六面体网格剖分算法的研究现状

六面体网格剖分算法的研究现状∗

李丹金灿刘晓平

合肥工业大学计算机与信息学院可视化与协同计算（VCC）研究室，安徽合肥 230009

摘 要：总结了有限元六面体网格生成方法的研究进展。首先，指出了六面体网格不同于其他网格的优点。其次对当前的主要研究热点——全六面体网格生成进行了阐述。最后简要地探讨了该领域的发展趋势。

关键词：有限元面体网格格生成

Present Situation of Research on Finite Element All-hex

Mesh Generation Methods

Li Dan Jin Can Liu Xiao-ping

VCC Division, School of Computer and Information, Hefei University of Technology, Hefei,

230009, China

Abstract: This paper presents the advances of research in all-hex mesh generation for finite element computation. Firstly, the advantages of all-hex mesh different from other meshes are presented. Secondly, the main research fields-all-hex mesh generation are discussed in detail. Finally, the trends of this field are presented briefly.

Keywords: Finite Element; all-hex mesh; mesh generation

1 前言

有限元分析是结合工业建模、计算机技术和数值计算而产生的新兴学科。有限元分析的基本过程可以分为三个阶段：有限元模型的建立(工业建模，即前处理)、有限元分析（数值计算）、结果处理和评价(即后处理)。根据专家统计，有限元分析各个阶段所占用的时间分别为：40％~45％的时间用于模型的建立，50％~55％的时间用于结果处理和评定，而

*基金资助：国家自然科学基金(60673028).

作者简介：李丹(1987-), 女, 安徽合肥, 汉族, 硕士研究生, 研究方向为计算机辅助设计; 金灿(1982-), 男, 安徽合肥, 汉族, 博士生, 研究方向为计算机辅助设计; 刘晓平(1964), 男, 山东济南, 汉族, 教授, 博导, 研究方向为建模、仿真与协同计算.

有限元分析只占用5％左右的时间。由此可以看出，有限元分析过程中，大部分的时间用于前处理和后处理，如何有效并合理的进行有限元分析的前后处理是有限元分析的主要研究重点，前后处理过程的复杂性严重地阻碍着有限元分析技术的应用和发展。

有限元网格生成是有限元分析前处理部分的关键问题，是有限元法的一个非常重要的研究领域，经历了40多年的发展历程。其本质思想是利用有限元方法对模型中被关注的问题进行求解，即将已建立的模型离散成有限数量的单元，以便使偏微分方程有较好的数值解。网格划分的越细，计算结果就越精确，但是所耗费的时间业越长。因此，如何自动高效准确地将所分析的实体模型划分成具有高质量网格的分析模型是有限元网格生成的关键问题。

一直以来，很多学者及研究人员致力于有限元网格划分算法的研究，取得了很大的进展，但是，有限元网格划分算法研究中的某些难点问题始终未能得到真正意义上的解决，它们的解决对工程问题具有重要的现实价值和理论意义。许多学者对有限元网格生成方法的研究进行了概括和总结，对不同领域的研究进展方面作出了重大的贡献。

近年来，有限元网格生成方法的研究重点逐渐从三角形、四面体网格自动生成转移到四边形、六面体网格自动生成。六面体网格因其所具有的不同于其他网格的优点，使其在有限元仿真领域中得到了广泛应用。许多学者对六面体网格划分算法进行了研究，但因其复杂性的限制使其成为一项艰难的工程，目前虽然已经取得了很多成就，但是还没有达到较为完美的结果，因此笔者通过阅读和分析大量的文献，对六面体网格自动生成方法的研究进展进行了较全面的阐述，力图对六面体网格自动生成方法的研究做出微薄的贡献。

2 六面体网格的优点

在有限元仿真过程中，单元类型的选择对整个有限元仿真的计算效率、自动化程度、计算精度都将产生重要影响。单元类型选择不当不仅会导致计算时间大幅度增加，计算结果误差变大，有时甚至会导致问题不可解。

同三维四面体网格相比，由于三维六面体网格在计算精度（如极狭长六面体单元的计算精度远远优于极狭长四面体单元）、变形特性（如六面体单元可以在不失精度的情况下进行某方向的伸缩）、划分网格数量、抗畸变程度及再划分次数等方面比三维四面体网格具有明显的优势，另外在有些情况下只能采用六面体单元进行有限元分析。因此，六面体网格成为当今三维模型问题分析的首选网格。

目前，主要的六面体网格生成算法有原型法，映射法，扫掠法，基于栅格法，编须算法等。

3 不同的六面体网格生成算法综述

原型法是用预先设定的网格剖分模板来剖分可被识别的简单几何形体的一种网格生成方法。六面体网格原型就是可用网格剖分模板分解为六面体网格的简单几何形体。最基本的六面体原型为四面体，它可被分解为4个六面体。目前，复杂三维实体的全四面体网格全自动生成算法已经很成熟，结合四面体到六面体的网格剖分模板，即可轻易地实现复杂三维实体的全六面体网格生成。但遗憾的是，这种方法的边界拟合能力弱，生成的网格质量较差。左旭等采用十节点曲边四面体代替直边四面体，并采用非线性约束优化算法来提高六面体单元的质量，但只是部分地克服了上述两个缺点。

映射法又被称为映射单元法(Mapped Element Approach)，该方法出现于上个世纪七十年代，是三维网格划分中最早采用的网格生成方法。映射法的主要步骤分为：(1)划分目标区域：将复杂目标区域划分成若干个有利于映射的简单子区域；(2)对划分后的子区域进行映射操作及网格划分操作：根据子区域的边界方程，利用超映射函数，把参数空间内的六面体单元映射到欧氏空间再进行网格划分；(3)组装和修正网格：将各个子区域的网格剖分结果组装起来从而形成目标区域的整体网格，需要讨论子区域之间的网格相容性问题。

对于映射法的几个步骤进行分析可以发现，第一步和第三步是映射法的主要难点。在第一步中，子区域的划分是手工完成的，如何划分复杂目标区域没有一个绝对的衡量标准，而是仅仅要求划分出有利于映射的简单子区域。如何完成目标区域的自动分解是一个热点问题，针对这一问题，Price与Armstrong等提出了利用中面法来划分目标区域，将三维复杂区域划分成有利于映射的子区域。中面是指三维实体内最大球的球心的集合，最大球是指不能被实体内其它球所包含的球。目标区域被中面分割后可以得到有利于映射的简单子区域。但是，现有的中面算法一般需要大量的几何与代数计算，自动化程度和几何适应能力较差。Lu等提出一种基于特征识别技术的三维实体自动分解方法。由于引入了一些启发式规则，该方法可以在一定程度上模仿人们在处理复杂几何体网格生成问题时的思考过程，加之其可以和CAD系统紧密集成，因此这是一种有前途的自动分解算法。另外，Tam 等提出根据中面将三维目标域分解为预定义的13种类型的简单子区域的方法，该方法已在许多商业软件中得以实现。在第三步中，因为所得到的网格是基于每一个子区域进行划分的，因此在把这些子区域拼接成一个对应于目标区域的网格模型时，这些子区域的边界网格会出现不相容的问题。针对这一问题，李华和程耿东提出了三维组合式模板，一定条件下解决了子区域之间的网格相容性问题。另外，对于第二步中的对子区域进行网格划分问题，也有很多学者给出了不同的方法，王东风等基于等参映射法的六面体网格划分技术进行了详细研究，通过形函数映射技术将物理域映射到参数空间域，对规则参数域进行网格剖分，将参数域的网格反向映射回物理空间，从而得到物理空间六面体网格。利用等参映