高中数学选修4-4坐标系[优质ppt]

（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
题型一 轨迹探求
例1 线段AB的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑 动，且|AB|＝4，求AB中点P的轨迹方程．
分析：题目未给出坐标系，因此，应先建立适当的坐标系，显然 以互相垂直的两直线分别为x轴，y轴最合适． 解析：解法一 以两条互相垂直的直线分别为x轴，y轴，建立直 角坐标系，如图所示．
设 P(x，y)，由于△OAB 是直角三角形，P 为 AB 的中点，所以， |OP|＝12|AB|，即 x2＋y2＝12×4，即 x2＋y2＝4.
故点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝4.
解法二 建立直角坐标系，同解法一． 设P(x，y)，A(x1，0)，B(0，y2)， 则x＋y＝16.① 又P为AB的中点，所以x1＝2x，y2＝2y. 代入①，得4x2＋4y2＝16. 故点P的轨迹方程为x2＋y2＝4. 答案：x2＋y2＝4
在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变， 将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为 p x, y
x x

y
3
y
2
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸 长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。
解： 1由伸缩变换xy23xy
得

代入2x3y0 得xy0
x y

1 2 1 3
x y
2由伸缩变换xy
23xy得xy 1213
x y
代 入 x2y21得x42

y2 9
1
1.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：
y
2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换

x y

3x y
后，
曲线C变为 x2 9y2 9，求曲线C的方程并画出
图形。
2.解：将xy3yx代入x2 9y2 9
得9x29y2 9即x2 y2 1
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题；
(5)证明以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上，补 上遗漏点或挖去多余点．
一般地，方程的变形过程是等价的，步骤(5)可以省 略．
2．求曲线方程主要有以下几种方法：
(1)条件直译法：如果动点运动的规律就是一些几何 量的等量关系，这些条件简单、明确，易于表达， 我们可以把这些关系直译成含“x，y”(或ρ、θ)的等 式，我们称之为“直译”．
(2)代入法(或利用相关点法)：有时动点所满足的几何 条件不易求出，但它随另一动点的运动而运动，称 之为相关点．如果相关点满足的条件简单、明确， 就可以用动点坐标把相关点的坐标表示出来，再用 条件直译法把相关点的轨迹表示出来，就得到原动 点的轨迹．
(3)参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间 的关系，如果借助中间参量(参数)，使x、y之间建立起 联系，然后再从所求式子中消去参数，这样便可得动 点的轨迹方程．
坐标对应关系为：
2

x


1
x
2
1
y y
通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
y
y=3sinx
y=sinx
Leabharlann Baidu
O

2 x
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出 其坐标变换。
曲线4x2+9y2=36变为曲线 x2 y2 1
1解 ： 设 伸 缩 变 换 x y xy， 0
代 入 x2y21得2x22y2 1
又4x29y236 则





1 3 1
2
得

x


1 3
x


y


1 2

x



1 2
x
y 3 y
3
通常把 3 叫做平面直角坐标系中
的一个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
在变换

:

x y
' '


x y
( 0) ( 0)
4
的作用下，点P(x,y)对应 px, y称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
xxz
1、平面直角坐标系
思考:
思考:
思考:
根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则： （1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考： （1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
y=sin2x
2
O

x
y=sinx
将在横正坐弦标曲x线缩y为=s原in来x上的任1取，一就点得P到(x,正y)，弦保曲持线纵y=坐sin标2不x. 变， 2
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标
不变，将横坐标x缩为原来 1 ，得到点 px, y
注 （1） 0,0
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图 形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不 变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过
伸缩变换 x 2 x

y

3y
后的图形。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
y
y=3sin2x
y=sinx
2
O

x
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
写出其坐标变换。 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐 标将不纵变坐，标将变横为坐原标来x的缩3为倍原，来就的得到12 正，弦在曲此线基础上，
y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为
点评：
1．求曲线方程一般有下列五个步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任 意一点M的坐标，在建立坐标系时，应充分考虑平 行、垂直、对称等几何因素，使得解题更加简化；
(2)写出适当条件P下的点M的集合：{M|P(M)}；
(3)用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；
(4)化简方程f(x，y)＝0(必须是等价变形)；