组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题5

习题五（抽屉原理）

1．证明：在边长为2的等边三角形中任取5点，至少有两个点相距不超过1。 证明：如图所示，将正三角形分成4个边长为1的小等

边三角形，现在取5点，有4个小等边三角形，

根据抽屉原理，则至少有两点落在同一个小

等边三角形中，其距离不超过1。

2．在一个边长为1的正方形内任取9个点，证明以这些点为顶点的各个三角形中，至少有一个三角形的面积不大于18。

证明：如图所示，将正方形分为4个边长为12的小正方形，

现取9个点，则至少有三个点落在同一个小正方形

中，以这三点为顶点的三角形的面积不大于

1212121218

⨯⨯=⨯⨯=长高。

3．把从1到326的326个正整数任意分成5组，试证明其中必有1组，该组中

至少有一个数是同组中某两个数之和，或是同组中某个数的两倍。

证明：用反证法。

设任何一组中的每一个数，它既不等于同组中另外两数之和，也不等于同组中另一数的两倍。即任何一组数中任意两个数之差总不在该组中。

（1）由抽屉原理知，五组中必有一组其中至少有66个数，设为A 组。

从中取66个数，记为1266,,,a a a ，不妨设66a 最大，

令 (1)66,1,2,,65i i a a a i =-= ，显然(1)1326i a ≤<，

由假设知 (1)i a A ∉，故这65个数必在另外四组B 、C 、D 、E 中。

（2）由抽屉原理知，B 、C 、D 、E 四组中必有一组至少含有17个(1)i a ，

设为B 组，从中取17个(1)i a ，记为1217,,,b b b ，同理不妨设17b 最大，

令 (1)171,2,,16i i b b b i =-= ，显然(1)1326i b ≤<，且由假设知，(1)i b B ∉， 又 (1)176666()()i i j k k j b b b a a a a a a A =-=---=-∉，

所以这16个数(1)i b 必在C 、D 、E 中。

（3）由抽屉原理知，C 、D 、E 三组中必有一组至少含有6个(1)i b ，设为C 组，

从中取6个(1)i b ，记为126,,,c c c ，同理不妨设6c 最大，

令 (1)6i i c c c =-，1,2,,5i = ，显然(1)1326i c ≤<，且由假设知(1)i c C ∉， 又 (1)61717()()i i j

k k j c c c b b b b b b B =-=---=-∉

(1)6666()()i k j n m m n c b b a a a a a a A =-=-----∉

所以这五个数必在D 、E 组中。

（4）由抽屉原理知，D 、E 两组中必有一组至少含有3个(1)i c ，设为D 组，

从中取3个(1)i c ，记为123,,d d d ，同理不妨设3d 最大，

令(1)3,1,2i i d d d i =-=，显然(1)1326i d ≤≤，且由假设知(1)i d D ∉， 同理可得(1),,i d A B C ∉，故(1)i d E ∈。

（5）不妨设(1)(1)12d d >，令 (1)(1)12e d d =-，则1326e ≤<，且由假设知e E ∉，

同理可知，,,,e A B C D ∉，

即e 不在A 、B 、C 、D 、E 任一组中，又1326e ≤<，与题设矛盾。 所以，命题成立。证毕。

4．任意一个由数字1，2，3组成的30位数，从中任意截取相邻的三位，证明在

各种不同位置的截取中，至少有两个三位数是相同的。数的位数30还可以再减少吗？为什么？

解：设由数字1，2，3组成的30位数为：1230a a a ，

则任意截取相邻的三位，可能的截法有28种：

123234272829282930,,,,a a a a a a a a a a a a ，

而由1，2，3组成的三位数最多有3327=个，

则根据抽屉原理，这28个数中必至少有2个是相同的。

由证明过程可以知道，数的位数30不可以再减少了。

因为若改为29个，则可得到27个三位数，就不能保证有2个是相同的。 ♦ 若改为截取相邻的5位，首先可知元素1、2、3的5－可重排列共有243

35=个。其次，由问题的性质可知至少要能截取出不同的244段才能保证结论成立，从而知该数至少应该有248位。

♦ 问题的一般描述是：任意一个由数字1，2，…，m 组成的n ＝k m k +位数，

从中任意截取相邻的k 位，则在各种不同位置的截取中，至少有两个k 位数是相同的。若希望至少有r 个k 位数是相同的，则应有n ＝()k m r k +-1。

5．任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的倍数。

证明：设这11个整数为：(1,2,,11)i a i = ，不妨设1211a a a ≤≤≤ ，

令mod10i i r a =，则010i r ≤<，

由抽屉原理知，必存在,i j ，i j <，使得i j r r =，

则 10|()j i a a -。证毕。

♦ 问题的一般描述：任取n ＋1个整数，其中至少存在两数，其差是n 的倍数。

6．一次考试采用百分制，所有考生的总分为10101，证明如果考生人数不少于

202，则必有三人得分相同。

证明：采用百分制，则所有可能的分数为0~100，共101个分数，现人数不少

于202，则平均每个分数有两个人得分相同。分情况讨论：

（1）若有某些分数没有考生得该分数，则202名考生，可能的考生成绩最

多100种，根据抽屉原理，必有三个的得分相同。

（2）若有1个考生的分数与其他人都不同，则其余201名考试可能的分数

只有100种，则必有三人的得分相同。

（3）若每个分数线都有两个人，则所有考生的总分为：

2(12100)10100+++= ，与题目矛盾。所以这种情况不可能存在。

综上所述，必有三人得分相同。证毕。

♦ 方法二：反证法。

假设没有三个考生考试成绩相同，因为分数的分布为0～100分，共101种分数，若考生人数大于202人，则根据抽屉原理必然有三人考试成绩相同，矛盾；

若考生人数恰好202个，要求没有三个考生考试成绩相同，则所有考生必然恰好两两得分相同。

而此时所有考生的总分为：2(012100)10100++++= ，矛盾。

故结论成立。

♦ 方法三：

此题的另一种理解是将10101个物品放入202个盒子，每个盒子最多放100个，也可以不放，则至少有三个盒子中所放物品个数相同。如若不然，至多有两个盒子的物品一样多，则只能恰好用去10100个物品，剩下一个物品，就无法处理，一旦将其放入某个有k 个物品的盒子，那么，就有3个盒子放了k ＋1个物品()99210,,,, =k 。

♦ 此问题的一般提法是：所有考生的总分为5050r ＋t ()50501≤≤t ，如果考生

人数不多于101r 人，则至少有r ＋1人得分相同。

7．将n 个球放入m 个盒子中，(1)2

m n m <-，试证其中必有两个盒子有相同的球数。

证明：（反证法）。

假设m 个盒子中的球数均不相同，则m 个盒子中球的总数至少为：

(1)0123(1)2

m m m n -+++++-=> ，矛盾， 故必然有两个盒子的球数是相同的。