隔项等差数列的研究

22：数列的概念和等差数列

数列的概念1.数列的定义与通项公式（1）数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列，即,,,,,,321 n a a a a 简记为数列}.{n a 其中，1a 称为数列的首项，n a 称为数列的第n 项。

（2）数列的通项公式：如果数列}{n a 的前n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，可以记为).)((*∈=N n n f a n 填空题要写出数列的通项公式要记得写成“)(n f a n =”的形式。

如：已知数列}{n a 的前n 项和为,13-=n n S 那么该数列的通项公式为.321-⋅=n n a2.数列的前n 项和n S（1）,21n n a a a S +++= （2）n S 与n a 的关系：⎩⎨⎧≥-==-,2,,1,11n S S n S a n n n .例：已知数列}{n a 的前n 项和n S 的公式，求}{n a 的通项公式.（1）n n S n 322-=；（2）1322+-=n n S n .答案：（1）54-=n a n ；（2）..2,54,1,0⎩⎨⎧≥-==n n n a n3.数列的单调性①递增数列：对于任意,*∈N n 均有.1n n a a >+②递减数列：对于任意,*∈N n 均有.1n n a a <+例：已知数列}{n a 是递增数列，且,2n n a n λ+=则实数λ的取值范围为_________.答：).,3(+∞-4.求数列的最大项（或最小项）（1）利用数列的单调性：求n n a a -+1.例：若),()54(2n n a n n +=求数列}{n a 第几项最大.解：)1)(8)(51()54()()54(]1)1[()54(2211+--=+-+++=-++n n n n n n a a n n n n n ， ∴当71≤≤n 时，01>-+n n a a ；当8=n 时，01=-+n n a a ；当9≥n 时，01<-+n n a a .>>=<<<<∴1098721a a a a a a ，∴}{n a 中第8项或第9项最大.（2）利用相邻项的关系求解：若n a 最大，则⎩⎨⎧≥≥+-11n n n n a a a a ；若n a 最小，则⎩⎨⎧≤≤+-11n nn n a a a a .5.数列是关于项数n 的函数，其定义域是正整数集或它的子集，其图像是一些离散的点。

隔项等差、等比数列问题的常见类型及求解策略

隔项等差、等比数列问题的常见类型及求解策略
隔项等差数列是指相邻两项差值是定值的数列，等比数列是指每一项与前一项之比是定值的数列。

常见类型及求解策略： 1. 求隔项等差数列中任意两项的和：设该数列的公差为d，第一项为a1，最后一项为an，那么，它的任意两项的和为S=a1+an+(n-1)d； 2. 求隔项等差数列中任意二项的积：设该数列的公差为d，第一项为a1，最后一项为an，那么，它的任意二项的积为
P=a1*an+(n-1)d*(a1+an)/2； 3. 求等比数列中任意两项的和：设该数列的公比为q，第一项为a1，最后一项为an，那么，它的任意两项的和为S=a1*(1-
q^n)/(1-q)+an*(1-q^(n-1))/(1-q)； 4. 求等比数列中任意二项的积：设该数列的公比为q，第一项为a1，最后一项为an，那么，它的任意二项的积为
P=a1*an/q^(n-1)。

对数列隔项成等差问题的浅谈

�� 2 +�� 2
�� 2 −�� 2 �� 2 −�� 2 �� 2 +�� 2
+�� +�� +2�� − 2
然后综上,画个大括号写个结论这里不打了哈. 求和其实也是遵循着最基本的等差数列求和的原则 ,在这里我选择了分组求的办法 (只是个人见解而已,更优解等你来想哦),用这种方法时,先把最简单的一种情况算出来,然后结合通项, 加加减减就可以得到所有情况下的前 n 项和了.(注意计算) 再强调一下,这类问题还是蛮常见的,掌握这里讲的方法后,就可以轻轻松松的多拿点分数了. 新浪微博@邵爷很霸气
��−�� 13 7
× �� ( 以首项为
�� 的为例的话)
很简单,是么?那我们再玩点大的,顺便求个和玩玩儿.
例3、若数列 �� 满足��1 = ��且�� +1 +(−1)�� =2n-1(其中 a 为常数),�� 是数列 �� 的前 n 项和,数列 �� 满足�� =��2�� . (1) 求��1 + ��3 的值; (2) 试判断 �� 是否为等差数列,并说明理由; (3) 求�� . 解:(1)没啥好说,代代数字就行了.答案为 2. (2)分就讨论进行了,不讲啦╮(╯▽╰)╭ (3)’照样需要讨论当 n 为偶数时,有�� +1 +�� =2n-1 �� +2 -�� +1 =2n+1 二式相加得�� + �� +2 =4n �� +2 + �� +4 =4n+8 二式相减,得�� +4 − �� =8 当 n 为奇数时,�� +1 -�� =2n-1 �� +2 +�� +1 =2n+1 ‘发现这次是隔了三项的等差,爽!

4-2-1等差数列的概念(第二课时)课件(人教版)

注意：对于此性质，必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立！
巩固练习
在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10。
(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
Байду номын сангаас
分析：a1，a2，a3，a4，a5，... a1，？，？，？， a2，？，？，？，a3，... b1，b2 ， b3 ，b4 ， b5，b6 , b7 , b8 , b9 ,...
典
例分析
例2.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2) b29是不是数列{an}的项？若是,它是{an}的第几项？若不是，说明理由.
典
例例3.已知数列{an}是等差数列，p,q,s,t,∈N*,且p+q=s+t,
分析
则ap + aq = as + at
分析：只要根据等差数列的定义写出ap,aq,as,at,再利用已知条件即可得证。
证明：设数列{an}的公差为d, 则ap =a1+(p-1)d, aq =a1+(q-1)d,
4.已知数列{an} 的通项公式为 an 19 2n(n N * ) ，
问数列从第几项开始小于0？
课堂小结
请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1.本节课学习的等差数列的性质有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？

等差数列知识总结

数列概念及等差数列(原版)一、（1）数列与函数关系(可用函数思想研究数列) （2）通项公式（3）递推公式 (使用递推公式时关注起点) （4）1112n n n s n a s s n -ì=ïï=íï-?ïî 二、等差数列1.定义：递减递增，00,1<>=-+d d d a a n n ；证等差①1,n n a a d +-=②122+n n n a a a ++=2.通项公式()()nm a a d d m n a a d n a a nm m n n --=-+=-+=;11或若第二项开始等差，则121(2)2n a n a a n d n ì=ïï=íï+-?ïî 3若p s n m a a a a p s n m N p s n m +=++=+∈+则若,,,,若p n m a a a p n m 2,2=+=+则注意等式两边个数相同4.1n a dn a d =+-从函数上理解是关于n 的一次函数，n 的系数为d ；若a,b,c 等差，2b a c ba c ?+则称为与的等差中项5.从等差中抽出间隔相同的项，按原顺序排列，仍等差， ,3,2'd d d =6.把一等差数列截成项数相等的若干段后，每段内各项之和组成新的等差，d m d 2'=（m 为每段的项数）即等差m m m m m S S S S S 232,,--7.在等差中，若()m p m p S S a --==12,0有成立8.{}{}{}{}{}{}n n n n n n m b a b a a a b a 21,,,,λλλλλ±++均等差，则也等差，其公差分别为2211,.,,d d d d d λλλλ±，而{}{}{}nn n n n n n a a b a b a a ,,,,12⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧不一定等差，除非常数列，可理解一次函数。

新人教版高中数学选择性必修第二册第四章等差数列的性质

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝
8，则m的值为
A.12
√B.8
C.6
D.4
解析由等差数列的性质，得 a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10) ＝2a8＋2a8＝4a8＝32， ∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于
A.5
√B.8
C.10
D.14
解析方法一设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8. 方法二由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.
设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项，所以a60＝a15＋3d，解得d＝4，所以a75＝a60＋d＝24.
反思感悟灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m＝1，an＝ am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担.
跟踪训练2 已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝__8__.
解析数列－1,1,3是等差数列，取绝对值后：1,1,3不是等差数列，A不成立. 若{an}是等差数列，利用等差数列的定义知， {an＋1－an}为常数列，故是等差数列，B成立. 若{an}的公差为d，则(pan＋1＋q)－(pan＋q)＝p(an＋1－an)＝pd为常数，故{pan＋q}是等差数列，C成立. (2an＋1＋n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1为常数，故{2an＋n}是等差数列，D成立.

认识·隔项等差数列

认识隔项等差数列一、升降维法引例：已知数列{}n a 满足：∀n ＞2，222-++=n n n a a a ①，以及∀n ＞3，332-++=n n n a a a ②.试问：数列{}n a 是否是等差数列？（注意：为叙述方便，本专题将222-++=n n n a a a 称为隔两项等差，将332-++=n n n a a a 称为隔三项等差，n a 称为中心.）解：不难发现，①式中右侧两项“距离”中心较近，而②式中右侧两项“距离”中心较远，所以应使“距离”中心较远的项不断接近中心.套路如下：由①式可得222-+-=n n n a a a 和222+--=n n n a a a ，所以有1132-++-=n n n a a a (n ＞1)和1132+---=n n n a a a (n ＞3)，代入②式，有112-++=n n n a a a (n ＞3)，即数列{}n a 从第三项起成等差数列.下证明数列{}n a 从第一项起成等差数列.设x a =3，公差d ，则令①式中n=3，变形得d x a a a 22531-=-=，同理有d x a -=2，所以3122a a a +=，4232a a a +=，所以数列{}n a 是等差数列.例：设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1,2,3,…），证明}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…）. 证明：必要性. 设}{n a 是公差为d 1的等差数列，则0)()()()(112312311=-=---=---=-+++++++d d a a a a a a a a b b n n n n n n n n n n 所以 ,3,2,1(1=≤+n b b n n ）成立.又)(3)(2)(231211++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c1111632d d d d =++=（常数）（n =1，2，3，…），所以数列}{n c 为等差数列.充分性.设数列}{n c 是公差d 2的等差数列，且1b b n ≤（n =1，2，3，…）..32,32432221++++++++=∴++=n n n n n n n n a a a c a a a c ①－②得)(3)(2)(423122++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c ,3221++++=n n n b b b ，221122)()(d c c c c c c n n n n n n -=-+-=-++++ 221232d b b b n n n -=++∴++， ③从而有.2322321d b b b n n n -=+++++ ④④－③得.0)(3)(2)(23121=-+-+-+++++n n n n n n b b b b b b ⑤ 0,0,023121≥-≥-≥-+++++n n n n n n b b b b b b ， ∴由⑤得).,3,2,1(01 ==-+n b b n n由此不妨设323),,3,2,1(d a a n d b n n n =-==+则（常数）. 由此312132432d a a a a a c n n n n n n -+=++=+++，从而313211524324d a a d a a c n n n n n -+=-+=++++，两式相减得3112)(2d a a c a n n n n --=-++，因此),3,2,1)((21)(2132311 =+==-=-++n d d d c c a a n n n n 常数，所以数列}{n a 是等差数列.二、分组拼凑法（利用n a 的双重身份）再看引例：已知数列{}n a 满足：∀n ＞2，222-++=n n n a a a ①，以及∀n ＞3，332-++=n n n a a a ②.试问：数列{}n a 是否是等差数列？解：①②由表一，1173d a a +=，由表二，1172D a a +=，所以113D d =.（利用1a ，7a 的双重身份）同理，利用4a ，10a 的双重身份，有1232D d =，所以21d d =，设d d d ==21. 下只需证212d a a =-. 由表二，12141a d a a a D -+=-=，所以d d d d D a a 2123112=-=-=-，所以数列{}n a 是以2d 为公差的等差数列，证毕. 练习：（2017江苏T19）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．解：（1）略（2）数列{}n a 既是“()P 2数列”，又是“()3P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④ 将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'. 在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-，在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-，所以数列{}n a 是等差数列.。

数列经典题目集锦--答案

数列经典题目集锦一一、构造法证明等差、等比类型一：按已有目标构造1、数列{a n }，{b n }，{c n }满足：b n ＝a n －2a n ＋1，c n ＝a n ＋1＋2a n ＋2－2，n ∈N *.(1) 若数列{a n }是等差数列，求证：数列{b n }是等差数列； (2) 若数列{b n }，{c n }都是等差数列，求证：数列{a n }从第二项起为等差数列；(3) 若数列{b n }是等差数列，试判断当b 1＋a 3＝0时，数列{a n }是否成等差数列？证明你的结论．类型二：整体构造2、设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且(S n ＋1＋λ)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1对一切n ∈N *都成立．(1) 若λ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2) 求λ的值，使数列{a n }是等差数列．二、两次作差法证明等差数列3、设数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，已知11,6,1321===a a a ，且*1,)25()85(N n B An S n S n n n ∈+=+--+，（其中A ,B 为常数）．(1)求A 与B 的值；(2)求数列{}n a 为通项公式；三、数列的单调性4.已知常数0λ≥，设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 满足：11a =，()11131n n n n n na S S a a λ+++=+⋅+（*n ∈N ）．（1）若0λ=，求数列{}n a 的通项公式；（2）若112n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．5.设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++13246n n +=⋅--，且集合*|,nn b M n n N a λ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭中有且仅有3个元素，求λ的取值范围.四、隔项（分段）数列问题6. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n （n 为奇数），a n －3n （n 为偶数）.(1) 是否存在实数λ，使数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2) 若S n 是数列{a n }的前n 项的和，求满足S n ＞0的所有正整数n .7.若{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=(d 为常数)，则称数列{}n b 是公差为d 的“隔项等差”数列．（Ⅰ）若17,321==c c ，{}n c 是公差为8的“隔项等差”数列，求{}n c 的前15项之和；（Ⅱ）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=． ①求证：数列{}n a 为“隔项等差”数列，并求其通项公式；②设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试研究：是否存在实数a ，使得22122++k k k S S S 、、成等比数列（*N k ∈）?若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．五、数阵问题8.已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1＋a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2＋b 1，a 1＋b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．(1) 求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2) 按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项：第1次从数列{a n }中取a 1，第2次从数列{b n }中取b 1，b 2，第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4，第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项，第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10， b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 项和为S n .求满足S n <22 014的最大正整数n .数列经典题目集锦答案1.证明：(1) 设数列{a n }的公差为d ，∵ b n ＝a n －2a n ＋1，∴ b n ＋1－b n ＝(a n ＋1－2a n ＋2)－(a n －2a n ＋1)＝(a n ＋1－a n )－2(a n ＋2－a n ＋1)＝d －2d ＝－d ， ∴ 数列{b n }是公差为－d 的等差数列． (4分) (2) 当n ≥2时，c n －1＝a n ＋2a n ＋1－2，∵ b n ＝a n －2a n ＋1，∴ a n ＝b n ＋c n －12＋1，∴ a n ＋1＝b n ＋1＋c n2＋1，∴ a n ＋1－a n ＝b n ＋1＋c n 2－b n ＋c n －12＝b n ＋1－b n 2＋c n －c n －12.∵ 数列{b n }，{c n }都是等差数列，∴b n ＋1－b n 2＋c n －c n －12为常数， ∴ 数列{a n }从第二项起为等差数列． (10分)(3) 结论：数列{a n }成等差数列．证明如下： (证法1)设数列{b n }的公差为d ′， ∵ b n ＝a n －2a n ＋1，∴ 2n b n ＝2n a n －2n ＋1a n ＋1，∴ 2n －1b n －1＝2n －1a n －1－2n a n ，…，2b 1＝2a 1－22a 2，∴ 2n b n ＋2n －1b n －1＋…＋2b 1＝2a 1－2n ＋1a n ＋1，设T n ＝2b 1＋22b 2＋…＋2n －1b n －1＋2n b n ，∴ 2T n ＝22b 1＋…＋2n b n －1＋2n ＋1b n ，两式相减得：－T n ＝2b 1＋(22＋…＋2n －1＋2n )d ′－2n ＋1b n ，即T n ＝－2b 1－4(2n －1－1)d ′＋2n ＋1b n ， ∴ －2b 1－4(2n －1－1)d ′＋2n ＋1b n ＝2a 1－2n ＋1a n ＋1，∴ 2n ＋1a n ＋1＝2a 1＋2b 1＋4(2n －1－1)d ′－2n ＋1b n ＝2a 1＋2b 1－4d ′－2n ＋1(b n －d ′)， ∴ a n ＋1＝2a 1＋2b 1－4d′2n ＋1－(b n －d ′)． (12分) 令n ＝2，得a 3＝2a 1＋2b 1－4d′23－(b 2－d ′)＝2a 1＋2b 1－4d′23－b 1， ∵ b 1＋a 3＝0，∴2a 1＋2b 1－4d′23＝b 1＋a 3＝0，∴ 2a 1＋2b 1－4d ′＝0，∴ a n ＋1＝－(b n －d ′)，∴ a n ＋2－a n ＋1＝－(b n ＋1－d ′)＋(b n －d ′)＝－d ′，∴ 数列{a n }(n ≥2)是公差为－d ′的等差数列． (14分) ∵ b n ＝a n －2a n ＋1，令n ＝1，a 1－2a 2＝－a 3，即a 1－2a 2＋a 3＝0，∴ 数列{a n }是公差为－d ′的等差数列． (16分)(证法2)∵ b n ＝a n －2a n ＋1，b 1＋a 3＝0，令n ＝1，a 1－2a 2＝－a 3，即a 1－2a 2＋a 3＝0，(12分) ∴ b n ＋1＝a n ＋1－2a n ＋2，b n ＋2＝a n ＋2－2a n ＋3，∴ 2b n ＋1－b n －b n ＋2＝(2a n ＋1－a n －a n ＋2)－2(2a n ＋2－a n ＋1－a n ＋3)． ∵ 数列{b n }是等差数列，∴ 2b n ＋1－b n －b n ＋2＝0， ∴ 2a n ＋1－a n －a n ＋2＝2(2a n ＋2－a n ＋1－a n ＋3)．(14分) ∵ a 1－2a 2＋a 3＝0，∴ 2a n ＋1－a n －a n ＋2＝0， ∴ 数列{a n }是等差数列．(16分)2.解析：(1) 若λ＝1，则(S n ＋1＋1)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1，a 1＝S 1＝1.∵ a n ＞0，S n ＞0，∴ S n ＋1＋1S n ＋1＝a n ＋1a n ，(2分) ∴S 2＋1S 1＋1·S 3＋1S 2＋1·…·S n ＋1＋1S n ＋1＝a 2a 1·a 3a 2·…·a n ＋1a n ，化简，得S n ＋1＋1＝2a n ＋1. ①(4分) ∴ 当n ≥2时，S n ＋1＝2a n . ② ①－②，得a n ＋1＝2a n ，∴a n ＋1a n＝2(n ≥2)．(6分) ∵ 当n ＝1时，a 2＝2，∴ n ＝1时上式也成立，∴ 数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，a n ＝2n －1(n ∈N *)．(8分) (2) 令n ＝1，得a 2＝λ＋1.令n ＝2，得a 3＝(λ＋1)2.(10分) 要使数列{a n }是等差数列，必须有2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝0.(11分) 当λ＝0时，S n ＋1a n ＝(S n ＋1)a n ＋1，且a 2＝a 1＝1. 当n ≥2时，S n ＋1(S n －S n －1)＝(S n ＋1)(S n ＋1－S n )，整理，得S 2n ＋S n ＝S n ＋1S n －1＋S n ＋1，S n ＋1S n －1＋1＝S n ＋1S n ，(13分) 从而S 2＋1S 1＋1·S 3＋1S 2＋1·…·S n ＋1S n －1＋1＝S 3S 2·S 4S 3·…·S n ＋1S n ，化简，得S n ＋1＝S n ＋1，∴ a n ＋1＝1.(15分) 综上所述，a n ＝1(n ∈N *)，∴ λ＝0时，数列{a n }是等差数列．(16分)3.解析：(1)由11,6,1321===a a a ，得18,7,1321===S S S ．把2,1=n 分别代入*1,)25()85(N n B An S n S n n n ∈+=+--+，得⎩⎨⎧-=+-=+48228B A B A ，解得，8,20-=-=B A ．(2)由(1)知，82028)(511--=---++n S S S S n n n n n ，即82028511--=--++n S S na n n n ，① 又8)1(2028)1(5122-+-=--++++n S S a n n n n ． ②②-①得，20285)1(51212-=---+++++n n n n a a na a n ，即20)25()35(12-=+--++n n a n a n ． ③ 又20)75()25(23-=+-+++n n a n a n ．④④-③得，0)2)(25(123=+-++++n n n a a a n ，520n +≠，∴02123=+-+++n n n a a a ，又32215a a a a -=-=，所以32120a a a -+=，因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列．故45)1(51-=-+=n n a n ．4.解析：(1) 0λ=时,111n n n n naS S a a +++=+∴1n n n na S S a +=∵0n a >，∴0n S > ∴ 1n n a a +=，∵11a =，∴1n a =(2) ∵()11131n n n n n n a S S a a λ+++=+⋅+ 0n a > ，∴1131nn n n nS S a a λ++-=⋅+ 则212131S S a a λ-=⋅+，2323231S S a a λ-=⋅+，，11131n n n n n S S a a λ----=⋅+()2n ≥ 相加，得()2113331n nnS n a λ--=+++-则()3322n n n S n a n λ⎛⎫-=+⋅≥ ⎪⎝⎭，该式对1n =也成立， ∴()*332n n n S n a n N λ⎛⎫-=+⋅≥ ⎪⎝⎭． ③ ∴()1*13312n n n S n a n N λ++⎛⎫-=++⋅≥ ⎪⎝⎭． ④ ④－③，得1113333122n n n n n a n a n a λλ+++⎛⎫⎛⎫--=++⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即11333322n n n n n a n a λλ++⎛⎫⎛⎫--+⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵0λ≥，∴133330,022n n n n λλ+--+>+> . ∵112n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立， ∴332nn λ-+1133()22n n λ+-<+对一切*n ∈N 恒成立．即233nnλ>+对一切*n ∈N 恒成立．记233n n nb =+,则()()()111423622233333333n n n n n n n n n n b b +++-⋅-+-=-=++++ 当1n =时，10n n b b +-=；当2n ≥时，10n n b b +->∴ 1213b b ==是{}n b 中的最大项．综上所述，λ的取值范围是13λ>.5. 解析：（1）数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，∴215364a a a ==，38a ∴=，又5348S S -=，2458848a a q q ∴+=+=，2q ∴=，3822n n n a -∴=⋅=； ……4分（2）（ⅰ）必要性：设5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列，①若25k m l a a a ⋅=+，则10222k m l ⋅=+，1022m k l k --∴=+，11522m k l k ----∴=+，1121,24m k l k ----⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 13m k l k =+⎧∴⎨=+⎩. ………… 6分②若25m k l a a a =+，则22522m k l ⋅=⋅+，1225m k l k +--∴-=，左边为偶数，等式不成立， ③若25l k m a a a =+，同理也不成立，综合①②③，得1,3m k l k =+=+，所以必要性成立. …………8分（ⅱ）充分性：设1m k =+，3l k =+，则5,,k m l a a a 这三项为135,,k k k a a a ++，即5,2,8k k k a a a ，调整顺序后易知2,5,8k k k a a a 成等差数列，所以充分性也成立. 综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立. …………10分（3）因为11213213246n n n n n a b a b a b a b n +--++++=⋅--，即123112122223246n n n n n b b b b n +--++++=⋅--，（*）∴当2n ≥时，1231123122223242n n n n n b b b b n ----++++=⋅--，（**）则（**）式两边同乘以2，得2341123122223284n n n n n b b b b n +---++++=⋅--，（***）∴（*）－（***），得242n b n =-，即21(2)n b n n =-≥，又当1n =时，21232102b =⋅-=，即11b =，适合21(2)n b n n =-≥，21n b n ∴=-.………14分 212n n n b n a -∴=，111212352222n n n n nn n b b n n n a a ------∴-=-=， 2n ∴=时，110n n n n b b a a --->，即2121b b a a >；3n ∴≥时，110n n n n b b a a ---<，此时n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减，又1112b a =，2234b a =，3358b a =，44716b a =， 71162λ∴<≤. ……………16分 6. 解析：(1) 设b n ＝a 2n －λ，因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2－λa 2n －λ＝13a 2n ＋1＋（2n ＋1）－λa 2n －λ＝13（a 2n －6n ）＋（2n ＋1）－λa 2n －λ＝13a 2n ＋1－λa 2n －λ.(2分)若数列{a 2n －λ}是等比数列，则必须有13a 2n＋1－λa 2n －λ＝q (常数)，即⎝⎛⎭⎫13－q a 2n ＋(q －1)λ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧13－q ＝0（q －1）λ＋1＝0⎩⎨⎧q ＝13，λ＝32，(5分)此时b 1＝a 2－32＝13a 1＋1－32＝－16≠0，所以存在实数λ＝32，使数列{a 2n －λ}是等比数列．(6分)(注：利用前几项，求出λ的值，并证明不扣分) (2) 由(1)得{b n }是以－16为首项，13为公比的等比数列，故b n ＝a 2n －32＝－16·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ，即a 2n ＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ＋32.(8分)由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝－12·⎝⎛⎭⎫13n －1－6n ＋152，(10分)所以a 2n －1＋a 2n ＝－12·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1＋⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9＝－2·⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9， S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2[13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n ]－6(1＋2＋…＋n )＋9n＝－2·13[1－⎝⎛⎭⎫13n ]1－13－6·n （n ＋1）2＋9n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1－3n 2＋6n ＝⎝⎛⎭⎫13n－3(n －1)2＋2，(12分)显然当n ∈N *时，{S 2n }单调递减．又当n ＝1时，S 2＝73＞0，当n ＝2时，S 4＝－89＜0，所以当n ≥2时，S 2n ＜0；S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·⎝⎛⎭⎫13n －52－3n 2＋6n ，同理，当且仅当n ＝1时，S 2n －1＞0.综上，满足S n ＞0的所有正整数n 为1和2.(16分)7.解析：（Ⅰ）易得数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n前15项之和53527)6517(28)593(=⨯++⨯+=……………………………4分（Ⅱ）①n a a n n 21=++ （*∈N n ）（1）， )1(221+=+++n a a n n （2）（1）-（2）得22=-+n n a a （*∈N n ）．所以，{}n a 为公差为2的“隔项等差”数列． ……………………………6分当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122，当n 为奇数时，()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ； …8分②当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n21212-+=a n ． ……………………………12分故当k n 2=时，222k S k =，a k k S k ++=+22212，222)1(2+=+k S k ，由()222212++⋅=k k k S S S ，则2222)1(22)22(+⋅=++k k a k k ，解得0=a ．所以存在实数0a =，使得22122++k k k S S S 、、成等比数列（*N k ∈）……………………………16分8. 解析：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＝a 1＋2d ，b 1（b 1q ）＝b 1q 2，（a 1＋2d ）＋（a 1＋b 1q ）＝2[（a 1＋d ）＋b 1]，（a 1＋d ）2＝a 1（b 1q ），解得a 1＝d ＝1，b 1＝q ＝2.故a n ＝n ，b n ＝2n .(6分)(2) 将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()22211222nn n n n P +++=+-.(11分)P 45－22 014＝452（452＋1）2＋22 071－22 014－2>0，P 44－22 014＝442（442＋1）2－21 981(233－1)－2<0.当S n ＝452（452＋1）2＋(2＋22＋…＋22 012)时，S n －22 014＝－22 013－2＋452（452＋1）2<0.(13分)当S n ＝452（452＋1）2＋(2＋22＋…＋22 013)时，S n －22 014＝－2＋452（452＋1）2>0.可得到符合S n <22 014的最大的n ＝452＋2 012＝4 037.(16分)。

高中新教材数学人课件选择性必修时等差数列的性质及应用

在线性规划问题中，目标函数往往可以表示为等差数列的形式，通过求解等差数列的最值，可以得到目标函数的最优解。
等差数列与约束条件的结合
将等差数列的性质与线性规划的约束条件相结合，可以简化问题的求解过程，提高求解效率。
经济学领域应用举例
等差数列在分期付款中的应用
在分期付款中，每期付款金额相同，形
A
例题 1
已知等差数列 ${ a_n }$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_1 = 2, S_4 = 20$，求 $a_4$ 和 $S_6$。
C
例题 2
已知等差数列 ${ a_n }$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_3 + a_7 = 10, S_{13} = 130$，求首项 $a_1$ 和公差 $d$。
针对学生自我评价报告的反馈
教师应根据学生的自我评价报告，对学生的学习情况进行点评，肯定学生的优点和进步，指出存在的问题和不足，并提出改进的建议和措施。
对等差数列知识点的补充和拓展
教师可以根据学生的实际情况和需求，对等差数列相关知识点进行补充和拓展，例如引入一些复杂的等差数列问题，让学生了解更多的解题技巧和方法。
解析
由 $S_4 = 20$ 可得 $frac{4}{2} [2 times 2 + (4-1)d] = 20$，解得 $d = 2$。因此，$a_4 = a_1 + 3d = 2 + 3 times 2 = 8$ ，$S_6 = frac{6}{2} [2 times 2 + (6-1) times 2] = 42$。
06 总结回顾与课堂互动环节
关键知识点总结回顾
等差数列的定义及通项公式
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

公考数字推理攻略

公务员数字推理技巧总结精华版数字推理技巧总结备考规律一：等差数列及其变式(后一项与前一项的差d为固定的或是存在一定规律(这种规律包括等差、等比、正负号交叉、正负号隔两项交叉等)(1)后面的数字与前面数字之间的差等于一个常数。

如7，11，15，(19)(2）后面的数字与前面数字之间的差是存在一定的规律的，这个规律是一种等差的规律。

如7，11，16，22，(29)(3)后面的数字与前面数字之间的差是存在一定的规律的，但这个规律是一种等比的规律。

如7，11，13，14，()(4）后面的数字与前面数字之间的差是存在一定的规律的，但这个规律是一种正负号进行交叉变换的规律。

【例题】7，11，6，12，(5)(5)后面的数字与前面数字之间的差是存在一定的规律的，但这个规律是一种正负号每“相隔两项”进行交叉变换的规律。

【例题】7，11，16，10，3，11，(20)备考规律二：等比数列及其变式(后一项与除以前一项的倍数q为固定的或是存在一定规律(这种规律包括等差、等比、幂字方等)（1）“后面的数字”除以“前面数字”所得的值等于一个常数。

【例题】4，8，16，32，(64)（2）后面的数字与前面数字之间的倍数是存在一定的规律的，倍数加1。

【例题】4，8，24，96，(480)（3）后面的数字与前面数字之间的倍数是存在一定的规律的，倍数乘2【例题】4，8，32，256，(4096)（4）后面的数字与前面数字之间的倍数是存在一定的规律的，倍数为3的n次方。

【例题】2，6，54，1428，(118098)（5）后面的数字与前面数字之间的倍数是存在一定的规律的，“倍数”之间形成了一个新的等差数列。

【例题】2，-4，-12，48，(240)备考规律三：“平方数”数列及其变式(an=n2+d,其中d为常数或存在一定规律)(1)“平方数”的数列【例题】1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196（2）每一个平方数减去或加上一个常数【例题】0，3，8，15，24，（35）【例题变形】2，5，10，17，26，（37）(3)每一个平方数加去一个数值，而这个数值本身就是有一定规律的。

新课标对间隔排列要求

“新课标”是指中国国家教育部发布、实施的基础教育课程标准。

在学习数学的过程中，学生通常会接触到对间隔排列的要求，这也是新课标中数学相关领域的一个重要内容。

对于间隔排列，新课标中要求学生在初中阶段掌握“等差数列”的概念与性质，能够较熟练地运用等差数列的通项公式、求和公式等做题。

此外，在高中阶段，新课标还要求学生进一步深入学习数列的概念、性质与应用，并掌握“等比数列”、“等差数列”的比较与应用。

具体来说，新课标中对于间隔排列要求学生：
1. 理解等差数列的概念及其特点：即数列中相邻两项之差相等。

2. 掌握等差数列的通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示首项，$d$表示公差。

3. 掌握等差数列的前$n$项和公式：$S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$，其中$S_n$表示前$n$项和。

4. 能够应用等差数列的知识解决实际问题，如推算日期、汽车加油运行距离等。

总之，新课标对于间隔排列的要求主要是希望学生能够掌握等差数列相关的基本概念、公式及其应用，以便在日常学习和实际应用中能够灵活使用。

演变历程从等差数列到数学归纳法的发展

演变历程从等差数列到数学归纳法的发展数学作为一门精确的科学，其发展历程丰富而多样。

在数学发展的过程中，等差数列和数学归纳法是两个重要的概念和方法。

本文将从等差数列的概念、性质及其演变历程出发，探究等差数列与数学归纳法之间的联系与发展。

通过对这一演变历程的探讨，我们可以更好地理解数学科学的发展过程。

一、等差数列的概念和性质等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的情况。

一般来说，一个等差数列可以表示成形如a，a+d，a+2d，a+3d……的数列，其中a为首项，d为公差。

等差数列的性质非常重要，在各个领域中都有广泛的应用。

等差数列在古代就有很高的研究价值。

例如，古希腊哲学家毕达哥拉斯曾研究过等差数列，并将其应用于音乐的研究中。

古代数学家对等差数列的研究不仅让我们认识到了数学的美妙与深奥，也为后来数学归纳法的发展奠定了基础。

二、等差数列与数学归纳法的关系等差数列在数学归纳法的推导中起到了至关重要的作用。

数学归纳法是一种证明方法，通过两个步骤——基础步骤和归纳步骤，推导出一个结论。

而等差数列可以提供数学归纳法中的归纳步骤所需要的数值依据。

以数学归纳法证明等差数列公式为例，首先我们可以通过对等差数列的性质进行观察和推理得到一个猜想。

然后，我们可以通过数学归纳法来证明这个猜想。

具体过程如下：1. 基础步骤：当n=1时，等差数列公式成立，即$a_1=a$。

2. 归纳步骤：假设当n=k时，等差数列公式成立，即$a_k=a+(k-1)d$。

我们需要证明当n=k+1时，等差数列公式也成立，即$a_{k+1}=a+kd$。

在数学归纳法的归纳步骤中，我们可以利用已知的等差数列公式$a_k=a+(k-1)d$，通过推理和变换把问题转化为已知等差数列公式和待证的等差数列公式之间的关系。

通过归纳步骤的推理，我们可以得出结论：等差数列公式成立，即$a_n=a+(n-1)d$。

这就是通过数学归纳法推导得到的等差数列公式。

三、演变历程：从等差数列到数学归纳法等差数列与数学归纳法的关系不仅仅是在等差数列公式的推导中起到了作用，更重要的是，在对等差数列的研究中，人们逐渐认识到了数学归纳法的普遍性与强大性。

高中数学同步课件等差数列与一次函数 (2)

知识梳理
1.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N＋)； (2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)； (3)d＝ann－－mam(m，n∈N＋，且 m≠n). 2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则 am＋an＝_a_p_＋__a_q_. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，则有am＋an＝2ap.
反 (1)灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m＝1，an＝
思感
am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担.
悟 (2)等差数列运算的两种常用思路
①基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量. ②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p
问题3 若数列{an}是等差数列，公差为d，m＋n＝p＋q(m，n，p， q∈N＋)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？
提示由等差数列的定义可知，am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap ＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，容易发现am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d， ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，因为m＋n＝p＋q，故有am＋an＝ap＋aq.
知识梳理
等差数列的单调性与图象对于一般的等差数列{an}，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到y＝a1＋(x－1)d＝dx＋(a1－d).当d≠0 时，是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d)；当d＝0时，y＝ a1(a1为常数).这两种情形的函数图象都是直线.这就说明，当用直角坐标系中的点来表示等差数列时，所有的点一定在一条直线上，且等差数列的图象由该直线上横坐标为正整数n的孤立点_(n_，__a_n_)_组成.

22人教版高中数学新教材选择性必修第二册--4.2 等差数列第1课时等差数列的概念

(−2) = −2 + 3 ,所以 = ±2 均符合题意.
探究点三等差数列的单调性与证明
类型1 等差数列的单调性
例1 已知等差数列 { } 的公差为 , = 2 − 7 .
（1）求公差;
（2）判断数列的单调性.
[答案]（1）由 = 2 − 7 得,公差 = +1 − = [2( + 1) − 7] −
C.2020，2019，2021
D.2020，2020，2021
)
[解析] 通过判断等式 2 − 1 = 3 − 2 是否成立知选项A,B符合题意.
3.已知3和k的等差中项是 2 k ,则实数的值为______,
1
3 k 与 9 k 的等差中项
6
为______.
[解析] 由3和k的等差中项是 2 k ,得 3 + = 4 ,则实数 = 1,3 k 与 9 k 的等
= + ，特殊地，若 + = 2 ，则 + = 2 , 是和
的等差中项.
探究点一等差数列的概念
1.下列关于等差数列 { } 的命题中是真命题的是(
A.若 { } 是等差数列，则 =
B.若 = ，则 { } 是等差数列
−1 = −1 − −2 = ⋯ = 2 − 1 = .
可见，等差数列的递推公式就是等差数列定义的符号表示，符号语言的
引入给叙述推理与运算变形提供了方便.
3.在等差数列 { } 中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都
是它的前一项与后一项的等差中项，表示为 +1 =
= () 属于一次函数；当 = 0 时， = () 属于常数函数。

新课标下高中数学数列问题的研究

新课标下高中数学数列问题的研究一、本文概述随着教育改革的不断深入，新课标对数学教育提出了新的要求。

高中数学作为基础教育的重要组成部分，其教学内容和方法也面临着新的挑战。

数列问题作为高中数学的重要内容之一，具有广泛的应用背景和深刻的数学内涵。

因此，研究新课标下高中数学数列问题的教学方法和解题策略，对于提高数学教学质量、培养学生的数学素养具有重要意义。

本文旨在探讨新课标下高中数学数列问题的教学研究。

我们将对数列的基本概念、性质和应用进行梳理和归纳，为后续的研究提供理论基础。

我们将结合新课标的要求，分析当前高中数学数列教学中存在的问题和不足，并提出相应的改进策略。

我们将通过案例分析、实证研究等方法，探讨如何在新课标的指导下，优化数列问题的教学设计，提高学生的解题能力和数学思维能力。

本文的研究不仅对于提升高中数学数列教学的质量具有实践指导意义，同时也为数学教育工作者提供了有益的参考和借鉴。

我们希望通过本文的研究，能够推动高中数学数列教学的创新与发展，为学生的全面发展打下坚实的数学基础。

二、数列基础知识梳理数列作为高中数学的一个重要组成部分，其基本概念和性质是理解和解决数列问题的关键。

在新课标下，我们需要对数列的基础知识进行系统的梳理和深化理解。

我们需要明确数列的定义。

数列是按照一定顺序排列的一列数，通常用符号{an}表示，其中n为自然数集N*或它的子集。

数列的项数可以是有限的，也可以是无限的。

数列的分类也是基础知识的一部分。

根据数列的性质，我们可以将其分为等差数列和等比数列两大类。

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，通常用公式an=a1+(n-1)d表示，其中a1是首项，d是公差。

等比数列则是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的一种数列，通常用公式an=a1*q^(n-1)表示，其中a1是首项，q是公比。

数列的通项公式和求和公式也是我们需要掌握的基础知识。

做公务员考试数字推理题的一些经验

做公务员考试数字推理题的一些经验国家公务员去年已经取消了数字推理题的题型，但省公务员招考仍然存在数字推理。

本人对数字推理比较感兴趣，也逐渐积累了一些做题经验，写下来，希望抛砖引玉！1)等差，等比这种最简单的不用多说，深一点就是在等差，等比上再加、减一个数列，如24,70,208,622，规律为a*3-2=b2)深一愕模型，各数之间的差有规律，如1、2、5、10、17。

它们之间的差为1、3、5、7，成等差数列。

这些规律还有差之间成等比之类。

B，各数之间的和有规律，如1、2、3、5、8、13，前两个数相加等于后一个数。

3)看各数的大小组合规律，作出合理的分组。

如7,9,40,74,1526,5436，7和9，40和74，1526和5436这三组各自是大致处于同一大小级，那规律就要从组方面考虑，即不把它们看作6个数，而应该看作3个组。

而组和组之间的差距不是很大，用乘法就能从一个组过渡到另一个组。

所以7*7-9=40 , 9*9-7=74 , 40*40-74=1526 , 74*74-40=5436，这就是规律。

4)如根据大小不能分组的，A，看首尾关系，如7，10，9，12，11，14，这组数7+14＝10+11＝9+12。

首尾关系经常被忽略，但又是很简单的规律。

B，数的大小排列看似无序的，可以看它们之间的差与和有没有顺序关系。

5)各数间相差较大，但又不相差大得离谱，就要考虑乘方，这就要看各位对数字敏感程度了。

如6、24、60、120、210，感觉它们之间的差越来越大，但这组数又看着比较舒服(个人感觉，嘿嘿)，它们的规律就是2^3-2=6、3^3-3=24、4^3-4=60、5^3-5=120、6^3-6=210。

这组数比较巧的是都是6的倍数，容易导入歧途。

6)看大小不能看出来的，就要看数的特征了。

如21、31、47、56、69、72，它们的十位数就是递增关系，如25、58、811、1114 ，这些数相邻两个数首尾相接，且2、5、8、11、14的差为3，如论坛上fjjngs解答：256，269，286，302，（），2+5+6=132+6+9＝172+8+6＝163+0+2＝5，∵256+13＝269269+17＝286286+16＝302 ∴下一个数为302+5＝307。

泰州市姜堰区2015届高三上学期期中考试数学含答案

0031.已知集合{1,0,1},{012}A B =-=,,，则=B A {}10，2．已知角α的终边经过点(4,3)P -，则sin α的值是353. 若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a = 13 4．曲线2ln y x x =-在点（1，2）处的切线方程是 10x y -+= 5．将函数()2sin 2f x x =的图象上每一点向右平移6π个单位，得函数()y g x =的图象，则()g x = ()π2s i n 23x -6．在平面直角坐标系xOy 中，直线023=--y x 与圆522=+y x 相交于两点B A ，，则线段AB 的长度为 47. 不等式222log (4)log (3)x x ->的解集为 ()1,0 8.已知sin(45)10α-︒=-，且090α︒<<︒，则cos 2α的值为 7259. 在ABC ∆中，“>6A π”是“1sin >2A ”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）必要不充分10．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点， AE 与BD 交于点F ，则FD DE ⋅=uu u r uu u r 32-（第10题图）11．设1m >，已知在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数22z x y =+的最大值为32，则实数m 的值为 32+12．已知等比数列{}n a 的首项211-=a ，其前四项恰是方程0)2)(2(22=++++nx x mx x 的四个根，则=+n m 215 13．已知圆C ：4)2(22=+-y x ，点P 在直线l ：2+=x y 上，若圆C 上存在两点A 、B 使得PB PA 3=，则点P 的横坐标的取值范围是 []2,2- 14. 已知两条平行直线1l ：m y =和2l ：31y m =+（这里0>m ），且直线1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A 、B ，直线2l 与函数8log y x =的图像从左至右相交于C 、D ．若记线段AC 和BD 在x 轴上的投影FEDCB A长度分别为a 、b ，则当m 变化时，ba的最小值为 32 15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin sin sin B A C =．（Ⅰ）求2ac b -的值；（Ⅱ）若b =，且32BA BC ⋅=，求BC BA +的值．解：（Ⅰ）因为2sin sin sin B A C =，由正弦定理得2b ac =，所以20ac b -= ……………………………4分（Ⅱ）因为ac b =2，b 22b =，2ac =所以3cos 2BA BC ca B ⋅==，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以225a c +=．……………………………8分所以2222222cos 8BC BA a c BC BA a c ac B +=++⋅=++=即22BC BA += ……………………………14分16．设a R ∈，函数32211()(21)()32f x x a x a a x =-+++．（Ⅰ）已知()f x '是()f x 的导函数，且()()(0)f x g x x x '=≠为奇函数，求a 的值；（Ⅱ）若函数()f x 在2x =处取得极小值，求函数)(x f 的单调递增区间。

中国古代对数列问题的研究举例

２８９　自身各方面能力不断提升，往更高的层次发展。

二、大数据时代技校英语教师面临的挑战１．角色的转变。

在大数据时代背景下，教师的角色发生了一定的变化，不再是教学知识的主体，信息技术的飞速发展，使得学生的学习渠道、学习方式得到了极大的丰富，学生不再是仅仅依靠教师的传授才能获取知识。

对此，技校英语教师要适应这种变化，在教学过程中应注重对现代信息技术的应用，帮助学生可以更高效、更便捷的获取更多的知识。

同时老师在教学过程中还应尊重学生的主体的地位，鼓励学生发挥自身的主观能动性，帮助学生实现更好的发展。

２．要求教师改变教学方式。

大数据时代的到来对于技校英语教学最显著的影响就是教学方式的变化，现代信息技术的发展有效丰富了教师的教学手段，同时也使得学生对于教师的教学提出了新的要求。

这就要求技校英语教师要适时转变自身的理念，积极接受新鲜事物，利用现代信息技术改变自身的教学方式，摒弃传统教学方式的弊端，促使技校英语教学方式更加多元化、个性化。

这样不仅可以极大的激发学生的兴趣，提升教学效果，同时也能拓展自身的专业发展道路。

３．要求教师具备较高的信息化教学能力。

在大数据时代的背景下，信息技术的发展使得知识的传播更加便捷，同时渠道也更加丰富，以往的教学模式已经无法有效适应当前技校英语教学的需求，同时对于学生而言也缺乏足够的吸引力。

因此，就需要教师具备一定的信息化教学能力，在英语教学中融合信息化教学的优势，使得英语课堂更加多样化，利用微课等现代信息化教学模式为技校学生提供更好的教学，促使其获得更多的知识。

教师教学能力的提升其主要目的在于更好的开展教学活动，更好的完成教学目标，因此，技校英语教师的专业发展应立足教学的实际需求，以此为基点，促使自身向着专业化发展。

三、大数据时代技校英语教师的专业发展路径１．强化自身的数据素养。

为了更好的适应大数据时代技校英语教学的变化，教师首先要提升自身的数据素养，这样才能更好的理解大数据时代的到来对于教育领域所产生的影响，并在自身开展教学活动是融入大数据时代的特征。

数列公差知识点总结

数列公差知识点总结一、公差的定义在数列中，如果相邻两项的差值是一个常数，这个常数就被称为数列的公差。

数列的公差通常用字母d来表示，例如，对于等差数列{a₁, a₂, a₃, ...}来说，满足a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = ... = d，即相邻两项的差值都是d。

公差的概念是等差数列中最为基础和重要的概念，它决定了等差数列中数值之间的间隔和规律性。

二、公差的性质1. 公差的符号：根据公差的定义，如果等差数列中相邻两项的差值是负数，则公差d为负数；如果相邻两项的差值是正数，则公差d为正数。

2. 公差的大小：公差的绝对值就是等差数列中相邻两项之间的差值。

如果等差数列中相邻两项之间的差值为d，则有|d| = |aₙ - aₙ₋₁|，其中aₙ和aₙ₋₁分别表示数列中的第n项和第n-1项。

3. 公差和数列项的关系：等差数列中的任意一项可以由它的前一项和公差来求得。

例如，第n项aₙ可以由第n-1项aₙ₋₁和公差d来求得，即aₙ = aₙ₋₁ + d。

4. 公差和数列项的位置关系：在等差数列中，任意一项与它的位置之间的关系也与公差有关。

可以通过等差数列的性质，求出任意一项的位置，或者求出给定位置的项。

三、公差的应用1. 求等差数列的第n项：由公差的性质可知，在已知数列首项和公差的条件下，可以求出等差数列的第n项。

通常可以使用递推公式aₙ = a₁ + (n-1)d 来进行计算。

递推公式的推导过程和应用方法对于解决等差数列相关问题非常重要。

2. 求等差数列的项数：在已知数列首项、公差和末项的条件下，可以求出等差数列的项数。

通常可以使用项数公式n = [aₙ - a₁ + d] / d来进行计算，其中[]代表取整函数。

3. 求等差数列的和：在已知数列首项、末项和项数的条件下，可以求出等差数列的和。

通常可以使用求和公式Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2来进行计算，也可以使用通项公式和定理来计算。

四、公差与等差数列的变形1. 通项公式的变形：在计算等差数列的第n项时，可能会碰到通项公式的变形问题，需要通过重新组合和化简来得到简化的公式。