2007年江苏高考数学压轴题的巧思妙解

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2007 第 15 期 数 学 通 讯
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世界各地数学奥林匹克试题摘编
记 y = cx4 - 2 cx3 + 2 cx2 - cx + 1 ,则方 程 (3) 无实数根等价于函数 y = cx 4 - 2 cx 3 + 2 cx 2 - cx + 1 的图象与 x 轴无交点.
考虑 y′= 4 cx 3 - 6 cx 2 + 4 cx - c = c (2 x - 1) (2 x2 - 2 x + 1) .
∴ f ( x) = bx2 + cx = - cx ( x - 1) ,所
以 f ( x ) = 0 可化为
- cx ( x - 1) = 0
(1)
由 a = 1 得 g ( x) = x3 - cx2 + cx = x ·
( x2 - cx + c)
∴ g ( f ( x ) ) = f ( x ) ·[ f 2 ( x ) - c f ( x )
令
y′= 0
,得
x
=
1 2
.
①当 c > 0 时 :
x
(-
∞,
1 2
)
1 2
(
1 2
,+
∞)
y′
-
0
+
y
γ
极小值
η
依题意知 , Q ( x ) = ( x - a5 ) ( x - b5 ) ( x c5 ) = x3 - ( a5 + b5 + c5 ) x2 + ( a5 b5 + a5 c5 + b5 c5 ) x - a5 b5 c5 = x3 - S 5 x2 + T5 x + 1. 这里 S 5 = a5 + b5 + c5 , T5 = a5 b5 + b5 c5 + c5 a5 .
1) 求 d 的值 ; 2) 若 a = 0 ,求 c 的取值范围 ; 3) 若 a = 1 , f (1) = 0 ,求 c 的取值范围. 原参考答案
1) d = 0 解答略. 2) c ∈[ 0 ,4) . 解答略. 3) 由 d = 0 , f (1) = 0 得 b = - c , f ( x ) = bx2 + cx = - cx ( x - 1) . g ( f ( x ) ) = f ( x ) ·[ f 2 ( x ) - c f ( x ) +
题目 已知 a , b , c , d 是不全为零的实 数 ,函数 f ( x ) = bx2 + cx + d , g ( x ) = ax 3 + bx2 + cx + d. 方程 f ( x) = 0 有实数根 , 且 f ( x ) = 0 的实数根都是 g ( f ( x ) ) = 0 的根 ; 反之 , g ( f ( x ) ) = 0 的实数根都是 f ( x ) = 0 的根
徐学文
(华中师范大学数学与统计学学院 ,湖北 430079)
中图分类号 : O12 - 44 文献标识码 : A 文章编号 : 0488 - 7395 (2007) 15 - 0045 - 03
本文中| A | 表示集合 A 的元素个数. 1 设 P ( x) = x3 - 3 x + 1. 求一个多项式 Q ( x ) , 使得 Q ( x) 的根是 P( x) 的根的 5 次幂.
+ c ] = - c2 x ( x - 1) ( cx 4 - 2 cx 3 + 2 cx 2 - cx
+ 1) .
∴ g ( f ( x ) ) = 0 可化为 - c2 x ( x - 1)
( cx4 - 2 cx3 + 2 cx2 - cx + 1) = 0
(2)
收稿日期 :2007 - 06 - 26
c]. 由 f ( x) = 0 可以推得 g ( f ( x) ) = 0 ,知
方程 f ( x ) = 0 的根一定是方程 g ( f ( x ) ) = 0 的根.
当 c = 0 时 ,符合题意. 当 c ≠0 时 , b ≠0 ,方程 f ( x ) = 0 的根不 是 f 2 ( x) - c f ( x) + c = 0 的根. 因此 ,根据 题意方程 f 2 ( x ) - c f ( x ) + c = 0 应无实数 根. 那么当 ( - c) 2 - 4 c < 0 即 0 < c < 4 时 , f 2 ( x ) - c f ( x ) + c > 0 符合题意. 当 ( - c) 2 - 4 c ≥0 时即 c < 0 或 c ≥4 时 ,由 方 程 f 2 ( x ) - c f ( x) + c = 0 可 得
,解得
c
>
16 3
.
矛盾
,舍去.
c2 - 4 c <
当 c ≥4 时 ,只需 - c2 + 2 c c2 - 4 c <
0
,解得
4
≤c
<
16 3
.
综上所述 , 所求 c 的取值范围为 [ 0 ,
16 3
)
.
原参考答案的解决初等而巧妙. 本文试
图利用导数知识给出一个通解通法.
由 f (1) = 0 得 b = - c ,
解 设 a , b , c 是 P ( x ) 的根. 由根与系数的 关系 ,有
a+ b+ c=0, ab + bc + ca = - 3 , abc = 1.
显然方程 (1) 的根都是方程 (2) 的根 ,依 题意方程 (2) 的根应都是方程 (1) 的根. 故要 求方程
cx4 - 2 cx3 + 2 cx2 - cx + 1 = 0 (3) 无实数根 (因 x = 0 或 x = 1 显然不是方程 (3) 的实数根) .
f ( x) = -
cx2 + cx = c ±
c2 2
-
4c
,即
cx2
-
cx + c ±
c2 2
-
4c
=
0.
此方程应无实数根.
所以有
( - c) 2 - 4 c·c +
c2 2
-
4c
<0
且 ( - c) 2 - 4 c·c -
c2 2
-
4c
< 0.
当 c < 0 时 ,只需 - c2 - 2 c
0
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数 学 通 讯 2007 年第 15 期
2007 年江苏高考数学压轴题的巧思妙解
卞 祖 英 沈 友 桂
(江苏省兴化市楚水实验学校 225700)
中图分类号 : O12 - 44 文献标识码 : A 文章编号 : 0488 - 7395 (2007) 15 - 0044 - 02