武汉理工大学 电磁学电磁波答案

电磁场与电磁波复习题
一、填空题
1、矢量的通量物理含义是 矢量A 穿过曲面S 的矢量线总数，散度的物理意义 表示矢量场中任一点处通量对体积的变化率 。

散度与通量的关系是一个矢量通过一个闭合面的通量等于该矢量的散度对该闭合面所包围体积的体积分。

2、 散度在直角坐标系的表达式 ；
散度在圆柱坐标系下的表达式 ；
3、矢量函数的环量定义 矢量函数A 沿矢量场中任意闭合路径L 的线积分，旋度的定
义 。

二者的关系 一个矢量函数的环量等于该矢量函数的旋度对该闭合曲线所包围的任意曲面的积分 ；旋度的物理意义 旋度方向表示改点最大环量密度的方向，大小事改点环量密度的最大值 。

4、矢量的旋度在直角坐标系下的表达式 。

5、梯度的物理意义方向表示函数变化率最大的方向，大小是最大变化率的数值，等值面、方向导数与梯度的关系是 梯度的方向是函数变化率最大的方向，即与等值面垂直的法线方向，并且梯度的模等于函数在改点的最大变化率的数值；在标量场中任意一点处的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数增大的方向；函数在给定点处沿任意L 方向的方向导数，等于函数的梯度在L 方向上的投影；
6、用方向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直角坐标系中单位矢量l e 的表达式 ；
7、直角坐标系下方向导数u l
∂∂的数学表达式 ，梯度的表达式 ； 8、亥姆霍兹定理的表述 在有限区域V 内的任一矢量场，由它的散度，旋度和边界条件（即限定区域V 的闭合面S 上矢量场的分布）唯一确定 ，说明的问题是 要确定一个矢量描述的矢量场，必须同时确定该矢量的散度和旋度；相反，当一个矢量的散度，旋度同时确定后，该矢量或矢量场才唯一确定 。

9、麦克斯韦方程组的积分形式分别为 、 、 、 。

其物理描述分
别为 电荷是产生电场的通量源 、 变化的磁场是产生电场的漩涡源 、 磁场不可能有通量源产生 、 传导电流和位移电流产生磁场 。

10、麦克斯韦方程组的微分形式分别为 、 、 、 。

其物理意义分别为 、 、 、 。

11、时谐场是 激励源按一单一频率随时间做正弦变化时所激发的也随时间按正弦变化的场 ，
一般采用时谐场来分析时变电磁场的一般规律，是因为 任何时变周期函数都可用正弦函数表示的傅里叶级数来描述 ， 在线性条件下，可以使用叠加原理 。

12、坡印廷矢量的数学表达式 S=E*H ，其物理意义 代表单位时间内穿过所
组成微小面元的单元面积的电磁能流 。

表达式()s
E H dS ⨯⎰ 的物理意义 表示单位时间内穿出闭合曲面S 的电磁能流 ；
13、电介质的极化是指在外电场的作用下，电介质中出现有序排列电偶极子及表面出现束缚电
荷的现象。

两种极化现象分别是位移极化（无极分子）、转向极化（有极分子），产生的现象分别有有序排列、表面出现束缚电荷、影响外电场的分布。

描述电介质极化程度或强弱的物理量是极化矢量P 。

14、折射率的定义是 n=c/n ，折射率与波速和相对介电常数之间的关系分别为
v=c/n 、 n*n=εr 。

15、磁介质是指在外加磁场的作用下，能产生磁化现象并能影响外磁场分布的物质，磁
介质的种类可分别有抗磁质、顺磁质、铁磁质、亚铁磁质。

介质的磁化是指在外电场的作用下，物质中的原子磁矩将受到一个力矩的作用，所有原子磁矩都趋于与外磁场方向一致的排列，彼此不在抵消，结果对外产生磁效应，影响磁场的分布。

描述介质磁化程度的物理量是磁化矢量。

16、介质的三个物态方程分别是 D=εE 、 B=μH 、 Jc=rE 。

17、静态场是指场量不随时间变化的场，静态场包括静电场、恒定电场、恒
定磁场。

分别是由静止电荷或静止带电体、载有恒定电流的导体内部及其周围介、载有恒定电流的导体内部及其周围介质产生的。

18、静电场中的麦克斯韦方程组的积分形式分别为；静电场中的麦
克斯韦方程组的微分形式分别为；
19、对偶原理的内容是如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并且具有相似的边
界或对应的边界条件，那么它们的数学解的形式也是相同的。

叠加原理的内容是若u1和u2分别满足拉普拉斯方程，那么u1和u2的线性组合也必然满足拉普拉斯方程；
唯一性定理的内容是对于任一静态场，在边界条件给定后，空间各处的场也就唯一地确定了（或者说这时拉普拉斯方程的解是唯一的）
20、电磁场的亥姆霍兹方程组是，。

21、电磁波的极化是指均匀平面电磁波传播过程中，在某一波阵面上的电场矢量振动状态随时
间的变化方式，其三种基本形式分别是直线极化、圆极化、椭圆极化。

22、工程上经常用到损耗正切，其无耗介质的表达式是 r/wε，其表示的物理含义是
Jc与Jd的比值，用来描述媒介损耗的强弱。

损耗正切越大说明损耗越大。

有耗介质的损耗介质是个复数，说明均匀平面波中电场强度矢量与磁场强度矢量之间存在相位差。

23、一般用介质的损耗正切不同取值说明介质在不同情况下的性质。

一个介质是良介质的损耗
正切远小于（远大于、远小于）1，属于非色散介质；当表现为良导体时，损耗正切为远大于（远大于、远小于）1，属于色散介质。

24、波的色散是指不同频率的波将以不同的速率在介质中传播，其相应的介质为色散介
质。

波的色散是由媒介特性所决定的。

色散介质分为正常色散和非正常色
散介质，前者波长大的波，其相速度大（大、小），群速（大于、小于）相速；
后者是波长大的波，其相速度小（大、小），群速（大于、小于）相速；在无色散介
质中，不同波长的波相速度相等（相等、不相等），其群速等于（等于、不等
于）相速。

25、色散介质与介质的折射率的关系是在色散介质中，波的传播速度即相速取决于介质折射率
的实部，因而随频率而变，不同频率的波将以不同的速率在其中传播。

耗散介质是指
其折射率的虚部为非零值的媒介，这时波在传播的过程中会逐渐衰减。

26、基波的相速为 w/k ，群速就是波包或包络的传播速度，其表达式为dw/dk 。

一般情况下，相速与群速不相等，它是由于波包通过有色散的媒介，不同单色波分量以不
同的相速向前传播引起的。

27、趋肤效应是指当交变电流通过导体是，电流密度在导体横截面上的分布将是不均匀的，并
且随着电流变化频率的升高导体上所流过的电流将越来越集中于导体的表面附近，
趋肤深度的定义是电磁波的振幅衰减到e-1时它透入导电介质中的传播距离，趋肤深
度的的表达式σ=1/α或σ=c/w*n或σ=2εc*c/rw 。

二、名词解释
1、传导电流、位移电流
传导电流：自由电荷在导电媒介（有阻力的区域）中作有规则运动所形成的电流；
位移电流：电介质内部的电量将会随着时变电磁场中电场的不断变化而产生一种持续
的微观迁移，从而形成一种电流，这种电流不想传导电流和运流电流那样由电荷宏观
运动所产生的，它只是分子束缚蒂娜和微观位移的结果。

2、电介质的极化、磁介质的磁化
电介质的极化：这种在外电场的作用下，电介质中出现有序排列的电偶极子及表面上
出现束缚电荷的现象就是电介质的极化。

质的磁化：在外磁场3、静电场、恒定电场、恒定磁场
静止电荷或静止带电体产生的场为静电场；载有恒定电流的导体内部及其周围介质中产生
的电场为恒定电场；载有恒定电流的导体内部及其周围介质中产生的不随时间变化的磁场为恒
定磁场；
4、泊松方程、拉普拉斯方程
5、对偶原理、叠加原理、唯一性定理
对偶原理的内容是如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并且具有相似的边界或
对应的边界条件，那么它们的数学解的形式也是相同的。

叠加原理的内容是若u1和u2分别满足拉普拉斯方程，那么u1和u2的线性组合也必然满
足拉普拉斯方程；
唯一性定理的内容是对于任一静态场，在边界条件给定后，空间各处的场也就唯一地确定了（或者说这时拉普拉斯方程的解是唯一的）
6、镜像法、分离变量法、格林函数法、有限差分法
镜像法：利用一个称为镜像电荷的与源电荷相似的点电荷或线电荷来代替或等效实际电荷所产生的感应电荷，然后通过计算由源电荷和镜像电荷共同产生的合成电场，而得到源电荷与实际的感应电荷所产生的合成电场的方法。

分离变量法:把一个多变量的函数表示成为几个单变量函数的乘积后再进行计算。

格林函数法:格林函数是单位点源在一定的边界条件下所建立的场的位函数，因而格林函数又称源函数。

已知电荷分布等同于已知空间电场激励源的分布，因此只要知道点源的场，即可用叠加原理求出任意源的场。

有限元差分法：一种近似数值算法，属于有限元理论。

这种方法是在待求场域内选取有限个离散点，在各个离散点上以差分方程近似代替各点上的微分方程，从而把连续变量的形式表示的位函数转化为以离散点位函数值表示的方程组。

结合具体边界条件，求解差分方程组，即得到所选的各个离散点上的位函数值。

7、电磁波、平面电磁波、均以平面电磁波
电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，其传播方向垂直于电场与磁场构成的平面，有效的传递能量和动量。

平面电磁波：在传播过程中，对应于任意时刻t，在其传播空间具有相同相位的点所构成的等相位点（也成为波阵面）为平面。

均匀平面电磁波：在任一时刻，其所在平面中场的大小和方向都是不变的平面电磁波。

8、电磁波的极化
电磁波的极化：均匀平面电磁波传播过程中，在某一波阵面上电场矢量的振动状态随时间变化的方式为波的极化（偏振）这种极化通常是用电场矢量的尖端在空间随时间变化的轨迹来描述的。

9、相速、群速
相速：恒定相位面在波中向前推进的速度（等相位面的移动速度）
群速：包络波的传播速度（合成波的振幅是调制的称之为包络波）
10、波阻抗、传播矢量
波阻抗：电场和磁场的振幅的比称为媒质的波阻抗或本质阻抗，单位为欧姆（只与媒
质的特性有关）是媒质的固有属性。

传播矢量：用来表示波传播方向而引入的一个矢量，只要改变K的分量，就可以达到
改变波的传播方向的目的。

11、驻波、行波、行驻波
某一物理量的空间分布形态随着时间的推移向一定的方向行进所形成的波称为行
波；频率和振幅均相同、振动方向一致、传播方向相反的两列波叠加后形成的波，
形成波的条件是产生波的全反射，即由入射行波与反射行波叠加而成的驻波。

驻波的
平均功率流密度为零，没有电磁场能量的传输只有交换。

行波与驻波的混合状态称为
行驻波。

12、色散介质、耗散介质
色散介质是指波的传播速度即相速取决于介质折射率的实部，因而随频率而变，不同频率的波将以不同的速率在其中传播。

耗散介质是指其折射率的虚部为非零值的媒质。

这时波在传播的过程中会逐渐衰减。

13、全反射、全折射
当电磁波以某一入射角入射到煤质交界面上时，如果反射系数为零，则全部电磁波能
量都进入到第二种煤质，称为全反射。

如果反射系数|R|=1，则投射到界面上电磁波
将全部反射回第一种媒质中，这称为全反射
14、滞后位与动态位
三、简答题
1、散度和旋度均是用来描述矢量场的，它们之间有什么不同？
散度表示在场中任一点处通量对体积的变化率，也可看成是在该点处一个单位体积通过的通量，它表示了场中各点的场与通量源的关系，是一个标量函数。

而旋度是一个矢量函数。

某点的旋度方向是该点最大环量密度的方向，旋度的大小事该点环量密度的最大值。

2、亥姆霍兹定理的描述及其物理意义是什么？
亥姆霍兹定理描述的是在有限区域V内的任一矢量场，由它的散度，旋度和边界条件（即限定区域V的闭合面S上矢量场的分布）唯一确定。

物理意义：要确定一个矢量描述的矢量场，必须同时确定该矢量的散度和旋度；相反，当一个矢量的散度，旋度同时确定后，该矢量或矢量场才唯一确定，因此，矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。

3、分别叙述麦克斯韦方程组微分形式的物理意义？
第一方程，它是库仑定律的另一种表达形式，说明电荷是产生电场的通量源，电场是由电荷产生的；
第二方程，实质上是法拉第电磁感应定律的微分形式，说明了变化的磁场是产生电场的漩涡源；第三方程，说明了磁场不可能有通量源产生；
第四方程，是描述由电流产生磁场的安培定律的另一种表现形式，说明传导电流和位移电流是产生磁场的漩涡源。

4、举例说明电磁波的极化的工程应用
均匀平面波传播过程中，在某一波阵面上电场矢量的振动状态随时间变化的方式为波的极化。

波的极化形式取决于发射源，因此在工程上具有很重要的应用，例如：当利用极化波进行工作时，接收天线的极化特性必须与发射天线的极化特性相同，才能获得好的接收效果，这是天线设计中最重要的原则之一；在很多情况下，无线电系统必须利用圆极化才能正常工作。

如：在
火箭等飞行器在飞行过程中，若采用圆极化发射和接收信号来遥控火箭，则从理论上可避免失控的情况，目前，在电子对抗系统中，大多是采用圆极化波进行工作的。

5、分别说明平面电磁波在无耗介质和有耗介质中的传播特性
1)有耗介质中平面电磁波在电场方向，磁场方向与传播方向上的对应关系与理想电介质中（无耗介质）电磁波相同，即E波与B波相互垂直，相对于传播方向，E波是横波，B波也是横波，且E，B与传播方向三者两两垂直。

2）在无耗介质中，平面电磁波的场幅度是与Z无关的常量，电场与对应的磁场是同相位的；而在损耗介质中沿电磁波的传播方向，电场与磁场的幅度是随着Z的增加按指数衰减的（衰减的原因是由于媒介中的电流产生焦耳热损耗，是电磁场的传播能量逐渐减小），且磁场在相位上比对应的磁场有一个滞后角θ，当角频率W一定时θ随着媒介电导率的增大而增大，最大可达π/4，
3)损耗介质中电磁波的相速V由相位系数和角频率共同决定；而无耗介质中，相速是与频率无关的。

6、试论述介质在不同损耗正切取值时的特性？
当损耗正切《1时，媒质中的位移电流密度远大于传导电流密度，媒质特性与理想介质比较接近，电磁波的衰减损耗较弱，这样的媒质称为低损耗媒质。

此时有
1）电导率对相位常数的影响可以忽略，β的表达式与理想电介质相同，电磁波的相速基本上与频率无关，可以近似为非色散介质。

2）衰减常数比较小，因而电磁波幅度的衰减缓慢。

3）波阻抗近似为实数，电场与磁场几乎同相位，与理想介质中的情况近似。

当损耗正切》1时，媒质中的传导电流密度远大于位移电流密度，由于焦耳损耗很大，电磁波的幅度衰减非常快。

此时
1）很小的趋肤深度使良导体内电磁波的传播速度远小于真空中的电磁波速度C，并且速度v 与频率有关。

2）很大的α值使得电场和磁场的幅度衰减很快
3）波阻抗的相角θ≈π/4。

波阻抗很小，远小于真空中个的波阻抗。

在良导体中，磁场占主要位置，磁场能量远大于电场能量。

4）尽管良导体中的电场相对比较小，但由于导体的电导率很大，所以也会产生很大的传导电流。

7、试论述介质的色散带来电磁波传播和电磁波接收的影响，在通信系统中一般采取哪些有效的
措施？
色散现象来源于媒质的极化，磁化和载流子的定向运动。

由于电荷载体粒子的惯性影响，粒子的运动将落后于场的变化，产生滞后效应。

对于色散媒质，将无法使用时域方法求解麦克斯韦方程组，而必须采用频域法。

在色散介质中，波的传播速度即相速取决于介质折射率的实部，因而随频率而变，不同频率的波将以不同的速率在其中传播，当两种不同频率的波在色散介质
中以不同速度传播是，由于波包通过有色散媒质时，不同单色波分量以不同相速向前传播，使相速与群速不相等。

措施
8、论述趋肤效应在高速或高频电路板设计中的电路布线、器件选型、板层设计中的应用？ 变电流通过导体时，由于感应作用引起导体截面上电流分布不均匀，愈近导体表面电流密度越大。

这种现象称“趋肤效应”。

趋肤效应使导体的有效电阻增加。

频率越高，趋肤效应越显著。

当频率很高的电流通过导线时，可以认为电流只在导线表面上很薄的一层中流过，这等效于导线的截面减小，电阻增大。

既然导线的中心部分几乎没有电流通过，就可以把这中心部分除去以节约材料。

因此，在高频电路中可以采用空心导线代替实心导线。

此外，为了削弱趋肤效应，在高频电路中也往往使用多股相互绝缘细导线编织成束来代替同样截面积的粗导线，这种多股线束称为辫线。

在工业应用方面，利用趋肤效应可以对金属进行表面淬火。

9、定性叙述电磁波在介质分界面上的反射和折射时，电磁波的幅度、相位和极化状态和方向变
化关系
10、一个矢量场一般是需要采用矢量函数描述，要用一个标量函数描述这个矢量场的条件是什么？电磁场中的应用举例
四、计算题
考点：利用麦克斯韦方程组求解电磁场问题、求解自由空间电磁波问题、求解介质中的电磁波问题
题1：在无源的自由空间中，已知磁场强度 592.6310cos(31010)/y H e t z A m -=⨯⨯- 求位移电流密度d J 。

解：
B ＝u0*H=33*10^-12cos(3*10^-9t-10z)ey
因为在自由空间中，全电流密度J =0。

所以由麦克斯韦第四方程
20J E c B t
e ¶汛=+¶ 及位移电流密度0d E J t e ¶=¶ 得到200d E J c B t
e e ¶==汛¶ =20()x z B B c e e z x
e 抖-+抖 其中9011036e p -= F/m =()982129110(310)331010sin 3101036x t z e p
---
创创创创- A/m 2
=()5926.2610sin 31010x t z e --创- A/m 2
题2：在无源的区域中，已知调频广播电台辐射的电磁场的电场强度
2910sin(6.281020.9)/y E a t z v m -=⨯- 求空间任一点的磁感强度。

题3：在两导体平板（0=z 和d z =）之间的空气中传输的电磁波，其电场强度矢量 sin()cos()0E e E z t k x y x
πω=- 其中x k 为常数。

试求： （1）磁场强度矢量H 。

（2）两导体表面上的面电流密度s J 。

解：（1）将E
表示为复数形式: 0(,)sin()x ik x y E x z e E z e d
π-= 则由时谐形式的麦克斯韦方程可得：
000011(,)()[cos()sin()](/)x y y x z ik x x z x E E H x z E e e i i z x E z z e i e k e A m d d d
ωμωμπππωμ-∂∂=-
∇⨯=--+∂∂=-+ 而磁场的瞬时表达式为
0000(,,)cos()sin()
sin()cos()(/)x x x z x E z
H x z t e t k x d d
k E z
e t k x A m d
ππωωμπωωμ=-+-
（2）z=0处导体表面的电流密度为
00sin()(/)
s z z y x E J e H e t k x A m d πωωμ==⨯=-
z=d 处导体表面的电流密度为
0()sin()(/)s z z d y x E J e H e t k x A m d
πωωμ==-⨯=-
题4：电磁波在真空中传播，其电场强度矢量的复数表达式为：
420(,)()10(/)j z
x y E z t e je e V m π--=-
试求：（1）工作频率f 。

（2）磁场强度矢量的复数表达式。

（3）坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值。

题5：在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为
(20)4(20)421010(/)i t z i t z x y E e e e e
V m πωπωπ-+-=+ －－
试求：(1)平面波的传播方向；
（2）电磁波的频率；
（3）波的极化方式；
（4）磁场强度。

解：（1）从电场方程可知，传播方向为 z e
（2）从电场方程可知，20k π==
所以
ω=
9310()32f Hz GHz ωπ===⨯=
（1） 原电场可表示为
420()10i z x y E e ie e π--=+ 是左旋圆极化波
（2） 由0
1z H e E η=⨯ 可得 4(20)(20)77(20)
210()1202.6510 2.6510i t z y x i t z i t z x y H e ie e e e e e ωπ
πωπωππ---+---=-=-⨯+⨯ 题6：电磁波磁场振幅为1/3A m π
，在自由空间沿z e －方向传播，当t=0,z=0时，H 在y e 方向，相位常数β=30rad/m 。

试求：（1）H 和E 的表达式；
（2）频率和波长。

解：（1）在自由空间中，0120377ηπ==Ω
而30()rad β== 所以
9910(/)rad m ω=
=⨯ 于是得磁场 91c o s (91030)3y e t z π=-⨯+ H(z,t ） 电场 940c o s (9103
0)z x e e t z η⨯=⨯+ 0E=H (-) （2）91.4310()2f Hz ωπ=
=⨯
20.209()m πλβ==。