城市间空气污染控制的马氏链模型

第33卷第1期2008年1月环境科学与管理

ENV I RONMENTAL SCI ENCE AND MANAG E MENT Vol 133N o 11

J an .2008

收稿日期:2007-08-03

作者简介:唐家德(1970-),男,云南楚雄人,楚雄师范学院数学系讲

师,理学硕士,主要从事应用数学的教学和研究工作。

文章编号:1673-1212(2008)01-0038-03

城市间空气污染控制的马氏链模型

唐家德,梁林

(楚雄师范学院数学系,云南楚雄675000)

摘 要:根据城市间空气污染物相互扩散和无后效性的特点,应用马尔可夫随机过程理论,先建立各城市污染

物浓度状态转移方程,再由城市间污染物浓度状态形成一个吸收链,建立城市间污染物排放控制的马氏链模型。通过模型求解,得出了城市间空气污染物浓度达到国家排放标准的条件,最后应用数值计算软件M AT -LA B ,编写了一个城市间空气污染控制的通用程序,它能在保证城市空气质量的前提下,快速准确地计算出控制区内各污染源污染物的最大允许排放量,这对环保部门进行城市空气污染物排放量控制工作具有实际意义。关键词:城市;空气污染;控制;马氏链中图分类号:X 51 O 211.62

文献标识码:A

A M arkov Cha i n M odel o fU rban A i r Poll uti on Contro l

T ang Jiade ,L iang L i n

(D e part m en t ofM at he m atics Chux i ong Nor m alU n i ver s ity ,Chux i ong 675000,C hina)

A bstract :Th is paper first establishes state transitio n equati on of t he ur ban air pollutant concentrati on ,based o n t he ur ban air

poll utan tm utual d iffusio n and non-aftereffect property .Then establishes aM arkov chai n m odel to descri be the u r ba n air pollutant co n ce n tratio n cha nges ,through t he m odel soluti on sho w s t hat ur ban ai r po ll u tant conce n tration i n nati onal e m iss i on sta ndards .F-i nall y w rites a ge ner al progra m to co n trol u r ba n ai r polluti on used num eri cal calculati on soft w areMATL AB ,it c an r ap i d l y a nd ac -c u r atel y calc u late t he m axm i u m allo w a b le poll uta n t e m iss i ons i n the vari ous sou r ces of poll u ti on c on trol d i stric.t The m ethod is sig -n ificant for ur ban air poll u ti on con tr o.l

K ey words :ur ban ;air poll u ti on ;c on tro;l m arkov chai n

前言

若干个城市之间空气污染物每年按一定比例相互扩散,各个城市还有一部分空气污染物扩散到这些城市之外,并且不再回来。每年各城市的污染源都排出一定的污染物,按照环境管理条例的要求,从长时间看,要求各城市的空气污染物浓度要达到国家标准,本文建立一个数学模型来描述各城市空气污染物浓度的变化规律,讨论各城市排出的污染物浓度在什么条件约束下,可以使各城市的空气污染物浓度稳定在国家标准范围内。

1 背景

若一个受随机因素影响的动态系统在每个时期

所处的状态是随机的,从这个时期到下个时期的状态按照一定的概率进行转移,并且下个时期的状态只取决于这个时期的状态和转移概率,与以前各时期的状态无关。这种性质称为无后效性,或马尔可夫(M ar k -ov)性,通俗地说就是:已知现在,将来与历史无关。具有无后效性的,时间、状态均为离散的随机转移过程通常用马氏链(M ar kov Chai n )模型描述。

城市空气污染物浓度未来的状态只与该时刻所处状态有关,与前一时刻所处状态无关,即具有无后效性。同时引起城市空气污染物浓度变化的因素有两种,一是各城市内部空气污染物的相互扩散;二是各城市空气污染物的排放和退出(一部分空气污染物扩散到这些城市之外,并且不再回来)。各个城市空气污染物浓度每一时刻按一定的比例变化,本是一个确定性的问题,但是如果我们把这种比例视为各城市空气污染物增加、降低或退出的概率,就能利用处理随机转移的马氏链模型来描述空气污染浓度的变化。

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2 数学模型的建立

下面先定义若干基本量,建立基本方程,然后讨

论如何控制各城市排放的污染物,保持城市污染物浓度稳定在国家标准范围内。

基本量与基本方程:设一个社会系统由k 个城市组成,时间以年为单位离散化,即考虑每年各城市排放的污染物量。城市记作i =1,2,L,k,时间记作t =0,1,2,L 。引入以下的定义和记号:

污染物浓度按城市的分布向量c(t)=(c 1(t),c 2(t),,,,c k (t)),其中c i (t)为第t 年城市i 的污染物浓度,于是有c i (t)\0。

转移矩阵Q ={p ij }k @k ,其中p ij 为每年从城市i 扩散至城市j 的污染物(在城市i 中占的)比例。污染物排放向量d =(d 1,d 2,,,d k ),其中d i

为每年城市i 排出的污染物浓度。

为了导出污染物浓度按城市的分布向量c(t)的变化规律,先写出各个城市污染物浓度的转移方程

c j (t +1)=

E k

i=1

p

ij c i

(t)+d j ,j =1,2,L,k (1)

用向量,矩阵符号可将(1)式表示为

c(t +1)=c(t)Q +d (2)

经递推可得

c(t)=c(0)Q t

+d E t-1

s =0Q

s

(3)

下面来介绍一下吸收状态、吸收链的定义以及相关的一个定理。

定义1[1]

转移概率p ij =1的状态i 称为吸收状态。如果马氏链至少包含一个吸收状态,并且从每一个非吸收状态出发,能以正的概率经有限次转移到达某个吸收状态,那么这个马氏链称为吸收链。吸收链的转移矩阵可以写成简单的标准形式,若有r 个吸收状态,k -r 个非吸收状态,则转移矩阵P 可表为

P =

E r @r

R Q

(4)其中k -r 阶子方阵Q 的特征值K 满足|K |<1。这要求子阵R (k-r )@r 中必含有非零元素,以满足从任一非吸收状态出发经有限次转移可到达某吸收状态的条件。这样Q 就不是随机矩阵,它至少存在一个小于1的行和,且如下定理成立。

定理1 对于吸收链P 的标准形式(4),(E -Q )可逆

M =(E -Q )

-1

=

E ]

s=0

Q

s

(5)

记元素全为1的列向量e =(1,1,,,,1)T

,则y =M e (6)的第i 分量是从第i 个非吸收状态出发,被某个吸收状态吸收的平均转移次数。

如果k 个城市的空气污染物浓度视为系统的k 个状态,并增加一个状态0表示污染物流出这个系统。暂不考虑污染物排放,污染物在k +1个状态间的转移矩阵可表示为

P =10R Q

(7)

其中第一行对应于状态0,因污染物一旦流出系统,就不再回来,所以状态0是一个吸收状态,不妨假定各城市均对应于非吸收状态,并且从这些状态出发可以到达状态0,即形成一个吸收链。于是由转移矩阵P 的标准形式(4)式和定理1可知,(E -Q )可逆,且(E -Q )

-1

=

E ]

s=0

Q s

。

这隐含着Q cy 0(t y ])。这样对(3)式令t y ]就有

c(])=d (E -Q )

-1

(8)

当我们希望系统中各城市空气污染物浓度趋向

于并稳定在国家污染物浓度标准c *

,只要在(8)式

中令c(])=c *

就可以得到

d =c *(E -Q )=c *-c *

Q (9)(9)式即为对k 个城市的污染物排放控制的基本方程。也就是说,对于给定的国家污染物浓度标准c *

和转移矩阵Q,按(9)式计算出的污染物排放向量d =(d 1,d 2,,,,d k )可以使各城市污染物浓度趋于国家污染物浓度标准c *

,似乎所讨论的问题已经成功解决了,但我们必须要注意到将(9)式代入到(3)式后得到的

c(t)=c(0)Q t

+(c *

-c *

Q )E t-1

s=0Q

s

(10)

是否对于t =1,2,,,都有c(t)E 0(指每个c i (t)E 0)

分两种情况讨论上述问题。

因为c(0)E 0,Q E 0(指每个元素不小于零),若

c *

E c *

Q (11)则由(10)式可知,对于任意的初始分布c(0)都有c(t)E 0。这时由(9)式给出的d 就是使c(t)y c *(t y ])的各城市空气污染物排放量,不妨称c *是可达到的。

当(11)式不成立时,将(10)式化为

c(t)=c(0)Q t +c *(E -Q )(E +Q +,+Q t-1

)

=c(0)Q t +c *(E -Q t

)=c *-[c *-c(0)]Q t (12)

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