材料力学第八章组合变形

——横截面上任一点的应力计算公式。
3、中性轴位置
F y y z z （1 F2 F2 ） A iz iy
D2.
O
中性轴
D1
x
z
c
F e A(yF, zF)
y z ay z A(yF,zF) y y
F y y z z 令 （ 1 F2 0 F2 0 ） 0 A iz iy
x F mz
my

e A(yF,zF)
B(y,z) z y
D2.
O
叠加得：
（
2 y
F F yF y F zF z ） A Iz Iy
2 z
令 I y Ai ， I z Ai
惯性半径
y
D1
z
F y y z z （1 F2 F2 ） A iz iy
FN 150N
T Fa 24N m
M z Pa 30N m
a
Mx
y
FN
A
A
T
Mz
x
F
F
l
B
a
P
z
B
b
y y z z 1 F2 0 F2 0 0 iz iy
az
——中性轴方程 （不过截面形心的直线） 截距：
a y y0
a z z0
z0 0
4、强度计算
i z2 yF

2 iy
σt max ≤ [σt ] σc max ≤ [σc ]
y0 0
zF
例: 一端固定并有切槽的杆。试求最大的正应力。 解：梁发生压弯弯组合变形 显然，切槽处的横截面为危险截面。 F 向该截面形心C 处简化： FN = F =10 KN Mz = 10×103×5×10-2 = 500 Nm My = 10×103×25×10-3 = 250 Nm A 点为危险点
A
M

Wz

3
Wz

250cm
A
B M 选22b号工字钢
F
选22a号工字钢
max
FN M 177 .1MPa A Wz
max 166 .2MPa
不超过许用应力的5% 因此选22b号工字钢
当杆受到与其轴线平行但不与轴线重合的外力作用时， 杆将产生偏心压缩（拉伸）。
强度条件为：
例：图示托架，F=45kN，AC为工字钢，[σ] = 160 MPa， 试选其型号。 解：1°求 AC 所受反力： FAy = 15 kN， FBy = 60 kN， FAx = FBx =104 kN 2°作 AC 内力图 危险截面：B 3°强度计算
t max
Wz
A F 3m 30° B 1m C
yF yB zF zB 1 0 2 2 iz iy
∴ 外力作用点由1沿截面核心边界 移到2点时，（yF，zF）应满足以 上方程，显然这是一个直线方程。
同理，求得中性轴②与BC重合时，
y F2 h ， z F2 0 6
A
④ 2
h 6
b 6
D ③
1、矩形截面
① h
3 4 ②y b
1
杆件处于线弹性变形内，且小变形情况下, 常见的组合变形： 两垂直平面内的弯曲 拉（压）弯组合 弯扭组合 分析步骤： 偏心压缩（拉伸）
• 外载分解： 分解为基本变形组合 • 内力计算： 画轴力、扭矩与（或）弯矩图，确定危险面 • 应力计算： 各基本变形应力分析 • 强度计算： 应力叠加，确定危险点的位置，应力状态
My = Fz（l - x）= F （ l -φ x）sinφ= M M sin φ M sin M sin yz

M (
cos sin y z) Iz Iy
Iy

Iy
z
——横截面上任一点的应力计算公式。
二、最大正应力和中性轴的位置
l
e o f A(y，z) y x z Fz F c
l
F: q:
FN F A A M x y Iz
N m
N m

A
FN M( x) y A Iz
t max t c max c
危险点： max FN M max min A Wz
z x y
5kN
A
B
2kN
30cm
C
5kN
50cm
D
2kN
50cm
解：将轮上拉力及自重向 轮上简化。如图（b）
（a）
9.1kN 1.5kNm 12kN 2.1 kN 4.5 D kN
5kN 1.5kNm 7kN
A
B 12.5
kN
C
（b）
z
1°作内力图：
y
5kN 7kN x 1.5kNm
9.1k 1.5kNm 12kN N
FAx
A FAy
D
F B FBx 104 FBy C
FN M max A Wz
M max
FN (kN) 45 M (kNm)

281 .2cm
3
选22a号工字钢
max
FN M max 170 .4MPa A Wz
选22b号工字钢 max 160.9MPa
F
A y z l （a） Mx=Fa F （b） Fl
Mz
C B a
危险截面：A
σ
C1 A C2 C1
τ
σ
C1
A
（e）
C2
τ
（g）
B
（f）
危险点： A截面上、下两点 C1、 C 2。
Mz T , Wz WP
（c）
Mx
强度条件：
（d）

r*4
* r3

2 4 2 [ ]
z
B
C
2、圆形截面
圆形截面关于圆心对称，所以截面核心的边界
① 1 O
d 8
也是一个圆，因此只需定核心边界的一个点。
z
中性轴 ①
yF 0 ,
ay ,
az
d 2
y d
d zF 8
①
O
② ③
z
y
注：
截面周边可以是凸的、凹的、空心的。但截 面核心的形状一定是凸的、实心的。
§8-4 弯曲与扭转
A q
解：
q 2 M z x l x 2 M y x F l x
z x y
z
2m
(1) 固定端截面为危险截面 A、B两点为危险点
M z 0 M y 0 t max W c max W z y
F
B
（3）挠度
2°由内力图可见： B、C两截面为可能的危险截面。
M B M By 2 M Bz 2
2.12 1.52 2.58 kN m
T
A
B
12.5 kN
C
（b）
1.5kNm
2.1 kN 4.5 D kN
（c）
1.5kNm
MC
M Cy 2 M Cz 2
2 2
1.05 2.25 2.48 kN m Mz
r*4 (
Mz 2 T 2 1 ) 3( ) Wz WP Wz
M z2 0.75T 2 [ ]
例：一钢质圆轴，直径 d = 8 cm，其上装有直径 D = 1 m，重为 5 kN 的两个皮带轮。已知 A 轮上皮带拉力为水平方向，C 处轮 上的皮带拉力为竖直方向。设钢的[σ] = 160 MPa ，试按第三 强度理论校核该轴的强度。
§8-2 两垂直平面内的弯曲
一、正应力计算
l
e o f A(y，z) y x z Fz F c
φ
x
Fy
外力 F Fy=F cosφ Fz=F sinφ
内力
应力
Iz Iz
Mz y M cos Mz = Fy（l - x）= F M = cos y （cos l-x ）cosφ φ M φ
例: 图示直角刚架是由同一型号的工字钢制成，端部所受水平荷 载为F=200kN。已知该力与AB段杆轴线距离为e=0.2m, [] =160MP,试选择工字钢型号。 F C 解： 依AB段设计工字钢型号 e z FN = F =200 kN M = Fe= 40 kNm B A FN M y
max 来自百度文库
1、将 F 向 形心C 简化
x
c
F e A(yF, zF)
x F
c m
e A(yF,zF)
mz
x Fm y e A(yF,zF)
z y y
z y
z
2、横截面上的正应力
FN = F， Mz = F · yF ， M y = F · zF ，
FN F A A M y F yF y z Iz Iz My z F zF z Iy Iy
M B M C , TC TB
r*3
1 Wz M 2 T2
B截面为危险截面。
（d）
2.25kNm
2.58 2 1.5 2 10 3 8 10 32
2

3
59.4 M Pa [ ] My
1.05kNm 2.1kNm （e）
故轴的强度满足要求。
例：标语牌重P＝150N，风力F＝120N，空心钢柱AB ， D＝ 50mm，d＝45mm，[ ]＝80MPa，a＝0.2m，l＝2.5m， 按第三强度理论校核强度。 解： （1）受力简图：见图b （2）危险截面：B截面 （3）内力： 轴力 扭矩 xy平面弯矩
y
B
(cm)
使偏心压缩（拉伸）杆横截面上只产生压应 力，这种外力作用的区域称为截面核心
2 iy iz2 ； az 截距： a y yF zF
ay1
① 3 2O 1 y ③ ② az1 z
i iz ； yF zF ay az
2
2 y
常见截面的截面核心： 1、矩形截面
2 w w2 w y z
y
(2)
由 0
y0 M y I z tan z0 Mz I y
§8-3 拉伸（压缩）与弯曲
当杆受轴向力和横向力共同作用时，杆将产生 拉伸（压缩）和弯曲组合变形。
q
（a） （b） （c） z o A(y，z) y
F
x
z
N m
yF
2 z
A ① h
④ 2
h 6
b 6
D ③
iz ay
2
；
2 y
zF
Iy
iy
2
3 4 ②y b
1
z
az
B
I z h2 i , A 12
b2 i A 12
C
以AB为中性轴①，
a y1 , a z1 b 2
将B点的坐标代入中性轴方程中：
得
2 iy i z2 b 0， z F 1 yF 1 a z！ 6 a y！
2 3 2 [ ]
强度条件为：

* r3
[ ]
4
2
2
[ ]
C1
σ τ
r*4 [ ]
2 3 2 [ ]
（g）
圆截面杆
r*3
(
W P 2W z
Mz 2 T 2 1 ) 4( ) Wz WP Wz M z2 T 2 [ ]
c max
10cm
F= 1
5cm
0K N
10cm
A
C 10 z
FN M y M z -14MPa A A W y Wz
A Mz W y Wz
2 y
t max B FN
2 z
My
10MPa
5
i i ； az 截距： a y yF zF
y
y
斜弯曲时，中性轴与外力 作用线不垂直。
例：截面为25a号工字钢的悬臂梁，受竖向均布荷载q＝5kN/m,自
由端受水平集中力F＝2kN作用。已知Iz＝5023.54cm4，Wz=401.9cm3, Iy＝280.0cm4，Wy=48.23cm3。 E＝2105MPa。试求： （1）梁的最大拉应力和最大压应力； （2）固定端截面和l/2截面上的中性轴位置；
第八章 组合变形及 连接部分的计算
§8-1 概 述
由两种或两种以上基本变形的组合 ——组合变形
§8-1 概 述
组合变形的概念 由两种或两种以上基本变形的组合 ——组合变形 研究方法：叠加法
1. 将作用的荷载向杆件形心分解或简化成几组荷载，使 杆在每组荷载作用下，只产生一种基本变形； 2. 计算出每一种基本变形下的应力和变形； 3. 由叠加原理就可得到杆在组合变形下的应力和变形； 4. 确定危险截面，危险点的位置，危险点的应力状态， 据此进行强度计算。
φ
应力分布 e
α
z
x
Fy
f F
φ
y
最大值： 角点e， f
中性轴
cos sin M ( y z) Iz Iy
z
cos sin y0 z0 0 z Iz Iy
+
=
y
z
—— 中性轴方程（过截面形心的直线） 中性轴方程
y0 Iz tan tan Iy z0