2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试题(四) 解析版

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广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷(六)(含解析)

广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷（六）（含解析）广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷（六）（含解析）年级：姓名：2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(六)(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分) 1.不等式x (x-2)≤0的解集是( )A.[0,2)B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.[0,2]2.全集为实数集R ,M={x|-2≤x ≤2},N={x|x<1},则(∁R M )∩N= ( ) A .{x|x<-2} B .{x|-2<x<1} C .{x|x<1} D.{x|-2≤x<1}3.为了调查某班级的作业完成情况,将该班级的52名学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知5号,18号,44号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应该是 ( ) A.23 B.27 C.31 D.334.直线2x-y+2=0与坐标轴围成的三角形的面积是 ( ) A .12 B .1 C .2 D .45.函数f (x )=lg(x +1)x 的定义域是 ( ) A .(-1,0)∪(0,+∞) B .[-1,0)∪(0,+∞) C .(-1,+∞) D .[-1,+∞)6.以(a ,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0,2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为 ( )A.(x-1)2+(y-1)2=5 B .(x+1)2+(y+1)2=5C .(x-1)2+y 2=5D .x 2+(y-1)2=57.设函数f (x )={1-x 2,x ≤1,x 2+x -2,x >1,则f (1x (2))的值为 ( )A .18B .-2716C .89D .1516 8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ( )A.πB.2πC.3πD.4π9.已知sin α=23,则cos(π-2α)等于 ( )A .-√53B .-19 C .19 D .√53 10.实数x ,y 满足{x +2x -3≤0,x +3x -3≥0,x ≤1,则z=x-y 的最大值是 ( )A.-1B.0C.3D.411.已知非零向量xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,且xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则向量xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A .13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B .23xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C .13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D .13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −43xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗12.函数f (x )=2x+3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)13.函数f (x )=A sin(ωx+φ)+b 的图象如图所示,则f (x )的解析式为 ( )A .f (x )=12sin 12x+1B .f (x )=sin 12x+12 C .f (x )=12sinπx 2+1 D .f (x )=sinπx2+1214.设α,β为钝角,且sin α=√55,cos β=-3√1010,则α+β的值为 ( )A .3π4B .5π4C .7π4D .5π4或7π415.已知数列{a n }满足a n+1=11-x x,若a 1=12,则a 2 018=( )A.2B.-2C.-1D.12 二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)16.函数y=√x -1+ln(2-x )的定义域是 .17.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形,侧面对角线的长为2√3,则该直四棱柱的侧面积为 .18.若非零向量a ,b 满足|a |=|b |,(2a +b )·b =0,则a 与b 的夹角为 .19.计算sin (-15π6)cos 20π3tan (-7π6)= . 三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.在锐角三角形ABC 中,角A ,B 所对的边长分别为a ,b ,且2a sin B=√3b.(1)求角A 的大小;(2)若a=3,求△ABC 周长l 的最大值.21.如图,在四棱锥P -ABCD 中,PC=AD=CD=12AB=2,AB ∥DC ,AD ⊥CD ,PC ⊥平面ABCD.(1)求证:BC ⊥平面PAC ;(2)若M为线段PA的中点,且过C,D,M三点的平面与线段PB 交于点N,确定点N的位置,说明理由;并求三棱锥N-AMC的体积.22.设数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1=2S n+1,数列{b n}满足a1=b1,点P(b n,b n+1)在直线x-y+2=0上,n∈N*.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)设c n=x xx x,求数列{c n}的前n项和T n.答案：1.D【解析】不等式x(x-2)≤0对应方程的两个实数根为0和2,所以该不等式的解集是[0,2].故选D.2.A【解析】∵M={x|-2≤x≤2},∴∁R M={x|x<-2,或x>2},又∵N={x|x<1},∴(∁R M)∩N={x|x<-2}.故选A.3.C【解析】因为5号,18号,44号同学在样本中,18-5=13,44-18=26,所以抽样间隔为13,样本中还有一位同学的编号应该是18+13=31.故选C.4.B【解析】∵2x-y+2=0中,由x=0,得y=2;由y=0,得x=-1.∴直线2x-y+2=0与坐标轴围成的三角形的面积是S=12×2×1=1.故选B.5.A【解析】{x+1>0,x≠0,解得,x>-1且x≠0,区间形式为(-1,0)∪(0,+∞),故选A.6.A【解析】由题意得,点(a,1)到两条直线的距离相等,且为圆的半径.∴√22+(-1)2=√22+(-1)2,解得a=1.∴r=√22+(-1)2=√5,∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.7.D【解析】f(2)=22+2-2=4,则f (1x (2))=f (14)=1-(14)2=1516.故选D .8.C 【解析】三视图还原的几何体是圆柱,底面半径为1、高为3,所以这个几何体的体积是π×12×3=3π. 故选C .9.B 【解析】由三角函数的诱导公式可知cos(π-2α)=-cos2α,由倍角公式可得cos 2α=1-2sin 2α=1-2×49=19,cos(π-2α)=-19,故选B . 10.C 【解析】作出不等式{x +2x -3≤0,x +3x -3≥0,x ≤1对应的平面区域如图,由z=x-y ,得y=x-z ,平移直线y=x-z ,由图象可知,当直线y=x-z 经过点B (3,0)时,直线y=x-z 的截距最小,此时z 最大. 此时z 的最大值为z=3-0=3.故选C .11.A 【解析】xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⇔xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A .12.B 【解析】∵f (-1)=12-3<0,f (0)=1>0,∴f (-1)·f (0)<0. 又函数f (x )的图象在(-1,0)上是连续不断的,故f (x )的零点所在的一个区间为(-1,0).故选B .13.C 【解析】由函数f (x )=A sin(ωx+φ)+b 的图象可知,A=1.5-0.52=12,b=1.5+0.52=1,又最小正周期T=4=2πx ,∴ω=π2.又0×ω+φ=0,∴φ=0.∴f (x )的解析式为f (x )=12sin πx 2+1.故选C .14.C 【解析】∵α,β为钝角,且sin α=√55,cos β=-3√1010,∴cos α=-2√55,sin β=√1010, ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-2√55×(-3√1010)−√55×√1010=√22, 又α,β为钝角,∴α+β∈(π,2π),∴α+β=7π4.故选C . 15.A 【解析】∵a n+1=11-x x,a 1=12,∴a 2=11-x 1=11-12=2,a 3=11-x 2=11-2=-1, a 4=11-x 3=11-(-1)=12,∴数列{a n }是以3为周期的周期数列, ∵2 018=672×3+2, ∴a 2 018=a 2=2.故选A .16.[1,2) 【解析】要使函数有意义,须满足{x -1≥0,2-x >0,解得1≤x<2,∴函数y=√x -1+ln(2-x )的定义域是[1,2).17.16√2 【解析】如图所示,直四棱柱底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面对角线的长为2√3,∴侧棱长为CC 1=√(2√3)2-22=2√2,∴该直四棱柱的侧面积为S=4×2×2√2=16√2.18.120° 【解析】(2a +b )·b =0⇔2|a||b|cos <a ,b >+b 2=0,因为|a |=|b |,所以cos <a ,b >=-12,所以<a ,b >=120°. 19.-√36 【解析】sin (-15π6)cos20π3tan (-7π6)=sin (-2π-π2)cos (6π+2π3)tan (-π-π6)=cos 2π3tan π6=(-12)×√33=-√36. 20.【解】(1)由题及正弦定理得2sin A sin B=√3sin B , ∵sin B ≠0,∴sin A=√32,又A ∈(0,π2),∴A=π3. (2)由a=3,A=π3得x sin x=x sin x=x sin x=√32=2√3,∴b=2√3sin B ,c=2√3sin C ,∴l=a+b+c=2√3sin B+2√3sin C+3=2√3sin B+2√3sin (2π3-x )+3 =3√3sin B+3cos B+3=6sin (x +π6)+3,当B=π3时,l 取最大值9.∴△ABC 的周长l 的最大值为9.21.【解】(1)证明:在直角梯形ABCD 中, AC=√xx 2+xx 2=2√2, BC=√(xx -xx )2+xx 2=2√2.∴AC 2+BC 2=AB 2,即BC ⊥AC.∵PC ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,∴BC ⊥PC. 又AC ∩PC=C ,∴BC ⊥平面PAC.(2)点N 是PB 的中点,连接MN ,CN ,理由如下; 如图,∵点M 为PA 的中点,点N 为PB 的中点, ∴MN ∥AB.又∵AB ∥DC ,∴MN ∥CD. ∴M 、N 、C 、D 四点共面.即点N 为过C 、D 、M 三点的平面与线段PB 的交点; ∵BC ⊥平面PAC ,N 为PB 的中点,∴点N 到平面PAC 的距离d=12BC=√2,S △ACM =12S △PAC =12·12·PC ·AC=14×2×2√2=√2.∴x 三棱锥xxxx =13S △AMC ·d=13×√2×√2=23.22.【解】(1)由a n+1=2S n +1可得,a n =2S n-1+1(n ≥2), 两式相减得a n+1-a n =2a n , 即a n+1=3a n (n ≥2).又a 2=2S 1+1=3,所以a 2=3a 1.故{a n }是首项为1,公比为3的等比数列,所以a n =3n-1.由点P (b n ,b n+1)在直线x-y+2=0上,所以b n+1-b n =2. 则数列{b n }是首项为1,公差为2的等差数列, 则b n =1+(n-1)·2=2n-1.(2)因为c n =x x x x=2x -13x -1,所以T n =130+331+532+…+2x -13x -1, 则13T n =131+332+533+…+2x -33x -1+2x -13x,两式相减,得23T n =1+23+232+…+23x -1−2x -13x,所以T n =3-12·3x -2−2x -12·3x -1=3-x +13x -1.。

广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷(三)(含解析)

广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷（三）（含解析）广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷（三）（含解析）年级：姓名：2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(三)(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分) 1.集合{0,1,2}的所有真子集的个数是 ( )A.5B.6C.7D.8 2.函数f (x )=lg(x-1)的定义域是 ( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.[ 1,+∞) D.[2,+∞)3.已知平面向量a =(3,1),b =(x ,-3),若a ⊥b ,则实数x 等于 ( ) A.-1 B.1 C.-9 D.94.若函数f (x )=sin (x +x3)(0≤φ≤2π)是偶函数,则φ= ( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π35.已知直线的点斜式方程是y-2=-√3(x-1),那么此直线的倾斜角为 ( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π66.如图是2019年在某电视节目中七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 ( )7 98 4 4 6 4 7 9 3A.84,4.84B.84,1.6C.85,1.6 D .85,4 7.要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只要将函数y=cos 2x 的图象 ( ) A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位C.向左平移12个单位D.向右平移12个单位 8.下列说法不正确的是 ( ) A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B.同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9.函数y=log a x (a>0,a ≠1)的反函数的图象过(12,√22),则a 的值为 ( )A.2B.12 C.2或12 D.310.已知等差数列{a n }中,a 2=2,a 4=6,则前4项的和S 4等于 ( ) A.8 B.10 C.12 D.1411.某几何体的三视图及其尺寸如图所示,则这个几何体的体积是()A.6B.9C.18D.3612.已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中正确的是()A.log2a>0B.2a-b<12C.log2a+log2b<-2D.2(xx +xx)<1213.设x,y满足约束条件{x+x-6≤0,x-3x+2≤0,3x-x-2≥0,则z=x-2y的最小值为()A.-10B.-6C.-1D.014.sin 47°-sin 17°cos 30°cos 17°=()A.-√32B.-12C.12D.√3215.小李从甲地到乙地的平均速度为a,从乙地到甲地的平均速度为b(a>b>0),他往返甲、乙两地的平均速度为v,则() A.v=x+x2B.v=√xxC.√xx<v<x+x2D.b<v<√xx二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)16.首项为1,公比为2的等比数列的前4项和S4= .17.将一枚质地均匀的一元硬币抛3次,恰好出现一次正面的概率是.18.已知函数f(x)={log2x,x>0,3x,x≤0,则f(x(14))的值是.19.锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2a sin B=b,则角A等于.三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点.(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;(2)当弦AB被点P平分时,求直线l的方程;(3)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.21.已知四棱锥A-BCDE,其中AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD⊥平面ABC,BE∥CD,F为AD的中点.(1)求证:EF∥平面ABC;(2)求证:平面ADE⊥平面ACD;(3)求四棱锥A-BCDE的体积.22.已知等差数列{a n}满足a2+a5=8,a6-a3=3.(1)求数列{a n}的前n项和S n;(2)若b n=1x x+3·2n-2,求数列{b n}的前n项和T n.答案：1.C【解析】真子集个数为23-1=7,故选C.2.B【解析】由题意得,x-1>0,x>1,即函数的定义域是(1,+∞),故选B.3.B【解析】a·b=3x-3=0,即x=1,故选B.4.C【解析】只需x3=π2+kπ⇒φ=3kπ+3π2(k∈Z),而φ∈[0,2π],所以φ=3π2,选C.5.C【解析】∵k=tan α=-√3,∴α=π-π3=2π3.故选C.6.C【解析】由茎叶图知,去掉一个最高分93和一个最低分79后,所剩数据为84,84,86,84,87,平均数为84+84+86+84+875=85,方差为15[(84-85)2+(84-85)2+(86-85)2+(84-85)2+(87-85)2]=85=1.6.故选C .7.C 【解析】y=cos 2x →y=cos(2x+1)=cos [2(x +12)].故选C .8.D 【解析】A.一组对边平行且相等就决定了是平行四边形,故A 正确;B.由线面垂直的性质定理知,同一平面的两条垂线互相平行,因而共面,故B 正确;C.由线面垂直的定义知,这些直线都在同一个平面内即直线的垂面,故C 正确;D.由实际例子,如把书本打开,且把书脊垂直放在桌上,则由无数个平面满足题意,故D 不正确.故选D.9.B 【解析】函数y=log a x (a>0,a ≠1)的反函数为y=a x,过点(12,√22),即√22=x 12,解得a=12,故选B .10.C 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,则a 4=a 2+(4-2)d ⇒d=6-22=2,a 1=a 2-d=2-2=0,所以S 4=4(x 1+x 4)2=2×(0+6)=12.故选C .11.C 【解析】由题意可知,几何体是以正视图为底面的三棱柱,其底面面积S=12×4×√52-42=6,高是3,所以它的体积为V=Sh=18.故选C .12.C 【解析】由题意知0<a<1,故log 2a<0,A 错误; 由0<a<1,0<b<1,故-1<-b<0.又a<b ,所以-1<a-b<0,所以12<2a-b <1,B 错误; 由a+b=1>2√xx 得ab<14,因此log 2a+log 2b=log 2ab<log 214=-2,C正确;由0<a<b 可知x x +x x >2√x x ·x x =2,因此2(x x +xx )>22=4,D 错误.13.B 【解析】由z=x-2y 得y=12x-x2,作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分),平移直线y=12x-x2,由图象可知,当直线y=12x-x 2过点B 时,直线y=12x-x2的截距最大,此时z 最小,由{x +x -6=0,3x -x -2=0解得{x =2,x =4,即B (2,4).代入目标函数z=x-2y , 得z=2-8=-6,∴目标函数z=x-2y 的最小值是-6.故选B .14.C 【解析】 sin 47°-sin 17°cos 30°cos 17°=sin(30°+17°)-sin 17°cos 30°cos 17°=sin 30°cos 17°+cos 30°sin 17°-sin 17°cos 30°cos 17°=sin 30°cos 17°cos 17°=sin 30°=12.故选C .15.D 【解析】设甲地到乙地的距离为s.则他往返甲、乙两地的平均速度为v=2x x x +x x=2xxx +x ,∵a>b>0,∴2x x +x >1,∴v=2xxx +x >b.v=2xx x +x <2√xx =√xx .∴b<v<√xx .故选D .16.15 【解析】S 4=1-241-2=15.17.38 【解析】试验结果有:(正正正)(正正反)(正反正)(反正正)(反反正)(反正反)(正反反)(反反反)共8种情况,其中出现一次正面情况有3种,即P=38.18.19 【解析】f (14)=log 214=-2,f (x (14))=f (-2)=3-2=19. 19.π6 【解析】因为2a sin B=b ,由正弦定理有2sin A sin B=sinB.因为△ABC 中sin B ≠0,从而sin A=12,而A 是锐角,故A=π6.20.【解】(1)已知圆C :(x-1)2+y 2=9的圆心为C (1,0),因直线过点P ,C ,所以直线l 的斜率为2,直线l 的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)当弦AB 被点P 平分时,l ⊥PC ,直线l 的方程为y-2=-12(x-2),即x+2y-6=0.(3)当直线l 的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l 的方程为y-2=x-2,即x-y=0.圆心到直线l 的距离为√2,圆的半径为3,弦AB 的长为√34. 21.【解】(1)证明:如图所示,取AC 中点G ,连接FG ,BG. ∵F ,G 分别是AD ,AC 的中点,∴FG ∥CD ,且FG=12DC=1.∵BE ∥CD ,∴FG 与BE 平行且相等,∴EF ∥BG.又∵EF ⊄平面ABC ,BG ⊂平面ABC , ∴EF ∥平面ABC.(2)证明:由题意知△ABC 为等边三角形, ∴BG ⊥AC.又∵DC ⊥平面ABC ,BG ⊂平面ABC , ∴DC ⊥BG ,∴BG 垂直于平面ADC 的两条相交直线AC ,DC , ∴BG ⊥平面ADC.∵EF ∥BG ,∴EF ⊥平面ADC. 又∵EF ⊂平面ADE , ∴平面ADE ⊥平面ACD.(3)连接EC ,该四棱锥分为两个三棱锥E -ABC 和E -ADC.x xxxxx =x xxxx +x xxxx =13×√34×1+13×1×√32=√34.22.【解】(1)由a 6-a 3=3得数列{a n }的公差d=x 6-x 33=1,由a 2+a 5=8,得2a 1+5d=8,解得a 1=32,∴S n =na 1+x (x -1)2d=x (x +2)2.(2)由(1)可得1x x=2x (x +2)=1x −1x +2,∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n=(1-13)+(12-14)+…+(1x -1x +2)+32(1+2+…+2n-1)=(1+12+13+…+1x )−(13+14+…+1x +1x +1+1x +2) +32×2x -12-1 =32−1x +1−1x +2+32×(2n -1) =3·2n-1-1x +1−1x +2.。

广东省普通高中2021届高考数学仿真试卷(四)(含答案解析)

广东省普通高中2021届高考数学仿真试卷(四)一、单选题（本大题共15小题，共60.0分）1.设集合A={y|y=1nx,x≥1}，B={y|y=1−2x,x∈R}，则A∩B=()A. [0.1)B. [0,1]C. (−∞,1]D. [0,+∞)2.A. −2B. − 12C. 12D. 23.下列函数中，值域是(0,+∞)的是A. y=B. y=(x∈(0,+∞))C. y=(x∈N)D. y=4.已知向量a⃗=(x+1,2)，b⃗ =(−1,x).若a⃗与b⃗ 垂直，则x=()A. 1B. √2C. 2D. 45.欧拉三角形定义如下：△ABC的三个欧拉点(顶点与垂心连线的中点)构成的三角形称为△ABC的欧拉三角形．如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，△ABC的垂心为P，AP，BP，CP的中点分别为A1，B1，C1，△A1B1C1即为△ABC的欧拉三角形，则向△ABC中随机投掷一点，该点落在△PA1B1内的概率为()A. 19B. 18C. 332D. 7646.方程y=k(x−2)表示()A. 过点(−2,0)的一切直线B. 过点(2,0)的一切直线C. 过点(2,0)且不垂直于x轴的一切直线D. 过点(2,0)且除去x轴的一切直线7.如图所示，甲、乙、丙是三个空间立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是()①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱．A. ③②④B. ②①③C. ①②③D. ④③②8.已知两个平面垂直，下列四个命题中，正确命题的个数是()①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．A. 0B. 1C. 2D. 39.设函数f(x)=cosωx(ω>0)，将y=f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于()A. 13B. 3C. 6D. 910.sin275°−cos275°的值是()A. 12B. √32C. −12D. −√3211.4、过点M(2,)，且与圆x2+y2=10相切的直线方程是A. x+y=B. x+y=10C. 4x+6y==D. 2x+y=1012.在△ABC中，sinAsinBsinC=18，且△ABC面积为1，则下列结论不正确的是()A. ab|a−b|<8B. ab(a+b)>8C. a(b2+c2)<16D. a+b+c>613.已知函数则函数的所有零点之和是()A. B. C. D.14.下列结论正确的是()A. 当且时，B. 当时，C. 当时，的最小值为2D. 当时，无最大值15.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则该数列的第1项等于()A. 27B. 163C. 812D. 8二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）16.某县中学高二年级文科班共有学生350人，其中，男生70人，女生280人，为了调查男女生数学成绩性别差异，现要从350名学生中抽取50人，则男生应抽取______ 人．17.分别写有数字1，2，3，4的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率是______．18.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a+b=5，sinCsinAsinB =3√72，c=4b，则△ABC的面积为______．19.若直线ax+4y+1=0与直线2x+y−2=0互相平行，则a的值等于______ ．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）20.如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC//PD，且PD=2EC，(1)求证：BE//平面PDA；(2)若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；(3)若PDAD=√2，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小．(n∈N∗)，数列{b n}中，b n=a n−a n+1．21.设数列{a n}的通项公式是a n=(2n+1)×12n−1(Ⅰ)若数列{b n}的前n项和T n<λ对于n∈N∗恒成立，求λ的最小值；(Ⅱ)利用裂项相消法求数列{a n}的前n项和S n，并写出数列{(An+B)×q n}(q≠0且q≠1)的前n项和S n′.22.在三角形ABC的对边分别为a，b，c，且b=acosC+csinA(1)求角A的大小(2)若a=3，求三角形ABC的面积的最大值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵集合A={y|y=1nx,x≥1}={x|x≥0}，B={y|y=1−2x,x∈R}={x|x<1}∴A∩B={x|0≤x<1}故选：A．根据对数函数和指数函数图象化简集合A和B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．本题主要考查对数函数和指数函数的值域，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2.答案：D解析：本题考查对数的运算，属于基础题．解：．故选D．3.答案：D解析：本小题主要考查二次函数的值域、绝对值函数的值域、分式函数的值域等基础知识，考查运算求解能力．解：对于A，，值域是[0,+∞)，故错；对于B，(x∈(0,+∞))值域是{y|y>1}，故错；对于C，(x∈N)，由于x∈N，值域中数是一系列孤立的数，不是(0,+∞)，故错；对于D，，值域是R+，故正确；故选：D．4.答案：A解析：解：根据题意，向量a⃗=(x+1,2)，b⃗ =(−1,x)．若a⃗与b⃗ 垂直，则有a⃗⋅b⃗ =(x+1)×(−1)+2x=x−1=0，解可得x=1；故选：A ．根据题意，由向量垂直的判定方法，有a ⃗ ⋅b ⃗ =(x +1)×(−1)+2x =x −1=0，解可得x 的值，即可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算公式，关键是得到关于x 的方程．5.答案：D解析：解：以BC 所在的直线为x 轴以线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，由题意可得：AO =√AB 2−BO 2=√32−12=2√2， B(−1,0)，C(1,0)，A(0,2√2)，设垂心P(0,b)，则BP ⊥AC ，即AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，而AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2√2)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,b)，∴1×1−2√2b =0，解得b =2√2=√24，即P(0,√24)，设P 到AB 的距离为d ，则S △ABC =12BC ⋅OA =2⋅12⋅AB ⋅d +12⋅BC ⋅OP ，即2×2√2=2×3d +2×√24，解得：d =7√212，所以S △PAB =12AB ⋅d =12×3×7√212=7√28，因为A 1，B 1是PA ，PB 的中点，所以A 1B 1是三角形PAB 的中位线，所以S PA 1B 1=14S △PAB =7√232，而S △ABC =12BC ⋅OA =12×2×2√2=2√2，所以S △PA 1B 1S △ABC=7√2322√2=764，由几何概型的概率公式可得该点落在△PA 1B 1内的概率为764，故选：D ．由几何概型的概率求法可得点落在△PA 1B 1内的概率为三角形PA 1B 1的面积与三角形ABC 的面积之比，由题意可得三角形ABC 的面积，建立适当的平面直角坐标系，由P 为垂心可得，BP ⊥AC ，即AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得P 的坐标，再由等面积法求出P 到AB 的距离，进而求出三角形PAB 的面积，而A 1，B 1为中点，所以由相似三角形面积之比等于相似比的平方可得三角形PA 1B 1的面积，进而求出三角形PA 1B 1的面积与三角形ABC 的面积之比，即求出概率．考查几何概型的概率求法及相似三角形性质，属于中档题．6.答案：C解析：由方程y =k(x −2)知直线过点(2,0)且直线的斜率存在，可得结论．本题考查恒过定点的直线，容易误选B．解：由方程y=k(x−2)知直线过点(2,0)且直线的斜率存在．故选：C．7.答案：D解析：解：根据甲、乙、丙的三视图，得出甲是圆柱体，乙是三棱锥，丙是圆锥；∴甲乙丙对应的标号应是④③②．故选：D．根据甲、乙、丙的三视图，得出甲、乙、丙各个几何体几何特征，进而可得答案．本题考查了空间几何体的三视图的知识，解题时应根据几何体的三视图能判断该几何体是什么，是基础题．8.答案：B解析：利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，对①、②、③、④四个选项逐一判断即可．本题考查命题的真假判断与应用，着重考查面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于中档题．解：对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面α∩平面β=m，n⊂α，l⊂β，∵平面α⊥平面β，∴当l⊥m时，必有l⊥α，而n⊂α，∴l⊥n，而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，当两个平面垂直时，条件中“任意一点”有可能就在交线上，这时候再作垂线，垂线不一定在第一平面里面，此垂线不一定垂直于另一个平面，故④错误．故选：B．9.答案：C解析：解：f(x)的周期T=2πω，函数图象平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以π3=k⋅2πω，k∈Z.令k=1，可得ω=6．故选：C．函数图象平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．10.答案：B解析：解：sin275°−cos275°=−cos150°=cos30°=√32．故选：B．由余弦函数的二倍角公式把sin275°−cos275°等价转化为−cos150°，再由诱导公式进一步简化为cos30°，由此能求出结果．本题考查余弦函数的二倍角公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意诱导公式的灵活运用．11.答案：D解析：12.答案：C解析：解：S=12absinC，S=12bcsinA，S=12casinB，sinAsinBsinC=18，且△ABC面积为S=1，1=18(abc)2sinAsinBsinC，可得abc=8，由|a−b|<c<a+b，可得ab|a−b|<abc=8，ab(a+b)>8，故A，B正确；a+b+c≥3√abc3=3×2=6，当且仅当a=b=c取得等号，由于sinAsinBsinC=18≠3√38，故等号不成立，可得a+b+c>6，故D正确；由a(b2+c2)≥2abc=16，故C错误．故选：C．由三角形的面积公式可得abc=8，由三角形的边角关系和基本不等式可判断A，B，D正确；C错误．本题考查三角形的面积公式，以及三角形的边角关系、基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．13.答案：B解析：试题分析：如图分别作出函数f(x)和g(x)的图象如下：由图象可知：由=0得：g(x)=2或g(x)=−2；由g(x)=2得到：，解得；由g(x)=−2得到：，解得；故得函数的所有零点之和是：，故选B。

2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟试卷

【解答】解：根据题意，an 1 ，
当n≤11时，数列{an}递减，且an＜1，
当n≥12时，数列{an}递减，且an＞1，
故在数列{an}的前40项中最大项和最小项分别是a12和a11；
故选：D．
13．（4分）函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ| ）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0， ]上的最小值为（）
2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟试卷解析版
一．选择题（共15小题，满分60分，每小题4分）
1．（4分）已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）
A．{1，2，3}B．{1，2}C．（0，3]D．（3，4]
【解答】解：由题意得：A＝{x∈N*|x≤3}＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，
A． B． C． D．
【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+φ）图象向左平移个单位得，
由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，
又|φ|＜π，∴ ，得，
∴ ，
由于，∴0≤2x≤π，
∴ ，
当，即x＝0时，．
故选：A．
14．（4分）统计与人类活动息息相关，我国从古代就形成了一套关于统计和整理数据的方法．据宋元时代学者马端临所著的《文献通考》记载，宋神宗熙宁年间（公元1068﹣1077年），天下诸州商税岁额：四十万贯以上者三，二十万贯以上者五，十万贯以上者十九……五千贯以下者七十三，共计三百十一．由这段内容我们可以得到如表的统计表格：
求得n＝6，
故选：B．
8．（4分）若，，则sinα的值为（）
A． B． C． D．
【解答】解：∵ ，，可得：sinα＞0，

2021届新高考广东省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷04(原卷版)

2021年广东省普通高中学业水平考试数学科合格性考试模拟题（四）（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知集合A ＝{x |(x －4)(x ＋2)<0}，B ＝{－3，－1,1,3,5}则A ∩B ＝( )A ．{－1,1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{－1,1,3,5}D ．{－3,5}2．log 42－log 48等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．23．函数f (x )＝2－x ＋x 的定义域为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0,2)D ．[0,2]4．已知向量a ＝(1,3)，向量b ＝(x ，－1)，若a ⊥b ，则实数x 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．15．取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是( ) A ．12B ．13C ．14D ．不确定6．倾斜角为45°，在y 轴上的截距为2的直线方程是( )A ．x －y ＋2＝0B ．x －y －2＝0C ．x ＋y －2＝0D ．x ＋y ＋2＝07．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( )A ．32π B ．2π C ．3πD ．4π8．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )① ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n ；④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α. A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．把函数y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位得到y ＝g (x )的图象，再把y ＝g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，所得到图象的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π4 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 10．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( ) A ．724B ．－724C ．247D ．－24711．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．5B ．10C ．252D ．25412．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π313．函数f (x )＝ln|x |＋1x 的图象大致为( )14．若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2B ．3C ．4D ．515．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 4a 10＝16，则a 6＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)16．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．17．一个口袋中装有大小和形状完全相同的两个红球和两个白球，从这个口袋中任取两个球，则取得的两个球中恰有一个红球的概率是________．18．已知a ，b ，c 分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且3a 2＋3b 2－3c 2＋2ab ＝0，则tan C ＝________．.19．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________．三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点，求证：(1)FD ∥平面ABC;(2)AF ⊥平面EDB ．21．(12分)已知公差不为零的等差数列{a n }满足：a 1＝3，且a 1，a 4，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若S n 表示数列{a n }的前n 项和，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n ．22．(12分)某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值．。

2021年广东省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02(解析版)

2021年广东省普通高中学业水平考试科合格性考试数学仿真模拟卷02（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知234x -=，则x 等于( ) A ．±18 B ．±8C ．344D ．±2321．【解析】由题意，可知234x-=，可得13x 2＝4，即3x 2＝14，所以x 2＝164，解得x ＝±18.故选A ．【答案】A2．若集合M ＝{－1，1}，N ＝{－2，1，0}，则M ∩N ＝( ) A ．{0，－1} B ．{0} C ．{1} D ．{－1，1} 2.【解析】M ∩N ＝{1}，故选C ．【答案】C3．已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．33.【解析】本题考查函数的奇偶性．令x ＝－1可得f (－1)－g (－1)＝1⇒f (1)＋g (1)＝1，故选C ．【答案】C4．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于( ) A ．2 5 B ．2 3 C ． 3 D ．14.【解析】利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解． ∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋（3）2＝1，半径r ＝2，∴弦长|AB |＝2r 2－d 2＝222－12＝2 3.【答案】B5．函数f (x )＝2x ＋1的定义域是( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，－12B ．⎣⎡⎭⎫－12，＋∞C ．⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．(－∞，＋∞) 5.【解析】由2x ＋1≥0，解得x ≥－12，故选B ．【答案】B6．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．46.【解析】(2a －b )·b ＝(3，x )·(－1，x )＝x 2－3＝0， ∴x ＝±3，∴|a |＝2. 【答案】C7．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b7.【解析】∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0.∴－a <0，b >－A ． ∴－a <b <0<－b <A ．【答案】C8．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1的是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数8.【解析】因为y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，且为奇函数，故选A ．【答案】A9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．149.【解析】由不等式组，作出可行域如下：在点A (2，3)处，z ＝3x ＋y 取最大值为9.【答案】C10．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－710.【解析】利用等比数列的通项公式求解．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 【答案】D11．当x ＞0时，下列不等式正确的是( ) A ．x ＋4x ≥4 B ．x ＋4x ≤4 C ．x ＋4x ≥8 D ．x ＋4x ≤8 11.【解析】由均值不等式可知，当x ＞0时，x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时取“＝”，故选A ．【答案】A12．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、C ．已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．312.【解析】由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋22－524b ＝23，∴b ＝3，答案选D ．【答案】D13．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A ．15 B ．25 C ．825 D ．92513.【解析】从5人中选2人共有10种选法，其中有甲的有4种选法，所以概率为410＝25. 【答案】B14．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（） A ．七尺五寸B ．六尺五寸C ．五尺五寸D ．四尺五寸14．【解析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解．从冬至日起，日影长构成数列{a n }，则数列{a n }是等差数列，则a 5+a 6+a 7+a 8＝32，S 7＝73.5，所以解可得，a 1＝，d ＝﹣1．故a 10＝＝4.5．【答案】D ．15．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．415.【解析】在平面直角坐标系中，作出变量x ，y 的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当z ＝2x ＋y 过点B (2，0)时，z 最大，所以z max ＝4，所以z ＝2x ＋y 的最大值4.故选D ．【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上) 16．f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________． 16.【解析】f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2. 【答案】－217．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． 17.【解析】设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b ＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求．【答案】2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝018．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2 000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生________人．18.【解析】由题意知抽取女生97人，设该校共有女生x 人．则x ×2002 000＝97，解得x ＝970. 【答案】97019．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝______．19.【解析】由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T2＝（22）2－22，∴T ＝4，∴ω＝α2.【答案】α2三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 20．(12分)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .20．解：(1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2，所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)． (2)S n ＝2(12)12n --＋n ×1＋(1)2n n -×2＝2n ＋1＋n 2－2.21．(12分)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥PC ，(1)证明：CD ⊥平面PAC ；(2)若E 为AD 的中点，求证：CE ∥平面PAB ． 21.证明：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又CD ⊥PC ，PA ∩PC ＝P ， ∴CD ⊥平面PAC ．PP 0xOy112256411xO y 1(2)∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1， ∴∠BAC ＝45°，∠CAD ＝45°，AC ＝ 2. ∵CD ⊥平面PAC ，∴CD ⊥CA ，∴AD ＝2.又E 为AD 的中点，∴AE ＝BC ＝1，∴四边形ABCE 是正方形， ∴CE ∥AB ．又AB ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， ∴CE ∥平面PAB ．22．(12分)如图是半径为1m 的水车截面图,在它的边缘(圆周)上有一定点P ,按逆时针方向以角速度rad /s 3π(每秒绕圆心转动rad 3π)作圆周运动,已知点P 的初始位置为0P ,且06xOP π∠=,设点P 的纵坐标y 是转动时间t (单位:s )的函数,记为()y f t =.(1) 求()30,2f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,并写出函数()y f t =的解析式；(2) 选用恰当的方法作出函数()f t ,06t ≤≤的简图； (3) 试比较13131,,345f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小(直接给出大小关系,不用说明理由). 22．解：(1)()10sin62f π==,()332sin cos 23662f πππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭, ()sin 36y f t t ππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,0t ≥.(2)用“五点法”作图,列表得：t 0 1524112636t ππ+6π 2π π32π 2π 136π y1211- 012描点画图:说明:学生用图象变换法作出图象,并写出由变换到36ππ⎛⎫⎪⎝⎭的变化过程也可给满分.(3) 13131345f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。

2021广东省高三数学学业水平合格考试总复习标准示范卷4 Word版含解析

姓名，年级：时间：标准示范卷（四)(时间:90分钟；分值：150分，本卷共4页)一、选择题（本大题共16小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合M＝｛1,2｝，N＝{0,1,3｝，则M∩N＝( ）A．｛1｝B．｛0，1｝C．{1,2｝D．{1，2,3}A[由题得M∩N＝{1，2｝∩｛0,1,3｝＝{1｝．]2．设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，已知a5＝9，S2＝4，则a2＝( ）A．1 B．2C．3 D．5C[设等差数列｛a n｝的公差为d，则a5＝a1＋4d＝9，S2＝2a1＋d ＝4，解得a1＝1,d＝2，∴a2＝a1＋d＝3。

]3．“a·b≥0”是“a与b的夹角为锐角"的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[当a·b＝0时，a，b的夹角为直角，故“a·b≥0"不能推出“a与b的夹角为锐角”．当“a与b的夹角为锐角”时，a·b＝|a|·|b｜·cos〈a，b〉>0,即能推出“a·b≥0”．综上所述，“a·b≥0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．]4．在x轴、y轴上的截距分别是－2，3的直线方程是（)A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0C［由直线的截距式得，所求直线的方程为错误!＋错误!＝1,即3x －2y＋6＝0.］5．已知a,b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（) A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能垂直C[a，b是两条异面直线，c∥a,那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行．若c∥b,因为c∥a，由平行公理得a∥b，与a，b是两条异面直线矛盾．故选C．］6．在平行四边形ABCD中，错误!＋错误!等于（）A．错误!B．错误!C．DB，→D．｜错误!｜A[错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。

广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷(五)(含解析)

12.C【解析】将函数y=sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得函数y=sin ,再将所得的图象向左平移个单位,得函数y=sin ,即y=sin .故选C.
13.C【解析】可采用排除法.A中平行于同一平面的两条直线可以平行,可以相交,也可以异面,所以A错误;B中直线m,n可以相交,可以平行,也可以异面,所以B错误;D中条件可推出m,n⊂α,且l⊥m,l⊥n,但m,n不一定相交,故不能推出l⊥α,所以D错误.故选C.
对于②,若a<b<0,两边同除以ab,则 ,即 ,故正确;
对于③,若a<b<0,则 >0, >0,根据基本不等式即可得到 >2,故正确;
对于④,若a<b<0,则a2>b2,故不正确.故选C.
5.B【解析】∵α是第二象限角,sinα= ,
∴cosα=- =- .故选B.
6.A【解析】∵y=x-1是奇函数,y=lo x不具有奇偶性,故排除B,D;又函数y=x2-2在区间(0,+∞)上是单调递增函数,故排除C.故选A.
18.某学院A,B,C三个专业共有1 200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院A专业有380名学生,B专业有420名学生,则该学院C专业应抽取名学生.
19.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则∠A的度数为.
(2)若AB=BC,AC= AA1,求证:AC1⊥A1B.
22.已知函数f(x)=1+ -xα(α∈R),且f(3)=- .
(1)求α的值;
(2)求函数f(x)的零点;
(3)判断f(x)在(-∞,0)上的单调性,并给予证明.

广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷

广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷年级：姓名：2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(一)(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)1.已知集合A={x ∈R |2x-3≥0},集合B={x ∈R |x 2-3x+2<0},则A ∩B= ( )A.{x |x ≥32}B.{x |1<x <2}C.{x |32≤x <2} D.{x |32<x <2} 2.下列函数中,与函数y=√x定义域相同的函数为 ( )A .y=1x B .y=√xC .y=x -2D .y=ln x3.已知直线经过点A (0,4)和点B (1,2),则直线AB 的斜率为 ( ) A.3 B.-2 C.2 D.不存在4.已知a=log 0.60.5,b=ln 0.5,c=0.60.5,则 ( ) A .a>b>c B.a>c>b C .c>a>b D .c>b>a5.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 5=9,S 2=4,则a 2= ( ) A.1 B.2 C.3 D.56.函数f (x )=(12)x -x+2的零点所在的一个区间是 ( ) A .(-1,0) B .(0,1) C .(1,2) D .(2,3)7.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的体积为 ( ) A .√34πB .√33πC .√32πD .√3π8.已知向量a ,b ,|a |=2,b =(3,4),a 与b 的夹角等于30°,则a ·b 等于 ( )A .5B .103√3 C .5√2 D .5√39.为了得到函数y=cos 13x 的图象,只需要把y=cos x 图象上所有的点的 ( ) A .横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变B.横坐标缩小到原来的13,纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变D.纵坐标缩小到原来的13,横坐标不变10.在[-3,3]中取一实数赋值给a ,使得关于x 的方程4x 2-4ax+2-a=0有两个实根的概率为 ( ) A .16 B .14 C .13 D .12 11.计算sin 240°的值为 ( )A .-√32B .-12C .12D .√3212.在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边长分别是2,3,4,则cos B 的值为 ( ) A.78 B.1116 C.14D.-1413.设x ,y 满足约束条件{x +1≥0,x -2x ≥0,x +x -3≤0,则z=x-y 的最大值为( ) A.3 B.1 C.-1 D.-514.函数f (x )=12-cos 2(π4-x )的单调增区间是 ( )A.[2x π-π2,2x π+π2],k ∈ZB .[2x π+π2,2x π+3π2],k ∈ZC .[x π+π4,x π+3π4],k ∈Z D .[x π-π4,x π+π4],k ∈Z15.圆:x 2+y 2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最小值是 ( ) A .2 B .1+√2 C .√2-1 D .1+2√2二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)16.不等式x 2-3x+2<0的解集是 .17.如图是某中学高二年级举办的演讲比赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的中位数为 .18.计算log 28+log 212的值是 .19.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫作等和数列,这个常数叫作该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=-1,公和为1,那么这个数列的前2 018项和S 2 018= . 三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos A=12.(1)求角A 的大小;(2)若b=2,c=3,求a 的值;(3)求2sin B+cos (π6+x )的最大值.21.如图所示,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,PA=AB ,点E 为PB 的中点. (1)求证:PD ∥平面ACE ;(2)求证:平面ACE ⊥平面PBC.22.在等比数列{a n }中,公比q ≠1,等差数列{b n }满足b 1=a 1=3,b 4=a 2,b 13=a 3.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)记c n =(-1)nb n +a n ,求数列{c n }的前2n 项和S 2n .答案：1.D 【解析】由题意可得,A={x |x ≥32},B={x |1<x <2},结合交集的定义可得A ∩B={x |32≤x <2}. 2.D 【解析】函数y=√x的定义域是(0,+∞),A 中函数的定义域是{x|x ≠0},B 中函数的定义域是{x|x ≥0},C 中函数的定义域是{x|x ≠0},D 中函数的定义域是(0,+∞).3.B 【解析】由直线的斜率公式得直线AB 的斜率为k=4-20-1=-2.4.B 【解析】log 0.60.5>1,ln 0.5<0,0<0.60.5<1,即a>1,b<0,0<c<1,故a>c>b ,故选B .5.C 【解析】设等差数列{a n }的公差为d , 则a 5=a 1+4d=9,S 2=2a 1+d=4, 解得a 1=1,d=2, ∴a 2=a 1+d=3.6.D 【解析】f (2)·f (3)=(12)2·[(12)3-3+2]=14·(18-1)<0.7.B 【解析】该几何体是底面直径和母线都为2的圆锥,其高为√32×2=√3,体积为13·π·(22)2·√3=√33π.故选B .8.D 【解析】b =(3,4)⇒|b |=5,a ·b =|a |·|b |·cos <a ,b >=2×5×√32=5√3.故选D .9.A 【解析】观察周期2π6π,所以横坐标伸长到原来的3倍,又值域没变,所以纵坐标不变.故选A .10.D 【解析】在[-3,3]中取一实数赋值给a ,则-3≤a ≤3,若方程4x 2-4ax+2-a=0有两个实根,则判别式Δ=16a 2-16(2-a )≥0,即a 2+a-2≥0,解得a ≥1或a ≤-2,故满足条件的概率P=-2-(-3)+3-13-(-3)=36=12.故选D .11.A 【解析】sin 240°=sin (180°+60°)=-sin 60°=-√32.故选A .12.B 【解析】由余弦定理得,cos B=22+42-322×2×4=1116.故选B . 13.B 【解析】作出可行域如图所示,y=x-z ,作l 0:y=x ,当l 0移至l 1,l 2两直线交点H 时截距-z 最小,即z 最大,H (-1,-2),z max =-1+2=1.故选B .14.C 【解析】f (x )=12-cos 2(π4-x )=12−1+cos (π2-2x )2=-12sin 2x ,即求g (x )=12sin 2x 的单调递减区间: 2k π+π2≤2x ≤2k π+3π2,k ∈Z ,k π+π4≤x ≤k π+3π4,k ∈Z .故选C .15.C 【解析】把圆的方程化为标准方程,得(x-1)2+(y-1)2=1,∴圆心坐标为(1,1),半径r=1,∴圆心到直线x-y=2的距离d=√2=√2,则圆上的点到已知直线距离的最小值为d-r=√2-1. 故选C .16.(1,2) 【解析】∵x 2-3x+2<0,∴(x-2)(x-1)<0,∴{x|1<x<2}. 17.85 【解析】去掉一个最高分93分和一个最低分79分后,余下的五个分数依次是:84,84,85,86,87,中位数是85.18.2 【解析】log 28+log 212=log 2(8×12)=log 24=log 222=2log 22=2×1=2.19.1 009 【解析】根据题意,得a n +a n+1=1,n ∈N *且a 1=-1, 所以a 1+a 2=-1+a 2=1,即a 2=2,a 3=-1,a 4=2,…, 所以数列的周期T=2,所以S 2 018=(-1+2)+(-1+2)+…+(-1+2)=20182=1 009.20.【解】(1)△ABC 中,∵cos A=12,∴A=π3. (2)若b=2,c=3,则a=√x 2+x 2-2xx ·cos x =√4+9-12×12=√7.(3)2sin B+cos (π6+x )=2sin B+√32cos B-12sin B=32sin B+√32cosB=√3sin (x +π6), ∵B ∈(0,2π3),∴B+π6∈(π6,5π6),故当B+π6=π2时,2sin B+cos (π6+x )取得最大值为√3. 21.【证明】(1)连接BD 交AC 于O ,连接EO , ∵四边形ABCD 为矩形,∴O 为BD 中点. ∵E 为PB 的中点,∴EO ∥PD. 又EO ⊂平面ACE ,PD ⊄平面ACE , ∴PD ∥平面ACE.(2)∵PA ⊥平面ABCD ,BC ⊂底面ABCD , ∴PA ⊥BC.∵底面ABCD 为矩形,∴BC ⊥AB. ∵PA ∩AB=A ,∴BC ⊥平面PAB , ∵AE ⊂平面PAB ,∴BC ⊥AE.∵PA=AB ,E 为PB 中点,∴AE ⊥PB. ∵BC ∩PB=B , ∴AE ⊥平面PBC , 而AE ⊂平面ACE ,∴平面ACE ⊥平面PBC.22.【解】(1)设等差数列{b n }的公差为d ,则有{3+3x =3x ,3+12x =3x 2,解得{x =3,x =2或{x =1,x =0(舍). 所以a n =3n,b n =2n+1.(2)由(1)可知c n =(-1)n (2n+1)+3n, 则S 2n =(3+32+…+32n )+{(-3)+5+(-7)+9+…+[-(4n-1)]+(4n+1)}=3×(1-32x )1-3+[(5-3)+(9-7)+…+(4n+1-4n+1)]=32x +1-32+2n.。

2021年高中学业水平合格性考试数学模拟卷(含参考答案)08

2021年广东省普通高中学业水平考试数学科合格性考试模拟题（08）（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，m,3}，如果A ∩B ＝A ，那么实数m 等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．41．C 解析：∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ．∵A ＝{1,2}，B ＝{1，m,3}，∴m ＝2．2．下列函数中，与函数y ＝1x 定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝xC ．y ＝x －2D ．y ＝ln x 解析：函数y ＝1x的定义域是(0，＋∞)，A 中的定义域是{x |x ≠0}，B 中的定义域是{x |x ≥0}，C 中的定义域是{x |x ≠0}，D 中的定义域是(0，＋∞)，故选D ．3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )A ．一定平行B ．一定相交C ．一定异面D ．相交或异面3．D 解析：可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．4． cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( )A ．62 B ．32C ．54D ．1＋344．C 解析：原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12 sin 30°＝54. 5．已知直线的点斜式方程是y －2＝－3(x －1)，那么此直线的倾斜角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：因为k ＝tan α＝－3，α∈[0，π)，所以α＝2π3. 6．已知0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( )A ．a 3＞b 3B ．1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜06．D 解析：由0＜a ＜b ＜1，可得a 3＜b 3，A 错误；1a ＞1b，B 错误；a b ＜1，C 错误；0＜b －a ＜1，lg(b －a )＜0，D 正确．7．已知a ＝(－2,2)，b ＝(x ，－3)，若a ⊥b ，则x 的值为( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3解析：a ·b ＝－2x －6＝0，解得x ＝－3.8．在同一直角坐标系xOy 中，函数y ＝cos x 与y ＝－cos x 的图象之间的关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于直线y ＝－x 对称解析：由于当自变量相同时，它们的函数值相反，故它们的图象关于x 轴对称，故选A ．9．三个数a 2，b ＝log 2c ＝2之间的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析：易知0<a <1，b <0，c >1，故c >a >b .10．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n 等于( )A ．nB ．n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋1解析：S 7＝12×7×(a 1＋a 7)＝7a 4＝35，故a 4＝5，又a 23＝a 1a 7，即(5－d )2＝(5－3d )(5＋3d )，即d ＝1，故a n ＝a 4＋(n －4)d ＝n ＋1.11．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0，则z ＝2x ＋4y ＋1的最小值是( )A ．－14B ．1C ．－5D ．－9 解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋5≥0x －y ≤0y ≤0表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z ＝2x ＋4y ＋1可得y ＝－12x ＋z 4－14，则z 4－14表示直线y ＝－12x ＋z 4－14在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，当y ＝－12x ＋z 4－14经过点A 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0x －y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎫－52，－52，此时z ＝－2×52－4×52＋1＝－14，故选A ． 12．圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5解析：r 2＝(1－0)2＋(2－0)2＝5，故圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.13．当x >4时，不等式x ＋4x －4≥m 恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥8B ．m >8C ．m ≤8D ．m <8解析：x ＋4x －4＝⎝⎛⎭⎫x －4＋4x －4＋4≥424)44x x -⋅+-（＝8，故m ≤8.14．已知函数f (x )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( ) A ．－2B ．0C ．1D ．2 解析：f (1)＝12＋1＝2，f (－1)＝－f (1)＝－2.15．某学校举办校园演讲大赛，如图为七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，要求去掉一个最高分和一个最低分点，求出所剩数据的平均数和方差为( )C ．85,4解析：平均数x －＝84＋84＋84＋86＋875＝85，方差为15[(84－85)2＋(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上)16．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是________．16．43π解析：设正方体的棱长为a ，则由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2.设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π. 17．函数f (x )＝12－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间是________．17．⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 解析：f (x )＝12－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝12－1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x 2＝－12sin 2x ，即求12sin 2x 的单调递减区间．∵2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )． 18．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________．18．25解析：基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个，其中第一张大于第二张的有10个，所以P ＝1025＝25. 19．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为________．19．6解析：记每天走的路程里数为{a n }，易知{a n }是公比21=q 的等比数列，S 6=378，S 6=211)211(61--a =378∴ a 1=192，a 6=192×521=6. 三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且2a sin B cos A －b sin A ＝0，(1)求A ；(2)当sin B ＋3sin ⎝⎛⎭⎫C －π6取得最大值时，试判断△ABC 的形状．20．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B得a sin B ＝b sin A ≠0，又2a sin B cos A －b sin A ＝0，∴2cos A ＝1，即cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)∵A ＝π3，∴B ＝2π3－C ， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3－C ＋3sin ⎝⎛⎭⎫C －π6＝32cos C ＋12sin C ＋3⎝⎛⎭⎫32sin C －12cos C ＝2sin C ， ∵0<C <2π3，∴当C ＝π2时，取得最大值， ∴△ABC 是直角三角形．21．(12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，E 是PD 的中点．求证：(1)PB ∥平面EAC ；(2)平面PDC ⊥平面P AD ．21．证明 (1)连接BD 交AC 于O ，连接EO ，则EO 是△PBD 的中位线，∴EO ∥PB ．又PB ⊄平面EAC ，EO ⊂平面EAC ，∴PB ∥平面EAC ．(2)∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ⊥CD ．而P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ．又CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面P AD ．22．(12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）．（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．22．.解：（1）设()v x ax b =+，当420x ≤≤时，由题意得：200a b +=，又因为42a b +=，解得18a =-，52b =，函数()v x 的表达式为2,04,()15,420,.82x x N v x x x x N **⎧≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩ （2）22,04,()15,420,.82x x x N f x x vx x x x x N **⎧≤≤∈⎪=⋅=⎨-+≤≤∈⎪⎩ 当04x ≤≤时，max ()(4)8f x f ==；当420x ≤≤时，max 5252()()(10)122()8f x f f =-==⨯-. 综上所述，鱼的年生长量()f x 的最大值为252。

2021年广东省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷(含解析)

2021年广东省普通高中学业水平考试科合格性考试数学仿真模拟卷01（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不．正确的是()A．a－d＞b－c B.ad＞bcC．a＋d＞b＋c D．ac＞bd1．【答案】C【解析】可利用不等式的基本性质一一验证．由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，所以A正确；由c＞d＞0，得1d＞1c＞0，又a＞b＞0，所以ad＞bc，即B正确；显然D正确．2．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝()A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}2. 【答案】C【解析】借助数轴可得{x|2＜x＜3}．3．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是()A．4 B．3 C．2 D．13. 【答案】C【解析】函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2，故选C.4．已知三个数a＝60.7，b＝0.70.8，c＝0.80.7，则三个数的大小关系是()A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．a>c>b4. 【答案】D【解析】 a ＝60.7>60＝1，c ＝0.80.7>0.70.7>0.70.8＝b ，且c ＝0.80.7<0.80＝1，所以a >c >b . 5．若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．3 5. 【答案】B【解析】等差数列中，设S 2＝a 1＋a 2＝x ，则a 3＋a 4＝S 4－S 2＝4－x ，a 5＋a 6＝S 6－S 4＝8，则S 2，S 4－S 2，S 6－S 4仍成等差数列，所以2(4－x )＝x ＋8，解得x ＝0，即S 2＝0故选B.6．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( )A.2 B ．2－2 C.2－1D.2＋16．【答案】C 【解析】由点到直线的距离公式知d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2＝1，得a ＝－1± 2.又∵a ＞0，∴a ＝2－1.7．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7)B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)7. 【答案】B【解析】根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24. 8．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53 B ．－59 C ．59 D ．538. 【答案】A【解析】利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13，∵2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23.又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33＞0，∴2kα＋α2＜α＜2kα＋34α(k∈Z)，∴4kα＋α＜2α＜4kα＋32α(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53.9．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A.310B.15C.110D.1129．【答案】A【解析】随机取出2个小球得到的结果数有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{}1，2，{}1，5，{}2，4，共3种，故所求答案为A.10．若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z ＝2y －2x ＋4的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8 10. 【答案】B【解析】作出满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域，如图所示，作直线l 1：2y －2x ＝t ，当l 1经过B (1，1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.故选B.11．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(cos θ，sin θ)，若a ∥b ，则tan θ＝( ) A ．33 B ． 3 C ．－33D ．－3 11. 【答案】B【解析】∵a ∥b ，∴sin θ－3cos θ＝0，即sin θ＝3cos θ.故tan θ＝ 3.12．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A ．π4B ．π－22C ．π6 D ．4－π412. 【答案】D【解析】如图所示，区域D 是正方形OABC ，且区域D 的面积S ＝4.又阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积S 阴＝4－π，所以所求事件的概率P ＝4－π4.13．设函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为M ，则( ) A ．T ＝π，M ＝1 B ．T ＝2π，M ＝1 C ．T ＝π， M ＝2 D ．T ＝2π，M ＝213. 【答案】A【解析】由于三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的最小正周期T ＝2αω，最大值为A ＋B ；∴函数y＝2sin2x －1的最小正周期T ＝2α2＝α，最大值M ＝2－1＝1.14．已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n 14. 【答案】C【解析】∵n ⊥β，且α，β交于直线l .l ⊂β，∴n ⊥l .15．已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均值为2，方差为1，则2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1，平均值和方差分别为( )A ．5，4B ．5，3C ．3，5D ．4，5 15. 【答案】A【解析】一组数据x 1，x 2，x 3…，x n 的平均值为2，所以数据2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，…，2x n ＋1的平均数是2×2＋1＝5；又数据x 1，x 2，x 3，…x n 的方差为1，所以数据2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，…，2x n ＋1的方差是22×1＝4，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上)16．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．16. 【答案】15【解析】由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.17．某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77则这组数据的中位数是________米．17. 【答案】1.76【解析】由小到大排列为1.69，1.72，1.75, 1.77，1.78, 1.80.中位数是1.75＋1.772＝1.76.18．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________．18．【答案】6766升【解析】设最上面一节的容积为a 1，公差为d ，则有⎩⎨⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4.即⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝6766，故第5节的容积为6766升．19．若点A (4，3)，B (5，a )，C (6，5)三点共线，则a 的值为________． 19. 【答案】4【解析】∵A ，B ，C 三点共线，∴a －35－4＝5－36－4，∴a ＝4.三、解答题(本大题共3个题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 20．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)在如图所示坐标系中画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．20.解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －α4＋1的振幅为2，最小正周期T ＝2α2＝α，初相为－α4. (2)列表并描点画出图象：故函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－α2，α2上的图象是21．(12分)已知四棱锥P ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，E 是P A 的中点．求证：(1)PC ∥平面EBD ； (2)平面PBC ⊥平面PCD ．21.证明：(1)连接AC 交BD 与O ，连接EO ，∵E ，O 分别为P A ，AC 的中点， ∴EO ∥PC .∵PC ⊄平面EBD ，EO ⊂平面EBD ， ∴PC ∥平面EBD . (2)∵PD ⊥平面ABCD BC ⊂平面ABCD ∴PD ⊥BC ∵ABCD 为正方形 ∴BC ⊥CD 又∵PD ∩CD ＝D ∴BC ⊥平面PCD ∵BC ⊂平面PBC∴平面PBC ⊥平面PCD .22．(12分)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和．22．解：(1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，得a 1＝13. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n . (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2. 故1b n＝－2n (n ＋1)＝－2(1n －1n ＋1)．1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2n n ＋1. 所以数列{1b n}的前n 项和为－2n n ＋1.。

广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷一含解析

2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(一)(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)1.已知集合A={x ∈R |2x-3≥0},集合B={x ∈R |x 2-3x+2<0},则A ∩B= ( )A.{x |x ≥32} B.{x |1<x <2}C.{x |32≤x <2} D.{x |32<x <2} 2.下列函数中,与函数y=√x定义域相同的函数为 ( )A .y=1x B .y=√xC .y=x -2D .y=ln x3.已知直线经过点A (0,4)和点B (1,2),则直线AB 的斜率为 ( ) A.3 B.-2 C.2 D.不存在4.已知a=log 0.60.5,b=ln 0.5,c=0.60.5,则 ( ) A .a>b>c B.a>c>b C .c>a>b D .c>b>a5.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 5=9,S 2=4,则a 2= ( ) A.1 B.2 C.3 D.56.函数f (x )=(12)x-x+2的零点所在的一个区间是 ( ) A .(-1,0)B .(0,1)C .(1,2)D .(2,3)7.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的体积为 ( ) A .√34πB .√33πC .√32πD .√3π8.已知向量a ,b ,|a |=2,b =(3,4),a 与b 的夹角等于30°,则a ·b 等于 ( ) A .5B .103√3C .5√2D .5√39.为了得到函数y=cos 13x 的图象,只需要把y=cos x 图象上所有的点的 ( ) A .横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变B.横坐标缩小到原来的13,纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变D.纵坐标缩小到原来的13,横坐标不变10.在[-3,3]中取一实数赋值给a ,使得关于x 的方程4x 2-4ax+2-a=0有两个实根的概率为 ( )A .16 B .14C .13D .1211.计算sin 240°的值为 ( )A .-√32B .-12C .12D .√3212.在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边长分别是2,3,4,则cos B 的值为 ( ) A.78 B.1116C.14D.-1413.设x ,y 满足约束条件{x +1≥0,x -2x ≥0,x +x -3≤0,则z=x-y 的最大值为( )A.3B.1C.-1D.-514.函数f (x )=12-cos 2(π4-x )的单调增区间是 ( )A.[2x π-π2,2x π+π2],k ∈Z B .[2x π+π2,2x π+3π2],k ∈ZC .[x π+π4,x π+3π4],k ∈ZD .[x π-π4,x π+π4],k ∈Z15.圆:x 2+y 2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最小值是 ( ) A .2 B .1+√2 C .√2-1 D .1+2√2二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)16.不等式x 2-3x+2<0的解集是 .17.如图是某中学高二年级举办的演讲比赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的中位数为 .18.计算log 28+log 212的值是 .19.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫作等和数列,这个常数叫作该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=-1,公和为1,那么这个数列的前2 018项和S 2 018= .三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos A=12.(1)求角A 的大小;(2)若b=2,c=3,求a 的值;(3)求2sin B+cos (π6+x )的最大值.21.如图所示,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,PA=AB ,点E 为PB 的中点. (1)求证:PD ∥平面ACE ;(2)求证:平面ACE ⊥平面PBC.22.在等比数列{a n }中,公比q ≠1,等差数列{b n }满足b 1=a 1=3,b 4=a 2,b 13=a 3.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)记c n =(-1)nb n +a n ,求数列{c n }的前2n 项和S 2n .答案：1.D 【解析】由题意可得,A={x |x ≥32},B={x |1<x <2},结合交集的定义可得A ∩B={x |32≤x <2}. 2.D 【解析】函数y=x的定义域是(0,+∞),A 中函数的定义域是{x|x ≠0},B 中函数的定义域是{x|x ≥0},C 中函数的定义域是{x|x ≠0},D 中函数的定义域是(0,+∞). 3.B 【解析】由直线的斜率公式得直线AB 的斜率为k=4-20-1=-2.4.B 【解析】log 0.60.5>1,ln 0.5<0,0<0.60.5<1,即a>1,b<0,0<c<1,故a>c>b ,故选B .5.C 【解析】设等差数列{a n }的公差为d , 则a 5=a 1+4d=9,S 2=2a 1+d=4, 解得a 1=1,d=2, ∴a 2=a 1+d=3.6.D 【解析】f (2)·f (3)=(12)2·[(12)3-3+2]=14·(18-1)<0.7.B 【解析】该几何体是底面直径和母线都为2的圆锥,其高为√32×2=√3,体积为13·π·(22)2·√3=√33π.故选B .8.D 【解析】b =(3,4)⇒|b |=5,a ·b =|a |·|b |·cos <a ,b >=2×5×√32=5√3.故选D .9.A 【解析】观察周期2π6π,所以横坐标伸长到原来的3倍,又值域没变,所以纵坐标不变.故选A .10.D 【解析】在[-3,3]中取一实数赋值给a ,则-3≤a ≤3,若方程4x 2-4ax+2-a=0有两个实根,则判别式Δ=16a 2-16(2-a )≥0,即a 2+a-2≥0,解得a ≥1或a ≤-2, 故满足条件的概率P=-2-(-3)+3-13-(-3)=36=12.故选D .11.A 【解析】sin 240°=sin (180°+60°)=-sin 60°=-√32.故选A .12.B 【解析】由余弦定理得,cos B=22+42-322×2×4=1116.故选B .13.B 【解析】作出可行域如图所示,y=x-z ,作l 0:y=x ,当l 0移至l 1,l 2两直线交点H 时截距-z 最小,即z 最大,H (-1,-2),z max =-1+2=1.故选B .14.C 【解析】f (x )=12-cos 2(π4-x )=12−1+cos (π2-2x )2=-12sin 2x ,即求g (x )=12sin 2x 的单调递减区间: 2k π+π2≤2x ≤2k π+3π2,k ∈Z ,k π+π4≤x ≤k π+3π4,k ∈Z .故选C .15.C 【解析】把圆的方程化为标准方程,得(x-1)2+(y-1)2=1,∴圆心坐标为(1,1),半径r=1,∴圆心到直线x-y=2的距离d=√2=√2,则圆上的点到已知直线距离的最小值为d-r=√2-1. 故选C .16.(1,2) 【解析】∵x 2-3x+2<0,∴(x-2)(x-1)<0,∴{x|1<x<2}. 17.85 【解析】去掉一个最高分93分和一个最低分79分后,余下的五个分数依次是:84,84,85,86,87,中位数是85.18.2 【解析】log 28+log 212=log 2(8×12)=log 24=log 222=2log22=2×1=2.19.1 009 【解析】根据题意,得a n +a n+1=1,n ∈N *且a 1=-1, 所以a 1+a 2=-1+a 2=1,即a 2=2,a 3=-1,a 4=2,…, 所以数列的周期T=2,所以S 2 018=(-1+2)+(-1+2)+…+(-1+2)=20182=1 009.20.【解】(1)△ABC 中,∵cos A=12,∴A=π3.(2)若b=2,c=3,则a=√x 2+x 2-2xx ·cos x =√4+9-12×12=√7.(3)2sin B+cos (π6+x )=2sin B+√32cos B-12sin B=32sin B+√32cosB=√3sin (x +π6), ∵B ∈(0,2π3),∴B+π6∈(π6,5π6),故当B+π6=π2时,2sin B+cos (π6+x )取得最大值为√3.21.【证明】(1)连接BD 交AC 于O ,连接EO , ∵四边形ABCD 为矩形,∴O 为BD 中点. ∵E 为PB 的中点,∴EO ∥PD. 又EO ⊂平面ACE ,PD ⊄平面ACE , ∴PD ∥平面ACE.(2)∵PA ⊥平面ABCD ,BC ⊂底面ABCD , ∴PA ⊥BC.∵底面ABCD 为矩形,∴BC ⊥AB. ∵PA ∩AB=A ,∴BC ⊥平面PAB , ∵AE ⊂平面PAB ,∴BC ⊥AE.∵PA=AB ,E 为PB 中点,∴AE ⊥PB. ∵BC ∩PB=B , ∴AE ⊥平面PBC , 而AE ⊂平面ACE ,∴平面ACE ⊥平面PBC.22.【解】(1)设等差数列{b n }的公差为d ,则有{3+3x =3x ,3+12x =3x 2,解得{x =3,x =2或{x =1,x =0(舍). 所以a n =3n,b n =2n+1.(2)由(1)可知c n =(-1)n (2n+1)+3n,则S 2n =(3+32+ (32))+{(-3)+5+(-7)+9+…+[-(4n-1)]+(4n+1)}=3×(1-32x )1-3+[(5-3)+(9-7)+…+(4n+1-4n+1)]=32x +1-32+2n.。

广东省茂名市2021届新高考第四次模拟数学试题含解析

广东省茂名市2021届新高考第四次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数21aibi i-=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则a bi +=（） A ．12i -+ B ．1C ．5D ．5【答案】D 【解析】试题分析：由21aibi i-=-,得()21,1,2ai i bi b i a b -=-=+∴=-=,则()2212,12125a bi i a bi i +=-+∴+=-+=-+=，故选D.考点：1、复数的运算；2、复数的模. 2．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则221310()()222z =+=，z的共轭复数为1322z i =-，复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为a bi -．3．已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出的值.【详解】令，构造，求导得，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且，若，即，则，则，且，故，若，即，由于，故，故不符合题意，舍去.故选A.【点睛】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.4．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（） A ．3π B ．3π-C ．23π D ．23π-【答案】B 【解析】【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-. 故选：B 【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.5．已知x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（）A ．4B ．34C ．211D ．14【答案】D 【解析】试题分析：先画出可行域如图：由{2y x x y =+=，得(1,1)B ，由{x a y x==，得(,)C a a ，当直线2z x y =+过点(1,1)B 时，目标函数2z x y =+取得最大值，最大值为3；当直线2z x y =+过点(,)C a a 时，目标函数2z x y =+取得最小值，最小值为3a ；由条件得343a =⨯，所以14a =，故选D.考点：线性规划.6．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（） A ．32B ．23C ．12D ．62【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得sin b A 的值. 【详解】sin sin sin sin b c a b A A B C ++=+-，由正弦定理得b c a ba ab c++=+-，整理得222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，0B π<<，3B π∴=. 由正弦定理sin sin a b A B =得3sin sin 1sin 3b A a B π==⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.7．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（） A ．6 B ．1C ．32D ．32-【答案】A 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，432x ∴⨯=，即6x =，故选：A 【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.8．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,777【答案】D 【解析】【分析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案. 【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D. 【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 9．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（） A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】B 【解析】【分析】计算抛物线的交点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入计算得到答案.【详解】22y x =可化为212x y =，焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，故12m =-.故选：B . 【点睛】本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.10．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =，则m =（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】A 【解析】【分析】根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值. 【详解】因为{2}AB =，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}AB =，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.11．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】D 【解析】【分析】根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假．【详解】在A 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；在B 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%39.6%22.176%20%⨯=>，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%，所以是正确的；在C 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：13.7%39.6%9.52%3%⨯=>，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；在D 中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%39.6%22.176%41%⨯=<，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多．故选：D. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（）A ．925B ．1225C ．35D ．45【答案】D 【解析】【分析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比，从而可知1tan 2AC AB α==，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos αα，由二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】解：由题意知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，以AB 为直径的半圆面积21122AB S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，以AC 为直径的半圆面积22122AC S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则222114S AC S AB ==，即1tan 2AC AB α==. 由22sin cos 1sin 1tan cos 2ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩，得sin cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以4sin 22sin cos 25ααα===. 故选:D. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试卷(解析版)

132021 年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试卷一.选择题：本大题共 15 题，每小题 6 分，共 90 分。

在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1 设全集 U={2,3,4,5}，A={2}，则C UA = ()A. {2,3,4,5}B.{2,3,4,5}C.{3,4,5}D.{3,4}答案：C2. 已知cos （π2-α）=1 ，则sin α 的值为（）21 B -1C D - A. 22 22解：答案：A ， cos （π2-α）= sin α = 123. 下列函数为偶函数的是（）1+ x 2A. f (x ) = x +1 B f (x ) = C x 2f (x ) = x 3D f (x ) = sin x答案：B解：A 选项既不是奇函数也不是偶函数，C 和D 选项是奇函数4.已知a = 0.23， b = 0.32 , c = 0.33 ，则 a , b , c 的大小关系（）A. a < c < bB. b < a < cC. c < a < bD. a < b < c答案：A解： a = 0.23 = 0.008， b = 0.32= 0.09, c = 0.33= 0.027 ，所以a < c <b 3211 5.经过点 A （-1,6），B （0,2）的直线方程是（）A. x - 4y - 2 = 0 B. 4x - y - 2 = 0 C. x + 4y + 2 = 0 D. 4x + y - 2 = 0答案：D解：由题意知k= AB 2 - 6 0 - (-1)= -4 ,所以 y - 2 = -4(x - 0)，即4x + y - 2 = 06. 同时抛掷两粒均匀的骰子，则向上的点数之和是6 的概率是（）1 1 51A. 12B. 11C. 36D. 6答案：C解：同时抛掷两粒均匀的骰子一共有 36 种结果，其中点数之和为 6 的有 5 种结果，所以向上的点数之和5 是6 的概率 P =367. 下列函数在其定义域内为减函数的是（）11 A. y = x 3 B. y = x +1 C. y = log 23 x D. y = ( )x3 答案：D解：A y = x 3在定义域内为增函数，B y = 2 x +1在定义域为增函数，C. y = log x 在（0，+ ∞）为增函数，3D.y = ( )x 3 在定义域为减函数。

广东省普通高中2021年高中数学学业水平考试模拟测试题二含解析

广东省普通高中2021年高中数学学业水平考试模拟测试题（二）（含解析）(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)1.已知集合M={-1,0,1},N={x|x2=x},则M∩N=()A.{1}B.{0,1}C.{-1,0}D.{-1,0,1}2.已知等比数列{a n}的公比为2,则值为()A. B. C.2 D.43.某校高中部共n名学生,其中高一年级450人,高三年级250人,现采用分层抽样的方法从全校学生中随机抽取60人,其中从高一年级中抽取27人,则高二年级的人数为()A.250B.300C.500D.1 0004.直线l过点(1,-2),且与直线2x+3y-1=0垂直,则l的方程是()A.2x+3y+4=0B.2x+3y-8=0C.3x-2y-7=0D.3x-2y-1=05.已知a,b是两条异面直线,c∥a,那么c与b的位置关系()A.一定是异面B.一定是相交C.不可能平行D.不可能垂直6.已知|a|=sin,|b|=cos,且a,b的夹角为,则a·b=()A. B. C. D.7.圆(x-1)2+y2=1与直线y=x的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.直线过圆心8.若AD为△ABC的中线,现有质地均匀的粒子散落在△ABC内,则粒子落在△ABD内的概率等于()A. B. C. D.9.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形;②直角三角形;③圆;④椭圆.其中正确的是()A.①B.②C.③D.④10.已知函数f(x)=log2x+,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则()A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)>0,f(x2)>011.函数f(x)=x3-2的零点所在的区间是()A.(-2,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)12.已知实数x、y满足则z=x+y的最小值等于()A.0B.1C.4D.513.将函数y=cos x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是()A.y=f(x)的最小正周期为πB.y=f(x)是偶函数C.y=f(x)的图象关于点对称D.y=f(x)在区间上是减函数14.已知倾斜角为α的直线l与直线x-2y+2=0平行,则tan 2α的值为()A. B. C. D.15.已知函数f(x)是奇函数,且在区间[1,2]单调递减,则f(x)在区间[-2,-1]上是()A.单调递减函数,且有最小值-f(2)B.单调递减函数,且有最大值-f(2)C.单调递增函数,且有最小值f(2)D.单调递增函数,且有最大值f(2)二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)16.若A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为.17.若函数f(x)=log a(x+m)+1(a>0且a≠1)恒过定点(2,n),则m+n 的值为.18.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边为射线l:y=-x(x≤0),则cos θ的值是.19.若函数f(x)=的图象如图所示,则f(-3)=.三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.在△ABC中,角A,B,C分别是边a,b,c的对角,且3a=2b.(1)若B=60°,求sin C的值;(2)若b-c=a,求cos C的值.21.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PD的中点.(1)求证:直线AF∥平面PEC;(2)求三棱锥P-BEF的体积.22.甲,乙两组各4名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛,他们答对的题目个数用茎叶图表示,如图,中间一列的数字表示答对题目个数的十位数,两边的数字表示答对题目个数的个位数.(1)求甲组同学答对题目个数的平均数和方差;(2)分别从甲,乙两组中各抽取一名同学,求这两名同学答对题目个数之和为20的概率.答案：1.B【解析】x2-x=0⇒x(x-1)=0⇒N={0,1},∴M∩N={0,1}.2.D【解析】=q2=4.3.B【解析】由分层抽样的概念可得,解得n=1 000,则高二年级人数为1 000-450-250=300.4.C【解析】设直线l:3x-2y+c=0,因为(1,-2)在直线上,代点的坐标到直线方程得c=-7.故选C.5.C【解析】a,b是两条异面直线,c∥a,那么c与b异面和相交均有可能,但不会平行.因为若c∥b,又c∥a,由平行公理得a∥b,与a,b是两条异面直线矛盾.故选C.6.B【解析】因为|a|=sin,|b|=cos,且a,b的夹角为,所以a·b=|a||b|cos=sin·cos·cos sin·cos sin.7.A【解析】由圆的方程得到圆心坐标为(1,0),半径r=1,所以(1,0)到直线y=x的距离d=<1=r,则圆与直线的位置关系为相交.故选A.8.C【解析】P=.故选C.9.C【解析】其俯视图若为圆,则正视图中的长度与侧视图中的宽度应一样,由图中可知其正视图与侧视图的宽度不一样,因此其俯视图不可能是圆.故选C.10.B【解析】∵函数f(x)=log2x+在(1,+∞)上为增函数,且f(2)=0,∴当x1∈(1,2)时,f(x1)<f(2)=0;当x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0,即f(x1)<0,f(x2)>0.11.C【解析】∵f(1)=13-2=-1<0,f(2)=23-2=6>0.∴f(1)·f(2)<0,故选C.12.B【解析】作出已知不等式组所表示的可行域,如图,可知目标z=x+y经过点(0,1)时,z取最小值,∴z=0+1=1.故选B.13.D【解析】将函数y=cos x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=f(x)=cos=-sin x的图象,再结合正弦函数的图象特征.故选D.14.C【解析】因为直线l与直线x-2y+2=0平行,所以直线l的斜率为,即tan α=,则tan 2α=,故选C.15.B【解析】因为函数f(x)是奇函数,所以f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1),又f(x)在区间[1,2]单调递减,所以f(1)>f(2)⇒-f(1)<-f(2)⇒f(-1)<f(-2)f(x)在区间[-2,-1]上是单调递减函数,且有最大值-f(2).故选B.16.(0,0,3)【解析】设P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z-1)2=4+4+(z-2)2,解得z=3,故点P的坐标为(0,0,3).17.0【解析】f(x)=log a(x+m)+1过定点(2,n),则log a(2+m)+1=n 恒成立,∴∴m+n=0.18.-【解析】终边在y=-x(x≤0)上,∴cos θ<0.⇒cos θ=-.19.-1【解析】由题中图象可得(-1)a+b=3,ln(-1+a)=0,故a=2,b=5,所以f(x)=故f(-3)=2×(-3)+5=-1.20.【解】(1)在△ABC中,∵3a=2b,∴3sin A=2sin B.又∵B=60°,代入得3sin A=2sin 60°,解得sin A=.∵a∶b=2∶3,∴A<B,故A是锐角,∴cos A=.∴sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=.(2)设a=2t,b=3t,则c=b-a=t,则cos C==.21.【解】(1)证明:如图,作FM∥CD交PC于M,连接ME.∵点F为PD的中点,∴FM CD,又AE CD,∴AE FM,∴四边形AEMF为平行四边形,∴AF∥EM,∵AF⊄平面PEC,EM⊂平面PEC,∴直线AF∥平面PEC.(2)连接ED,在△ADE中,AD=1,AE=,∠DAE=60°,∴ED2=AD2+AE2-2AD·AE×cos 60°=12+-2×1×,∴ED=,∴AE2+ED2=AD2,∴ED⊥AB.PD⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PD⊥AB,又∵PD∩ED=D,∴AB⊥平面PEF.S△PEF=PF·ED=,∴三棱锥P-BEF的体积V P-BEF=V B-PEF=S△PEF·BE=.22.【解】(1)由题图可得,甲组答对题目的个数:8,9,11,12,∴=10,×[(8-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(12-10)2]=.(2)由题图可得,乙组答对题目的个数:8,8,9,11,设事件“两名同学答对题目个数之和为20”为事件A,以(x,y)记录甲,乙两组同学答对题目的个数,满足“从甲、乙两组中各抽取一名同学”的事件有,共16种.满足事件A的基本事件为,共4种,∴P(A)=.所以两名同学答对题目个数之和为20的概率为.。

广东省普通高中数学学业水平考试模拟测试卷(八)(含解析)

2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(八)(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(本大题共15小题,每小题6分,满分90分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={0,2,4},B={-2,0,2},则A ∪B= ( )A.{0,2}B.{-2,4}C.[0,2]D.{-2,0,2,4}2.用a ,b ,c 表示三条不同的直线,y 表示平面,给出下列命题: ①若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ;②若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥c ; ③若a ∥y ,b ∥y ,则a ∥b ;④若a ⊥y ,b ⊥y ,则a ∥b. 其中真命题的序号是 ( ) A.①② B.②③ C.①④ D.③④3.函数y=log 3(x+2)的定义域为 ( ) A.(-2,+∞) B.(2,+∞) C.[-2,+∞) D.[2,+∞)4.已知向量a =(2,-2),b =(2,-1),则|a +b |= ( )A.1B.√5C.5D.255.直线3x+2y-6=0的斜率是 ( )A.32 B.-32 C.23D.-236.不等式x 2-9<0的解集为 ( )A.{x|x<-3}B.{x|x<3}C.{x|x<-3或x>3}D.{x|-3<x<3} 7.已知a>0,则√23=( )A.a 12 B.a 32 C.a 23D.a 138.某地区连续六天的最低气温(单位:℃)为:9,8,7,6,5,7,则该六天最低气温的平均数和方差分别为 ( ) A.7和53B.8和83C.7和1D.8和239.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,BD1=2,则AA1=()A.1B.√2C.2D.√310.若不等式-4<2x-3<4与不等式x2+px+q<0的解集相同,则aa=()A.127B.-127C.65D.5611.设x,y满足约束条件{a-a+3≥0,a+a-1≤0,a≥0,则z=x-2y的最大值为()A.-5B.-3C.1D.412.已知圆C与y轴相切于点(0,5),半径为5,则圆C的标准方程是()A.(x-5)2+(y-5)2=25B.(x+5)2+(y-5)2=25C.(x-5)2+(y-5)2=5或(x+5)2+(y-5)2=5D.(x-5)2+(y-5)2=25或(x+5)2+(y-5)2=2513.如图,△ABC中,aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,用a,b表示aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,正确的是()A.aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14a+34b B.aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =54a+14bC.aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34a+14b D.aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =54a-14b14.若数列{a n}的通项a n=2n-6,设b n=|a n|,则数列{b n}的前7项和为() A.14 B.24C.26D.2815.已知函数f (x )={3+log 2a ,a >0,a 2-a -1,a ≤0,则不等式f (x )≤5的解集为( ) A.[-1,1] B.(-∞,-2]∪(0,4) C.[-2,4] D.(-∞,-2]∪[0,4]二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,满分24分)16.已知角α的顶点与坐标原点重合,终边经过点P (4,-3),则cos α= .17.在等比数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,则a 4= .18.袋中装有五个除颜色外完全相同的球,其中2个白球,3个黑球,从中任取两球,则取出的两球颜色相同的概率是 . 19.已知函数f (x )是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,当x ∈[0,+∞)时,f (x )=x 2-4x ,则当x ∈(-∞,0)时,f (x )= . 三、解答题(本大题共2小题,每小题12分,满分24分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)20.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos A=35,bc=5. (1)求△ABC 的面积; (2)若b+c=6,求a 的值.21.如图,三棱锥P -ABC 中,PA ⊥PB ,PB ⊥PC ,PC ⊥PA ,PA=PB=PC=2,E 是AC 的中点,点F 在线段PC 上. (1)求证:PB ⊥AC ;(2)若PA ∥平面BEF ,求四棱锥B -APFE 的体积.(参考公式:锥体的体积公式a=13aa ,其中a 是底面积,a 是高.)22.广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2017年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查,随机抽取了40名广场舞者进行调查,将他们年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.(1)计算这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数;(2)若从年龄在[20,40)的广场舞者中任取两名,求这两名广场舞者恰有一人年龄在[30,40)的概率.答案：1.D 【解析】由并集的定义,可得A ∪B={-2,0,2,4}.故选D.2.C 【解析】②不正确,a ,c 的位置关系有三种,平行、相交或异面;③不正确.3.A 【解析】要使y=log 3(x+2)有意义,则x+2>0,解得x>-2,即定义域为(-2,+∞).故选A.4.C 【解析】由a =(2,-2),b =(2,-1),可得a +b =(4,-3),则|a +b |=√42+(-3)2=5.故选C.5.B 【解析】直线3x+2y-6=0,可化为y=-32x+3,故斜率为-32.故选B.6.D 【解析】由x 2-9<0,可得-3<x<3.故选D. 7.D【解析】√a 23=a 23,则√3=a a 23=a1-23=a 13.故选D.8.A 【解析】平均数a =16×(9+8+7+6+5+7)=7,方差s 2=16[(9-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(7-7)2]=53.故选A.9.B 【解析】在长方体中,B a 12=AB 2+AD 2+A a 12,则22=12+12+A a 12,解得AA 1=√2.故选B.10.A 【解析】∵不等式-4<2x-3<4,∴-12<x<72.∵不等式-4<2x-3<4与不等式x 2+px+q<0的解集相同, ∴不等式x 2+px+q<0的解集为{a |-12<a <72}, ∴-12,72是方程x 2+px+q=0的两个根,∴{-12+72=-a ,-12×72=a ,解得p=-3,q=-74,∴a a =-3-74=127.故选A .11.C 【解析】作出约束条件表示的平面区域如图所示,当直线z=x-2y 过点A (1,0)时,z 取得最大值,z max =1-2×0=1.故选C.12.D 【解析】由题意得圆C 的圆心为(5,5)或(-5,5),故圆C 的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.故选D. 13.C 【解析】由aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4(aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),则aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34a +14b .故选C.14.C 【解析】当n ≤3时,a n ≤0,b n =|a n |=-a n =6-2n ,即b 1=4,b 2=2,b 3=0.当n>3时,a n >0,b n =|a n |=a n =2n-6,即b 4=2,b 5=4,b 6=6,b 7=8.所以数列{b n }的前7项和为4+2+0+2+4+6+8=26.故选C.15.C 【解析】由于f (x )={3+log 2a ,a >0,a 2-a -1,a ≤0,当x>0时,3+log 2x ≤5,即log 2x ≤2=log 24,解得0<x ≤4;当x ≤0时,x 2-x-1≤5,即(x-3)(x+2)≤0,解得-2≤x ≤3.又x ≤0,所以-2≤x ≤0.综上不等式f (x )≤5的解集为[-2,4],故选C . 16.45 【解析】由题意得x=4,y=-3,r=√a 2+a 2=√42+(-3)2=5,cos α=a a =45.17.8 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ,由题意得q=a 2a 1=2,则a 4=a 1q 3=1×23=8.18.25 【解析】记2个白球分别为白1,白2,3个黑球分别为黑1,黑2,黑3,从这5个球中任取两球,所有的取法有{白1,白2},{白1,黑1},{白1,黑2},{白1,黑3},{白2,黑1},{白2,黑2},{白2,黑3},{黑1,黑2},{黑1,黑3},{黑2,黑3},共10种.其中取出的两球颜色相同取法的有4种,所以所求概率为P=410=25.19.-x 2-4x 【解析】当x ∈(-∞,0)时,-x ∈(0,+∞),由奇函数可得f (x )=-f (-x )=-[(-x )2-4(-x )]=-x 2-4x.20.【解】(1)∵A 是△ABC 的内角,即A ∈(0,π),cos A=35,∴sinA=√1-cos 2a =45.又bc=5,∴S △ABC =12bc sin A=12×5×45=2. (2)由cos A=a 2+a 2-a 22aa=35,bc=5,可得b 2+c 2-a 2=6.由bc=5,b+c=6,可得b 2+c 2=(b+c )2-2bc=26.∴26-a 2=6,解得a=2√5.21.【解】(1)∵PA ⊥PB ,PB ⊥PC ,PA ⊂平面PAC ,PC ⊂平面PAC ,PA ∩PC=P , ∴PB ⊥平面PAC.又AC ⊂平面PAC ,∴PB ⊥AC.(2)∵PA ∥平面BEF ,PA ⊂平面PAC ,平面BEF ∩平面PAC=EF , ∴PA ∥EF.又E 为AC 的中点,∴F 为PC 的中点. ∴S 四边形APFE =S △PAC -S △FEC =34S △PAC . ∵PC ⊥PA ,PA=PC=2,∴S △PAC =12×2×2=2.∴S 四边形APFE =32.由(1)得PB ⊥平面PAC ,∴PB=2是四棱锥B -APFE 的高.∴a 四棱锥aaaaa =13S 四边形APFE ·PB=13×32×2=1.22.【解】(1)由表中数据知,这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数为(0.02+0.03+0.025)×10×40=30.(2)由直方图可知,年龄在[20,30)的有2人,分别记为a 1,a 2;在[30,40)的有4人,分别记为b 1,b 2,b 3,b 4. 现从这6人中任选两人,共有如下15种选法:(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 1,b 4),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),其中恰有1人在[30,40)的情况有8种,故这两名广场舞者恰有一人年龄在.[30,40)的概率为P=815。