还可以延伸到建筑、城规和工程领域，例如在设计建筑物或城市规划时，利用角平分线可以确保建筑物或街道的对称性和平衡性。
总结起来，尺规作图角平分线是一种重要的数学作图方法，它基于几何学的基本原理和尺规作图的限制条件，通过使用尺和可调规来构造给定角的平分线。
尺规作图角平分线
目 录
• 引言 • 尺规作图基础知识 • 角平分线的尺规作图方法 • 角平分线在实际问题中的应用 • 角平分线与其他几何概念的联系 • 总结与展望
01 引言
目的和背景
尺规作图角平分线的目的
通过尺规作图的方式，将一个角平分为两个相等的角，以便在几何图形中构造特定的角度或解决与角度相关的问 题。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
对角平分线尺规作图的总结
尺规作图角平分线的基本原理
利用尺规作图的基本操作，通过构造等腰三角形或利用圆的性质，将给定角平分为两个相 等的小角。
尺规作图角平分线的步骤
首先，在角的两边上分别截取相等的线段；然后，分别以这两个点为圆心，以大于截取线 段长度为半径画弧，两弧交于一点；最后，连接角的顶点和交点，所得射线即为角的平分 线。
内部画弧，两弧交于一点。
连接角的顶点和这个交点，所得 的射线就是这个角的平分线。
方法二：利用三角板和直尺作图
利用三角板上的45°角或30°角， 通过角的和或差的方式，画出 所需角。
通过移动三角板，使得三角板 的一边与角的一边重合，另一 边落在角的内部。
沿着三角板的另一边画射线， 这条射线就是角的平分线。
角平分线的性质
角平分线将原角平分为两个相等的角。
角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线是角的对称轴，即角的两边 关于角平分线对称。
在三角形中，角的平分线与对边相交，将对边 分为两段，这两段与角的两边对应成比例。
02 尺规作图基础知识
尺规作图的基本工具
直尺
用于画直线段、连接两点或延长 线段。
圆规
角平分线的定义
角平分线是从一个角的顶点出发，将该角平分为两个相等的 小角的射线。
第二课时 尺规作图(2)角平分线、垂线和中垂线
A
B
7.已知：∠AOB，点P是OB上一点，如图： 求作：（1）PC,使PC⊥OA （2）PD，使PD⊥OB
P
·
教学反思
本节课你掌握了哪些知识？ 还有哪些疑惑？
跟踪训练
1、如图，过点P画∠O 两边的垂线.
(第 1 题) 2、如图，画 △ABC 边 BC 上的高 .
（第 2 题）
什么垂直平分线？
（过线段的中点，垂直这条线段的直线） 线段垂直平分线有哪些特征？ （线段的垂直平分线上的点到线段两端点的
距离相等；反过来，到线段两端点距离相 已知线段a，h， 求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高为h
h
a
5.已知：线段AB 求作：线段AB的四等分点
A
B
6.已知：钝角△ABC，∠B是钝角，如图： 求作：（1）BC边上的高 （2）BC边上的中线
A
B
C
1.已知:线段a、b,如图.求作：一条线段，使 它等于b+2a.
4、已知：角∠α ，线段m。 求作：等腰三角形△ABC，使其顶角 ∠BAC=∠α ， ∠BAC的平分线为m。
例2、如图，点C在直线上，试过点C画出直线 的垂线。
例3、如图，如果点C不在直线上，试和同学讨 论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线的垂 线？
例3题的作法：
（1）任取一点M，使点M和点C在的两侧； （2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，交 于A、B两点； 1 （3）分别以A、B两点为圆心，以大于 AB 2 长为半径画弧，两弧相交于D点； （4）过C、D两点作直线CD。 所以，直线CD就是所求作的。
B
O
A
B
E
尺规作图角平分线
B
O
A
①当∠AOB的两边成一条直线时，D 即 ∠AOB=180°，你会作这个角的平分线吗？ ②通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它 反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什 么关系？ ③结论：作平角的平分线不仅能平分平角， 也得到了过直线上一点作这条直线的垂线 的方法。
小试牛刀
已知：直线AB及一点C， 求作：直线AB的垂线，使它经过点C。 解：分两类情况作图 1.当点C在直线AB上时 作平角ACB的平分线CF， 直线CF就是所求的垂线。 F 经过已知直线上一点 作这条直线的垂线。 A D C E
B
小试牛刀
2.当C在直线AB外时。 作法：1)以点C为圆心，足够长为半径作弧，
交AB于点D和E;
2)分别以点D、E为圆心，大于
1 3)作直线CF. A B 经过已知直线外一点 则直线CF就是所求作的垂线。 作这条直线的垂线。
尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）. 已知: △ABC , 求作：BC边上的高AD.
大显身手
任作两条长度不等的线段a，b（b>a）， 你能用尺规作图的方法作出以a为直角边， 以b为斜边的直角三角形吗？ a
C
b
G b
E
A
Fa
B
思考与实践： 在下面尺规作图中，了解作图道理， 保留作图痕迹，不要求写作法。
已知底边及底边上的高作等腰三角形。
19.3(2)尺规作图(角平分线)
已知:AB=AD,BC=DC 求证:AC平分∠BAD
B A C
D
导入新课:
思考:如何作出∠BAD AC平分线
B A C
D
19.3(2)尺规作图
自学目标:
1.掌握作已知角的平分线 的方法步骤。 2.能利用基本作图来进行 作图举例。
自学指导:
自学课本P82“试一试”—P83练习以 上内容： 自学要求:重点了解以下内容 1、作已知角的平分线的方法步骤是什 么？它是通过什么来说明其作法的合 理性和正确性的。 2、能用尺规法准确的做出一个角的平 分线，并能较准确的写出作法步骤。 自学时间: （5分钟）
自学检测一:
1.已知：∠ AOB 求作：射线OC，使∠AOC= ∠ B
A
2.已知:∠ A 1 ∠A 求作:∠ B, 使∠ B = 2
A
自学检测一:
3.你能否把这个角四等分？
已知：∠ AOB 1 求作：射线OC，使∠AOC= 4 ∠BOC
B
O
A
自学检测一:
4.利用尺规作图,作一个 直角
自学检测一:
5.任意作一个三角形，作 出三个内角的角平分 （不写作法，保留作图痕 迹）
课堂小结:
说说本节你的收获、体会、
疑惑
用尺规作图(第15课时__作角平分线)
可以看出，所画的射线OC是 ∠AOB的角平分线，根据图中的作 图痕迹，你能画一个角的角平分 线吗？并写出作图步骤。
试一试
试把下图所示的角四等分
O
任意画一个三角形， 画出三个内角的角平分 线（不写画法，保留作 图痕迹） .
联系知识综合运用
• 已知：两条线段 a、t。 求作：Rt△ABC，使直角的平 分线等于t，一直角边AB=a。
A
M
C B D
E
F
O
N
求作一个角等于已知角∠AOB.
作法：（1）作 OD； （2）以点O为圆心，以 作弧， 交 ，交 ； （3）以为圆心，以 作弧， 交 ； （4）以 为圆心，以 半径 作弧，交 ； （5）经过 作 . A 则 即为所求的角。
C B D O
做一做
1. 利用直尺和圆规把一个角二等 分。 你能说
13.4 尺规作图(第2课时)
作已知角的平分线
复习
看图填空： 1. 在
=
上截取
；
=
2. 以 为圆心，以 作弧，交 于点
为半径 。
第2题 第1题
3. 分别以 、 为圆心，以大于 1 EF 的长为半径作弧，两弧交 2 于 、 ； （4）以点O为圆心，以任意为半径作弧， AOB 分别交 的两边OA、OB于 点 、 。
a
t
• 已知：∠α，线段m。 • 求作：等腰△ABC，使其顶角 ∠BAC=∠α， ∠BAC的平分线 为m 。
m
• 说说本节你的收获、体会、疑 惑
再 见
ห้องสมุดไป่ตู้
第2节 角平分线及尺规作图
QP P第 2 节 角平分线及尺规作图➢ 要点回顾1. 角平分线：（1） 性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．（2） 判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．2. 尺规作图：（1） 作一个角等于已知角． （2） 作已知角的角平分线．➢ 巩固练习1.如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点 E ，若 CD =3 cm ，AB =10 cm ，则△ABD 的面积为． MCAE BO第 1 题图第 2 题图2. 如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点 A ，点 Q 是射线 OM 上的一个动点， 若 PA =3，则 PQ 的最小值是 ．3.如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AB =3 cm ，AC =2 cm ，则S △ABD :S △ACD =．A EBAD CCF DB第 3 题图第 4 题图4.如图，AB ∥CD ，∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点 P ，过 P 作 PE ⊥AB 于 E ，交 CD 于 F ，EF =10，则点 P 到 AC 的距离为．1D5.过直线外一点作已知直线的平行线．已知：如图，A 是直线MN 外一点．求作：直线AB，使AB∥MN．（不写作法，保留作图痕迹）AM N6.已知两边及夹角作三角形．已知：如图，线段m，n，∠α．求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n．（不写作法，保留作图痕迹）mn7.如图，分别过A，B 两个加油站的公路l1，l2 相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P 满足在两个加油站的连线上，且到两条公路l1，l2 的距离相等．请用尺规作图作出点P．（不写作法，保留作图痕迹）2。
尺规作图画角平分线的多种方法
尺规作图画角平分线的多种方法
尺规作图画角平分线的多种方法有以下几种：
1. 三等分法：直接使用尺规作图，以角的顶点为圆心，任意取一个半径作圆，然后分别画两个弧交于圆上的两点，连接这两个点与角的顶点，即可得到角的平分线。
2. 比例法：利用角的平分线将整个角分为两部分，然后再将其中一部分再次平分，直到得到所需的比例。
具体步骤如下：取一条尺寸大于一半角的任意直线段AD，以D为圆心作一个尺规圆，交BC于E和F。
再从E和F分别画直线段连接圆心D，与角的两边交于G和H。
直线GH即为所求的角平分线。
3. 三辅圆法：与三等分法类似，利用尺规作图画三个辅助圆，然后通过相交弧来求解角的平分线。
具体步骤如下：以角的两边分别为半径，在空白纸上画两个圆，分别与角的两边相切，并且两个圆心在同一直线上。
再以角的顶点为圆心，画一个辅助圆与两个已知圆相切。
连接辅助圆上两个切点与角的顶点，即可得到角的平分线。
4. 辅助线法：在需要画角平分线的角内引入辅助线，然后利用已知条件来求解。
具体步骤根据具体情况而定，可以使用角的内切圆、垂直线、平行线等辅助线来求解角的平分线。
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• 已知：角∠α，线段m。 • 求作：等腰三角形△ABC，使其 顶角∠BAC=∠α， ∠BAC的平 分线为m。
m
ห้องสมุดไป่ตู้
0， •已知△ABC中，∠A=90
• 求作⊙P，使圆心P在AC上，且 与AB、BC的两边都相切。 C
A
B
• 说说本节你的收获、体会、疑 惑
尺规作图画角平分线
九年级数学组
复习
• 看图填空。 • （1）在
• = =
上截取
；
（2）以 为圆心，以 为半径作弧，交 于 。
第2题 第1题
• （3）分别以 、 为圆心， 1 • 以大于 2 EF 的长为半径作弧，两 弧交于 、 ； • （4）以O为圆心，以任意为半径作弧， 分别交AOB的两边OA、OB 于 、 。
A C B D
O
求作一个角等于已知角POQ，
• 作法：（1）作 O 1P 1； • （2）以O为圆心，以 作弧， 交 ；交 ； • （3）以为圆心，以 作弧， 交 ； • （4）以 为圆心，以 半 径作弧，交 ； • （5）经过 作 。则 即为所求的角。 A
C B D O
做一做
• 1、：利用直尺和圆规把一个角 二等分。 你能说
明理由 吗？
可以看出，所画的射线OC是 ∠O的角平分线，根据图中的作图痕迹， 你能画一个角的角平分线 并写出画图步骤吗？
试一试
试把下图所示的角四等分
O
• 任意画一个三角形， 画出三个内角的角平 分线.（不写画法， 保留作图痕迹）
联系知识综合运用
•已知：两条线段 a、t 求作：直角三角形ABC使直角 的平分线等于t，一直角边 AB=a。