第二章、电介质的高频极化机理

• 中等εr和Q值的MWDC：
主要是以BaTi4O9，Ba2Ti9O20和（Zr、Sn）TiO4等为基 的 MWDC 材 料 。 其 εr≈40，Q=（6～9）×103（ 在 f=3～4GHz 下），τf≤5ppm/°C。主要用于微波军用雷达及微波通信系 统中作为介质谐振器件。
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0
a2 + n2
So
:
C
(ω
)
=
1
+
1 ω
2τ
2
And : S(ω) = ωτ 1+ ω 2τ 2
ε
′(ω)
=
ε∞
+
(ε
s
−
ε∞
)
⋅
1+
1 ω 2τ
2
德拜方程
ε
′′(ω)
=
(ε s
−
ε∞
)
⋅ ωτ 1+ ω 2τ
2
tgδ = ε ′′(ω) = (ε s − ε∞ )ωτ ε ′(ω) ε s + ε∞ω 2τ 2
一般的无线电工作频率<５×１０１２Ｈｚ，２ ×１０－１３ｓ， 在其周期内，位移极化（电子、离子）仍有足够的时间建立， 极化机理与静电场极化相同。极化强度可表示为：
v P∞
=
ε 0 (ε ∞
−1)Ev
而松弛极化（慢极化，如偶极矩转向极化、 热离子极化）就可能跟不上电场的变化，其极化 就不再象在静电场那样，而是出现一与时间有关 的松弛极化强度Ｐｒ。
有功电流部分
0
Q
J (t)
=
I (t) S
=
ε 0ε&
dE& dt
=
(
jωε ′ε0
+ ωε ′′ε0 ) ⋅ E& (t)
∞
∫ ∴ε ′ = ε∞ + (ε s − ε∞ ) ϕ(x) cosωxdx = ε∞ + (ε s − ε∞ ) ⋅C(ω)
0
∞
∫ ε ′′ = (ε s − ε∞ ) ϕ(x) sin ωxdx = (ε s − ε∞ ) ⋅ S(ω)
∫ W = 1
T
U(t) ⋅I(t)dt
T0
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二、复介电常数 相对介电常数的定义：
v
ε=
C C0
=
εD0 Ev
在直流电场下： Dr 与Ev 同相，ε = D
实数
ε0E
在交变电场下： 设：E& = E m e jωt
1）.理想介质（无松弛极化）： D& = D m e jωt
2）.有松弛极化：
Ii (t − t i ) = (Cs − C∞ ) ⋅ ΔU(t i ) ⋅ ϕ(t − t i )
i
i
∑ ∑ Ia (t) = Ii (t − t i ) = (CS − C∞ ) ΔU(t i )ϕ(t − t i )
i=1
i=1
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如果U（t）是连续的，在du时间内：
∫ I（a t）=（Cs
Deby型弛豫函数 ϕ(t) = exp(−t /τ ) 具有明确的物理意义， 但对实际固体电介质介电行为的描述并不理想，需引 入的分布函数来加以补充。20世纪80年代Wiliams和 Watts在19世纪的摩擦弹性理论的基础上提出弛豫响应 函数：
[ ] ϕ (t ) = exp − (t / τ ) β , 0 < β < 1
§2-1 极化的建立过程
在电场的作用下，极化的建立需要经过一定的时间 才能达到平衡状态，如电子位移极化和离子位移极化需 10-16~10-12秒，松弛极化，如偶极矩转向和热离子极化 需10-10秒或更长，对静电场来说是有足够的时间让极化 建立起来。
E、P
E
P
t0
t
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本章讨论在交变电场作用下的电介质极化行为，情 况就不同了。在交变电场中，极化的方向随电场的 方向变化而变化，如电场的频率很高，极化可能就 跟不上电场的变化。
≈
nx（1 −
e
−
t
τ）
6
=
nqδ（1
−
e
−
t
τ）⋅ E
12kT
令：x = ΔU kT
则：Δn
=
n ⋅ ex 6 ex
− e−x + e−x
−t
− Ae τ
Qt
=
0时Δn
=
0
a
A
=
n 6
⋅
ex ex
− +
e−x e−x
∴ Δn
=
n 6
⋅
ex ex
− +
e e
−x
−x（1
−
e
−
t
τ）
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弛豫函数或后效函数 （After-Effect Function）。
∫ ∫ ∞
ϕ(t)dt
=
∞
1，（如
e−
t τ
dt
=
1）
0
0τ
二、电流~时间关系（Kramers-Kroning公式）
U
ΔU
t
ΔU(t1) ΔU(t2)
t
t1 t2 t3 t4
由Hopkinson迭加原理
I1 (t − t1 ) = (Cs − C∞ ) ⋅ ΔU(t1 ) ⋅ ϕ(t − t1 ) I2 (t − t 2 ) = (Cs − C∞ ) ⋅ ΔU(t 2 ) ⋅ ϕ(t − t 2 ) LLL
=（ε′ − ε′′）jωE&
= jωε′E& + ε′′ωE&
无功电流
介质损耗
W
=
ω 2
ε′′E
2 m
有功电流
tgδ
=
ε′′ωE& ε′ωE&
=
ε′′ ε′
三、Kramers-Kroning色散方程（与频率的关系）
当已知电介质的全电流关系，就可以求出复介电常数 与频率的关系。
如：E& = Eme jωt，并暂不考虑漏电流，由全电流公式：
认为弛豫过程分为能跟得上热平衡的快极化弛豫和比 此慢得多的慢弛豫。快弛豫的β=1；慢弛豫又可分为 外场时的随机弛豫和无外场时的自由弛豫，它们分别 对应β=1和β=1/2。
பைடு நூலகம்
∫ ∫ C(ω)
=
∞
ϕ(t) cosωxdx
=
∞
1e−
t τ
cos ωxdx
0
0τ
∫ As : ∞ eau cos nudu = eau (n sin nu + a cos nu) + C
D& = D m e j(ωt−δ)
v
ε*
=
εD0 Ev
=
Dm ε0Em
⋅ e − jδ
= ε cos δ − jε sin δ
ε* ⇒ 复介电常数
= ε′ − jε′′
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ε′、ε′′的物理意义：
J = I / S = 1 ⋅ dQ = dσ = dD& = ε&jωE& S dt dt dt
3、τ，Δn，Pr 与T，U有关
Pr τ小
τ大
t
Pr P∞
Pr P=P∞+Pr
t
§2-3 弛豫现象
一、弛豫现象
实际介质的极化形成滞后 于外加电场，并随时间电场作 用时间的增加而增加，这种现 象称为弛豫现象。
这一过程同时伴随一随时
间而衰减的电流，称为吸收 电流（或剩余电流）。
t
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四、德拜方程 虽然色散公式描述了复介电常数的频率关系，但因为没有 确定的弛豫函数，所以并没有得到具体的表达式。 对松弛极化（热离子、偶极矩转向）：
ϕ(t) = 1 e− t τ τ
与电介质的化学组成、物理状态及温度条件有关。
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弛豫现象的研究进展
w/ Wiliams和Watts弛豫模型
Pr
=
Δnqδ
=
nq 2δ2 12kT
−t
⋅ E ⋅ (1 − e τ )
=
−t
Prm (1 − e τ )
讨论：
1、Δn，Pr 与时间t有关： t = 0 ⇒ Δn、Pr = 0 t → ∞，Pr = Prm 2、τ的物理意义：
τ— 电介质松弛极化的时间常数
τ=
1
U
e kT
2ν
τ − 表示极化快慢的常数
⎤ －Δｎ⎥⎥
⎥⎦
令ν
－Ｕ
⋅ｅ ｋＴ
⎢⎡ｅｋΔＵＴ－ｅ－ｋΔＵＴ ⎢⎣
⎥⎥⎦⎤＝１τ
ｄ[Δ]ｎ＝ｄτｔ⇒－ln[
]=
t τ
+
C
∴[
]=
−t
Ae τ
ΔU
即：n 6
⋅
e
kT ΔU
− ΔU
− e kT
− ΔU
−t
− Δn = Ae τ
e kT + e kT
Q x << 1 → e±x ≈ 1 ± x
∴ Δn
ΔＵ＝Ｅ⋅２δ ⋅ｑ
ｄｄΔｔｎ＝６ｎ⋅
ν
－Ｕ
⋅ｅ ｋＴ
⎡ ΔＵ
－ΔＵ
⎢ｅｋＴ－ｅ ｋＴ
⎢⎣
⎥⎤－Δｎ⋅ ⎥⎦
ν
－Ｕ
⋅ｅ ｋＴ
⎡ ΔＵ
－ΔＵ
⎢ｅｋＴ＋ｅ ｋＴ
⎢⎣
⎤ ⎥ ⎥⎦