2020年浙江新高考数学二轮复习教师用书：专题五 1 第1讲 直线与圆

第1讲 直线与圆
直线的方程
[核心提炼]
1．三种距离公式
(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离： |AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.
(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程：Ax ＋By ＋
C ＝0)．
(3)两平行直线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2
(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：
Ax ＋By ＋C 2＝0)．
2．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给
出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
[典型例题]
(1)(2019·温州十五校联合体联考)已知直
线l 1：mx ＋(m ＋1)y ＋2＝0，l 2：(m ＋1)x ＋(m ＋4)y －3＝0，则“m ＝－2”是“l 1⊥l 2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
(2)(2019·浙江新高考冲刺卷)已知m ∈R ，若点M (x ，y )为直线l 1：my ＝－x 和l 2：mx ＝y ＋m －3的交点，l 1和l 2分别过定点A 和B ，则|MA |·|MB |的最大值为________．
【解析】 (1)当m ＝－2时，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝－2，k 2＝1
2，此时k 1×k 2＝－1，
则l 1⊥l 2.而m ＝－1时，也有l 1⊥l 2，故选A.
(2)动直线l 1：my ＝－x 过定点A (0，0)，
动直线l 2：mx ＝y ＋m －3化为m (x －1)－(y －3)＝0，得x ＝1，y ＝3.过定点B (1，3)． 因为此两条直线互相垂直， 所以|MA |2＋|BM |2＝|AB |2＝10，
所以10≥2|MA |·|MB |，所以|MA |·|BM |≤5， 当且仅当|MA |＝|MB |时取等号． 【答案】 (1)A (2)5
解决直线方程问题应注意的问题
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．两点式不能表示垂直于坐标轴的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线及垂直于坐标轴的直线．
(3)求直线方程要考虑直线斜率是否存在．
[对点训练]
1．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )
A ．0
B ．1
C ．－2
D ．－1
解析：选C.因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，解得n ＝－4，即直线l 2：x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是5，所以|m ＋3|
1＋4
＝5，得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2，
故选C.
2．(2019·金丽衢十二校高考模拟)直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R )恒过定点________，P (1，1)到该直线的距离最大值为________．
解析：直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R )即λ(y －3)＋x ＋2＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝0
x ＋2＝0
，解得x ＝－2，
y ＝3.
所以直线l 恒过定点Q (－2，3)， P (1，1)到该直线的距离最大值为|PQ |＝32＋22＝13.
答案：(－2，3)
13
3．在△ABC 中，A (1，1)，B (m ，m )(1<m <4)，C (4，2)，则当△ABC 的面积最大时，m ＝________．
解析：由两点间距离公式可得|AC |＝10，直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0，所以点B 到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10，所以△ABC 的面积S ＝12|AC |·d ＝12|m －3m ＋2|＝12|⎝⎛
⎭⎫m －322－
14|，又1<m <4，所以1<m <2，所以当m ＝32，即m ＝9
4
时，S 取得最大值． 答案：9
4
圆的方程及应用
[核心提炼]
1．圆的标准方程
当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.
2．圆的一般方程
x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以
⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2
－4F 2
为
半径的圆．
[典型例题]
(1)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x
＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是__________，半径是__________．
(2)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0
的距离为45
5
，则圆C 的方程为________．
【解析】 (1)由题可得a 2＝a ＋2，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程不表示圆．
(2)设圆心为(a ，0)(a ＞0)，则圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝
|2a －0|
4＋1
＝455
，得a ＝2，半
径r ＝（a －0）2＋（0－5）2＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.
【答案】 (1)(－2，－4) 5 (2)(x －2)2＋y 2＝9
求圆的方程的两种方法
(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程．
(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程．
[对点训练]
1．圆心在曲线y ＝2
x (x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )
A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5
B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5
C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25
D ．(x －2)2＋(y －1)2＝25
解析：选A.y ′＝⎝⎛⎭⎫2x ′＝－2x 2，令－2
x 2
＝－2，得x ＝1，得平行于直线2x ＋y ＋1＝0的曲线y ＝2
x (x >0)的切线的切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标为(1，2)，以该点为圆心且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的圆的面积最小，此时圆的半径为5
5
＝5，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.
2．过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．26 B ．8 C ．4 6
D ．10
解析：选C.设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪
⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20. 所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，
所以M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，所以|MN |＝4 6.
3．(2019·宁波镇海中学高考模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则m ＝________； |MP |＝________．
解析：因为圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称， 所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过圆心C (1，2)， 所以1＋2m ＋1＝0.解得m ＝－1.
圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0，可化为(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆心(1，2)，半径r ＝2， 因为经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ， 所以|MP |＝
（1＋1）2＋（2＋1）2－4＝3.
答案：－1 3
直线与圆、圆与圆的位置关系
[核心提炼]
1．直线与圆的位置关系的判定
(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离．
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离．
2．圆与圆的位置关系的判定
(1)d＞r1＋r2⇔两圆外离；
(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；
(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔两圆相交；
(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；
(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．
[典型例题]
(1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是() A．内切B．相交
C．外切D．相离
(2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，P A，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形P ACB的最小面积是2，则k的值为()
A．3 B.21 2
C．2 2 D．2
【解析】(1)由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a
2，
所以2 a2－a2
＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2，两圆半径之差为1，故两
2
圆相交．
(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x2＋(y－1)2＝1，
所以圆心为(0，1)，半径为r＝1，四边形P ACB的面积S＝2S△PBC，
所以若四边形P ACB的最小面积是2，
则S△PBC的最小值为1.
而S△PBC＝1
2r·|PB|，即|PB|的最小值为2，
此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，
此时d＝|5|
＝12＋22＝5，
k2＋1
即k2＝4，
因为k>0，所以k＝2.
【答案】(1)B(2)D
解决直线与圆、圆与圆位置关系的方法
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与
直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．
[对点训练]
1．(2019·高考浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．
解析：法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.
法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以
m ＋1
0－（－2）×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.
答案：－2
5
2．(2019·绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O 1和圆O 2都经过点A (0，1)，若两圆与直线4x －3y ＋5＝0及y ＋1＝0均相切，则|O 1O 2|＝________．
解析：如图，因为原点O 到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝|5|
42＋（－3）2＝1，到直线y ＝－1的距离为1，且到(0，1)的距离
为1，
所以圆O 1和圆O 2的一个圆心为原点O ，不妨看作是圆O 1， 设O 2(a ，b )，则由题意： ⎩
⎪⎨⎪⎧b ＋1＝a 2＋（b －1）2b ＋1＝|4a －3b ＋5|42＋（－3）2
，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2
b ＝1
.
所以|O 1O 2|＝22＋12＝ 5.
答案： 5
直线、圆与其他知识的交汇问题
[核心提炼]
高考对直线和圆的考查重在基础，多以选择题、填空题形式出现，将直线和圆与函数、不等式、平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇，体现命题创新．
[典型例题]
(1)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，
0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若P A →·PB →
≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．
(2)(2019·广东省五校协作体第一次诊断考试)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1
b
2的最小值为________．
【解析】 (1)设P (x ，y )，则由P A →·PB →
≤20可得， (－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20， 即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65，
所以P 为圆(x ＋6)2＋(y －3)2＝65上或其内部一点． 又点P 在圆x 2＋y 2＝50上，
联立得⎩⎪⎨⎪
⎧x 2＋y 2＝50，（x ＋6）2＋（y －3）2＝65， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7或⎩
⎨⎧x ＝－5，y ＝－5，
即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)． 易知－52≤x ≤1.
(2)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0配方得，(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －2b )2＝1，依题意得两圆相外切，故a 2＋4b 2＝1＋2＝3，即
a 2＋4
b 2＝9，
1a 2＋1b 2＝(a 29＋4b 29)(1
a
2＋1b 2)＝19＋a 29b 2＋4b 29a 2＋49≥5
9＋2a 29b 2×4b 29a 2＝1，当且仅当a 29b 2＝4b 2
9a
2，即a 2＝2b 2时等号成立，故1a 2＋1
b 2
的最小值为1. 【答案】 (1)[－52，1] (2)1
对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系，其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化等思想方法．
[对点训练]
1．(2019·浙江新高考冲刺卷)如图，直线x ＋2y ＝a 与圆x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O 为坐标原点，若OA →·OB →
＝a ，则实数a 的值为( )
A.5－654
B.65－5
4 C.5－554
D.
55－5
4
解析：选A.OA →·OB →
＝cos ∠AOB ＝a ， 所以AB ＝
1＋1－2cos ∠AOB ＝
2－2a ，
所以O 到直线AB 的距离d ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－2a 22，
又d ＝|a |
5
，所以
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－2a 22＝|a |5，
解得a ＝5－654或a ＝5＋65
4
>1(舍)．
2．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，设平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C
与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为________．
解析：作出可行域，如图，由题意知，圆心为C (a ，b )，半径r ＝1，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.而直线y ＝1与可行域边界的交点为A (6，1)，
B (－2，1)，目标函数z ＝a 2＋b 2表示点
C 到原点距离的平方，所以当点C 与点A 重合时，z 取到最大值，z max ＝37.
答案：37
专题强化训练
1．(2019·杭州二中月考)已知直线3x －y ＋1＝0的倾斜角为α，则1
2sin 2α＋cos 2α＝( )
A.25 B ．－15 C.14 D ．－120
解析：选A.由题设知k ＝tan α＝3，于是12sin 2α＋cos 2α＝sin αcos α＋cos 2αcos 2α＋sin 2α＝tan α＋11＋tan 2α＝410＝
2
5
. 2．(2019·义乌二模)在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )
A.
10
2
B.10 C ．5
D ．10
解析：选D.由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以MP ⊥MQ ，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D.
3．(2019·杭州七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设条件p ：0＜r ＜3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C.圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，圆心(1，0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝
|1－0＋3|2＝2.由条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，可得0＜r ＜3.则p 是q 的充要条件．故选C.
4．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：y ＝kx ＋1与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k 等于( )
A ．1
B ．2
C ．－1
D ．0
解析：选D.由题意知圆心到直线l 的距离等于1
2r ＝1(r 为圆C 的半径)，所以|k ×0－0＋1|k 2＋1＝
1，解得k ＝0.
5．(2019·兰州市诊断考试)已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t ，0)，B (t ，0)(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是( )
A ．(0，2]
B ．[1，2]
C ．[2，3]
D ．[1，3]
解析：选D.依题意，设点P (3＋cos θ，1＋sin θ)，因为∠APB ＝90°，所以AP →·BP →
＝0，所以(3＋cos θ＋t )(3＋cos θ－t )＋(1＋sin θ)2＝0，得t 2＝5＋23cos θ＋2sin θ＝5＋4sin(θ＋π3)，
因为sin(θ＋π
3
)∈[－1，1]，所以t 2∈[1，9]，因为t >0，所以t ∈[1，3]．
6．圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey －3＝0(D <0，E 为整数)的圆心C 到直线4x －3y ＋3＝0的距离为1，且圆C 被截x 轴所得的弦长|MN |＝4，则E 的值为( )
A ．－4
B ．4
C ．－8
D ．8 解析：选C.圆心C ⎝⎛⎭⎫－D 2
，－E 2. 由题意得
⎪⎪⎪
⎪
4×⎝⎛⎭⎫－D 2－3×⎝⎛⎭⎫－E 2＋342＋（－3）2
＝1，
即|4D －3E －6|＝10，①
在圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey －3＝0中，令y ＝0得x 2＋Dx －3＝0. 设M (x 1，0)，N (x 2，0)，则x 1＋x 2＝－D ，x 1x 2＝－3. 由|MN |＝4得|x 1－x 2|＝4， 即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16， (－D )2－4×(－3)＝16. 由D <0，所以D ＝－2.
将D ＝－2代入①得|3E ＋14|＝10， 所以E ＝－8或E ＝－4
3
(舍去)．
7．动点A 与两个定点B (－1，0)，C (5，0)的距离之比为1
2，则△ABC 面积的最大值为( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12 解析：选D.设A 点坐标为(x ，y )． 因为|AB ||AC |＝12，
所以2
（x ＋1）2＋y 2＝
（x －5）2＋y 2，
化简得x 2＋y 2＋6x －7＝0，
即(x ＋3)2＋y 2＝16.
所以A 的轨迹表示以(－3，0)为圆心，半径为4的圆． 所以△ABC 面积的最大值为 S max ＝12|BC |·r ＝1
2
×6×4＝12.
8．(2019·浙江省名校联盟质量检测)已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l
与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值是( )
A ．2 6
B ．4 C. 6 D ．2
解析：选B.根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，求|AB |的最小值等价于求d 的最大值，
易知d max ＝
12＋32＝10， 此时|AB |min ＝214－10＝4，
故选B .
9．过点M ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．
解析：易知当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，直线CM 的斜率为k CM ＝1－0
12
－1＝－2，从而直线
l 的斜率为k l ＝－1k CM ＝12，其方程为y －1＝1
2⎝⎛⎭
⎫x －12.即2x －4y ＋3＝0. 答案：2x －4y ＋3＝0
10．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________.
解析：对于圆C 1与圆C 2的方程，配方得圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则圆C 1的圆心C 1(m ，－2)，半径r 1＝3，圆C 2的圆心C 2(－1，m )，半径r 2＝2.如果圆C 1与圆C 2相外切，那么有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即
（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝5，则m 2＋3m －
10＝0，解得m ＝－5或m ＝2，所以当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2相外切．
答案：－5或2
11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，若等边△P AB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则|PC |的最大值为________．
解析：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为C (1，2)，半径r ＝2，若等边△P AB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC ⊥AB .在△P AC 中，∠APC ＝30°，由正弦定理得|AC |
sin 30°＝
|PC |
sin ∠P AC
，所以|PC |＝22sin ∠P AC ≤22，故|PC |的最大值为2 2.
答案：2 2
12．(2019·台州调研)已知动圆C 过A (4，0)，B (0，－2)两点，过点M (1，－2)的直线交圆C 于E ，F 两点，当圆C 的面积最小时，|EF |的最小值为________．
解析：依题意得，动圆C 的半径不小于1
2|AB |＝5，即当圆C 的面积最小时，AB 是圆C
的一条直径，此时点C 是线段AB 的中点，即点C (2，－1)，又点M 的坐标为(1，－2)，且|CM |＝
（2－1）2＋（－1＋2）2＝2<5，所以点M 位于圆C 内，点M 为线段EF 的中点(过定
圆内一定点作圆的弦，最短的弦是以该定点为中点的弦)时，|EF |最小，其最小值为2
（5）2－（2）2＝2 3. 答案：2 3
13．(2019·宁波市余姚中学期中检测)设直线系M ：x cos θ＋(y －2)sin θ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：
①M 中所有直线均经过一个定点； ②存在定点P 不在M 中的任一条直线上；
③对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；
④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号)．
解析：因为点(0，2)到直线系M：x cos θ＋(y－2)·sin θ＝1(0≤θ≤2π)中每条直线的距离d ＝1
cos2θ＋sin2θ
＝1，直线系M：x cos θ＋(y－2)·sin θ＝1(0≤θ≤2π)表示圆x2＋(y－2)2＝1的切线的集合，
①由于直线系表示圆x2＋(y－2)2＝1的所有切线的集合，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点不可能，故①不正确；
②存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点(0，2)即符合条件，故②正确；
③由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n(n≥3)，存在正n 边形，其所有边均在M中的直线上，故③正确；
④如图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，
其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另
一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面
积不等，所以M中的直线所能围成的正三角形面积大小不一定相
等，故④不正确．
答案：②③
14．(2019·南京一模)如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线y＝
3
3(x＋1)上从左
向右依次取点A k，B k(k＝1，2，…，其中A1是坐标原点)，使△A k B k A k＋1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是________．
解析：直线y ＝
3
3
(x ＋1)的倾斜角为30°，与x 轴的交点为P (－1，0)，又△A 1B 1A 2是等边三角形，所以∠PB 1A 2＝90°，所以等边△A 1B 1A 2的边长为1，且A 2B 1∥A 3B 2∥…∥A 10B 9，A 2B 1与直线y ＝
3
3
(x ＋1)垂直，故△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，△A 4B 3B 4，…，△A 10B 9B 10均为直角三角形，且依次得到A 2B 2＝2，A 3B 3＝4，A 4B 4＝8，A 5B 5＝16，A 6B 6＝32，A 7B 7＝64，A 8B 8＝128，A 9B 9＝256，A 10B 10＝512，故△A 10B 10A 11的边长是512.
答案：512
15．在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；
(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下： 设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2.
又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－1
2，所以不能出现
AC ⊥BC 的情况．
(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x －x 2
2)．
由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m
2
.
联立⎩⎨⎧x ＝－m 2，
y －12＝x 2
（x －x 2
2
），又x 2
2
＋mx 2
－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m 2
，
y ＝－1
2.
所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m 2，－1
2)，半径r ＝
m 2＋9
2
. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－（m
2
）2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的
弦长为定值．
16．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.
(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |取得最小值时点P 的坐标．
解：(1)圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.
①当此切线在两坐标轴上的截距为零时，设此切线方程为y ＝kx ， 由|k ＋2|
1＋k 2
＝2，得k ＝2±6；
所以此切线方程为y ＝(2±6)x .
②当此切线在两坐标轴上的截距不为零时，设此切线方程为x ＋y －a ＝0，由|－1＋2－a |2＝
2，得|a －1|＝2，即a ＝－1或a ＝3.
所以此切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.
综上，此切线方程为y ＝(2＋6)x 或y ＝(2－6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (2)由|PO |＝|PM |，得|PO |2＝|PM |2＝|PC |2－|CM |2，
即x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2
－2，整理得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝
0上，
当|PM |取最小值时，|PO |取最小值，
此时直线PO ⊥l ，所以直线PO 的方程为2x ＋y ＝0. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0
2x －4y ＋3＝0，得⎩
⎨⎧x ＝－3
10y ＝35
，
故使|PM |取得最小值时，点P 的坐标为⎝⎛⎭
⎫－310，35. 17.(2019·杭州市高三期末考试)如图，P 是直线x ＝4上一动点，以P 为圆心的圆Γ经定点B (1，0)，直线l 是圆Γ在点B 处的切线，过A (－1，0)作圆Γ的两条切线分别与l 交于E ，F 两点．
(1)求证：|EA |＋|EB |为定值；
(2)设直线l 交直线x ＝4于点Q ，证明：|EB |·|FQ |＝|BF |·|EQ |. 证明：(1)设AE 切圆于M ，直线x ＝4与x 轴的交点为N ， 则EM ＝EB ， 所以|EA |＋|EB |＝|AM |＝
AP 2－PM 2＝
AP 2－PB 2＝
AN 2－BN 2＝4为定值． (2)同理|F A |＋|FB |＝4，
所以E ，F 均在椭圆x 24＋y 2
3
＝1上，
设直线EF 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，令x ＝4，y Q ＝3
m ，
直线与椭圆方程联立得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝ －
6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－
9
3m 2＋4
. 因为E ，B ，F ，Q 在同一条直线上，
所以|EB |·|FQ |＝|BF |·|EQ |等价于－y 1·3m ＋y 1y 2＝y 2·3m －y 1y 2，
所以2y 1y 2＝(y 1＋y 2)·3
m
，
代入y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－9
3m 2＋4成立，
所以|EB |·|FQ |＝|BF |·|EQ |.
18．(2019·金华十校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．
(1)求圆C 的方程；
(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存
在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心C (a ，0)⎝⎛⎭⎫a ＞－52， 则|4a ＋10|
5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．
所以圆C ：x 2＋y 2＝4.
(2)存在．当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .
当直线AB 的斜率存在时，
设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，
y ＝
k （x －1），得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2
k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4
k 2＋1.
若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）
x 1－t
＋
k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（
k 2－4）k 2＋1－
2k 2（t ＋1）
k 2＋1
＋2t ＝0⇒t ＝4，
所以当点N 为(4，0)时，x 轴平分∠ANB .。