《两角差的余弦公式》课件
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两角差的余弦公式 课件
两角差的余弦公式
两角差的余弦公式
公式 简记符号 使用条件
cos(α-β)=_c_o_s_α__c_o_s_β__+_s_i_n_α__s_i_n_β__ _C_(α__-β__)
α,β都是_任__意__角__
【点拨】关于两角差的余弦公式 (1)公式的结构特点 公式的左边是差角的余弦,右边的式子是含有同名函数 之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.
(2)公式中的角α,β 公式中的角α,β不仅可以是角,而且可以是任意的整 体,可以根据题目需要进行替换、变形代入,展开式仍 然成立.
(3)公式的灵活应用 首先是公式的逆用,可以把符合公式特点的展开式合并, 其次是角的灵活变化,如cosα=cos[(α+β)-β].
【自我检测】
1.化简cos15°cos45°+cos75°sin45°的值为
B. 6 2 2
D. 6 2 4
【解析】选D.cos(-15°)=cos15°=cos(60°-45°)
=cos60°cos45°+sin60°sin45°
1 2 3 2 2 6.
22 2 2
4
3.若向量a=(cos60°,sin60°),b=(cos15°,sin15°),
则a·b= ( )
2
又cos(α-β)= , 5
5
所以sin(α-β)= 1 cos2( )＝ 2 5 .
5
又因为0<2α<π,cos2α= 10,
10
所以sin2α= 1 cos2 2＝3 10 ，
10
所以cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]
=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)
两角差的余弦公式
公式 简记符号 使用条件
cos(α-β)=_c_o_s_α__c_o_s_β__+_s_i_n_α__s_i_n_β__ _C_(α__-β__)
α,β都是_任__意__角__
【点拨】关于两角差的余弦公式 (1)公式的结构特点 公式的左边是差角的余弦,右边的式子是含有同名函数 之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.
(2)公式中的角α,β 公式中的角α,β不仅可以是角,而且可以是任意的整 体,可以根据题目需要进行替换、变形代入,展开式仍 然成立.
(3)公式的灵活应用 首先是公式的逆用,可以把符合公式特点的展开式合并, 其次是角的灵活变化,如cosα=cos[(α+β)-β].
【自我检测】
1.化简cos15°cos45°+cos75°sin45°的值为
B. 6 2 2
D. 6 2 4
【解析】选D.cos(-15°)=cos15°=cos(60°-45°)
=cos60°cos45°+sin60°sin45°
1 2 3 2 2 6.
22 2 2
4
3.若向量a=(cos60°,sin60°),b=(cos15°,sin15°),
则a·b= ( )
2
又cos(α-β)= , 5
5
所以sin(α-β)= 1 cos2( )＝ 2 5 .
5
又因为0<2α<π,cos2α= 10,
10
所以sin2α= 1 cos2 2＝3 10 ，
10
所以cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]
=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)
两角差的余弦公式PPT优秀课件
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
16
1
65
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
简记：C ( )
公式的结构特征: 左边是复角α+β 的余弦,右边是单角α、β
的余弦积与正弦积的差.
将 替换为
co s ()cos (())
co cs o )s s(is ni n ) (
3、 在 A B C 中 ， 若 sinA sinB = cosA cosB ,
则 A B C 是 ( ).
( A ) 直 角 三 角 形 ( B ) 钝 角 三 角 形
( C ) 锐 角 三 角 形 ( D ) 不 确 定
1
小 结 作业：讲义
• 1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
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1
65
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
简记：C ( )
公式的结构特征: 左边是复角α+β 的余弦,右边是单角α、β
的余弦积与正弦积的差.
将 替换为
co s ()cos (())
co cs o )s s(is ni n ) (
3、 在 A B C 中 ， 若 sinA sinB = cosA cosB ,
则 A B C 是 ( ).
( A ) 直 角 三 角 形 ( B ) 钝 角 三 角 形
( C ) 锐 角 三 角 形 ( D ) 不 确 定
1
小 结 作业：讲义
• 1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
两角差的余弦公式 课件
解 (1)sin 75°＝cos°15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos30°＋sin
45°sin30°＝ 22× 23＋ 22×12＝
6＋ 4
2 .
(2)原式＝cos[x－(x＋y)]＝cos(－y)＝cos y.
类型二 给值求值
【例2】 (2012·台州高一检测)设cos (α－β2)＝－19，sin α2－β＝
又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，
∴sin α＝ 1－cos2α＝473，
sin(α＋β)＝ 1－cos2α＋β＝5143.
又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋5143×47 3 ＝12.
＝
35×－34＋23×
7 4
＝2
7－3 12
5 .
[错因分析] 该解法忽略了隐含条件，没有注意角的范围，导致
求值错误．在解题中应挖掘出π2<A＋B<π这个隐含条件． [正解] 在△ABC中，
∵cos B＝－34<0，sin(A＋B)＝23，
∴π2<B<π，π2<A＋B<π，
∴sin B＝ 1－cos2B
解 (1)法一 原式＝cos(30°－45°)
＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°
＝
23×
22＋12×
2 2
＝
6＋ 4
2 .
法二 原式＝cos 15°
＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝ 22× 23＋ 22×12
两角差的余弦公式课件
OM=ON+ NM
=OCcos + CBsin
=coscos + sinsin
9
说明: 上述结论虽在，，−均为
锐角的情况下得到的，但对于，为
任意角的情况都是成立的，只是要做不
少的推广工作，有兴趣的同学可以自己
课下动手试一下。
10
再探究：
还有没有其它证明方法？ 思考，
上一章还学过哪些与三角函数有关
13
【例1】利用差角余弦公式求cos15°的值。
6+ 2
4
思考: 求sin75°的值
14
【例2】 已知sin=_x001A_4_x001B_5_x001B_, ∈_x001
是第三象限角, 求cos(−)的值.
4
解：由sin ， ,
5
2
得
2
3
4
cos = 1 sin 2 1
=coscos + sinsin
2k + = −
= cos( − ）
12
cos( ) cos cos sin sin .
说明: 1.简记为
_x001A__x001B__x001A_−_x001B__x0
01B_
2.形式: “余余正正，符号反”
两角差的余弦公式
1
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,
在地平面上有一点A, 测得A, C两点间距离约为60米,从A观
测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,∠CAB=15°.求这座
电视发射塔的高度.
D
CD=BD－BC BD=ABtan60°
5.5.1第一课时两角差的余弦公式课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
1、利用公式C 证明：
−
3
（1）cos
− = −;
2
（2）cos − = .
证明：（1） cos
3
2
− =
3
2
+
3
2
= 0 −
(2) cos − = cos 0 − = 0 − 0 = − 0
(1) cos （ 2
− ） = sin
(2)cos （ − ） = − cos
解:cos （
2
− ）
= cos cos
2
+
sin sin =sin
2
cos （ − ） = cos cos + sin sin =−cos
4
例2.已知 = ，
3
=4 × −
=
2 7−3 5
12
5
3
+（−
7
）
4
2
× （ − 3）
∈
3
, 2
2
, 求cos − 的值.
PART 04
小结
小结
差角的余弦公式： （ − ）= +
思考探究：现在我们已经掌握了差角的余弦公式，
如何利用变式得到和角的余弦公式
整理得：
（ − ）= +
（ − ）= +
此公式给出了任意角，的正弦、余弦与其差角 − 的余弦
的关系，称为差角的余弦公式，简记作：C（ − ）
例1.利用差角的余弦公式证明下列诱导公式
利用差角余弦公式求值
2、利用公式C
两角差的余弦公式课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3
3
5.已知sin = − ， ∈ (, )， cos = ， ∈ ( , 2)，
3
2
4
2
求cos( − )的值.
右式 cos( 2kπ) cos sin( 2kπ)sin cos sin 1
2
左式 右式
公式对于终边相同的角，也成立
cos(α－β)＝cosαcosβ + sinαsinβ.
2
预备知识
探索新知
典例分析
课堂小结
两角差的余弦公式
cos(α－β)＝cosαcosβ + sinαsinβ.
证明： cos(
2
− ) =
cos cos
2
+
= 0 + 1 × sin
= sin .
sin sin
2
课堂小结
预备知识
探索新知
例2 已知 =
4
，
5
∈
课堂小结
典例分析
( , )，
2
=
5
− ，是第
13
三象限角，求( − ).
解：由 =
又由 =
课名：两角差的余弦公式
教材版本:人教A版（2019）
学
科：数学
年
级：Байду номын сангаас一上学期
预备知识
探索新知
典例分析
课堂小结
1.单位圆
平面直角坐标系上，圆心为原点，半径为单位长度的圆.
2.三角函数的定义
sin ：任意角与单位圆交点的纵坐标
cos ：任意角与单位圆交点的横坐标
3.两点间距离公式
3
5.已知sin = − ， ∈ (, )， cos = ， ∈ ( , 2)，
3
2
4
2
求cos( − )的值.
右式 cos( 2kπ) cos sin( 2kπ)sin cos sin 1
2
左式 右式
公式对于终边相同的角，也成立
cos(α－β)＝cosαcosβ + sinαsinβ.
2
预备知识
探索新知
典例分析
课堂小结
两角差的余弦公式
cos(α－β)＝cosαcosβ + sinαsinβ.
证明： cos(
2
− ) =
cos cos
2
+
= 0 + 1 × sin
= sin .
sin sin
2
课堂小结
预备知识
探索新知
例2 已知 =
4
，
5
∈
课堂小结
典例分析
( , )，
2
=
5
− ，是第
13
三象限角，求( − ).
解：由 =
又由 =
课名：两角差的余弦公式
教材版本:人教A版（2019）
学
科：数学
年
级：Байду номын сангаас一上学期
预备知识
探索新知
典例分析
课堂小结
1.单位圆
平面直角坐标系上，圆心为原点，半径为单位长度的圆.
2.三角函数的定义
sin ：任意角与单位圆交点的纵坐标
cos ：任意角与单位圆交点的横坐标
3.两点间距离公式
人教版必修一两角差的余弦公式课件
3 (1)写 出 与AOP终 边 相 同 的 角
(2)求点P的坐标 (3)如 图 角的 终 边 与 单 位 圆 交 于 点B， 写 出 点B的 坐 标
(4)如 图 角的 终 边 与 单 位 圆 交
于 点C， 写 出 点C的 坐 标
(5)设BOC ，用， 表示
y
C
o
B
Ax
P
(6)画出与BOC终边相同的角
6 2 4
探究点一 两角差余弦公式的应用
根据两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 解
答下列问题，体验公式的正向、逆向应用的灵活选择．
问题 1 写出下列式子的化简结果： 1 (1)cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝ 2 ；
(2)sin αsin(α＋β)＋cos αcos(α＋β)＝ cos β ；
3 (3)sin 57°cos 63°＋cos 57°sin 63°＝ 2 .
(4) 1 cos15 3 sin15 2
2
2
(5)cos15 3sin15 2 2
典例分析
典例分析
例2：已知sin 4 , ( , ),cos 5 , 为第三象限角,
5
2
13
求 cos( )的值.
cos2( ) 2cos( )+1 sin2( ) cos2 2cos cos cos2 sin2 2sin sin sin22
∴ cos( ) cos cos sin sin
两角差的余弦公式
对于任意的角，，
cos( ) cos cos sin sin
11 2sin( )sin 2cos( )cos
sin( ) sin ,cos( ) cos 得 2 2cos( )
(2)求点P的坐标 (3)如 图 角的 终 边 与 单 位 圆 交 于 点B， 写 出 点B的 坐 标
(4)如 图 角的 终 边 与 单 位 圆 交
于 点C， 写 出 点C的 坐 标
(5)设BOC ，用， 表示
y
C
o
B
Ax
P
(6)画出与BOC终边相同的角
6 2 4
探究点一 两角差余弦公式的应用
根据两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 解
答下列问题，体验公式的正向、逆向应用的灵活选择．
问题 1 写出下列式子的化简结果： 1 (1)cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝ 2 ；
(2)sin αsin(α＋β)＋cos αcos(α＋β)＝ cos β ；
3 (3)sin 57°cos 63°＋cos 57°sin 63°＝ 2 .
(4) 1 cos15 3 sin15 2
2
2
(5)cos15 3sin15 2 2
典例分析
典例分析
例2：已知sin 4 , ( , ),cos 5 , 为第三象限角,
5
2
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求 cos( )的值.
cos2( ) 2cos( )+1 sin2( ) cos2 2cos cos cos2 sin2 2sin sin sin22
∴ cos( ) cos cos sin sin
两角差的余弦公式
对于任意的角，，
cos( ) cos cos sin sin
11 2sin( )sin 2cos( )cos
sin( ) sin ,cos( ) cos 得 2 2cos( )
3.1.1-两角差的余弦公式课件人教新课标
cos
A sin
C
csoisn ==OAAP OAAPOOPPcsoisn
OOPP
P csoisn OCBP
OAAP
OCBPOAAP c soisn OOPP c soisn csoisn csoins csoins
O
B
M1 x
+
法二（向量法）
A
在单位圆中
OA cos ,sin ， OB cos ,sin ，
1、熟悉用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程． 2、熟记并灵活运用两角差的余弦公式. 3、掌握“变角”和“拆角”的方法.
自学教材P124—P127 解决下列问题
一、熟记并灵活运用两角差的余弦公式. 二、《创新设计》 新知导学. 三、《教材》 P127 练习1、2、3、4.
y
1
P1 法一（三角函数线）
33 . 65
利用同角的三角函 数关系式求值时，要 注意角的范围.
三、《教材》 P127 练习1、2、3、4.
你学会了吗?
※对自己说，你有什么收获？ ※对同学说，你有什么提示？ ※对老师说，你有什么疑惑？
1.两角和与差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
OA OB OA OB cos( )
y
α
B
β
o
1x
-1
cos( ).
因为OA OB cos cos sin sin .
所以cos( ) cos cos sin sin .
思考： C( ) C()?
C( )
co（s ） cos cos sin sin
口诀：余余正正符号反
5.5.1两角差的余弦公式课件(人教版)
5.5.1 三角恒等变换 第1课时 两角差的余弦公式
学习目标
素养目标
学科素养
1.会用两点间离公式推导出两角差的余弦公式；1.直观想象
2．熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用．
2.数学运算
自主学习
推导：如图所示，设单位圆与 x 轴的正半轴相交于点 A(1,0)，以 x 轴非负半轴为始 边作角 α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点 P1、A1、P. 思考：P1、A1、P 点的坐标如何表示？线段 AP 和 A1P1 有什么关系？
3 解析：原式＝2cos30°－ cos2200°°－sin20° ＝2cos30°cos20°＋c2ossi2n03°0°sin20°－sin20° ＝ 3cos20°＋cossi2n02°0°－sin20°＝ c3ocso2s02°0°＝ 3.
当堂达标
6.已知 2cos cos 3 ， 2sin sin 2 则 cos __________．
经典例题
题型二 给值求值
跟踪训练2
已知 α，β∈34π，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－4π＝1123，求 cosα＋π4的值．
解：因为 α，β∈34π，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－4π＝1123，
α＋β∈32π，2π，β－π4∈2π，34π，
所以 cos(α＋β)＝45，cosβ－4π＝－153，
P1(cosα，sinα)、A1(cosβ，sinβ)、P(cos(α－β)，sin(α－β))
AP＝A1P1
自主学习
两角差的余弦公式
名称
简单符号
两角差的余弦
C(α－β)
公式 cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
使用条件 α，β 为任意角
学习目标
素养目标
学科素养
1.会用两点间离公式推导出两角差的余弦公式；1.直观想象
2．熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用．
2.数学运算
自主学习
推导：如图所示，设单位圆与 x 轴的正半轴相交于点 A(1,0)，以 x 轴非负半轴为始 边作角 α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点 P1、A1、P. 思考：P1、A1、P 点的坐标如何表示？线段 AP 和 A1P1 有什么关系？
3 解析：原式＝2cos30°－ cos2200°°－sin20° ＝2cos30°cos20°＋c2ossi2n03°0°sin20°－sin20° ＝ 3cos20°＋cossi2n02°0°－sin20°＝ c3ocso2s02°0°＝ 3.
当堂达标
6.已知 2cos cos 3 ， 2sin sin 2 则 cos __________．
经典例题
题型二 给值求值
跟踪训练2
已知 α，β∈34π，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－4π＝1123，求 cosα＋π4的值．
解：因为 α，β∈34π，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－4π＝1123，
α＋β∈32π，2π，β－π4∈2π，34π，
所以 cos(α＋β)＝45，cosβ－4π＝－153，
P1(cosα，sinα)、A1(cosβ，sinβ)、P(cos(α－β)，sin(α－β))
AP＝A1P1
自主学习
两角差的余弦公式
名称
简单符号
两角差的余弦
C(α－β)
公式 cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
使用条件 α，β 为任意角
高中数学必修第一册人教A版《5.5两角差的余弦公式》名师课件
来的圆重合,这一性质叫做圆的旋转对称性．
连接1 1 ,．若把扇形,绕着点旋转角,则点,
分别与点1 , 1 重合．根据圆的旋转对称性可知,与
1 1 重合,从而, 所以＝1 1
ห้องสมุดไป่ตู้究新知
根据两点间的距离公式,得
cos − − 1 2 + s −
复习引入
不用计算器,求cos −375° 的值.
−° = ° = ° + ° = °
1. 15 °能否写成两个特殊角的和或差的形式?
2. 15 ° = (45 ° − 30 °) = 45 ° − 30 °成立吗?
3. (45 ° − 30 °)能否用45 °和30 °的角的三角函数来表示?
−
=
，求的值
−
=
由0＜β＜α＜ ，得0＜α－β＜ .
又cos(α－β)＝ ， ∴
( − ) =
− (
− ) =
−
由 = − ( − )得
= [ − ( − )] = ( − ) + ( − )
不妨令 ≠ 2kπ＋β, ∈ ． 如图,设单位圆与轴的正半轴相交于点(1,0),
以轴非负半轴为始边作角, , — , 它们的终边分别与单位圆相交于
1 (, ), 1 (, ),((－), (－))．
任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原
＝(－ ＝(－
)×(－ )×
)＋(－
＋
×)×
＝＝ －
. .
方法归纳
连接1 1 ,．若把扇形,绕着点旋转角,则点,
分别与点1 , 1 重合．根据圆的旋转对称性可知,与
1 1 重合,从而, 所以＝1 1
ห้องสมุดไป่ตู้究新知
根据两点间的距离公式,得
cos − − 1 2 + s −
复习引入
不用计算器,求cos −375° 的值.
−° = ° = ° + ° = °
1. 15 °能否写成两个特殊角的和或差的形式?
2. 15 ° = (45 ° − 30 °) = 45 ° − 30 °成立吗?
3. (45 ° − 30 °)能否用45 °和30 °的角的三角函数来表示?
−
=
，求的值
−
=
由0＜β＜α＜ ，得0＜α－β＜ .
又cos(α－β)＝ ， ∴
( − ) =
− (
− ) =
−
由 = − ( − )得
= [ − ( − )] = ( − ) + ( − )
不妨令 ≠ 2kπ＋β, ∈ ． 如图,设单位圆与轴的正半轴相交于点(1,0),
以轴非负半轴为始边作角, , — , 它们的终边分别与单位圆相交于
1 (, ), 1 (, ),((－), (－))．
任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原
＝(－ ＝(－
)×(－ )×
)＋(－
＋
×)×
＝＝ －
. .
方法归纳
5.5.1第一课时两角差的余弦公式课件(人教版)
( − ) = −，
( − 2) = ��
公式推导
我们在研究如何求三角函数值都用到了哪些知识？
三角函数的定义、单位圆、圆的对称性
是否能用同样的方法来研究( − )与, , , 之
间的关系呢？
探究新知
利用三角函数定义，作如图：
所以 cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
5
3
12
4
33
= -13 ×5 + 13 × 5 = 65.
= 3.
知识梳理
π
π
π
5. 因为 0<α< ,0<β< ,α<β,
2
2
所以 sin(α-β)=-
5
所以 -2 <α-β<0. 又 cos(α-β)= 5 ,
的余弦公式求解.
(3)求非特殊角的三角函数值,把非特殊角转化为两个特殊角的差,然后利
用两角差的余弦公式求解.
二、给值求值问题
题型探究
例2
3
(1)已知 sin α=5,α是第二象限角;cos
4
β= 5,β是第四象限角,求
的值;
1
3
2
5
(2)已知 sin α= ,cos(α+β)=- ,α,β均为锐角,求 cos β的值.
=-cos
3π
−
12
π
2π
=-cos
12
π
π
π
4
−
π
=-
2
×
3
2
+
2
2
×
2
=-
( − 2) = ��
公式推导
我们在研究如何求三角函数值都用到了哪些知识？
三角函数的定义、单位圆、圆的对称性
是否能用同样的方法来研究( − )与, , , 之
间的关系呢？
探究新知
利用三角函数定义，作如图：
所以 cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
5
3
12
4
33
= -13 ×5 + 13 × 5 = 65.
= 3.
知识梳理
π
π
π
5. 因为 0<α< ,0<β< ,α<β,
2
2
所以 sin(α-β)=-
5
所以 -2 <α-β<0. 又 cos(α-β)= 5 ,
的余弦公式求解.
(3)求非特殊角的三角函数值,把非特殊角转化为两个特殊角的差,然后利
用两角差的余弦公式求解.
二、给值求值问题
题型探究
例2
3
(1)已知 sin α=5,α是第二象限角;cos
4
β= 5,β是第四象限角,求
的值;
1
3
2
5
(2)已知 sin α= ,cos(α+β)=- ,α,β均为锐角,求 cos β的值.
=-cos
3π
−
12
π
2π
=-cos
12
π
π
π
4
−
π
=-
2
×
3
2
+
2
2
×
2
=-
两角差的余弦公式课件
sin2α－2sin αsin γ＋sin2 γ＝sin2β，cos2 α－2cos αcos γ＋ cos2 γ＝cos2 β，
两式相加得，1－2(cos αcos γ＋sin αsin γ)＋1＝1，即 cos(α －γ)＝12.
由于 α，β，γ 是锐角，所以由 sin α－sin γ＝－sin β<0 可 知，α<γ，故 α－γ＝－π3.
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求 值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余 弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
2．两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加．
已知 sin(α＋π4)＝45，且π4<α<34π，求 cos α 的值． 【思路探究】 注意到 α＝(α＋π4)－π4，把求 cos α 转化 为两角差的余弦，考虑到公式特征，只需求 cos(α＋π4)的值， 利用平方关系，问题可解．
∴cos α＝cos[(α＋π4)－π4] ＝cos(α＋π4)·cosπ4＋sin(α＋π4)·sinπ4 ＝35× 22＋45× 22＝7102.
已知 α、β 均为锐角，且 cos α＝255，cos β＝ 1100， 求 α－β 的值．
【思路探究】 本题可先求出 cos(α－β)的值，结合 α－ β 的范围，再求出 α－β 的值．
5．根据上面的计算可以得出什么结论？
【提示】 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.cos(α－β)
＝ cos α·cos β＋sin α·sin β
.
(1)适用条件：公式中的角 α，β 都是任意角．
(2)公式结构：公式右端的两符号相反．
两式相加得，1－2(cos αcos γ＋sin αsin γ)＋1＝1，即 cos(α －γ)＝12.
由于 α，β，γ 是锐角，所以由 sin α－sin γ＝－sin β<0 可 知，α<γ，故 α－γ＝－π3.
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求 值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余 弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
2．两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加．
已知 sin(α＋π4)＝45，且π4<α<34π，求 cos α 的值． 【思路探究】 注意到 α＝(α＋π4)－π4，把求 cos α 转化 为两角差的余弦，考虑到公式特征，只需求 cos(α＋π4)的值， 利用平方关系，问题可解．
∴cos α＝cos[(α＋π4)－π4] ＝cos(α＋π4)·cosπ4＋sin(α＋π4)·sinπ4 ＝35× 22＋45× 22＝7102.
已知 α、β 均为锐角，且 cos α＝255，cos β＝ 1100， 求 α－β 的值．
【思路探究】 本题可先求出 cos(α－β)的值，结合 α－ β 的范围，再求出 α－β 的值．
5．根据上面的计算可以得出什么结论？
【提示】 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.cos(α－β)
＝ cos α·cos β＋sin α·sin β
.
(1)适用条件：公式中的角 α，β 都是任意角．
(2)公式结构：公式右端的两符号相反．
5.5.1两角差的余弦公式课件共18张PPT
2
巩固练习 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
1.计算下列各式的值.
（1）cos175cos55sin175sin55
1 2
(2)cos( 21)cos( 24) sin( 21)sin( 24) 2 2
(3)已知sin sin 1 ,cos cos 1 ,
例4：求函数f (x) 3 cos x 1 sin x的周期 .
2
2
解：原式
cosx cos
sin
x sin
6
6
cos(x )
6
所以函数的周期是2 .
深化练习 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
思考题：已知α，β都是锐角, cosα=
4， 5
cosα+β 5 求cosβ的值 13
变角: β= α+β α
分析：cos cos
cosαβcosαsinαβsinα
5 4 12 3 16 13 5 135 65
课堂小结
一个公式：两角差的余弦公式
两种思想： 转化化归思想； 数形结合思想.
三种题型： 给角求值； 给值求值； 给值求角.
课堂小结
两角差的余弦公式
对于任意角α,β都有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
分析: cos15 cos 45 30
cos15 cos60 45
思考：你会求sin75 的值吗?
典型例题 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
例2:利用公式证明：
(1) cos( ) sin;(2) cos( ) cos
2
典型例题 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
巩固练习 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
1.计算下列各式的值.
（1）cos175cos55sin175sin55
1 2
(2)cos( 21)cos( 24) sin( 21)sin( 24) 2 2
(3)已知sin sin 1 ,cos cos 1 ,
例4：求函数f (x) 3 cos x 1 sin x的周期 .
2
2
解：原式
cosx cos
sin
x sin
6
6
cos(x )
6
所以函数的周期是2 .
深化练习 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
思考题：已知α，β都是锐角, cosα=
4， 5
cosα+β 5 求cosβ的值 13
变角: β= α+β α
分析：cos cos
cosαβcosαsinαβsinα
5 4 12 3 16 13 5 135 65
课堂小结
一个公式：两角差的余弦公式
两种思想： 转化化归思想； 数形结合思想.
三种题型： 给角求值； 给值求值； 给值求角.
课堂小结
两角差的余弦公式
对于任意角α,β都有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
分析: cos15 cos 45 30
cos15 cos60 45
思考：你会求sin75 的值吗?
典型例题 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
例2:利用公式证明：
(1) cos( ) sin;(2) cos( ) cos
2
典型例题 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
3．两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
两角差的正切
tan(α－β) ＝
tan α－tan β 1＋tan αtan β
简记符号
使用条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋π2 (k∈Z)
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法 此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的 某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误 是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样 就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定 取该角的哪一种三角函数值．
规律方法 化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之 间的关系，以便于应用，对于三角函数式的化简要求应熟练掌 握：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3) 使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函 数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
题型二 给角求值问题
【例 2】 求下列各式的值：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
自学导引
1．两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
；
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β.来自2．两角和与差的正弦公式
第1课时 两角差的余弦公式 课件(共12张PPT) 高一数学人教A版(2019)必修第一册
化简得：cos (α−β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ；
将 α = 2kπ + β（k∈Z）带入上式，易证上式仍然成立；
所以，对于任意 α，β 有：cos (α−β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ，
简记作：C( α − β ) .
思考：上述差角的余弦公式，在三角函数计算过程中有何作用？
5.5.1.1 两角差的余弦公式
学习目标
新课讲授
课堂总结
1.理解两角差的余弦公式的推导过程；（重点）
2. 会利用两角差的余弦公式化简、求值、证明等.（难点）
学习目标
新课讲授
课堂总结
回顾：诱导公式都是特殊角与任意角 α 的和（或差）的三角函数与这个任
意角 α 的三角函数的恒等关系.
思考：如果把特殊角换为任意角 β，那么任意角 α 与 β 的和（或差）的三
PQ =
1 − 2
2
+ 1 − 2
2
.
注：公式使用过程中，可先建立直角坐标系，将任意两点的坐标标出，再
套公式求解！
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题 2：如果已知任意角 α、β 的正弦、余弦，你能由此推出 α – β 的余弦吗？
若能，请说明理由.
令 ≠ 2kπ + β，k∈Z，如图，以 x 轴非负半轴为始边作角 α，β，α – β，
根据勾股定理得：MQ2+MP2
=
M
PQ2，
即：(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 = PQ2，
故 PQ 的距离为：
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
o
.
将 α = 2kπ + β（k∈Z）带入上式，易证上式仍然成立；
所以，对于任意 α，β 有：cos (α−β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ，
简记作：C( α − β ) .
思考：上述差角的余弦公式，在三角函数计算过程中有何作用？
5.5.1.1 两角差的余弦公式
学习目标
新课讲授
课堂总结
1.理解两角差的余弦公式的推导过程；（重点）
2. 会利用两角差的余弦公式化简、求值、证明等.（难点）
学习目标
新课讲授
课堂总结
回顾：诱导公式都是特殊角与任意角 α 的和（或差）的三角函数与这个任
意角 α 的三角函数的恒等关系.
思考：如果把特殊角换为任意角 β，那么任意角 α 与 β 的和（或差）的三
PQ =
1 − 2
2
+ 1 − 2
2
.
注：公式使用过程中，可先建立直角坐标系，将任意两点的坐标标出，再
套公式求解！
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题 2：如果已知任意角 α、β 的正弦、余弦，你能由此推出 α – β 的余弦吗？
若能，请说明理由.
令 ≠ 2kπ + β，k∈Z，如图，以 x 轴非负半轴为始边作角 α，β，α – β，
根据勾股定理得：MQ2+MP2
=
M
PQ2，
即：(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 = PQ2，
故 PQ 的距离为：
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
o
.
课件7：3.1.1 两角差的余弦公式
cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝－45×1123＋－35×153 ＝－6635.
规律总结 (1)利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而 要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的 差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入 公式即可求解． (2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：α＝(α＋β) －β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]， α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．
3.1.1 两角差的余弦公式
自主预习 两角差的余弦公式 (1)cos(α－β)＝ cosαcosβ＋sinαsinβ . (2)此公式简记作 C(α－β)．
总结 对两角差的余弦公式的理解： ①公式中的 α，β 都是任意角． ②差角的余弦公式不能按分配律展开，即一般情况下， cos(α－β)≠cosα－cosβ.
例 2.已知π2<β<α<34π，cos(α－β)＝1123，sin(α＋β)＝－35，求 cos2β. 解:∵π2<β<α<34π， ∴0<α－β<4π，π<α＋β<32π. ∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β ＝ 1－11232＝153， cos(α＋β)＝－ 1－sin2α＋β ＝－ 1－－352＝－45，
cos(A＋B)＝－ 1－sin2A＋B
＝
1－232＝－
5 3.
∴cosA＝cos[(A＋B)－B]
＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB
＝(－
35)×(－34)＋23×
5.5.1两角差的余弦公式课件——高中数学人教A版必修第一册
1．已知 sin α＝1157，α∈π2，π，则 cosπ4－α的值为________． 解析：因为 sin α＝1157，α∈π2，π，
所以 cos α＝－ 1－sin2α
＝－ 1－11572＝－187，
所以
cosπ4－α＝
π cos4cos
α＋sinπ4sin
α＝ 22×－187＋
22×1157＝
【解】 (1)因为 cos α＝13，α 是第四象限角， 所以 sin α＝－ 1－cos2α＝
－ 1－132＝－23 2， 因为 sin β＝35，β 是第二象限角， 所以 cos β＝－ 1－sin2β＝
－ 1－352＝－45，
则 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝13×－45＋－23 2×35＝－4－156
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对∀α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 都成立．(√ ) (2)对于∀α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β 都不成立．( × )
设 α∈0，π2，若 sin α＝35，则 2cosα－π4等于(
)
A．75
2 2.
又 sin α＜sin β，所以 0＜α＜β＜π2，
所以－π2＜α－β＜0.故 α－β＝－π4. 答案：－π4
04 拓展延伸
1．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为( )
3 A. 2
1＋ 3 C. 2
1 B.2
3－1 D. 2
解析：选 B.sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°＝cos 11°·cos 71°
sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝5143. 又因为 β＝(α＋β)－α， 所以 cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋5143×4 7 3＝12. 又因为 β∈0，π2，所以 β＝π3.
《两角差的余弦公式》课件
1 2 3
利用三角函数诱导公式推导
通过三角函数的周期性和对称性，利用诱导公式 将角度转换到易于计算的角度范围，然后利用两 角和与差公式进行推导。
利用单位圆性质推导
利用单位圆的性质，将两角差的余弦表示为向量 夹角的余弦值，然后利用向量的数量积和模长进 行推导。
推导过程的证明
证明两角差的余弦公式需要利用三角函数的周期 性和对称性、单位圆的性质以及代数运算和三角 恒等变换进行证明。
学习目标
掌握公式的推导过程，理解公式 的几何意义，能够熟练应用公式 进行计算
THANKS
感谢观看
进阶习题3
已知cos(π/3 + α) = 1/3，求 cos(2π/3 - 2α)的值。
习题解析
解析1
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/3 - α)转化为 关于cos(2π/3 - 2α)的表达式，然后进行计算。
解析2
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/4 - α)转化为关 于sin(3π/4 - 2α)的表达式，然后进行计算。
适用于任意角度α、β的三角函数计算
公式应用注意事项
角度范围
在使用两角差的余弦公式时，需 要注意角度α、β的范围，以避免
出现负数平方根的情况
精度问题
在计算过程中，需要注意精度问 题，以避免误差的积累
特殊角的处理
对于一些特殊角，如90°、180° 等，需要特别注意公式的应用方
式
下章预告
学习内容
学习两角和与差的正弦、余弦、 正切公式
解析6
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/3 + α)转化为 关于cos(2π/3 - 2α)的表达式，然后进行计算。
05
5.5.1两角差的余弦公式第一课时课件(人教版)
6＋ 2
3 2 1 2
＝ 2 × 2 ＋2× 2 ＝ 4 .
注意：非特殊角
的三角函数求值，
要充分考虑能否
转化为两特殊角
的和与差
巩固与练习
cos 7°－sin 15°sin 8°
训练 1 (2)
＝________．
cos 8°
解析
cos（15°－8°）－sin 15°sin 8°
(2)原式＝
cos 8°
诱导公式五、六是什么呢？
sin( －)＝cos
cos( －)＝sin
sin( ＋)＝ cos
cos( ＋)＝ －
sin
公式引入（2）
推导－的正弦公式：
π
π
sin(α－β)＝cos2－(α－β)＝cos(2－α)＋β
π
＝cos2－αcosβ
tanα＋tanβ
tan(α＋β)＝
( T(α＋β))
1－tanαtanβ
tanα－tanβ
tan(α－β)＝
( T(α－β))
1＋tanαtanβ
公式 S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)给出了任意角 α，β 的三角函数值与其和
角 α＋β 的三角函数值之间的关系，为方便起见，我们把这三个公
式都叫做和角公式. 类似地，S(α－β)，C(α－β)，T(α－β)都叫做差角公式.
3 5 4 12
＝－5×－13＋5×－13
33
＝－65
巩固与练习
3 2 1 2
＝ 2 × 2 ＋2× 2 ＝ 4 .
注意：非特殊角
的三角函数求值，
要充分考虑能否
转化为两特殊角
的和与差
巩固与练习
cos 7°－sin 15°sin 8°
训练 1 (2)
＝________．
cos 8°
解析
cos（15°－8°）－sin 15°sin 8°
(2)原式＝
cos 8°
诱导公式五、六是什么呢？
sin( －)＝cos
cos( －)＝sin
sin( ＋)＝ cos
cos( ＋)＝ －
sin
公式引入（2）
推导－的正弦公式：
π
π
sin(α－β)＝cos2－(α－β)＝cos(2－α)＋β
π
＝cos2－αcosβ
tanα＋tanβ
tan(α＋β)＝
( T(α＋β))
1－tanαtanβ
tanα－tanβ
tan(α－β)＝
( T(α－β))
1＋tanαtanβ
公式 S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)给出了任意角 α，β 的三角函数值与其和
角 α＋β 的三角函数值之间的关系，为方便起见，我们把这三个公
式都叫做和角公式. 类似地，S(α－β)，C(α－β)，T(α－β)都叫做差角公式.
3 5 4 12
＝－5×－13＋5×－13
33
＝－65
巩固与练习
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2
cos - =cos cos +sin sin 5 4 12 3 = + 5 13 5 13 33 = 65
【练习1】
求下列各式的值：
(1)cos(α－35° )cos(25° ＋α)＋sin(α－35° )sin(25° ＋α)； cos 7° －sin 15° sin 8° (2) . cos 8°
回顾小结
1.学到了什么知识？ 2.推导的过程上有什么体会？ 3.习得哪些数学思想和方法？
作业： 习题3.1A组 第2、3、4题
【思考题】
4 1 已知锐角、 满足cos , tan( ) , 5 3 求 cos 的值.
4 5 (1)已知， 都是锐角，cos , cos , 求cos的值. 5 13 12 3 (2)已知， 都是锐角，cos ，cos 2 ，求cos的值. 13 5
提示：观察已知角与所求角之间的关系 注意角的取值范围
4 解：由sin ， , 5 2
得
2
3 4 cos = 1 in 2 1 5 5
又由cos
5 ， 是第三象限角，得 13 12 5 sin = 1 cos 2 1 13 13
60°
45° A
C
15°
B
不成立
方法：对于角的问题的研究， 我们往往借助于坐标系和 单位圆来进行。
y
O
x
y
Ａ C D Ｍ Ｂ
O
N
x
再探究： 还有没有其它证明方法？思考，
上一章还学过哪些与三角函数有关
的知识呢？
cos( ) cos cos sin sin .
两角差的余弦公式
授课人：李玉姗
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示, 在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离约为60米,从A观 测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,∠CAB=15°.求这座 电视发射塔的高度.
D
CD=BD－BC BD=ABtan60° AB=60cos15°BC= 60sin15°
【思路探究】 公式可得解. (1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用
【练习1】
(3)求值： sin15 cos75 cos15 sin105 (4)化简： sin( x )sin( x ) cos( x )cos( x ) 4 4 4 4
【练习2】
cos - =cos cos +sin sin 5 4 12 3 = + 5 13 5 13 33 = 65
【练习1】
求下列各式的值：
(1)cos(α－35° )cos(25° ＋α)＋sin(α－35° )sin(25° ＋α)； cos 7° －sin 15° sin 8° (2) . cos 8°
回顾小结
1.学到了什么知识？ 2.推导的过程上有什么体会？ 3.习得哪些数学思想和方法？
作业： 习题3.1A组 第2、3、4题
【思考题】
4 1 已知锐角、 满足cos , tan( ) , 5 3 求 cos 的值.
4 5 (1)已知， 都是锐角，cos , cos , 求cos的值. 5 13 12 3 (2)已知， 都是锐角，cos ，cos 2 ，求cos的值. 13 5
提示：观察已知角与所求角之间的关系 注意角的取值范围
4 解：由sin ， , 5 2
得
2
3 4 cos = 1 in 2 1 5 5
又由cos
5 ， 是第三象限角，得 13 12 5 sin = 1 cos 2 1 13 13
60°
45° A
C
15°
B
不成立
方法：对于角的问题的研究， 我们往往借助于坐标系和 单位圆来进行。
y
O
x
y
Ａ C D Ｍ Ｂ
O
N
x
再探究： 还有没有其它证明方法？思考，
上一章还学过哪些与三角函数有关
的知识呢？
cos( ) cos cos sin sin .
两角差的余弦公式
授课人：李玉姗
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示, 在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离约为60米,从A观 测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,∠CAB=15°.求这座 电视发射塔的高度.
D
CD=BD－BC BD=ABtan60° AB=60cos15°BC= 60sin15°
【思路探究】 公式可得解. (1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用
【练习1】
(3)求值： sin15 cos75 cos15 sin105 (4)化简： sin( x )sin( x ) cos( x )cos( x ) 4 4 4 4
【练习2】