概率论与数理统计第三、四章答案

第三章 习题参考答案
1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。

解：由习题二第2题计算结果
01
12{0}={1}=
3
3
p p p p ξξ====，
得
122
01333
E ξ=⨯+⨯= 一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===
2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。

解：方法一：先按定义计算长的数学期望
290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=
和宽的数学期望
190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=
再利用数学期望的性质计算周长的数学期望
(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=
方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望
960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2）(2)E R π是否等于2ER π？（3）能否用2()ER π来计算远面积的期望值，如果不能
用，又该如何计算？其结果是什么？
解（1）100.1110.4120.3130.211.6ER =⨯+⨯+⨯+⨯=
（2）由数学期望的性质有
(2)223.2E R ER πππ==
（3）因为22()()E R E R ππ≠，所以不能用2()E R π来计算圆面积
的期望值。

利用随机变量函数的期望公式可求得
222222()()(100.1110.4120.3130.2)135.4E R E R ππππ==⨯+⨯+⨯+⨯= 或者由习题二第31题计算结果，按求圆面积的数学期望
1000.11210.41440.31690.2)135.4E ηπππ=⨯+⨯+⨯+⨯=
4． 连续随机变量ξ的概率密度为
,01(,0)
()0,a kx x k a x ϕ⎧<<>=⎨⎩其它
又知0.75E ξ= ，求k 和a 的值 解 由
1
010()11324
a a k
x dx kx dx a k E kx x dx a ϕξ+∞
-∞==
=+=⋅==
+⎰⎰⎰
解得 2,3a k ==
5．计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差（参看习题二第16题）。

解 因为奇函数在对称区域的积分为零，所以||1
02
x E x e dx ξ+∞
--∞
==⎰，同样由偶函数在对称区域积分的性质可计算
2
2
||
201()2x x D E x e dx x e dx ξξ+∞
+∞---∞
===⎰
⎰
20
|
22x x x e xe dx +∞
-+∞
-=-+=⎰
6题目略
解 (1)15辆车的里程均值为
1274(9050150)91.33153
++⋅⋅⋅+=≈ (2) 记ξ为从188辆汽车中任取一辆记录的里程数，则ξ的分布表如下表所示（a=188）
故5
1124520
103017096.1718818818847
E ξ=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=≈ 7题目略
解 记ξ为种子甲的每公顷产量，η为种子乙的每公顷产量，则
45000.1248000.3851000.454000.14944E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 45000.2348000.2451000.354000.234959E η=⨯+⨯+⨯+⨯=
8．一个螺丝钉的重量是随机变量，期望值10g,标准差为1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差个为多少（假设每个螺丝钉的重量都部首其他螺丝钉重量的影响）？
解 设i ξ为一盒中第i 个螺丝钉的重量(1,2,,100)i =⋅⋅⋅,则 题设条件为
101,i E g g ξ==且12100,,,ξξξ⋅⋅⋅相互独立。

设一盒螺丝钉的重量
为随机变量100
1i i ηξ==∑，则期望和标准差分别为
100100
11
11
100100
22
11
()1000()
[()]()10()
i i
i i
i i
i i
E E E g
D D g
ηξξ
ξξ
==
==
===
====
∑∑
∑∑
注此题不能认为100
ηξ
=,因为这意味着所有螺丝钉的重量完全一样,这是不符合实际情况的.因此
100()g
===
是错误结果。

9. 已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值。

解设ξ为5个产品中的次品数，则ξ的分布率为
5
1090
5
100
()(0,1,2,3,4,5)
k k
C C
p k k
C
ξ
-
===
于是期望值为
5
5
1090
5
0100
50
0.5
100
k k
k
C C
E k
C
ξ
-
=
=⋅==
∑
10．一批零件中有9个合格品和3个废品，在安装机器时，从这些零件中任取1个，如果取出的是废品就不再放回去。

求在取得合格品以前，已经取出的废品数的数学期望和方差。

解设ξ为取得合格品之前取出的废品数，则ξ服从如下表所示的分布，于是
39913
01230.3
44422022010
Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯==
222239919
()012344422022022
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
22293351
()()()0.31922101100
D E E ξξξ=-=
-=≈ 11.假定每人生日在各个月份的机会是同样的，求3个人中生日在第1个季度的平均人数。

解 设3人中生日在第1季度的人数为ξ
，则ξ
的分布律为
3313
()()()(0,1,2,3)44
k k k p k C k ξ-===
故平均人数为
3
330133()()444
k k k
k E k C ξ-==⋅=
∑‘ 12．ξ有分布函数1,0
()0x e x F x λ-⎧->=⎨⎩，其它
，求E D ξξ及
解 ξ的密度函数为
,0
()()0,0
x e x x F x x λλϕ-⎧>'==⎨≤⎩
+++0
1
|
x
x x
E x e
dx x e
e
dx λλλξλλλ
∞
∞
--∞
-==-+=
⎰
⎰
++2
2
2
+0
()|
2x
x x E x e
dx x e
xe dx λλλξλλ∞∞
--∞
-=
=-+⎰
⎰
+2
2
2
x x e dx λλλλ∞
-=
=
⎰
2222
22
11()()()D E E ξξξλλλ
=-=
-=
或者利用伽马函数的性质
++0
1
11
(2)x
x E x e
dx x e d x λλξλλλλλλ
∞∞
--==
=Γ==⎰
⎰
++2
222
2
2
1
1
2
()()(3)x
x E x e
dx x e d x λλξλλλλ
λ
λ
∞
∞
--==
=
Γ=⎰
⎰
2222
22
11
()()()D E E ξξξλλλ
=-=
-=
13
．|1~()0,x x ξϕ<=⎩
其它，求D ξ和E ξ 解 由奇函数在对称区间的积分为零知
1
0E ξ-==⎰
或者
1
222
2
sin cos sin |0
t
t
E t dt π
π
π
π
πξπ
π
--
-====-
=⎰⎰⎰于是
D ξ=2
()E ξ
=
2
1
-⎰
=2sin t π
=⎰220
2
sin tdt π
π
⎰
22002
1cos 22sin 2()|0.5224
t t t dt π
π
ππ-==-=⎰ 14．计算习题二第22题中的ξη+期望与方差。

解 由习题二第33题求得的ξη+分布可求得其数学期望和方差 2
110
()34333
E ξη+=⨯+⨯=
2
2
22134
[()]34333
E ξη+=⨯+⨯=
234102()()339
D ξη+=
-= 15．计算习题二第23题中的ξη-期望与方差。

解 由习题二第34题求得的ξη-分布可求得其数学期望和方差
141151()2()023********
E ξη-=-⨯+-⨯
+⨯+⨯= 2
11611585
[()]404391261227
E ξη-=⨯+⨯+⨯+⨯=
28511091
()()2718324
D ξη-=
-=
16．如果ξη和独立，不求出ξη的分布，直接从ξ的分布和η的分布能否计算出()D ξη，怎样计算？
解 由ξ与η独立，知2ξ与2η独立，根据数学期望的性质有
2
22)(),)()E
E E E E E ξηξηξηξη（）=(（）=( 故 2
22222[][]=)()-)()D
E E E E E E ξηξηξηξηξη（）=（）-（）(( 17.随机变量η是另一个随机变量ξ的函数,并且(0)e λξηλ=>,若
E η存在,求证对于任何实数a 都有{}x p a e Ee λλξξ-≥≤⋅.
证明：不妨设ξ是连续型随机变量，其密度函数为()x ϕ，注意到当
x a ≥时，有()1(0)x a e λλ-≥>，于是
()
{}()()()()
x a a
x a a
a
p a x dx e
x dx e
e x dx e E e λλλλλξξϕϕϕ+∞
+∞
+∞
----∞
≥=≤≤≤⎰⎰⎰
若ξ为离散型随机变量，则将推倒的积分换成级数求和同样成立。

18．证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.
证明 设ξ为一次试验中A 发生的次数，则ξ服从0-1分布，()p p A =则 E p ξ=
22(1)(0)(1)(1)(01)D p p p p p p p ξ=-⨯+-⨯-=-≤≤
而函数(1)p p -在[0,1]上的最大值为1
4
，故14D ξ≤
19．证明对于任何常数c,随机变量ξ有 22[()]()D E c E c ξξξ=---
证明 因为 22222[()](2)()2()E c E c c E cE c ξξξξξ-=-+=-+
222()()2()E c E cE c ξξξ-=-+
所以两式的差为 22()()E E D ξξξ-= 或者
2222()[()][()][()]()D D c E c E c E c E c ξξξξξξ=-=---=--- 20．(,)ξη的联合概率密度为()(,)(,0)x y x y e x y ϕ-+=>，计算它们的协方差cov(,)ξη
解 先求ξη和的边缘密度函数
()10
()(0)x y x x e dy e x ϕ+∞
-+-==>⎰
()20
()(0)x y y y e dx e y ϕ+∞
-+-==>⎰
由12(,)()()x y x y ϕϕϕ=知ξη与相互独立,故ξη与不相关,
即 cov(,)=0ξη
21.计算习题二第22题ξη与的协方差。

解 由习题二第22题的计算结果可列出其联合分布和边缘分布表(见下表)，于是
2125125
1212333333
1118
()102()433123
851
cov(,)()()()()339
E E E E E E ξηξηξηξηξη=⨯+⨯==⨯+⨯=
=⨯+⨯++⨯==-=-=-
，
22.计算习题二第23题ξη与的相关系数。

解 习题二第23题求出的分布表（见下表），可求得
2222222525552525
(1)02()(1)021212121212121212255275711413=,011212144123121236
711437
()0()11231212108E E D E E ξξξηη=-⨯
+⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯==-=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=
，（）
23713275()108361296
711113
()0(1)()12331236D E ηξη=
-==⨯+-⨯+-⨯=-
132513221cov(,),361236432
221275ξηξηρ=-
-⨯=-=
==-
23．(,)ξη的联合概率分布如下表所示，计算ξη与的相关系数， 并判断ξη与是否独立？
解 (,)ξη的联合分布和边缘分布如下表所示
2222323(1)010
888
3233
()(1)018884111
0110
244
cov(,)()()()0,0
E E D E D E E E E ξηξξη
ξηξηξηξηρ==-⨯+⨯+⨯===-⨯+⨯+⨯===⨯+-⨯+⨯==-==(）（）
但(1)(2)11
1191648
p p
p =≠=，知ξη与不相互独立。

24．两个随机变量ξ与η，已知25,25,0.4D D ξηξηρ===,计算
(+D ξη）与(-D ξη）
. 解 cov(,)56=12ξηξηρ=⨯⨯
(+)2cov(,)85()2cov(,)37
D D D D D D ξηξηξηξηξηξη=++=-=+-=
第四章习题解答（参考答案）
1.若每次射击靶的概率为0.7，求射击10炮，命中三炮的概率，至少命中3炮的概率，最可能命中几炮。

解: 记射击10炮的命中次数为ξ,则~(10,0.7)B ξ,所求概率为
33710
(3)0.70.30.009p C ξ==⨯= 643(3)1(0)(1)(2)1 5.9010 1.3810 1.45100.9984p p p p ξξξξ---≥=-=-=-==-⨯-⨯-⨯= 最可能的命中炮数为[100.70.7]7⨯+=炮.
2.在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01,求生产10件产品中废品数不超过2个的概率.
解 记废品数为ξ，则~(10,0.01)B ξ，所求概率为
210100(2)0.010.99
k k k k p C ξ-=≤=⨯∑
0.90440.09140.0042 1.000=++=
3．某车间有20台同型号机床，每台机车开动的概率为0.8，若假定各机床是否开动彼此独立，每台机车开动时所消耗的电能为15个单位，求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率。

解 设20台机床中有ξ台开动，则~(20,0.8)B ξ，所求概率为 270()(18)(19)(20)15
p p p p ξξξξ≥==+=+= 182********.80.2200.80.20.80.206=⨯⨯+⨯⨯+=
4．从一批废品率为0.1的产品中，重复抽取20个进行检查，求这20个产品中废品率不大于0.1的概率。

解 设ξ为20个产品中废品的个数，则~(20,0.1)B ξ，所求概率为
(0.15)(3)20p p ξ
ξ≤=≤201920.9200.10.9+1900.1=+⨯⨯⨯
183170.9+11400.10.9=0867⨯⨯⨯. 5．生产某种产品的废品率为0.1，抽取20件产品，初步检查已发现2件废品，问这20件中，废品不少于3件的概率.
解 设ξ为20件产品中废品的个数，则~(20,0.1)B ξ，所求概率为 20192182019(3)
(3|2)(2)
1(0.9200.10.9+1900.10.9)1(0.9200.10.9)
0.3230.5310.608
p p p ξξξξ≥≥≥=≥-+⨯⨯⨯⨯=-+⨯⨯== 6．抛掷4颗正六面体的骰子，ξ为出现么点的骰子数目，求ξ的概率分布，以及出现么点的骰子的最可能值.
解 设ξ为4 颗骰子中出现么点的个数，则1~(4,)6
B ξ ，即有分布律 44
11()()()()(0,1,2,3,4)66k
k k p k p k C k ξ-==== 其分布函数为
0,0()(),1(0,1,2,3)1,4
i k x F x p k i x i k x =<⎧⎪⎪=≤≤+=⎨⎪⎪≥⎩∑
ξ的最可能值为 11[4]066
⨯+= 7．事件A 在每次试验中出现的概率为0.3,进行19次独立试验，求
（1）出现次数的平均值和标准差；（2）最可能出现的次数。

解 设ξ为19次试验中A 出现的次数，则~(19,0.3)B ξ，故可求得 （1）190.3 5.7E ξ=⨯=
1.997===
(2）ξ的最可能值=[190.30.3]65⨯+=和（因为190.30.3⨯+是整数）
8．已知随机变量ξ服从二项分布, 12E ξ= , =8D ξ，求p 和n 解 题设条件为~(,)B n p ξ，且
12,(1)8np np p =-=
由此解出 1,363
p n == 9．某柜台上有4个售货员，并预备了两个台秤，若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤，求在一天10小时内，平均有多少时间台秤不够用。

解 按题设条件可认为在任何时间每个售货员都以14
的概率使用台秤，设ξ为任何时刻要用台秤的售货员人数，则1~(4,)4B ξ，于是任何时刻台秤不够用的概率为
3344413113(2)()()()0.054444
p C ξ>=+=≈ 这个结果也可以解释为营业时间内5%的时间台秤不够用，故10个小时内大约有半小时秤不够用。

10．已知试验的成功率为p ，进行4重贝努里试验，计算在没有全部失败的情况下，试验成功不止一次的概率.
解 设ξ为4次试验中成功的次数，则~(4,)B p ξ，所求概率为
43344(1)1(1)4(1)4(1)(1|0)1(0)1(1)1(1)p p p p p p p p p p ξξξξ>----->>===->----
11．ξ服从参数为2，p 的二项分布，已知(1)p ξ≥ =5/9，那么成功率为p 的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少？
解 由题设条件~(2,)B p ξ和251(1)9p --=，可解出13
p =，再设1~(4,)3B η，则所求概率为 4265{1}1()381
p η≥=-= 12．一批产品20个中有5个废品，任意抽取4个，求废品数不多于2个的概率。

解 设ξ为所取的4个废品的个数，则ξ服从参数N=20,M=5,n=4的超几何分布，所求概率为
(2)1(3)(4)p p p ξξξ≤=-=-=
10193810.968323969969
=--=≈ 13．如果产品是大批的，从中抽取的数目不大时，则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算。

试将下例用两个公式计算，并比较其结果。

产品的废品率为0.1,从1000个产品中任意抽取3个，求废品数为1个的概率。

解 记ξ为所取3个产品中的废品数。

(1)设ξ服从参数为N=1000,M=100,n=3的超几何分布,则所求概率为 121009003100013485(1)0.2434655389
C C p C ξ===≈ (2)若~(3,0.1)B ξ，则所求概率为
2(1)30.10.90.243p ξ==⨯⨯=
两者的差异仅为0.00046.
14. 从一副扑克牌（52张）中发出5张,求其中黑桃张数的概率分布 解 设ξ为5张中黑桃的张数，由题意知ξ服从N=52,M=13,n=5的超
几何分布，即 51339552
{}(0,1,2,3,4,5)k k C C p k k C ξ-=== 由此分布律可列出分布表（见下）
15. 从大批发芽率为0.8的种子中，任取10粒，求发芽数不少于8例的概率。

解 记ξ为10粒种子中发芽的种子数，则~(10,0.8)B ξ，所求概率为
88299101010(8)0.80.20.80.20.8p C C ξ≥=⨯⨯+⨯⨯+
0.3020+0.2684+0.1074=0.6778=
16．一批产品的废品率为0.001，用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率，以及不超过2件的概率。

解 记ξ为800件产品中的废品数,则~(800,0.001)B ξ，由于800n = 很大，0.001p =很小，故可用普哇松公式计算本题概率
(8000.0010.8)λ=⨯=
2
0.80.8{2}0.14382!
p e ξ-=≈= 2
0.80.8{2}(10.8)0.95262!
p e ξ-≤≈++= 17．某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布，平均一件上有0.8个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大
于1而不多于4为二等品，价值8元，4个以上为废品。

求产品为废品的概率以及产品的平均价值。

解 产品上的疵点数为ξ，则~()p ξλ，且0.8E λξ==，产品为废品
的概率为 234
0.80.80.80.8{4}1(10.8)0.00142!3!4!
p e ξ->=-++++= 再设产品的价值为η，则η的分布律为
0.8234
0.8{10}{1}(10.8)0.8088
0.80.80.8{8}{11}()0.18982!3!4!
{0}1{10}{8}0.0014
p p e p p e p p p ηξηξηηη--==≤=+===<≤=++===-=-== 故产品的平均价值为
0.8088100.189889.61E η=⨯+⨯=(元)
18.一个合订本共100页，平均每页上有两个印刷错误，假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布，计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率。

解 设ξ为每页上的印刷错误数，由题设条件知~()p ξλ ，且 2E λξ==，则一页上印刷错误不超过4个的概率为 234
0.8222{4}(12)0.94732!3!4!
p e ξ-≤=++++= 于是各页的错误都不超过4个的概率为
100[{4}]00045p ξ≤=.
19．某型号电子管的“寿命”ξ服从指数分布，如果它的平均寿命 1000E ξ=小时，写出ξ的概率密度，并计算(1000<1200)p ξ≤. 解 因为1
1000E ξλ==，故ξ的概率密度为
1200
100010001(1000<1200)=1000x p e dx ξ-≤⎰ 10001,0()10000,0x e x x x ϕ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 1200
100010001(1000<1200)=1000x p e dx ξ-≤⎰1 1.20.0667e e --=-=。