第五章 假设检验习题课

一个成立。
3、按检验统计量类型分类 U—检验法：
t—检验法：
2—检验法； F—检验法：
( ) U检 验 法 对 已 知 方 差 关于期望的检验 ( ) t检 验 法 对 未 知 方 差 2检 验 法 对 一 个 正 态 总 体 ( ) 关于方差的检验 ( ) F检 验 法 对 两 个 正 态 总 体
例1 在70年代后期人们发现，在酿造啤酒时，在麦牙干燥 过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺（NDMA）。到了 80年 代初期开发了一种新的麦牙干燥过程。下面给出分别在新老 两种过程中形成的NDMA含量（以10亿份中的份数计）。
老过程 6 4 5 5 6 5 5 6 4 6 7 4 新过程 2 1 2 2 1 0 3 2 1 0 1 3
比较没有显著变化 . H 0 : 2 02 0.232 , H1 : 2 02 (2) 建立假设
新产品指标的方差比正常情况下产品指标的方差显
著地变大 .
例4 为比较两台自动机床的精度，分别取容量为10和8 的两个样本，测量某个指标的尺寸(假定服从正态分布)， 得到下列结果： 车床甲：1.08, 1.10, 1.12, 1.14, 1.15, 1.25, 1.36, 1.38,1.40,1.42 车床乙：1.11, 1.12, 1.18, 1.22, 1.33, 1.35, 1.36, 1.38
2 S x ( 26.7)2 F 2 4.869 2 S y (12.1)
2 显然 F 落入接受域，所以接受原假设 H 0 : 12 2 若 H 0 成立，则统计量
X Y T ~ t ( n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
又 P{| t | t ( n1 n2 2)}
2
0.01查表得临界值
t 0.005 (18) 2.8784,
所以 H 0 的接受域为：
| t | t 0.005 (18) 2.8784
代入已知值，求得 t 0.99 显然 t 落入接受域中，所以接受 H 0 , 即两个品种的 产量没有 显著性差别。
例3 在正常的生产条件下, 某产品的测试指标总体 X~N(μ0,σ02),其中σ0=0.23.后来改变生产工艺,出了新 产品,假设新产品的测试指标总体仍为X,且X~N(μ,σ2). 从新产品中随机地抽取10件, 测得样本值为x1,x2,…,x10, 计算得到样本标准差S=0.33. 试在检验水平α=0.05的情 况下检验: (1) 方差σ2 有没有显著变化? (2) 方差 σ2是否变大? 2 解 (1) 建立假设 0 : 2 0 0.232 , H1 : 2 02 H 新产品指标的方差与正常情况下产品指标的方差
设两样本分别来自正态总体，且两总体的方差相等。 独立。分别以 1 , 2 记对应于老、新过程的总体的 均值，试 检验新过程（ 0.05) NDMA含量是否降低了? 分析：这是两个正态总体均值关系的一个假设检验 问题， 是一个单边检验，且两总体的方差未知但相等， 该如何选取统计量呢？ 仍选择T统计量。
服从正态分布， 并计算得 x 30.97, y 21.79. S x 26.7, S y 12.1 若取显 著性水平为1%， 问是否 可以认为这两个品种的产量没有显著性差异？ 甲种作物产量 X ~ N ( 1 , 1 2 ), 乙种作物产量 Y ~ N ( 2 , 2 2 ), 分析：此问题是要检验两正态总体的期望是 H 0 : 1 2 . H1 : 1 2 要检验 否相等，但两总体方差未知，且二者相等与 2 2 2 由于 1 , 否也未知。故应先检验方差是否相等。 12 2 . 2 未知，检验假设H0，先要检验 H 0 : 用 F 检验，若 H 0 成立，则统计量 2 Sx F 2 ~ F ( n1 1, n2 1) Sy 解
1 X2
V
=
U
n 2
V U2
n 1
根据F分布的定义知
1 Y 2 ~ F ( n,1). X
（本题满分10分）
已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合 格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后，求 (1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【分析】 乙箱中可能的次品件数为0，1，2，3，分别求 出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取 一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全 概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果（取到的次 品数）就是要找的完备事件组
用
2 S12 / S2 F 2 2 ~ F (n1 1, n2 1) 1 / 2
检验方差比
检验的分类
2、按拒绝域形式分类
1、按检验对象分类 参数检验,非参数检验
双边检验：在水平下检验假 H0：=0；H1： ≠0 哪一个成立。
单边检验： 在水平下检验假 H0：=0；H1： >0 (或<0 )哪
第五章 假设检验 习题课
一、内容总结 二、典型例题
提出 假设
根据统计调查的目的, 提出 原假设H0 和备选假设H1 作出 决策
总 结
抽取 样本 检验 假设
拒绝还是不能 拒绝H0
P(T W)=
显著性 类错误的概率， 水平
W为拒绝域
对差异进行定量的分析， 确定其性质(为给出两
者界限，找一检验统计量T， 在H0成立下其分布已知.）
1 1 1 1 , x - y t (n1 n 2 - 2)sw x - y - t (n1 n 2 - 2)sw n1 n 2 n1 n 2 2 2
(8分)
=[-0.4484,8.2484].
注：置信区间写为开区间者不扣分。
(10分)
选择题:1、设随机变量
而 P{ f F1 ( n1 1, n2 1) f F ( n1 1, n2 1)}
2 2
0.01查表得临界值
F0.005 (9,9) 6.54, F0.995 (9,9) 0.1529
所以 H 0 的接受域为： [0.1529,6.54] 代入已知值，求得
这里
0.05, n1 n2 12 所以在 0.05 下， t
落入拒绝域中，拒绝 H 0 t 1.7207 即认为 1 2 2 0
查表得 t 0.05 ( 22) 1.7207 所以拒绝域为：
代入计算得 t 4.3616 1.7207
例2 在10块土地上试种甲乙两种作物，所得产量 分别为 ( x1 , x2 , … x10 ), ( y1 , y 2 , … y10 ). 假设作物产量
2. 正态总体的假设检验
对于单一正态总体参数的检验，
检验均值
总体方差2已知时，用
U
X 0 ~ N (0,1) n
总体方差2未知时，用 T
X 0 S n
~ t (n 1)
检验方差2
总体均值未知时，用
K
( n 1) S 2
2
~ 2( n 1)
2、设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成 立时，样本值（x1,x2, …，xn）落入W的概率为0.15， 0.15 则犯第一类错误的概率为_____________________。 3、设样本X1，X2，…，Xn来自正态总体N（μ，1），假 设检验问题为： H 0：＝0 H1： 0， 则在H0成立的条件 下，对显著水平α，拒绝域W应为 ______________________。 | u | u 2
n 1 5, n 2 6, x 175.9， 172 s1 11.3，s 2 9.1， 0.05. y ， 2 2
2 (n1 - 1)s1 (n 2 - 1)s2 2 sw n1 n 2 - 2
(2分)
（4分）
=3.1746,
选取t0.025(9)=2.2622, 则 1－ 2置信度为0.95的置信区间为：
(A)
X ~ t (n)( n 1), Y
1 2 ，则 X
Y ~ F (1, n)
(B)
Y ~ F (n,1)
Y ~ 2 (n 1)
U V n
(C)
Y ~ (n)
2
(D)
【分析】 先由分布的定义知 X 其中 U ~ N (0,1),V ~ (n)
2
再将其代入 Y 这里U 2 ~ 2 (1)
否定域为
W:
2 1 2 2
F F1 2 (9,7) 或 F F 2 (9,7)
否定域为 W: F F1 2 (9,7) 或 F F 2 (9,7)
由样本值可计算得F的实测值为:
F=1.51
查表得 F 2 (9,7) F0.05 (9,7) 3.68
F1 2 (9,7) F0.95 (9,7) 1 / F0.05 (7,9)
原则: 通常只控制犯第一类（弃真）错误的概率,即只控制使适
量地小, 而不考虑第二类（纳伪）错误的概率.
理论依据：
基本步骤
依据小概率原理
（1）根据实际问题的要求，提出原假设H0及备择假设H1；
（2）根据假设确定检验统计量。
（3）按 P 拒绝H 0| H 0为真 ，求出拒绝域。 （4）根据样本值作出拒绝还是接受H0的判断。
例5 某大学从来自A，B两市的新生中分别随机抽取5名与6 名新生，测其身高（单位：cm）后算得＝175.9，＝ 172.0；。假设两市新生身高分别服从正态分布X-N(μ1， σ2)，Y-N（μ2，σ2）其中σ2未知。试求μ1－μ2的置信
度为0.95的置信区间。（共10分） （t0.025(9)=2.2622,t0.025(11)=2.2010） 解：这是两正态总体均值差的区间估计问题。由题 设知，
在
=0.1时， 问这两台机床是否有同样的精度?
解:设两台自动机床的方差分别为 2 , 2 , 在

1
2
=0.1下检验假设:
2 2 H0 : 12 2 H1 : 12 2
S ~ F (9,7) 取统计量 F S 2 其中 S12 , S2 为两样本的样本方差
总体均值已知时，用wk.baidu.com
2
(X
i 1
n
i
)2
2

~ 2 ( n)
对于双正态总体参数的检验，
均值差 方差 已知时，用 U
( X Y ) ( 1 2 )
1
n1
2

2
n2
2
~ N (0,1)
方差未知，
( X Y ) (1 2 ) T ~ t (n1 n2 2) 1 1 但相等时，用 S n1 n2
1 / 3.29 0.304
由于 0.304<1.51<3.68， 故接受H0 .
填空:1、设总体X服从正态分布N（μ，σ² ），其中μ未知， X1，X2，…，Xn为其样本。若假设检验问题为
H 0： 2＝ H1： 2 1则采用的检验统计量应为。 1
_T=_(n-1)s2/ σ²
-----犯第一

一、假设检验:
所谓假设检验就是对总体X作某种假设 所谓假设检验就是对总体X作某种假设，然 “H0” ，然后利用概率论的知识和从总体中 后利用概率论的知识和从总体中抽取样本而 抽取样本而获得的信息，判定假设的正确性。 获得的信息，判定假设的正确性。
1、两类假设检验问题
1. 总体分布类型已知但含有未知参数，对未 参数检验 知参数作某种假设。 2. 总体分布类型未知，对总体的分布类型等作 某种假设。 非参数检验
0 解： H 0 : 1 2 2, 若H 0 为真，则统计量
H1 : 1 2 2, 0
0 X Y (1 2 ) X Y 2 T ~ t (n1 n2 2) 1 1 1 1 S S n1 n2 n1 n2
0 X Y 2 t (n1 n2 2)} 所以 P{T 1 1 S n1 n2