2020年浙江新高考数学二轮复习教师用书：专题五 1 第1讲 直线与圆

第1讲 直线与圆

直线的方程

[核心提炼]

1．三种距离公式

(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离： |AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.

(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |

A 2＋

B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程：Ax ＋By ＋

C ＝0)．

(3)两平行直线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2

(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：

Ax ＋By ＋C 2＝0)．

2．两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给

出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．

[典型例题]

(1)(2019·温州十五校联合体联考)已知直

线l 1：mx ＋(m ＋1)y ＋2＝0，l 2：(m ＋1)x ＋(m ＋4)y －3＝0，则“m ＝－2”是“l 1⊥l 2”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

(2)(2019·浙江新高考冲刺卷)已知m ∈R ，若点M (x ，y )为直线l 1：my ＝－x 和l 2：mx ＝y ＋m －3的交点，l 1和l 2分别过定点A 和B ，则|MA |·|MB |的最大值为________．

【解析】 (1)当m ＝－2时，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝－2，k 2＝1

2，此时k 1×k 2＝－1，

则l 1⊥l 2.而m ＝－1时，也有l 1⊥l 2，故选A.

(2)动直线l 1：my ＝－x 过定点A (0，0)，

动直线l 2：mx ＝y ＋m －3化为m (x －1)－(y －3)＝0，得x ＝1，y ＝3.过定点B (1，3)． 因为此两条直线互相垂直， 所以|MA |2＋|BM |2＝|AB |2＝10，

所以10≥2|MA |·|MB |，所以|MA |·|BM |≤5， 当且仅当|MA |＝|MB |时取等号． 【答案】 (1)A (2)5

解决直线方程问题应注意的问题

(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．

(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．两点式不能表示垂直于坐标轴的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线及垂直于坐标轴的直线．

(3)求直线方程要考虑直线斜率是否存在．

[对点训练]

1．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )

A ．0

B ．1

C ．－2

D ．－1

解析：选C.因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，解得n ＝－4，即直线l 2：x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是5，所以|m ＋3|

1＋4

＝5，得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2，

故选C.

2．(2019·金丽衢十二校高考模拟)直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R )恒过定点________，P (1，1)到该直线的距离最大值为________．

解析：直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R )即λ(y －3)＋x ＋2＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝0

x ＋2＝0

，解得x ＝－2，

y ＝3.

所以直线l 恒过定点Q (－2，3)， P (1，1)到该直线的距离最大值为|PQ |＝32＋22＝13.

答案：(－2，3)

13

3．在△ABC 中，A (1，1)，B (m ，m )(1

解析：由两点间距离公式可得|AC |＝10，直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0，所以点B 到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10，所以△ABC 的面积S ＝12|AC |·d ＝12|m －3m ＋2|＝12|⎝⎛

⎭⎫m －322－

14|，又1

4

时，S 取得最大值． 答案：9

4

圆的方程及应用

[核心提炼]

1．圆的标准方程

当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.

2．圆的一般方程

x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以

⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2

－4F 2

为

半径的圆．

[典型例题]

(1)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x

＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是__________，半径是__________．

(2)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0

的距离为45

5

，则圆C 的方程为________．

【解析】 (1)由题可得a 2＝a ＋2，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程不表示圆．

(2)设圆心为(a ，0)(a ＞0)，则圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝

|2a －0|

4＋1

＝455

，得a ＝2，半

径r ＝（a －0）2＋（0－5）2＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.

【答案】 (1)(－2，－4) 5 (2)(x －2)2＋y 2＝9

求圆的方程的两种方法

(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程．

(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程．

[对点训练]

1．圆心在曲线y ＝2

x (x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )

A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5

B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5

C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25

D ．(x －2)2＋(y －1)2＝25

解析：选A.y ′＝⎝⎛⎭⎫2x ′＝－2x 2，令－2

x 2

＝－2，得x ＝1，得平行于直线2x ＋y ＋1＝0的曲线y ＝2

x (x >0)的切线的切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标为(1，2)，以该点为圆心且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的圆的面积最小，此时圆的半径为5

5

＝5，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.

2．过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．26 B ．8 C ．4 6

D ．10