06 固体物理 1.4.1 倒格子

1 3
CB OB OC



a2
h2

a3
h3
0
a1/h1
B a2 a2/h2 A
a1
a a Gh1h2 h3 CA (h1b1 h2b 2 h3b 3 ) ( 1 3 ) 2 2 0 h1 h3 同理： Gh1h2h3 CB 0，
i j i j
2 c a1 (a 2 a3 )
由此，可以直接定义倒格子基矢为：
相应的倒格子基矢为：
a2 a3 2 (a2 a3 ) b1 2 a1 (a2 a3 )
a3 a1 2 (a3 a1 ) b2 2 a1 (a2 a3 )
所以有
( r ) 在傅氏 F (K h ) 是物理量 Rl 是正格矢， 空间的表示形式 K h应是 Rl 的倒格矢
e
iK h Rl
1
即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示满足傅氏变换关系； 正空间周期性物理量的傅氏空间就是其倒空间； 正格子和倒格子互为傅氏变换。
ai b j 2ij 确定，则以上条件成立。
K h Rl (h1b1 h2b2 h3b3 ) (l1a1 l2a2 l3a3 ) 2 (h1l1 h2l2 h3l3 ) 2
li , hi 都是整数， 也应是整数， eiKh Rl ei 2 1
2可以证明，Fra bibliotek* (2 )3 /， 即，* (2 )3
* (2 )3 /， 即，* (2 )3
2、倒格子的倒格子是原布拉菲格子
c2， c3 ，可以证明 ci ai , i 1,2,3 按倒格子基矢定义构造基矢 c1， 2 (b 2 b3 ) 2 即令：c1 * b 2 b3 b1 b 2 b3 (2 ) 2 b 2 b3 (a3 a1 ) (a1 a 2 ) 利用 A B C B( A C) C( A B) 2 ( A B) C ( B C) A (C A) B (2 ) 2 (2 ) 2 a1 a1 2 Rl，Kh所代表点的集合 2 2 (2 ) 2 (b 2 b3 ) 都是布拉菲格子，且 a1 c1 * b1 b 2 b3 互为正倒格子。事实 上在
2 [a 2 a 3 ] 2 ( j k) b1 a 2 [a 3 a1 ] 2 ( i k) b 2 a 2 [ a a ] 2 1 2 b ( i j) 3 a
4 倒格矢 G h1h2h3 h1b1 h2b 2 h3b3 与正格子中晶面系(h1h2h3) 正交
因为已知，晶面系 (h1h2h3) 中最靠近原点的晶面 ABC 在基矢 a1 , a 2 , a3
上的截距分别为 a1/h1, a2/h2, a3/h3，如下图，Gh1h2h3 为晶面 a3 ABC 的法线， C a a Gh1h2h3 a3/h3 有， CA OA OC 1 3 ， h h
二、倒格子的定义
1、倒格子定义之一
将由矢量
设，布拉菲格子基矢为 a1 , a 2 , a3，
Rl l1a1 l2a2 l3a3， li 为整数， i 1,2,3
决定的格子，称为正格子，
将满足下述关系：
的
b1 , b 2 , b3 ，定义为倒格子基矢，
Rl l1a1 l2a2 l3a3， li 为整数， i 1,2,3
并有平面波 e
ikr
。
定义，具有给定布拉菲格子周期性的那些平面波，其波矢 Kh 所 代表点的集合称为 Rl 的倒格子。 其数学表达为 ，如有
eiKh (Rl r ) eiKh r
对于任何 r 和 Rl 成立，那么 Kh 决定的格子就是布拉菲格子 Rl 的 倒格子。
又 (2 )
*
3
e
iK h Rl
1
c1 a1 同理：c a ， c 2 2 3 a3
中 Rl，Kh地位全同。
例2、试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 解：体心立方格子的基矢为：
a1
a (i j k ) 2 a a2 (i j k ) 2 a a3 (i j k ) 2
a1 a2 2 (a1 a2 ) b3 2 a1 (a2 a3 )
a1 (a2 a3 )
显然，倒格子基矢的量纲是 [长度]-1，与波矢的量纲一致。
3、倒格子定义之三
采用波函数定义倒格子 设有以 a1,a2,a3为基矢的布拉菲格子
2 ai b j 2ij 0 应有： b1 ca2 a3 c为常数 i, j 1,2,3 2 a1 b1 且有： a ( ) 1 (a 2 a 3 ) c c
b1 a2， b1 a3
Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 正格矢( 格矢量) 晶格上所有的格点，可以由其平移完全确定。 K h h1b1 h2 b2 h3 b3 倒格矢
倒格子空间中的倒格点可以由其平移完全确定。
倒格子定义之三验证
由以上定义，要求 Kh满足，
1.4
倒格子
一、引入倒格子的意义
二、倒格子的定义
三、倒格子的性质
四、倒易点阵实例 五、布里渊区
一、引入倒格子的物理意义
1、傅里叶变换
傅里叶变换是实现从空域或时域到频域的转换的工具

G( f x , f y ) [ g ( x, y)]
g ( x, y) 1[G( f x , f y )]
由于，CA， CB 都在晶面 ABC上 所以，Gh1h2h3 与晶面系(h1h2h3 )正交。
三、 倒格子的性质
1、倒格子原胞体积 *与正格子原胞体积 的关系
( a a ) ( a a ) ( a a ) * b1 (b2 b3 ) (2 )3 2 3 [ 3 1 1 2 ] a1 (a 2 a3 ) a1 (a 2 a3 ) a1 (a 2 a3 ) (2 )3 ( a a ) [( a a ) ( a 2 3 3 1 1 a 2 )] 3 利用 A B C B( A C) C( A B) ( A B) C ( B C) A (C A) B 分解， (a2 a3 ) [(a3 a1 ) (a1 a2 )] (a2 a3 ) a1[(a3 a1 ) a2 ] a2[(a3 a1 ) a1 ] (a2 a3 ) a1[(a3 a1 ) a2 ]
由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理 可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立 方格子和面心立方格子互为正倒格子。
3、晶体中物理量的傅里叶变换关系
， 设，晶体任一 r 处有物理量 (r ) 由晶格的周期性，应有 (r ) (r Rl ) ， Rl 为任意正格矢，
一个具有晶格点阵周期的函数 n(r ) n(r R) 展成傅里
叶级数后，其傅氏级数中的波矢傅氏空间中表现为一系列 规则排列的点，这些点排列的规律性只决定于函数n(r)的 周期性而与函数的具体形式无关。
我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒格
子点阵（或倒异点阵）。倒格子点阵是晶体结构周期性 在傅里叶空间中的数学抽象。如果把晶体点阵本身看做 一个周期函数，我们可以说，倒格子点阵就是晶体点阵 的傅里叶变换，反之，晶体点阵就是倒格子点阵的傅里 叶逆变换。


g ( x, y) exp[i2 ( f x f
x
x y
y
y)]dxdy

G( f , f
) exp[i 2 ( f x x f y y)]dfx df y
fx , f y

分别是x，y方向的空间频率
x y
y)]

i 2 ( f x f y)]dxdy 表示一个任意空间二维函数 g ( x, y) exp[
a
时间域或空间域
b
频率域
2、引入倒格子的物理意义
晶格具有周期性，一些物理量也具有周期性，如势能函数：
v( x ) v( x l1a1 l2 a2 l3a3 )
势能函数是以 a1 , a2 , a3 为周期的三维周期函数。
引入倒格子后，可以将三维周期性函数展开为傅里叶级数
因此，和一种晶体结构相联系的有两种点阵；晶格点 阵（或叫正格子点阵 ）和倒格子点阵（或叫倒异点 阵）。
描述固体的周期性结构中的微观粒子的物理行为可以利用二 种类型的格子。
一种是正格子，布拉菲格子，是周期性结构在坐标空间的描述；
另一种是倒格子，它是周期性结构在波矢空间(k空间)的描述。
由坐标空间变换到波矢空间更有利于表达周期性结构中 微粒的物理行为的特征。 在本课程后续内容中有很多例子，如：晶体 X 射线衍射， 晶体原子振动，晶体中电子能量。 初学倒格子概念比较抽象和困难，但倒格子概念是深 入学习固体物理学的不能缺少的必要工具。
2 ai b j 2ij 0
i j i, j 1,2,3 i j
将由
K h h1b1 h2b2 h3b3， hi为整数， i 1,2,3
决定的格子，称为Rl的倒格子。
2、倒格子定义之二
根据以上定义，每个倒格子基矢必与两个正格子基矢正交， 如： ？
周期信号的频域分析方法
考察信号
1 1 1 f (t ) sin 1t sin 31t sin 51t sin 71t 3 5 7
式中:ω 1=2π f1。ω 1基波频率，简称基频，ω 1的倍 数称为谐波。
•对于周期信号而言，其频谱由离散的频率成分，即 基波与谐波构成。
复杂周期信号波形
eiK h Rl 1
这是因为，
eiKh (Rl r ) eiKh r , 即：eiKh Rl eiKh r eiKh r，即：eiKh Rl 1
可以验证，当波矢Kh取为
K h h1b1 h2b2 h3b3， h1h2h3为整数
其中 b1,b2,b3 由 验证：
周期性函数可作傅里叶级数展开如下：
iK Γ (r) F (K h )e h r h
iK iK r i K ( r R ) l F (K h )e h e h Rl Γ (r Rl ) F (K h )e h h h