数学分析第十七章多元函数微分学

dz|P 0df(x0,y0)AxBy.
(2)
由 (1)2 ()可,d 知 z是 z的线,性 特主 别 | 部 x地 |,| y当 |
充分 ,dz小 z,时 即
f(x,y)f(x0,y0)A (xx0)B(yy0), (3)
(1)式也:写做
zAxByxy, 这,里lim lim0.
(x,y) (0,0) (x,y) (0,0)
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3
同 B l 理 i y m z lif( m x 0 ,y 0 y ) f( x 0 ,y 0 ) .( 6 )
y 0 y y 0
y
它y 是 的关 一 z f( x 0 于 ,元 y ) 在 y y 0 函 处. 数 的
统称为偏,也 导就 数是说
定义2. 设函数z f (x, y), (x,y)D, 若(x0, y0)D, 且
f (x, y0)在x0的某邻域内有定 ,则义当极限
limxz lim f (x0 x, y0) f (x0, y0) (7)
x0 x x0
x
存在时, 称这个极限为函 f在数 (x0, y0)关于x的偏导数,
记作
fx(x0, y0)编或辑ppt xf
.
(x0,y0)
4
z
注意 1. , 是. x y
第17章 多元函数微分学
§1 可微性
一、 可微性与全微分
f(x)在点 x0可微 : f(x0x)f(x0)Axo(x)
其中 Af(x0).
定义1. 设函数z f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域U(P0)
内有定义, 对于U(P0)中点P(x, y) (x0 x, y0 y),
若函数f在点P0处的全增量 z可表示为:
在 ( 1 ) 式 , 令 y 0 得 中 x z A x 到 o ( x ||),
从而 Alim xz|x|o( |x|) x 0x x |x|
lim xzlim f(x0x,y0)f(x0,y0). (5)
x 0x x 0
x
它x 是 的关 一 z f( x ,于 y 元 0 ) 在 x x 0 函 处. 数 的
因dxx, dyy, 故全微分可写为
dz|(x,y)fx(x0,y0)dxfy(x0,y0)dy. 00
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6
若函 f在数 区 D 上 域 可 ,则 微 称f在 函 D 上 可 数,微 并且 全微 为分
df(x0,y0)fx(x0,y0)dxfy(x0,y0)dy.
例3 考察函数
xy
f
( x,
5
三、 可微性条件
由可微所推(5出 )(6)的 式和偏导数定义下立定得理如 定 理1 7 . 1若二元函 f (x数 , y)在其定义域内 (x0一 , y0)点 处可,微则f在该点关于每个的自偏变导量数都, 存 且(1式 ) 中的
A fx(x0,y0), B fy(x0,y0).
因此 , f在(x0,y0)的全微 (2)可 分唯一地表示为 df |(x0,y0)fx(x0,y0)xfy(x0,y0)y.
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10
课堂练习: 1. 考察二元函数
x2y2, x y0, f(x,) y
1, x y0,
在原点的偏导数和连续性。
2. 函数在一点偏导数连并续不是函数在该点可微 的必要条件, 又如
f
( x,y)
(x2
y2
)sin x2
1
y2
0,
x2 y2 0, x2 y2 0
(4)
例 1 .考察 f(x ,y ) 函 x在 y数 (x 0 ,点 y 0 )处的 . 可
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2
二、 偏导数
若一 f(x ) 在 元 x 0 可 点 ,则 函 微 数 f(x 0 x ) f(x 0 ) A x o ( x )其 , A f中 (x 0 ).
若二 f(x ,y ) 元 在 (x 0 ,函 点 y 0 )可 ,数 则 ( 微 1 )式.成
M0
Tx
Ty
注意 2. f(x,y0)的定义 . 域是
偏导函数(偏导数:)
o
y0
y
几何意义:
x0
x
例 2求函 f(x), 数 yx43x2yy2在 (1 点 2)关 ,
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x和 y的偏 . 导数
例3求函 z数 xy/y的偏.导数
例 4求三 u 元 sixn 2 函 y (e z)的 数偏 . 导
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1 x2 y2,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0
在点(0,0)处可微, 但fx与fy却在点(0,0)处不连续(习题7).
函 f(x 数 ,y)在 (x 0 ,点 y 0 )的偏 fx 与 fy连 导 ,则 续 数 f在 称
(x 0 ,y 0 )连 续.可微
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9
由定理 17.2的证明过程中的式 中立 值得 公如下:定理 定理1 7.3设函数 f在点(x0, y0)的某邻域内存在,偏导
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8
定理 17.(可 2 微的充 )若分 函 f(条 x,数 y)在 件(点 x0,y0) 的某邻域内 ,且 存 fx与 fy在 在(偏 点 x0,y0导 )处数 连 , 续 则函 f在 数 该点 . 可微
注意: 函数在一点偏导数并连不续是函数在该点可
的必要条,件例如
f
(x,y)
(x2
y2)sin
y)
x2 y2,
0,
在原点的可微.性
x2 y2 0, x2 y2 0
这个例子 :函说 数明 即使在一 存点 ,在 也偏 不导 一 在该点(但 可一 微元函数在 与一 导点 数可 存).微 在
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7
课堂练习: P116, 1(8), 4, 9(2).
作业:
P116, 1(3)(6)(9), 5, 8(1), 9(1).
z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0)
AxByo(),
(1)
其中A,B是仅与点P0有关的常数 , x2 y2, o()
是较高阶的无穷小,量 则称函数在P点0可微. 并称(1)式
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1
中关 x,y 于 的线A 性 xB 函 y为 数 函 f在数 P 0 点 的 全微 ,记 分 作
若(x,y)属于该邻,则 域存在 x0 1(x-x0)和y0 2(yy0),01,2 1,使得
f(x,y) f (x0,y0) fx(,y)(xx0) fy(x0,)(yy0).(12
偏导数连续
可微 连续
偏导数存在
练 :考 习 f(x察 ), y x y e x的 y 可 ,求 (微 2 1 在 )的 , 性 全 .