正弦交流电有效值的证明
正弦量的三要素和有效值
如Im 、Um。
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2．角频率、周期、频率 正弦量在单位时间内所经历的电角度，称为角频率，用ω 表示，单位是弧度/秒，即
t
正弦量完成一次周期变化所需要的时间，称为周期，用T 表示，单位是秒。
正弦量在1秒钟内完成周期性变化的次数，称为频率，用 f 表示，单位是赫兹。
选零点为计时起点，则初相ψ =0，如图3-7所示是不同初相时
几种正弦电流的解析式和波形图。
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i
Im
i Im sint
0
t
a)
i i Im sin(t π 6)
i
i Im sin(t π 2)
0
t
b)
i i Im sin(t π 6)
0
t
0
t
π/6
π/6
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例3-3 两个同频率正弦电流的波形如图3-6所示，试写出 它们的解析式，并计算二者之间的相位差。
解 解析式
i/A 10 i1
i1
10 s in(314t
π )A 4
8
i2
i2
8 s in(314t Nhomakorabeaπ )A 4
0
4
4
0.02s
相位差
ωt/rad
i1
i2
π 4
(
c)
d)
图3-3 初相不同的几种正弦电流的波形图 a)初相为0; b)初相为π/2; c)初相为π/6; d)初相为-π/6
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注意：正弦量的初相、相位以及解析式都与参考方向有 关。改变参考方向，就是将正弦量的初相加上或减去π。
交流电有效值计算方法
交流电有效值计算方法1•如何计算几种典型交变电流的有效值？答：交流电的有效值是根据电流的热效应规定的•让交变电流和直流电通过同样的电阻,如果它们在同一时间内产生的热量相等，就把这一直流电的数值叫做这一交流电的有效值解析：通常求交变电流的有效值的类型有如下几种：(1)正弦式交流电的有效值此类交流电满足公式e=E m Sin w t,i =I m sin w t对于其他类型的交流电要求其有效值，应紧紧把握有效值的概念流电有效值的求法(2)正弦半波交流电的有效值若将右图所示的交流电加在电阻2 1电时的1/2,即卩U半2T/R=—(2U m 1而U全=—=，因而得U半=一U m,412(3)正弦单向脉动电流有效值因为电流热效应与电流方向无关,电阻时所产生的热效应完全相同，即它的电压有效值为E=E2，电流有效值•下面介绍几种典型交R上，那么经一周期产生的热量应等于它为全波交流U全2TR1同理得I半=—I m.2所以左下图所示正弦单向脉动电流与正弦交流电通入七，m、222 于直流电产生热量的—，这里t是一个周期内脉动时间.由I矩2RT= ( — ) I m2RT或()T T RT=T(牛)「得1矩=：T Im，U矩=4.当T=1/2时，1：2im，U矩、2Um.(5)非对称性交流电有效值假设让一直流电压U和如图所示的交流电压分别加在冋一电阻上，交变电流在一个周期内产生的热量为Q1=2 2U1 T U2 T ..................... . .............. ..，直流电在相等时间内产生的热量R 2 R 22•—电压U o=1O V的直流电通过电阻R在时间t内产生的热量与一交变电流通过R/2时在同一时间内产生的热量相同，则该交流电的有效值为多少？解：根据t时间内直流电压U o在电阻R上产生的热量与同一时间内交流电压的有效值U在电阻R/2上产生的热量相同，则3•在图示电路中，已知交流电源电压u=200si n10n t V,电阻R=10 Q ,则电流表和电压表读数分别为A.14.1 A,200 VC.2 A,200 V分析：在交流电路中电流表和电压表测量的是交流电的有效值，所以电压表示数为200V=141 V,电流值i=U= ：00R 衬2汉10 A=14.1 A.U2T,根据它们的热量相等有+U 2 )，同理有I = £(I 1I22).2 2知=胡「所以U哼=5 2 VB.14.1 A,141 VD.2 A,141 V答案：B2。
正弦交流电的有效值
正弦交流电的有效值
正弦交流电的有效值是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解电压和电
流的变化，并在实践中有效运用这种知识。
正弦交流电的有效值可以根据伏安定律的经验值来计算，这一公式定义了正弦
交流电的有效值。
根据伏安定律，正弦交流电的有效值计算公式为：
Veff=Vp×1.11/1.4142，其中Vp表示正弦交流电高峰值，Veff表示正弦交流电的
有效值。
另外，根据充分证明的电力计算公式，正弦交流电的有效值是RMS（Root
Mean Square）值的一种特殊形式，可以表示为：Veff=Va×1.44/2π，其中Va表
示正弦交流电的根均方（RMS）值。
正弦交流电的RMS值是按照电力的单位以期望
的方式进行衡量的，但是正弦交流电的有效值更能准确地表征正弦交流电的实际性能。
正弦交流电的有效值必须严格遵守以上规则，以便实现准确的测量操作。
正弦
交流电的有效值与方波和矩形波相比都要低得多，且增加波形的宽度与同频率方波相比降低有效值，而且正弦交流电的有效值的变化会不断影响测量结果的准确性。
因此，正弦交流电的有效值严格地遵循着以上公式，以便实现准确的测量操作，解决好各种有关正弦交流电的问题，实现高效率、低成本的控制运行与电压控制。
正弦交流电有效值的证明
正弦交流电有效值的证明证法一：假设有两个交变电压其最大值与周期均相同，瞬时值表达式分别为u 1=M m sin ωt 、u 2=U m cos ωt,其中，ω=2π/T,把它们分别加在两个阻值相同的电阻上，设电阻的阻值为R ，由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时间顺序无关，故在一个周期内两个交流电产生的热量相等，设都为Q ，产生的总热量Q 总=2Q 。
在任一时刻t ，这两个电阻上的热功率分别为()2211sin m U t u P R R ω==， ()2222cos mU t u P R R ω==. 两个电阻上总的发热功率为()222212sin cos m m U t t U P P P R Rωω+=+==。
可见两个电阻上总的发热功率是一个定值，与时刻t 无关，所以在一个周期内两个电阻上总的发热量为2m U Q PT T R==. 用一个恒定电压为U 的电源，分别给两个相同的电阻R 供电，在相同时间T 内，每个电阻产生的热量是Q=2U T R ，两个电阻产生的总热量为Q=22U T R.由热效应的等效可知222m U U T T R R =。
可得U =。
而这个恒定电流的电压U 就是正弦交变电流的电压的有效值。
电流、电动势有效值可同法证得。
证法二：设流过定值电阻R 的电流按正弦规律变化，即i=I m sin ωt,交流电的瞬时功率为p=i 2R=I m 2Rsin 2ωt. 因为21cos 2sin 2t t ωω-= 代入得 2211cos 222m m p I R I R t ω=-⋅。
上式中，后一项在一个周期内平均值为零，因此在一个周期内交流电平均功率为： 212m P I R =(为最大瞬时功率的一半) 如果考虑一个恒定电流I 与其等效，即P=I 2R ，就有 P=P ，即2212m I R I R =，所以I =U-U证法三：（积分法）设流过定值电阻R 的电流按正弦规律变化，即i=I m sin ωt.因为时刻t 瞬时功率p=i 2R=I m 2Rsin 2ωt ，则一个周期内电阻R 上产生的热量为Q=0Tpdt ⎰. 因为21cos 2sin 2t t ωω-=代入得 2211cos 222m m p I R I R t ω=-⋅,代入上式有： 220011cos 222T T m m Q I Rdt I R tdt ω=-⎰⎰。
正弦交流电有效值推导
正弦交流电有效值推导
正弦交流电有效值推导
一、定义
正弦交流电又称正弦波交流电，是指利用正弦函数为基本函数，经过离散化，产生的多少频率的正弦波形。
它是一种有规律的电信号，所表示的波形具有唯一的频率。
由于周期性的电压波形，一次正弦波可以完全描述出一个完整的周期。
正弦波交流电的有效值又称RMS（Root Mean Square），是指一个给定的正弦波模拟信号的平均功率等于一个实际电压指示器中类
似信号的功率的平方根，记作：
RMS=Vm/√2
其中Vm表示正弦波模拟信号的峰值电压；
二、推导
（1）对信号进行频率变换，因此可以得到：
V(t)=Vm·sin(ωt)
（2）由于一次正弦波可以完全描述一个完整的周期，所以可以写出：
V(t)=Vm·sin(2πft)
（3）将V(t)代入上式：
V(t)=Vm·sin(2πft)
（4）根据正弦波的定义可以得到：
V(t)=[Vm·sin(2πft)]/√2
（5）得出有效值的表达式：
RMS=Vm/√2
所以，正弦波的有效值可以由正弦波的峰值电压和根号2的比值来表示。
交流电有效值证明
2 m
R
T
U2
2T
U
2 m
T
R
R
U Um 2
正弦交流电有效值的证明
u Um sin(t)
方法3：
Q
T 0
(U m
sin(t))2
R
dt
Q Um2 T sin2 (t)dt R0
Q
U
2 m
T
U
2 有
T
2R
R
Q Um2 T 1 cos(2t) dt R0 2
Q Um2 (t sin(2t)) T
Q总
U2 R
2T
在任一时刻t，这两个电阻上的热功率分别为：
P1
u12 R
(U m
sin t)2
R
P2
u22 R
(U m
cos t )2
R
P
P1
P2
U
2 mΒιβλιοθήκη (sin2t
R
cos2
t)
U
2 m
R
可以看出：两个电阻上总的发热功率是一定值，与时刻
t无关。所以在一个周期内两个电阻上总的发热量为：
Q总
PT
U
方法2：
u1 U m sin t
u2 U m cost
把它们分别加在两个阻值相同的电阻上，设电阻的阻值
为R，由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时
间顺序无关，故在一个周期内两个交流电产生的焦耳热
相同，设都为Q，产生的总的焦耳热Q总=2Q。设它们交 流电压的有效值为U，则有：
Q U2 T R
2R
2 0
U有
Um 2
Q Um2 T 2R
正弦交流电有效值的证明
4.3正弦交流电的有效值和平均值
4.1 周期交流电的概念与产生 4.2 正弦交流电的三要素
4.3 正弦交流电的有效值和平均值√
4.4 复数的基本知识 4.5 正弦交流量的相量表示法
4.3 正弦交流电的有效值和平均值
4.3.1 有效值
i(t) A
Im
幅值必须大写,
下标加 m。 i Ri R u u
T
2 idt
半周期： I 0
t
T 2
t
∴
I
2
Im
0.637Im
注意：平均值的表示符号 I U
I RI R U U
正弦交流电路
t
直流电路
t
若在相同的时间内，
交流电流i通过电阻R所 消耗的能量与直流I通过 R所消耗的能量相等，则 I称为i的有效值。
T
0
i2R dt
I 2RT
交流 直流
4.3.1 有效值
T
0
i2R dt
I 2RT
交流 直流
则有 I 1 T i 2dt
T0
有效值必 须大写
1 T
T 0
Im2 sin2
ω
t
dt
Im 2
同理： U
Um 2
0.707Um
注意：交流电压、电流表测量数据为有效值。 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值。 4.3.1 平均值T
平均值 ：
I
和
idt 0
周期 T
u(t)V
瞬时值： u 最大值： Um 有效值： U 平均值： U
全周期： I 0
有效值の常规计算
有效值の常规计算1.如何计算几种典型交变电流的有效值？答：交流电的有效值是根据电流的热效应规定的.让交变电流和直流电通过同样的电阻，如果它们在同一时间内产生的热量相等，就把这一直流电的数值叫做这一交流电的有效值.解析：通常求交变电流的有效值的类型有如下几种： （1）正弦式交流电的有效值此类交流电满足公式e =E m s in ω t ,i =I m s in ω t它的电压有效值为E =2m E ，电流有效值I =2m I对于其他类型的交流电要求其有效值，应紧紧把握有效值的概念.下面介绍几种典型交流电有效值的求法.（2）正弦半波交流电的有效值若将右图所示的交流电加在电阻R 上，那么经一周期产生的热量应等于它为全波交流电时的1/2，即U 半2T /R=21（R T U 2全），而U 全=2m U ，因而得U 半=21U m ，同理得I 半=21I m .（3）正弦单向脉动电流有效值因为电流热效应与电流方向无关，所以左下图所示正弦单向脉动电流与正弦交流电通入电阻时所产生的热效应完全相同，即U =2m U ，I =2m I .（4）矩形脉动电流的有效值如右上图所示电流实质是一种脉冲直流电，当它通入电阻后一个周期内产生的热量相当于直流电产生热量的T t ，这里t 是一个周期内脉动时间.由I 矩2R T =（T t ）I m 2RT 或（RU 2矩）T =T t （R u 2m ）T ,得I 矩=T t I m ，U 矩=T t U m .当T t =1/2时，I 矩=21I m ，U 矩=21U m .（5）非对称性交流电有效值假设让一直流电压U 和如图所示的交流电压分别加在同一电阻上，交变电流在一个周期内产生的热量为Q 1=222221TR U T R U ⋅+⋅，直流电在相等时间内产生的热量Q 2=RU 2T ，根据它们的热量相等有RU T R U 2212=⋅T 得 U =)(212221U U +，同理有I =)(212221I I +. 2.一电压U 0=10 V 的直流电通过电阻R 在时间t 内产生的热量与一交变电流通过R/2时在同一时间内产生的热量相同，则该交流电的有效值为多少？解：根据t 时间内直流电压U 0在电阻R 上产生的热量与同一时间内交流电压的有效值U 在电阻R /2上产生的热量相同，则V 252,)2/(022===U U t R U t R U o 所以 3.在图示电路中，已知交流电源电压u=200s in 10πt V ，电阻R=10 Ω，则电流表和电压表读数分别为A.14.1 A,200 VB.14.1 A,141 VC.2 A,200 VD.2 A,141 V分析：在交流电路中电流表和电压表测量的是交流电的有效值，所以电压表示数为 u =2200 V=141 V ，电流值i =R U =102200⨯ A=14.1 A. 答案：B。
有效值计算方法
1.如何计算几种典型交变电流的有效值？答：交流电的有效值是根据电流的热效应规定的.让交变电流和直流电通过同样的电阻，如果它们在同一时间内产生的热量相等，就把这一直流电的数值叫做这一交流电的有效值.解析：通常求交变电流的有效值的类型有如下几种：（1）正弦式交流电的有效值此类交流电满足公式e =E m s in ω t ,i =I m s in ω t它的电压有效值为E =2mE ，电流有效值I =2mI对于其他类型的交流电要求其有效值，应紧紧把握有效值的概念.下面介绍几种典型交流电有效值的求法.（2）正弦半波交流电的有效值若将右图所示的交流电加在电阻R 上，那么经一周期产生的热量应等于它为全波交流电时的1/2，即U 半2T /R=21（R T U 2全），而U 全=2m U ，因而得U 半=21U m ，同理得I 半=21I m . （3）正弦单向脉动电流有效值因为电流热效应与电流方向无关，所以左下图所示正弦单向脉动电流与正弦交流电通入电阻时所产生的热效应完全相同，即U =2mU ，I =2mI .（4）矩形脉动电流的有效值如右上图所示电流实质是一种脉冲直流电，当它通入电阻后一个周期内产生的热量相当于直流电产生热量的T t ，这里t 是一个周期内脉动时间.由I 矩2R T =（T t ）I m 2RT 或（R U 2矩）T =T t （R u 2m ）T ,得I 矩=T t I m ，U 矩=T t U m .当Tt =1/2时，I 矩=21I m ，U 矩=21U m . （5）非对称性交流电有效值假设让一直流电压U 和如图所示的交流电压分别加在同一电阻上，交变电流在一个周期内产生的热量为Q 1=222221T R U T R U ⋅+⋅，直流电在相等时间内产生的热量 Q 2=RU 2T ，根据它们的热量相等有 RU T R U 2212=⋅T 得 U =)(212221U U +，同理有I =)(212221I I +. 2.一电压U 0=10 V 的直流电通过电阻R 在时间t 内产生的热量与一交变电流通过R/2时在同一时间内产生的热量相同，则该交流电的有效值为多少？解：根据t 时间内直流电压U 0在电阻R 上产生的热量与同一时间内交流电压的有效值U 在电阻R /2上产生的热量相同，则3.在图示电路中，已知交流电源电压u=200s in 10πt V ，电阻R=10 Ω，则电流表和电压表读数分别为A,200 V A,141 VA,200 V A,141 V分析：在交流电路中电流表和电压表测量的是交流电的有效值，所以电压表示数为 u =2200V=141 V ，电流值i =R U =102200 A= A. 答案：B。
交流电有效值计算方法
交流电有效值计算方法交流电一般可以表示为一个周期性变化的正弦函数，即I(t) = I_m * sin(ωt+θ)其中，I(t)表示交流电流随时间变化的函数，I_m表示电流的峰值，ω表示角频率，t表示时间，θ表示相位。
有效值的计算方法有两种：平方平均法和积分法。
一、平方平均法：平方平均法是最常用的计算方法，它的基本思想是对交流电流或电压进行平方运算，并求取其平均值的平方根。
1.对交流电流或电压进行平方运算：I^2(t) = I_m^2 * sin^2(ωt+θ)或U^2(t) = U_m^2 * sin^2(ωt+θ)2.求取平均值并开根号：I_rms = sqrt(1/T * ∫[0, T] (I^2(t)) dt)或U_rms = sqrt(1/T * ∫[0, T] (U^2(t)) dt)其中，T是一个周期的时间长度。
二、积分法：积分法是直接对交流电流或电压进行积分运算，并求取积分结果与周期长度的比值的平方根。
1.对交流电流或电压进行积分运算：∫[0, T] (I(t)) dt或∫[0, T] (U(t)) dt2.求取积分结果与周期长度的比值的平方根：I_rms = sqrt(1/T * (∫[0, T] (I(t)) dt)^2)或U_rms = sqrt(1/T * (∫[0, T] (U(t)) dt)^2)其中，T是一个周期的时间长度。
无论是平方平均法还是积分法，求取有效值的步骤是类似的，只是具体的计算过程有所差别。
需要注意的是，对于其他波形，如方波、三角波等，求取有效值的方法可能会稍有不同，但基本思想是一致的。
在实际应用中，计算交流电有效值非常重要，因为有效值是描述交流电大小的一个重要指标，也是进行电路设计、电能计量和电能消耗分析等的基础。
总结起来，交流电有效值的计算方法可以通过平方平均法或积分法来实现，根据具体情况选择合适的方法进行计算。
交流电有效值
交流电有效值交流电是指电流或电压在时间上变化的电信号。
它与直流电不同，交流电在正负极之间来回循环，频率和幅度都会发生变化。
在交流电中，我们经常听到一个术语，即“有效值”。
本文将详细介绍交流电有效值的概念、计算方法和应用。
什么是有效值？在交流电中，电流和电压的幅度是以周期性变化的方式进行的。
然而，使用峰值幅度来表示交流电的振幅大小并不总是准确和可靠的。
因此，我们引入了有效值的概念。
有效值（也称为RMS值）是指交流电信号在一个周期内所产生的功率与相同时长内在直流电路中所产生的功率相等的电压或电流值。
因此，有效值是衡量交流电信号幅度大小的一种方法。
有效值的计算方法在理论上，计算有效值需要对交流电信号进行积分运算，但这种方法较为繁琐。
我们可以使用更简单的方法计算有效值。
对于周期性的正弦波交流电信号，例如电压或电流，其有效值可以通过以下公式计算得出：Vrms = Vpeak / √2其中，Vrms是交流电信号的有效值，Vpeak是交流电信号的峰值幅度。
这个公式表明，有效值等于峰值幅度除以√2。
例如，如果一个交流电信号的峰值幅度为10V，那么它的有效值将是10V / √2 ≈ 7.07V。
需要注意的是，上述计算方法适用于正弦波交流电信号。
对于其他非正弦波形状的交流电信号，我们可能需要使用更复杂的积分运算方法来计算其有效值。
交流电有效值的重要性交流电有效值在工程和物理学中具有重要的应用。
由于交流电信号的振幅随时间变化，以峰值幅度来表示交流电信号的大小并不总是准确和可靠的。
交流电的有效值在许多方面的应用中起着重要的作用。
例如，在电力工程中，交流电的有效值用于计算电流和电压的功率，以及计算电阻、电感和电容的等效值。
此外，交流电的有效值还用于计算交流电路中的功率因数和频率响应等参数。
在家庭和商业用电中，电器设备通常使用有效值来标明其电流和电压要求。
这是因为交流电的有效值能够提供与各种类型和形状的交流电信号相对应的准确功率计算。
交流电的瞬时值、最大值、有效值和平均值
交流电的瞬时值、最大值、有效值和平均值1. 瞬时值：交流电流、电压、电动势在某一时刻所对应的值称为它们的瞬时值。
瞬时值随时间的变化而变化。
不同时刻，瞬时值的大小和方向均不同。
交流电的瞬时值取决于它的周期、幅值和初相位。
以正弦交流电为例（从中性面开始计时）。
则有：其瞬时值为：e=E m sinωti=I m sinωt u=U m sinωt2．最大值：交变电流的最大值是指交变电流在一个周期内所能达到的最大值，它可以用来表示交变电流的强弱或电压的高低。
以正弦交流电为例。
则有：E m =nBωS，此时电路中的电流强度及用电器两端的电压都具有最大值，即I m =rR E m ， U m =I m R 。
3．有效值：交变电流的有效值是根据电流的热效应来定义的，让交变电流和恒定电流通过相同阻值的电阻，如果在相同的时间内产生的热量相等，我们就把这一恒定电流的数值叫做这一交变电流的有效值。
交流电的有效值是根据它的热效应确定的。
交流电流i 通过电阻R 在一个周期内所产生的热量和直流电流I 通过同一电阻R 在相同时间内所产生的热量相等, 则这个直流电流I 的数值叫做交流电流i 的有效值, 用大写字母表示, 如I 、 U 等。
一个周期内直流电通过电阻R 所产生的热量为：交流电通过同样的电阻R ，在一个周期内所产生热量：根据定义，这两个电流所产生的热量应相等，即将代入上式i=I m sinωt4．平均值：交变电流的平均值是指在某一段时间内产生的交变电流对时间的平均值。
对于某一段时间或某一过程，其平均感应电动势：I tN E 平均电流→∆∆•=φ=U r R E 平均电压→+=I R •二、正弦交流电的“四值”之间的关系1、正弦交流电的有效值与最大值的关系： U=m m U U 707.02=，I=m mI I 707.02= 注：I U 是电流、电压的有效值，I m 、U m 是电流、电压的最大值2、正弦交流电的平均值与最大值和有效值的关系：m m P I I I 637.02==π，m m P U U U 637.02==π，I I P 90.0=，U U P 90.0=注：I p 、U p 是电流、电压的平均值交变电流有四值，即有效值、平均值、最大值和瞬时值．各值何时应用，对照如下情况确定：（1）在研究电容器是否被击穿时，要用峰值（最大值）．因电容器上标明的电压是它在直流电源下工作时所承受的最大值．（2）在研究交变电流的功率和产生的热量时，只能用有效值．（3）在求解某一时刻线圈受到的磁力矩时，只能用瞬时值．（4）在求交变电流流过导体的过程中通过导体截面积的电量时，要用平均值．。
正弦交流电的最大值与有效值的关系
正弦交流电的最大值与有效值的关系1. 引言正弦交流电是一种在电力系统中广泛应用的电信号，它具有周期性和连续性的特点。
在研究交流电时，我们常常需要了解最大值和有效值之间的关系。
本文将详细介绍正弦交流电的最大值与有效值的概念、计算方法以及它们之间的数学关系。
2. 正弦交流电的基本特点正弦交流电是一种以正弦函数为描述模型的周期性变化信号。
它在一个周期内从最小值逐渐增加到最大值，再逐渐减小回到最小值，如图所示：图1：正弦交流电波形图正弦交流电可以用以下数学公式表示：V(t)=V max sin(ωt+ϕ)其中，V(t)表示时间t时刻的电压或电流值，V m ax为最大值，ω为角频率，ϕ为相位差。
3. 最大值与峰-峰值在研究正弦交流电时，我们通常关注的是它的最大值和峰-峰值。
3.1 最大值最大值表示正弦交流电波形中的最高点，即振幅。
在数学上，最大值可以通过将时间t取任意值，求解V(t)的最大值来计算。
对于正弦函数，我们知道其最大值为1。
因此，正弦交流电的最大值等于振幅V m ax。
3.2 峰-峰值峰-峰值表示正弦交流电波形中从最低点到最高点之间的差异，即波动范围。
在数学上，峰-峰值可以通过将时间t取任意两个相邻极限点处的差异来计算。
对于正弦函数，我们知道其极限点之间相差π。
因此，正弦交流电的峰-峰值等于2V max。
4. 有效值与均方根除了关注正弦交流电的最大值和峰-峰值外，我们还需要了解它的有效值和均方根。
4.1 有效值有效值是指一个周期内正弦交流电平均功率与直流电相同时所具有的电压或电流值。
有效值可以通过将时间t 取任意值，求解V (t )的平方后求平均值再开方来计算。
对于正弦函数，我们知道其平方后的平均值为12。
因此，正弦交流电的有效值等于max √2。
4.2 均方根均方根是指正弦交流电波形在一个周期内各点电压或电流的平方和开方得出的值。
均方根可以通过将时间t 取任意两个相邻点处的差异求平方和再开方来计算。
正弦量的有效值
正弦量的有效值
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正弦量的有效值
有效值是根据电流的热效应定义的：如果某一个周期交流电流通过电阻R在一个周期T内产生的热量和另一个直流电流i通过同样大小的电阻在相等的时间内产生的热量相等，则把这一直流电流I的值定义为该交流电流的有效值。
据此可得
故交流电的有效值为
对于正弦交流电流有代入上式则有
同理，对于正弦电压和电动势，有
温馨提示
（1）最大值等于有效值的2倍的关系仅仅适用于正弦量，其它非正弦的周期信号不能照搬这个关系式；
（2）工程上所说的正弦电压和电流的大小都是指有效值；
（3）一般交流测量仪表所指示的电压、电流的数值都是指有效值；（4）各种交流电气设备铭牌上所标定的电压、电流值都是有效值。
（5）初学者应注意几种量的字母表示形式，如瞬时值用小写字母i、u、e表示；有效值用大写不带下标字母I、U、E表示；最大值用大
写字母带下标表示，如、、。
正弦交变电流有效值计算公式的推导
中学教学参考
2018··6 中旬
2018
物理·教学研究
要的结论，但课本没有给出推导过程，而是直接给出：I=
Im
Um
，U=
。
2
2
本文用微积分法、平均值法、三角函数法对推导法
物理学科与数学学科有着密切的联系，在运用物理
知识解题时，一般要进行数学推理和运算。同时新课改
物理·教学研究
正弦交变电流有效值计算公式的推导
广西贺州高级中学（542800） 毛 亮
［摘
要］对交流电有效值定义的理解和应用以及各种交流电的有效值的计算是高考对学生知识和能力考查的内容之一。人民
教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书物理选修 3-2 中，
正弦交变电流的电压和电流的有效值是一个重要的结论，
以来，数学教材已经发生了变化，在高中阶段已经引入
了导数和微积分的内容，而微积分的引入对高中物理的
教学是有促进作用的，虽说学习起来有点难，但是有利
于进入高校后的学习。
现有一正弦交变电流，
如 图 1 ，它 的 瞬 时 表 达 式 为
i1=Imsinωt。
交流电的电流、电压及功
图1
率都是随时间变化的，其中电
一门科学，更是一门艺术，是科学与艺术的综合。物理
课堂精准教学需要做到优化、独到；教师的教学热情与
教态可以激发教学活力；学生的学习要做到自主、深刻；
评价要做到科学、激励；借助信息技术要做到恰当、有
效。只有这样才能把精准教学落到实处。
［ 参 考 文 献 ］
［1］ 彭红超，祝智庭 . 面向智慧学习的精准教学活动生成性设
学后教，当堂练习，个性教学，合作学习”这些都是符合
新课程理念与新时代要求的。
正弦交流电的瞬时值、最大值、有效值
正弦交流电的瞬时值、最大值、有效值
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正弦交流电的瞬时值、最大值、有效值
在了解正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值之前我们先来看看前一节课中的正弦交流电电动势波形图，如下右图所示。
这个波形图还可以用数学表达式表示为：
公式中：Em表示为最大值、ω为电角度、e为瞬时值、t表示时间。
由上述公式可见，交流电的大小是随着时间变化而变化的，瞬时值（某一瞬间）的大小在零和正负峰值之间变化，最大值也仅是一瞬间数值，不能反映交流电的做工能力。
于是便引入有效值的概念，其定义为：
如果交流电和直流电分别通过同一电阻，两者在相同的时间内所消耗的电能相等（或所产生的焦耳热相同），则此直流电的数值就叫做交流电有效值的数值。
正弦交流电的电动势、电压、电流的有效值分别以E、U、I表示。
通常所说的交流电的电动势、电压、电流的大小均值它的有效值。
交流电电气设备上标的额定值以及交流电仪表所指示的数值也均为有效值。
理论和实验均已表面、正弦交流电的有效值与最大值之间的关系为：
其他正弦量（电压、电流等）也可以写出文中开头第一个表达式的形式：
电压、电流也都有瞬时值、最大值、有效值。
一般瞬时值用小写字母（如u、i等）表示，最大值用大写字母附有下标m字母表示（如Um、Im）。
有效值用大写字母（U、I）表示。
最大值与有效值的关系为：。
电流有效值与最大值的关系式
电流有效值与最大值的关系式
正弦交流电的有效值=最大值/√2=0.707×最大值；或者最大值=√2有效值=1.414×有效值。
电流的有效值是根据电流的热效应规定的：让交流电和恒定电流分别通过同样阻值的电阻，如果两者的热效应相等（即在相同的时间内产生相同的热量）则此等效的直流电压，电流的值叫做该交流电压，电流的有效值）
为了度量交流电做功情况人们引入有效值，它是根据电流的热效应而定的。
就是分别用交流电，直流电通过相同阻值的电阻，在相同时间内产生的热量相同，则直流电的值为交流电的有效值。
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正弦交流电有效值的证明
一、假设有两个交变电压其最大值与周期均相同，瞬时值表达式分别为u 1=U m sin ωt 、u 2=U m cos ωt,其中，ω=2π/T,把它们分别加在两个阻值相同的电阻上，设电阻的阻值为R ，由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时间顺序无关，故在一个周期内两个交流电产生的热量相等，设都为Q ，产生的总热量Q 总=2Q 。
在任一时刻t ，这两个电阻上的热功率分别为()2211sin m U t u P R R
ω==， ()2222cos m
U t u P R R ω==. 两个电阻上总的发热功率为
()
222212sin cos m m U t t U P P P R R
ωω+=+==。
可见两个电阻上总的发热功率是一个定值，与时刻t 无关，所以在一个周期内两个电阻上总的发热量为2m U Q PT T R
==. 用一个恒定电压为U 的电源，分别给两个相同的电阻R 供电，在相同时间T 内，每个电阻
产生的热量是Q=2U T R ，两个电阻产生的总热量为Q=2
2U T R
.由热效应的等效可知22
2m U U T T R R =。
可得U =。
而这个恒定电流的电压U 就是正弦交变电流的电压的有效值。
电流、电动势有效值可同法证得。
二（积分法）设流过定值电阻R 的电流按正弦规律变化，即i=I m sin ωt.因为时刻t 瞬时功率p=i 2R=I m 2Rsin 2ωt ，则一个周期内电阻R 上产生的热量为Q=
0T pdt ⎰. 因为21cos 2sin 2t t ωω-=
代入得 2211cos 222
m m p I R I R t ω=-⋅,代入上式有： 220011cos 222
T T m m Q I Rdt I R tdt ω=-⎰⎰。
由于第二项积分为零，所以Q= 212
m I RT 。
如果有一个恒定电流I 与其等效，即2Q I RT '=，就有Q Q '=，即2212m I RT I RT =
所以有I =
U
-U。