数学高一-必修一练习3.1正整数指数函数
2020-2021学年高一数学北师大版必修1作业：3.1正整数指数函数 Word版含解析
13．(13 分)有关部门计划于 2019 年投入某市 128 辆电力型公 交车，且随后电力型公交车每年的投入比上一年的投入增加 50%， 试问，该市在 2025 年应投入多少辆电力型公交车？
解：由题意知，在 2020 年应投入电力型公交车的数量为 128×(1 ＋50%)；
在 2021 年应投入电力型公交车的数量为 128×(1＋50%)×(1 ＋50%)＝128×(1＋50%)2；
A．7 分钟 B．8 分钟 C．9 分钟 D．10 分钟
解析：由题意可得，B 桶中的水的体积 y2＝a－amt， 因为 t＝5 时，y1＝y2， 所以由 am5＝a－am5，可得 m5＝12. 设再经过 t1 分钟后桶 A 中的水只有a8升，则 am5＋t1＝a8， 所以 m5＋t1＝123＝m15. 所以 t1＝10，即再经过 10 分钟，桶 A 的水只有a8升．
D.
2．下列函数：①y＝3x2(x∈N＋)；②y＝5x(x∈N＋)；③y＝3x＋ 1(x∈N＋)；④y＝3·2x(x∈N＋)．
其中是正整数指数函数的个数为( B ) A．0 B．1 C．2 D．3
解析：由正整数指数函数的定义知，①③④都不是正整数指数 函数，②是．故选 B.
3．函数 y＝12x，x∈N＋的值域是( D ) A．R B．[0，＋∞) C．N D.12，212，213，…
7．若正整数指数函数 f(x)＝(a－1)x 在定义域 N＋上是减函数， 则 a 的取值范围是( D )
A．a>1 B．a<2 C．a>2 D．1<a<2
解析：因为正整数指数函数 f(x)＝(a－1)x 在定义域 N＋上是减 函数，所以其底数满足 0<a－1<1，即 1<a<2.
2019-2020年高中数学 3-1 正整数指数函数同步练习 北师大版必修1
2019-2020年高中数学 3-1 正整数指数函数同步练习北师大版必修1一、选择题1．下列各项对正整数指数函数的理解正确的有( )①底数a≥0；②指数x∈N＋；③底数不为0；④y＝a x(a>0，a≠1，x∈N＋)．A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] D[解析] 由正整数指数函数定义知①错误，②③④正确故选D.2．若集合A＝{y|y＝2x，x∈N＋}，B＝{y|y＝x2，x∈N＋}，则( )A．A B B．A BC．A＝B D．A B且B⊉A[答案] D[解析] ∵A＝{2,4,8,16,32，……}，B＝{1,4,9,16,25，……}，∴2∈A，且2∉B；9∈B且9∉A，故选D.3．若a>0，n、m为正整数，则下列各式中正确的是( )A．a m÷a n＝a mnB．a n·a m＝a m·nC．(a n)m＝a m＋n D．a m a－n＝a m－n[答案] D[解析] 由指数幂的运算法则有a m a－n＝a m－n正确．故选D.4．已知0<a<1，b<0，则函数y＝a x＋b(x∈N＋)的图像经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] D[解析] y＝a x＋b的图像，可看成y＝a x(0<a<1，x∈N＋)的图像向下移|b|个单位得到，而y＝a x(0<a<1)过第一象限，∴y＝a x＋b的图像一定过第四象限．5．一批价值a万元的设备由于使用时磨损，每年比上一年的价值降低b%，则n年后，这批设备的价值为( )A．na(1－b%)万元B．a(1－nb%)万元C．a[1－(b%)n]万元D．a(1－b%)n万元[答案] D[解析] 每经过一年磨损，价值变为上一年价值的(1－b%)倍，故经过n年，价值变为a(1－b%)n万元．6．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次由一个分裂成两个，这种细菌由一个繁殖成4096个需要经过的小时数为( )A ．12小时B ．4小时C ．3小时D ．2小时[答案] C[解析] 由题意知，刚开始有1个细菌，15分钟后有2个，30分钟后有4个，45分钟后有8个，60分钟后有16个，75分钟后有32个，90分钟后有64个，……，180分钟后有4096个，180分钟＝3小时．二、填空题7．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8100元的计算机经过15年价格应降为________．[答案] 2400元[解析] 5年后价格为8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13；10年后价格为8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132；15年后价格为8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝2400(元)．8．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．[答案] 2250[解析] 设原价为a ，则a ·(1＋40%)×0.8－a ＝270，解得a ＝2250(元)． 三、解答题9．(xx·枣庄高一检测)农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.xx 年某地区农民人均收入为13150元(其中工资性收入为7800元，其他收入为5350元)．预计该地区自xx 年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，求xx 年该地区农民人均收入约为多少元？(其中1.064≈1.26,1.065≈1.34,1.066≈1.42)[分析] 本小题主要考查指数函数型的实际问题，也考查学生运用函数知识解决实际问题的能力．[解析] 农民人均收入来源于两部分，一是工资性收入即7800×(1＋6%)5＝7800×1.065＝10452(元)，二是其它收入即5350＋5×160＝6150(元)，∴农民人均收入为10452＋6150＝16602(元)． 答：xx 年该地区农民人均收入约为16602元. 一、选择题1．(xx·济宁模拟)若f (x )＝3x(x ∈N 且x >0)，则函数y ＝f (－x )在其定义域上为( ) A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增[答案] B[解析] ∵f (x )＝3x(x ∈N 且x <0)， ∴y ＝f (－x )＝3－x＝(13)x ，∴函数为减函数，故选B.2．某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经调查，从xx 年到xx 年这10年间每两年上升2%,xx 年和xx 年种植植被815万m 2.当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，那么从xx 年到xx 种植绿色植被面积为(四舍五入)( )A ．848万m 2B ．1679万m 2C ．1173万m 2D ．12494万m 2[答案] B[解析] xx ～xx 为815×(1＋2%)，xx ～xx 为815×(1＋2%)×(1＋2%)． 共为815×(1＋2%)＋815×(1＋2%)(1＋2%)≈1679. 二、填空题3．某厂xx 年的生产总值为x 万元，预计生产总值每年以12%的速度递增，则该厂到xx 年的生产总值是________万元．[答案] x (1＋12%)12[解析] xx 年生产总值为x (1＋12%)； xx 年生产总值为x (1＋12%)2；…… ∴xx 年，产品总产值为x (1＋12%)12.4．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽________次．[答案] 8[解析] 设原有空气为1，则抽1次后为1×(1－60%)＝0.4；抽2次后为0.4×(1－60%)＝0.42，……抽7次后为0.47≈0.0016>0.1%， 抽8次后为0.48≈0.00066. 故至少应抽8次． 三、解答题5．截止到xx 年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口年平均递增率控制在1‰，经过x 年后，我国人口数字为y (亿)．(1)求y 与x 的函数关系y ＝f (x )； (2)求函数y ＝f (x )的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增、减有什么实际意义．[解析] (1)xx年年底的人口数：13亿；经过1年，xx年年底的人口数：13＋13×1‰＝13(1＋1‰)(亿)；经过2年，xx年年底的人口数：13(1＋1‰)＋13(1＋1‰)×1‰＝13(1＋1‰)2(亿)；经过3年，xx年年底的人口数：13(1＋1‰)2＋13(1＋1‰)2×1‰＝13(1＋1‰)3(亿)．∴经过年数与(1＋1‰)的指数相同．∴经过x年后的人口数：13(1＋1‰)x(亿)，∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x(x∈N)．(2)理论上指数函数定义域为R，∵此问题以年作为单位时间，∴x∈N是此函数的定义域．(3)y＝f(x)＝13(1＋1‰)x，∵1＋1‰>1,13>0，∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x是增函数，即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长．6．某公司拟对外投资100万元，有两种投资可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？可多得利息多少万元？(结果精确到0.01万元) [解析] 本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．本金100万元，年利率9%，按每年复利计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．由此可见，按年利率9%每年复利一次计算要比年利率10%单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元．7．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为n＋1元时，比礼品价值为n元(n∈N＋)时的销售量增加10%.(1)写出礼品价值n元时，利润y n(元)与n的函数关系式；(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．[解析] (1)设未赠礼品时的销量为m件．则当礼品价值为n元时，销售m(1＋10%)n件，利润y n＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n＝(20－n)m×1.1n(0<n<20，n∈N＋)．(2)令y n＋1－y n≥0，即(19－n)m×1.1n＋1－(20－n)m×1.1n≥0，解得n≤9，所以y1<y2<y3<…<y9＝y10，令y n＋1－y n＋2≥0，即(19－n)m×1.1n＋1－(18－n)m×1.1n＋2≥0，解得n≥8.所以y9＝y10>y11>y12>…>y19.所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．。
高中数学 3.1 正整数指数函数同步课时训练 北师大版必
【世纪金榜】（教师用书）2014高中数学 3.1 正整数指数函数同步课时训练北师大版必修1(30分钟 50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.已知正整数指数函数f（x）=（a-2）a x，则f（2）=( )(A)2 (B)3 (C)9 (D)162.（2012·广州高一检测）当x∈N+时，函数y=（a-1）x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )(A)1＜a＜2 (B)a＜1(C)a＞1 (D)a＞23.某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是( )(A)增加7.84% (B)减少7.84%(C)减少9.5% (D)不增不减4.由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低13，设现在的电脑价格为8 100元，则3年后的价格可降为( )(A)2 400元 (B)2 700元(C)3 000元 (D)3 600元二、填空题（每小题4分，共8分）5.正整数指数函数f(x)=(a-2)(2a)x(x∈N+)在定义域N+上是__________的.(填“增加”或“减少”)6.已知0＜a＜1，则函数y=a x-1（x∈N+）的图像在第___________象限.三、解答题（每小题8分，共16分）7.在正整数指数函数y=a x(a＞0且a≠1,x∈N+)中，分别求满足下列条件的a的取值范围.（1）若y=a x在x∈N+上是减少的,求a的取值范围.（2）若a x≥a,x∈N+,求a的取值范围.8.（易错题）某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经过调查，现有森林面积为10 000 m2，每年增长10%，经过x年，森林面积为y m2.(1)写出x，y之间的函数关系式；（2）求出经过10年后森林的面积(可借助计算器).【挑战能力】（10分）一个人喝了少量酒后血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少.为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中酒精含量不得超过0.08 mg/mL.问喝了少量酒的驾驶员，至少过几小时才能驾驶?(精确到1小时)答案解析1.【解析】选C.由于a21,a0a1,-=⎧⎨≠⎩＞且则a=3，∴f（x）=3x（x∈N+）,∴f(2)=32=9,故选C.2.【解题指南】根据函数在N+上的值总大于1确定a-1的范围. 【解析】选D.在y=（a-1）x中，当x=0时，y=1.而x∈N+时，y＞1，则必有a-1＞1，∴a＞2，故选D.3. 【解析】选B.设商品原价为a，两年后价格为a（1+20%）2，四年后价格为a（1+20%）2（1-20%）2=a（1-0.04）2=0.921 6a，∴a0.921 6aa-×100%=7.84%，故选B.4.【解析】选A.1年后价格为8 100×(1-13)=5 400（元）,2年后价格为5 400×（1-13）=3 600（元）,3年后价格为3 600×（1-13）=2 400（元）.5.【解析】∵f(x)=(a-2)(2a)x是正整数指数函数, ∴a-2=1,且2a＞0，2a≠1,∴a=3,∴f(x)=6x,x∈N+.∵6>1,∴f(x)在N+上是增加的.答案：增加6.【解析】y=a x的图像在第一象限中x轴上方、直线y=1下方的一个区域内，而y=a x-1的图像是将y=a x 图像向下平移1个单位，因此，图像在第四象限.答案：四7.【解析】（1）由于y=a x（a＞0且a≠1，x∈N+）在x∈N+上是减少的，所以由正整数指数函数的性质知0＜a＜1.（2）∵a x≥a1,x∈N+,可知y=a x（x∈N+）在N+上是增加的,∴a＞1.【方法技巧】函数单调性概念的应用技巧本题的考点是函数的单调性应用问题，如在（1）中可直接利用指数函数单调减少的概念确定字母a的取值范围.如在（2）中把不等式问题转化为函数的单调性问题来研究，利用指数函数单调增加的概念确定a的取值范围.函数的单调性还经常应用于求最值、比较大小等问题.8.【解题指南】（1）归纳出函数关系式；（2）转化为当x=10时对应的函数值.【解析】(1)当x=1时，y=10 000+10 000×10%=10 000（1+10%）;当x=2时，y=10 000（1+10%）+10 000（1+10%）×10%=10 000（1+10%）2；当x=3时，y=10 000（1+10%）2+10 000（1+10%）2×10%=10 000（1+10%）3；…∴x，y之间的函数关系式是y=10 000（1+10%）x（x∈N+）.(2)当x=10时，y=10 000×（1+10%）10≈25 937.42.即经过10年后，森林面积约为25 937.42 m2.【挑战能力】【解析】1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3（1-50%） mg/mL，x小时后其酒精含量为0.3（1-50%）x mg/mL.由题意知：0.3（1-50%）x≤0.08，（12）x≤415.采用估算法，x=1时，（12）1=12＞415；x=2时，（12）2=14=416＜415.由于y=（12）x是减函数，所以满足要求的x的最小整数为2，故至少过2小时驾驶员才能驾驶.。
【高一】正整数指数函数同步习题(含答案)
【高一】正整数指数函数同步习题(含答案)来3.1正整数指数函数的同步练习1．下列函数中，正整数指数函数的个数为( )①y＝1x②y＝4x③y＝（－8）x。
a．0 b．1c、 2d.3解析：由正整数指数函数的定义知，a正确．答：a2．函数y＝(a2－3a＋3)ax(x∈n＋)为正整数指数函数，则a等于( )a、 1b.2c．1或2d．以上都不对分析：从正整数指数函数的定义来看，a2-3a+3=1，∴a＝2或a＝1(舍去)．回答：B3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是( )a、增加7.84%B.减少7.84%c．减少9.5%d．不增不减分析：假设商品原价为a，两年后的价格为a（1+20%）2，四年后价格为a(1＋20%)2(1－20%)2＝a(1－0.04)2＝0.9216a，∴a－0.9216a a×100%＝7.84%。
答案：b4.产品的年成本计划降低P%。
如果三年后成本为1元，则当前成本为（）a．a(1＋p%)元b．a(1－p%)元c、 A1-3%p解析：设现在成本为x元，则x(1－p%)3＝a，∴x＝a1－p%3。
答案：c5.计算（2ab2）3（-3a2b）2=____解析：原式＝23a3b6(－3)2a4b2＝8×9×a3＋4b6＋2＝72a7b8。
答案：72a7b86.当光线通过玻璃板时，其强度将降低20%。
重叠几个相同的玻璃板。
假设光的初始强度为1，通过X玻璃板后的强度为y，则y和X之间的函数关系为____解析：20%＝0.2，当x＝1时，y＝1×(1－0.2)＝0.8；当x=2时，y=0.8×（1－0.2）＝0.82当x＝3时，y＝0.82×(1－0.2)＝0.83；……∴光线强度y与通过玻璃板的块数x的关系式为y＝0.8x(x∈n＋)．答案：y=0.8x（x∈ n+）7．若x∈n＋，判断下列函数是否是正整数指数函数，若是，指出其单调性．（1） y＝（－59）x；（2）y＝x4；（3）y＝2x5(4)y＝(974)x；(5)y＝(π－3)x.解决方案：因为y=（-59）x-59的基数小于0，所以y＝(－59)x不是正整数指数函数；（2）由于y=X4中的自变量x在基位置，y=X4不是正整数指数函数，但实际上y=X4是幂函数；(3)y＝2x5＝152x，因为2x前的系数不是1，因此，y=2x5不是正整数指数函数；(4)是正整数指数函数，因为y＝(974)x的底数是大于1的常数，所以是增函数；（5）它是一个正整数指数函数。
北师大版数学高一必修1同步习题 3.1正整数指数函数
主动成长夯基达标1.下列函数中一定是正整数指数函数的是( )A.y=2x+1,x ∈N +B.y=x 3,x ∈N +C.y=3-x ,x ∈N +D.y=3×2x ,x ∈N +思路解析：能化简的首先化简,最终应为y=a x (a ＞0且a≠1)的形式,其中指数仅为自变量,且x ∈N +,a x 的系数为1.而A 中,y=2x+1=2×2x ,D 中y=3×2x 均不符合；C 中,y=3-x =(31)x 符合. 答案：C2.函数f(x)=3x -2中,x ∈N +且x ∈[-1,3],则f(x)的值域为( )A.{-1,1,7}B.{1,7,25}C.{-1,1,7,25}D.{-35,-1,1,7,25} 思路解析：由题意知x 可取1,2,3,代入y=3x -2可得.答案：B3.函数y=(21)x ,x ∈N +的图像是( ) A.一条上升的曲线 B.一条下降的曲线C.一系列上升的点D.一系列下降的点思路解析：底数0＜21＜1,图像下降,又x ∈N +,故应选D. 答案：D4.函数y=2|x|,x ∈N +是( )A.奇函数B.非奇非偶函数C.偶函数D.既奇又偶函数思路解析：定义域不关于原点对称,故应选B.答案：B5.函数y=(a 2-3a+3)·a x 为正整数指数函数,则a 等于( )A.1B.2C.1或2D.以上都不对思路解析：需满足⎩⎨⎧≠>=+1a 0a 133a -a 2且解得a=2.答案：B6.某项分期付款分10期付清,付款日期为每期的期末,每期利率为r,按复利计息,则将第1、5、7期的每期付款折合成全部付清时的值分别是____________、____________、____________. 答案：p(1+r)9 p(1+r)5 p(1+r)37.下列函数中是正整数指数函数的是(其中x ∈N +)____________.(填序号即可)①y=22x ②y=(21)x-1 ③y=2·3x ④y=(2a-1)x ⑤y=1x ⑥y=(21)2x -1 ⑦y=x 4 ⑧y=(-4)x ⑨y=πx思路解析：由正整数指数函数解析式的特征,分析化简即可得.答案：①⑨8.当x ∈N +时,用“＞”“＜”“=”填空：(21)x ______________1,2x ______________1,(21)x ______________2x ,(21)x ______________(31)x ,2x ______________3x . 思路解析：∵x ∈N +,∴(21)x ＜1,2x ＞1.∴2x ＞(21)x .又根据前面对其图像的研究,知2x ＜3x ,(21)x＞(31)x . 答案：＜ ＞ ＜ ＞ ＜9.牛顿冷却规律描述一个物体在常温环境下的温度变化,如果物体的初始温度是T 0,则经过一定时间h 后的温度T 将满足T-T a =(T 0-T a )·21,其中T a 是环境温度,使上式成立所需要的时间h 称为半衰期,在这样的情况下,t 时间后的温度T 将满足T-T a =(T 0-T a )·h t)21(.① 现有一杯用195°F 热水冲的速溶咖啡,放置在75°F 的房间中,如果咖啡降温到105°F 需20分钟,问欲降温到95°F 需多少时间？思路解析:由①式,可知它是时间t 与温度T 的指数函数关系,将题中有关数据代入求得h 值,再将T=95代入已求得的T=f(t)中求得t. 答案：由公式①,得T=T a +(T 0-T a )·h t)21(. 将有关数据代入,得T=75+(195-75)·h t )21(. 这里h 是以分钟为单位的半衰期,为了确定它的值,将t=20时,T=105代入,得105=75+(195-75)·h 20)21(,解得h=10. ∴T=75+120·10)21(t .② 欲使T=95,代入②式,得95=75+120·10)21(t ,即10)21(t =61. 利用计算器,解得t=26(分).因此,在咖啡冲好26分钟之后降温至95°F.走进高考走近高考10.(经典回放)函数y=a x (x ∈N +)在［0,1］上的最大值与最小值之和为3,则a 等于( ) A.21 B.2 C.4 D.41 思路解析：若a ＞1,则f(x)=a x 在［0,1］上单调递增,有f(x)max +f(x)min =f(1)+f(0)=3,即a+1=3,∴a=2;若0＜a ＜1,则f(x)=a x 在［0,1］上单调递减,有f(x)max +f(x)min =f(0)+f(1)=3,即a+1=3,∴a=2(舍去).故选B.答案：B11.(经典回放)函数f(x)=a x(a＞0,且a≠1,x∈N+)对任意实数x,y都有( )A.f(xy)=f(x)·f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)·f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)思路解析：∵f(x)·f(y)=a x·a y=a x+y=f(x+y),故选C.答案：C12.下列函数是正整数指数函数的是( )A.y=x3(x∈N+)B.y=3·2x(x∈N+)C.y=3x+1(x∈N+)D.y=2x(x∈N+)思路解析：由正整数指数函数的定义可知,选D.答案：D13.若函数y=2(m+1)x在x∈N+时为减函数,试求实数m的取值范围.答案：∵y=2(m+1)x(x∈N+)为减函数,∴由y=2(m+1)x,知0＜2m+1＜1,可得m+1＜0,即有m＜-1.。
高中数学 3.1正整数指数函数同步测试 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题
第三章§1正整数指数函数一、选择题1．下列各项对正整数指数函数的理解正确的有( )①底数a ≥0；②指数x ∈N ＋；③底数不为0；④y ＝a x(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[答案] D[解析] 由正整数指数函数定义知①错误，②③④正确故选D. 2．函数y ＝(12)x，x ∈N ＋的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．ND ．{12，122，123，…}[答案] D[解析]∵n ∈N ＋，∴把n ＝1,2,3，…代入可知选D. 3．下列函数：①y ＝3x 2(x ∈N ＋)；②y ＝5x(x ∈N ＋)； ③y ＝3x＋1(x ∈N ＋)；④y ＝3·2x(x ∈N ＋)． 其中是正整数指数函数的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[答案] B[解析] 由正整数指数函数的定义知，①③④不是正整数指数函数，②是，故选B. 4．函数y ＝(38)x，x ∈N ＋是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数[答案] D[解析]∵0<38<1，当x ∈N ＋且由小变大时，函数值由大变小，故选D.5．函数y ＝7x，x ∈N ＋的单调递增区间是( ) A ．R B ．N ＋ C ．[0，＋∞) D ．不存在[答案] D[解析] 由于函数y ＝7x，x ∈N ＋的定义域是N ＋，而N ＋不是区间，则该函数不存在单调区间．6．满足3x 2－1＝19的x 的值的集合为( ) A ．{1} B ．{－1,1} C ．∅ D ．{0}[答案] C [解析] 3x 2－1＝3－2，∴x 2－1＝－2，即x 2＝－1，无解．二、填空题7．已知函数f (x )＝(m －1)·4x(x ∈N ＋)是正整数指数函数，则实数m ＝________. [答案] 2[解析] 由m －1＝1，得m ＝2.8．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8100元的计算机经过15年价格应降为________．[答案] 2400元[解析] 5年后价格为8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13；10年后价格为8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132；15年后价格为8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝2400(元)．三、解答题9．对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，即可以售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)[解析] 设新树苗的木材量为Q ，则十年后有两种结果： ①连续生长十年，木材量N ＝Q (1＋18%)5(1＋10%)5； ②生长五年后重栽，木材量M ＝2Q (1＋18%)5， 则M N ＝21＋10%5，因为(1＋10%)5≈1.61<2，所以M N>1，即M >N . 因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．10．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2009年某地区农民人均收入为13150元(其中工资性收入为7800元，其他收入为5350元)．预计该地区自2010年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，求2014年该地区农民人均收入约为多少元？(其中1.064≈1.26,1.065≈1.34,1.066≈1.42)[分析] 本小题主要考查指数函数型的实际问题，也考查学生运用函数知识解决实际问题的能力．[解析] 农民人均收入来源于两部分，一是工资性收入即7800×(1＋6%)5＝7800×1.065＝10452(元)，二是其它收入即5350＋5×160＝6150(元)，∴农民人均收入为10452＋6150＝16602(元)． 答：2014年该地区农民人均收入约为16602元.一、选择题1．若f (x )＝3x(x ∈N 且x >0)，则函数y ＝f (－x )在其定义域上为( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增[答案] B[解析]∵f (x )＝3x(x ∈N 且x <0)， ∴y ＝f (－x )＝3－x＝(13)x ，∴函数为减函数，故选B.2．某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经调查，从2002年到2011年这10年间每两年上升2%,2010年和2011年种植植被815万m 2.当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，那么从2012年到2015年种植绿色植被面积为(四舍五入)( )A ．848万m 2B ．1679万m 2C ．1173万m 2D ．12494万m 2[答案] B[解析] 2012～2013年为815×(1＋2%)， 2014～2015年为815×(1＋2%)×(1＋2%)． 共为815×(1＋2%)＋815×(1＋2%)(1＋2%)≈1679. 二、填空题3．不等式(13)3－x 2<32x(x ∈N ＋)的解集是________．[答案] {1,2}[解析] 由(13)3－x 2<32x 得3 x 2－3<32x.∵函数y ＝3x，x ∈N ＋为增函数， ∴x 2－3<2x ，即x 2－2x －3<0，∴(x －3)(x ＋1)<0，解得－1<x <3. 又∵x ∈N ＋，∴x ＝1或x ＝2.4．当x ∈N ＋时，用“>”“<”或“＝”填空：(12)x ________1,2x ________1，(12)x ________2x ，(12)x ________(13)x,2x ________3x . [答案]<><><[解析]∵x ∈N ＋，∴(12)x <1,2x>1.∴2x >(12)x .又根据对其图像的研究，知2x <3x，(12)x >(13)x .也可以代入特殊值比较大小．三、解答题5．已知正整数指数函数f (x )的图像经过点(3,27)， (1)求函数f (x )的解析式； (2)求f (5)；(3)函数f (x )有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．[解析] (1)设正整数指数函数为f (x )＝a x(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)，因为函数f (x )的图像经过点(3,27)，所以f (3)＝27，即a 3＝27，解得a ＝3， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3x(x ∈N ＋)． (2)f (5)＝35＝243.(3)因为f (x )的定义域为N ＋，且在定义域上单调递增，所以f (x )有最小值，最小值是f (1)＝3，f (x )无最大值．6．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市的人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大经多少年以后该城市人口总数将达到120万人(精确到1年)((1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.21)?[分析] 本题是增长率问题，可以分别写第1年、第2年，依次类推得x 年的解析式． [解析] (1)1年后该城市人口总数为y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)3.x 年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)x .(2)10年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)． (3)令y ＝120，则有100×(1＋1.2%)x＝120，解方程可得x ≈16.即大约16年后该城市人口总数将达到120万人．7．截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口年平均递增率控制在1‰，经过x年后，我国人口数字为y(亿)．(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增、减有什么实际意义．[解析](1)1999年年底的人口数：13亿；经过1年，2000年年底的人口数：13＋13×1‰＝13(1＋1‰)(亿)；经过2年，2001年年底的人口数：13(1＋1‰)＋13(1＋1‰)×1‰＝13(1＋1‰)2(亿)；经过3年，2002年年底的人口数：13(1＋1‰)2＋13(1＋1‰)2×1‰＝13(1＋1‰)3(亿)．∴经过年数与(1＋1‰)的指数相同．∴经过x年后的人口数：13(1＋1‰)x(亿)，∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x(x∈N)．(2)理论上指数函数定义域为R，∵此问题以年作为单位时间，∴x∈N是此函数的定义域．(3)y＝f(x)＝13(1＋1‰)x，∵1＋1‰>1,13>0，∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x是增函数，即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长．。
数学高一必修1练习 3.1 正整数指数函数
[A 基础达标]1．下列给出的四个正整数指数函数中，在定义域内是减少的是( )A ．y ＝1.2x (x ∈N ＋)B ．y ＝3x (x ∈N ＋)C ．y ＝0.99x (x ∈N ＋)D ．y ＝6x (x ∈N ＋)解析：选C.A 、B 、D 中底数均大于1，对应函数均为增函数，C 中底数0.99∈(0，1)，所以y ＝0.99x (x ∈N ＋)是减少的．2．函数y ＝5x ，x ∈N ＋的值域是( )A ．RB ．N ＋C ．ND ．{5，52，53，54，…}解析：选D.因为函数y ＝5x ，x ∈N ＋的定义域为正整数集N ＋.所以当自变量x 取1，2，3，4，…时，其相应的函数值y 依次是5，52，53，54，….因此，函数y ＝5x ，x ∈N ＋的值域是{5，52，53，54，…}．3．若函数f (x )＝(a 2－5a －5)a x 为正整数指数函数，则a 的值为( )A ．－1B ．6C ．－1或6D ．－6解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －5＝1，a >0且a ≠1，得a ＝6. 4．某企业各年总产值预计以10%的速度增长，若2015年该企业全年总产值为1 000万元，则2018年该企业全年总产值为( )A ．1 331万元B ．1 320万元C ．1 310万元D ．1 300万元解析：选A.易知1 000(1＋10%)3＝1 331(万元)．5．正整数指数函数y ＝a x 在[1，2]上的最大值与最小值之和为6，则a 等于( )A ．－3B ．2C ．－3或2D ．以上均不对解析：选B.因为正整数指数函数y ＝a x 在[1，2]上单调，由题意得a ＋a 2＝6(a >0且a ≠1)，解得a ＝2.6．已知0<a <1，则函数y ＝a x －1(x ∈N ＋)的图像在第________象限．解析：因为0<a <1，所以y ＝a x (x ∈N ＋)是减少的，其图像为第一象限内一系列孤立的点且分布在y ＝1与y ＝0之间，向下平移一个单位得y ＝a x －1(x ∈N ＋)的图像，所以y ＝a x －1(x ∈N ＋)的图像在第四象限．答案：四7．若集合{3，|x |，x }＝{－2，2，y }，则2x ＋2y ＝________．解析：因为{3，|x |，x }＝{－2，2，y }，所以y ＝3，x ＝－2，所以2x ＋2y ＝2－2＋23＝334. 答案：3348．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过________小时．解析：细菌个数y 与分裂次数x 的关系为y ＝2x ，由题意知2x ＝4 096，即2x ＝212，所以x ＝12，所需时间为12×15＝180分钟，即3个小时．答案：39．求不等式⎝⎛⎭⎫133－x 2<32x (x ∈N ＋)的解集． 解：由⎝⎛⎭⎫133－x2<32x 得3x 2－3<32x .因为函数y ＝3x ，x ∈N ＋为增函数，所以x 2－3<2x ，即x 2－2x －3<0，所以(x －3)(x ＋1)<0，解得－1<x <3.又因为x ∈N ＋，所以x ＝1或x ＝2.故不等式的解集为{1，2}．10．已知正整数指数函数f (x )的图像经过点(3，27)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求f (5)；(3)函数f (x )有最值吗？若有，试求出；若无，请说明原因．解：(1)设正整数指数函数为f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)，因为函数f (x )的图像经过点(3，27)，所以f (3)＝27，即a 3＝27，解得a ＝3，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3x (x ∈N ＋)．(2)f (5)＝35＝243.(3)因为f (x )的定义域为N ＋，且在定义域上是增加的，所以f (x )有最小值，最小值是f (1)＝3，f (x )无最大值．[B 能力提升]1．已知函数f (x )＝a x (a >1，x ∈N ＋)，g (x )＝b x (b >1，x ∈N ＋)，当f (x 1)＝g (x 2)＝4时，有x 1>x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a <bB ．a ≤bC ．a >bD ．不能确定a 、b 的关系解析：选A.由f (x 1)＝g (x 2)＝4，x 1>x 2，且a >1，b >1，可知f (x )＝a x 比g (x )＝b x 增加得慢，故a <b ，选A.也可以找两个特殊函数y ＝2x 与y ＝4x 来验证．2．已知集合A ＝{x |1<2x <16，x ∈N ＋}，B ＝{x |0≤x <3，x ∈N }，则A ∩B ＝________． 解析：由1<2x <16(x ∈N ＋)得x ＝1，2，3，即A ＝{1，2，3}，B ＝{0，1，2}，所以A ∩B ＝{1，2，3}∩{0，1，2}＝{1，2}．答案：{1，2}3．设f (x )＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)．若f (2x －3)>f (1＋x )，求x 的取值集合． 解：因为f (x )＝a x ，所以由f (2x －3)>f (1＋x )得a 2x －3>a 1＋x .当a >1时，y ＝a x 在x ∈N ＋上是增函数，所以2x －3>1＋x ，即x >4，所以x ∈(4，＋∞)，x ∈N ＋.当0<a <1时，2x －3<1＋x .所以x <4，又x ∈N ＋，且2x －3∈N ＋，所以x ＝{2， 3}．综上所述，当a >1时，x 的取值范围是(4，＋∞)，x ∈N ＋.当0<a <1时，x 的取值集合是{2，3}．4．(选做题)如果函数f (x )＝a x (a x －3a 2－1)(a >0，且a ≠1)是x ∈N ＋上的增函数，求实数a 的取值范围．解：f (x )＝a x (a x －3a 2－1)＝(a x )2－(3a 2＋1)a x ＝⎝⎛⎭⎪⎫a x －3a 2＋122－（3a 2＋1）24. 因为函数f (x )在x ∈N ＋上是增函数．所以当a >1时，a x >1，此时应有3a 2＋12<1， 该不等式无解．当0<a <1时，a x <1，此时应有3a 2＋12>1， 即a 2>13. 解得a >33或a <－33， 所以33<a <1. 综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫33，1.。
2019_2020学年高中数学第三章指数函数和对数函数1正整数指数函数练习北师大版必修1
1 正整数指数函数课时跟踪检测一、选择题1．若函数y ＝a ·b x，x ∈N ＋是正整数指数函数，则a ，b 的取值范围为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0且b ≠1B ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b >0且b ≠1 C ．⎩⎪⎨⎪⎧a ∈R ，b >0且b ≠1 D ．以上均不正确答案：B2．函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x为正整数指数函数，则a 等于( ) A ．1 B ．2C ．1或2D ．以上都不对解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0，a ≠1，⇒a ＝2.答案：B3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次，经过一次分裂1个细菌分裂成2个，经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成( )A ．511个B ．512个C ．1 023个D ．1 024个解析：经过3个小时，细菌共分裂9次，29＝512. 答案：B4．已知f (x )＝3x＋3－x，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．3 B ．5 C ．7D ．9解析：∵f (a )＝3a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＝3，∴f (2a )＝32a＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2－2＝32－2＝7.答案：C5．某产品计划每年成本降低的百分率为p ，若三年后成本为a 元，则现在的成本为( ) A ．a ·p 3元 B ．a (1－p )3元 C ．a （1－p ）3 元D ．a（1＋p ）3 元 解析：假设现在的成本为y 元，则y ·(1－p )3＝a ， ∴y ＝a（1－p ）3.答案：C6．若集合A ＝{y |y ＝2x，x ∈N ＋}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈N ＋}，则( ) A ．AB B ．A BC ．A ＝BD ．A ⊆/B 且B ⊆/A解析：A ＝{2，4，8，16，32，…}，B ＝{1，4，9，16，25，…}． 答案：D 二、填空题7．比较下列数值的大小： (1)(2)3________(2)5；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫232________⎝ ⎛⎭⎪⎫234.解析：(1)∵(2)3＝23，(2)5＝25， 又23＜25，∴(2)3＜(2)5.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×49＜⎝ ⎛⎭⎪⎫232， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫232＞⎝ ⎛⎭⎪⎫234. 答案：(1)＜ (2)＞8．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低．若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机经过15年价格应降为________．解析：8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝8 100×827＝2 400. 答案：2 400元9．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃板后的强度为y ，则y 关于x 的函数关系式为________．解析：光线通过第1块玻璃板后的强度为a (1－10%)；通过第2块玻璃板后的强度为a (1－10%)(1－10%)＝a (1－10%)2，依次类推，通过第x 块玻璃板后强度为y ＝a (1－10%)x ＝a ·0.9x (x ∈N ＋)．答案：y ＝a ·0.9x(x ∈N ＋) 三、解答题10．画出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ∈N ＋)的图像，并说明它的单调性． 解：x 1 2 3 4 … y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x121418116…由图像知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ∈N ＋)在定义域上是递减的． 11．已知正整数指数函数ƒ(x )的图像过点(3，27)． (1)求ƒ(x )的解析式； (2)求ƒ(5)；(3)函数ƒ(x )有最值吗？若有，则求出；若无，则说明理由．解：设ƒ(x )＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)，∵函数ƒ(x )的图像过点(3，27)，∴a 3＝27，∴a ＝3.(1)ƒ(x )的解析式为ƒ(x )＝3x(x ∈N ＋)． (2)ƒ(5)＝35＝243.(3)∵正整指数函数ƒ(x )＝3x(x ∈N ＋)在N ＋上是增加的，∴函数ƒ(x )无最大值，但有最小值ƒ(1)＝3.12．一种机器的年产量原为1万台，在今后10年内，计划使年产量平均比上一年增加10%.(1)试写出年产量y 随年数x 变化的关系式，并写出其定义域； (2)画出其函数图像．解：(1)y ＝(1＋10%)x ＝1.1x ，∴y 与x 的关系式是y ＝1.1x，其定义域是{x |x ≤10，x ∈N＋}．(2)如图所示：13．对于5年可成材的树木，在此间的年生长率为18%，以后的生长率为10%，树木成材后即可售出，重新栽新树木，也可以让其继续生长，则哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑10年的情形)解：设新树苗的木材量为Q，则10年后有两种结果．①连续生长10年，木材量N＝Q·(1＋18%)5(1＋10%)5.②生长5年后重新栽树，木材量M＝2Q(1＋18%)5.则NM＝Q（1＋18%）5（1＋10%）52Q（1＋18%）5＝（1＋10%）52，∵(1＋10%)5≈1.61<2，∴NM<1，∴N<M.故5年后重栽树可获得较大的木材量．。
数学高一必修1 第三章1 正整数指数函数 课时作业
[学业水平训练]1．下列函数中，正整数指数函数的个数为( )①y ＝1x ；②y ＝－2x ；③y ＝(－8)x .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A.根据正整数指数函数的解析式特征可知，y ＝1x 的底数等于1，不是正整数指数函数；y ＝－2x 的系数等于－1，不是正整数指数函数；y ＝(－8)x 的底数－8小于0，不是正整数指数函数．2．已知正整数指数函数f (x )＝(a －2)a x ，则f (2)＝( )A ．2B ．3C ．9D ．16解析：选C.由题意a －2＝1，则a ＝3，所以f (x )＝3x ，x ∈N ＋，所以f (2)＝32＝9.3．某企业各年总产值预计以10%的速度增长，若2012年该企业总产值为1 000万元，则2015年该企业全年总产值为( )A ．1 331万元B ．1 320万元C ．1 310万元D ．1 300万元解析：选A.易知1 000(1＋10%)3＝1 331.4．函数y ＝⎝⎛⎭⎫38x ，x ∈N ＋是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数解析：选D.因为正整数指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫38x ，x ∈N ＋的底数38小于1，所以此函数是减函数． 5．函数y ＝5x ，x ∈N ＋的值域是( )A ．RB ．N ＋C ．ND ．{5,52,53,54，…}解析：选D.因为函数y ＝5x ，x ∈N ＋的定义域为正整数集N ＋.图像如图所示，所以当自变量x 取1,2,3,4，…时，其相应的函数值y 依次是5,52,53,54，….因此，函数y ＝5x ，x ∈N ＋的值域是{5,52,53,54，…}．6．一种产品的成本原来是a 元，今后计划使成本每年比上一年降低p %，则成本随经过年数变化的函数关系式为________．解析：经过1年成本为a (1－p %)，经过2年成本为a (1－p %)2，…经过x (x ∈N ＋)年成本为a (1－p %)x .答案：y ＝a (1－p %)x (x ∈N ＋)7．不等式⎝⎛⎭⎫133－x 2<32x (x ∈N ＋)的解集是________． 解析：由⎝⎛⎭⎫133－x 2<32x 得3x 2－3<32x .∵函数y ＝3x ，x ∈N ＋为增函数，∴x 2－3<2x ，即x 2－2x －3<0，∴(x －3)(x ＋1)<0，解得－1<x <3.又∵x ∈N ＋，∴x ＝1或x ＝2.答案：{1,2}8．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失20%，把几块相同的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为1，通过x 块玻璃板后的强度为y ，则y 关于x 的函数关系式为________．解析：当x ＝1时，y ＝1×(1－0.2)＝0.8；当x ＝2时，y ＝0.8×(1－0.2)＝0.82；当x ＝3时，y ＝0.82×(1－0.2)＝0.83；…∴y ＝0.8x (x ∈N ＋)．答案：y ＝0.8x (x ∈N ＋)9．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%.(1)写出这种物质的剩留量y 随时间x (x ∈N ＋)变化的函数关系式；(2)画出该函数的图像；(3)说明该函数的单调性；(4)从图像上求出经过多少年，剩留量是原来的一半．解：(1)设这种物质最初的质量是1，经过x 年，剩留量是y ，由题意得经过1年，剩留量y ＝1×84%＝0.841；经过2年，剩留量y ＝1×84%×84%＝0.842；…一般地，经过x 年，剩留量y 随时间x 变化的函数关系式为y ＝0.84x (x ∈N ＋)．(2)根据函数关系式列表如下：x1 2 3 4 5 y 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42用描点法画出指数函数y ＝0.84x (x ∈N ＋)的图像，它的图像是由一些孤立的点组成的．(3)通过计算和观察图像可知，随着时间的增加，剩留量在逐渐减少，该函数为减函数．(4)从图上看出y ＝0.5，只需x ≈4.即约经过4年，剩留量是原来的一半．10．已知不等式(a 2＋a ＋2)2x ＞(a 2＋a ＋2)x ＋8，其中x ∈N ＋，求使不等式成立的x 的最小整数值．解：∵a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74＞1，且x ∈N ＋，∴可以利用正整数指数函数在底数大于1时单调递增的性质，得2x ＞x ＋8，即x ＞8，∴使此不等式成立的x 的最小整数值为9.[高考水平训练]1．已知函数f (x )＝a x (a >1，x ∈N ＋)，g (x )＝b x (b >1，x ∈N ＋)，当f (x 1)＝g (x 2)＝4时，有x 1>x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a <bB ．a ≤bC ．a >bD ．不能确定a 、b 的关系解析：选A.由f (x 1)＝g (x 2)＝4，x 1>x 2，且a >1，b >1，可知f (x )＝a x 比g (x )＝b x 增加得慢，故a <b ，选A.也可以找两个特殊函数y ＝2x 与y ＝4x 来验证．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1， x ＜4，x 2＋ax ， x ≥4，(x ∈N ＋)，若f (f (2))＝4a ，则实数a 等于________． 解析：∵2＜4，∴f (2)＝22＋1＝5.∵5＞4，∴f (f (2))＝f (5)＝52＋5a ＝4a ，∴a ＝－25.答案：－253．已知正整数指数函数f (x )的图像经过点(3,27)，(1)求函数f (x )的解析式；(2)求f (5)；(3)函数f (x )有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．解：(1)设正整数指数函数为f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)，因为函数f (x )的图像经过点(3,27)，所以f (3)＝27，即a 3＝27，解得a ＝3，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3x (x ∈N ＋)．(2)f (5)＝35＝243.(3)∵f (x )的定义域为N ＋，且在定义域上单调增加，∴f (x )有最小值，最小值是f (1)＝3；f (x )无最大值．4．对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，即可以出售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)解：设新树苗的木材量为Q ，则十年后有两种结果：①连续生长十年，木材量N ＝Q (1＋18%)5(1＋10%)5；②生长五年后重栽，木材量M ＝2Q (1＋18%)5，则M N ＝2(1＋10%)5， 因为(1＋10%)5≈1.61＜2，所以M N＞1，即M ＞N . 因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．。
高一必修数学同步训练题第三章指数函数
高一2019年必修数学同步训练题第三章指数函数大家把理论知识复习好的同时, 也应该要多做题, 从题中找到自己的不足, 及时学懂, 下面是查字典数学网小编为大家整理的高一2019年必修数学同步训练题, 希望对大家有帮助。
1.下列函数：①y=3x2(x②y=5x(x③y=3x+1(x④y=32x(xN+), 其中正整数指数函数的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】由正整数指数函数的定义知, 只有②中的函数是正整数指数函数.【答案】 B2.函数f(x)=(14)x, xN+, 则f(2)等于()A.2B.8C.16D.116【解析】∵f(x)=(14x)xN+,f(2)=(14)2=116.【答案】 D3.(2019阜阳检测)若正整数指数函数过点(2,4), 则它的解析式为()A.y=(-2)xB.y=2xC.y=(12)xD.y=(-12)x【解析】设y=ax(a0且a1),由4=a2得a=2.【答案】 B4.正整数指数函数f(x)=(a+1)x是N+上的减函数, 则a的取值范围是()A.aB.-1C.0【解析】∵函数f(x)=(a+1)x是正整数指数函数, 且f(x)为减函数,-1【答案】 B5.由于生产电脑的成本不断降低, 若每年电脑价格降低13, 设现在的电脑价格为8 100元, 则3年后的价格可降为() A.2 400元 B.2 700元C.3 000元D.3 600元【解析】 1年后价格为8 100(1-13)=8 10023=5 400(元),2年后价格为5 400(1-13)=5 40023=3 600(元),3年后价格为3 600(1-13)=3 60023=2 400(元).【答案】 A要多练习, 知道自己的不足, 对大家的学习有所帮助, 以下是查字典数学网为大家总结的高一2019年必修数学同步训练题, 希望大家喜欢。
北师大版数学高一-练习必修1试题 3.1正整数指数函数
3.1正整数指数函数 课后训练基础巩固1．下列函数：①24x y =，②y ＝6x ，③y ＝32x ，④23xy =，⑤y ＝2x ＋1.(以上各函数定义域为x ∈N ＋)一定是正整数指数函数的个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 2．函数f (x )＝14x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，x ∈N ＋，则f (2)等于( )． A ．2 B ．8 C ．16 D ．1163．函数38x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，x ∈N ＋是( )． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数 D ．减函数4．满足21139x -=的x 的值的集合为( )． A ．{1} B ．{－1,1} C ．∅ D ．{0}5．正整数指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是N ＋上的减函数，则a 的取值范围是( )．A ．a ＜0B ．－1＜a ＜0C ．0＜a ＜1D ．a ＜－16．函数y ＝3×2x －3，x ∈N ＋，且x ∈[0,4]，则y 的值域是( )．A ．{－3,3,9,21,45}B ．{3,9,21,45}C ．{0,3,9,21,45}D ．{－3,0,3,9,21,45}7．某人2010年1月1日到银行存入一年期存款a 元，若按年利率为x ，并按复利计算，到2015年1月1日可取回款( )．A ．a (1＋x )5元B ．a (1＋x )6元C ．a (1＋x 5)元D ．a (1＋x 6)元8．某企业各年总产值预计以10%的速度增长，若2010年该企业总产值为1 000万元，则2013年该企业全年总产值为( )．A ．1 331万元B ．1 320万元C ．1 310万元D ．1 300万元能力提升9．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，问现在价格为8 100元的计算机经过15年后，价格应降为( )．A．2 400元B．900元C．300元D．3 600元10．我国工农业总产值计划从2010年到2030年翻两番，设平均每年增长率为x，则()．A．(1＋x) 19＝4 B．(1＋x)20＝3C．(1＋x)20＝2 D．(1＋x)20＝411．已知函数f(x)＝a x(a＞1，x∈N＋)，g(x)＝b x(b＞1，x∈N＋)，当f(x1)＝g(x2)＝4时，有x1＞x2，则a，b的大小关系是()．A．a＜b B．a≤bC．a＞b D．不能确定a，b的关系12．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是()．A．减少7.84% B．增加7.84%C．减少9.5% D．不增不减13．当x∈N＋时，用“＞”“＜”或“＝”填空：1 2x⎛⎫ ⎪⎝⎭________1,2x________1，12x⎛⎫⎪⎝⎭________2x，12x⎛⎫⎪⎝⎭________13x⎛⎫⎪⎝⎭，2x________3x.14．不等式2313x-⎛⎫⎪⎝⎭＜32x(x∈N＋)的解集是________．15．已知不等式(a2＋a＋2)2x＞(a2＋a＋2)x＋8，其中x∈N＋，使此不等式成立的x的最小整数值是________．16．有浓度为a%的酒精一满瓶共m升，每次倒出n升，再用水加满，一共倒了10次，则加了10次水后瓶中的酒精浓度是________．17．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽__________次．18．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2007年某地区农民人均收入为13 150元(其中工资性收入为7 800元，其他收入为5 350元)．预计该地区自2008年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，求2012年该地区农民人均收入约为多少元？(其中1.064≈1.26,1.065≈1.34,1.066≈1.42) 19．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)，(1)求函数f(x)的解析式．(2)求f(5)．(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．20．对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，即可以售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)参考答案1．C点拨：只有②③符合题意．2．D点拨：∵f(x)＝14x⎛⎫⎪⎝⎭，x∈N＋，∴f(2)＝211 416⎛⎫=⎪⎝⎭.3．D点拨：因为正整数指数函数38xy⎛⎫= ⎪⎝⎭，x∈N＋的底数38小于1，所以此函数是减函数．4．C点拨：∵21139x-＝＝3－2，∴x2－1＝－2，即x2＝－1，此方程无解．∴满足21139x-＝的x的值的集合为∅.5．B点拨：∵函数f(x)＝(a＋1)x是正整数指数函数，且f(x)为减函数，∴0＜a＋1＜1，∴－1＜a＜0.6．B点拨：∵x∈N＋且x∈[0,4]，∴x＝1,2,3,4，故值域为{3,9,21,45}．7．A点拨：2011年1月1日可取款a＋ax＝a(1＋x),2012年1月1日可取款a(1＋x)＋a(1＋x)x＝a(1＋x)2，同理可得，2015年1月1日可取款a(1＋x)5.8．A点拨：易知1 000(1＋10%)3＝1 331.9．A点拨：由于是“降低13”，因此本题是平均增长率为负的情况，解题中易错的地方是增长指数不是15(年)，由于是5年一个负增长，在15年中负增长3(次)．设15年后的价格为x元，根据题意，得x＝8 100×3113⎛⎫-⎪⎝⎭＝2 400.因此，选A.10．D点拨：设2010年总产值为a，则2030年总产值为4a，∴a(1＋x)20＝4a，即(1＋x)20＝4.11．A点拨：由f(x1)＝g(x2)＝4，x1＞x2，且a＞1，b＞1，可知f(x)＝a x比g(x)＝b x增加得慢，故a＜b，选A.也可以找两个特殊函数y＝2x与y＝4x来验证．12．A点拨：设商品原价格为a，两年后价格为a(1＋20%)2，四年后为a(1＋20%)2(1－20%)2＝a(1－0.04)2＝0.921 6a，∴0.9216a aa-×100%＝7.84%.13．＜ ＞ ＜ ＞ ＜点拨：∵x ∈N ＋，∴12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1,2x ＞1. ∴2x ＞12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又根据对其图像的研究，知2x ＜3x ，1123x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.也可以代入特殊值比较大小．14．{1,2} 点拨：由2313x -⎛⎫ ⎪⎝⎭＜32x 得23233x x -<.∵函数y ＝3x ，x ∈N ＋为增函数，∴x 2－3＜2x ，即x 2－2x －3＜0，∴(x －3)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜3.又∵x ∈N ＋，∴x ＝1或x ＝2.15．9 点拨：∵a 2＋a ＋2＝217124a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，且x ∈N ＋， ∴可以利用正整数指数函数在底数大于1时单调递增的性质，得2x ＞x ＋8，即x ＞8，∴使此不等式成立的x 的最小整数值为9. 16．101%n a m ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭ 点拨：第1次加满水后，瓶中酒精的浓度为101%n a m ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭，第2次加满水后，瓶中酒精的浓度为11%n n a m m ⎛⎫⎛⎫--⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝21%n a m ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭，依次可得第x 次加满水后，瓶中酒精的浓度为1xn m ⎛⎫- ⎪⎝⎭·a %(x ∈N ＋)． 17．8 点拨：设原有空气为1，则抽1次后为1×(1－60%)＝0.4；抽2次后为0.4×(1－60%)＝0.42，……，抽7次后为0.47≈0.001 6＞0.1%，抽8次后为0.48≈0.000 66＜0.1%.故至少应抽8次．18．解：农民人均收入来源于两部分，一是工资性收入即7 800×(1＋6%)5＝7 800×1.065＝10 452(元)，二是其他收入即5 350＋5×160＝6 150(元)，∴农民人均收入为10 452＋6 150＝16 602(元)．答：2012年该地区农民人均收入约为16 602元．19．解：(1)设正整数指数函数为f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)，因为函数f (x )的图像经过点(3,27)，所以f (3)＝27，即a 3＝27，解得a ＝3，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3x (x ∈N ＋)．(2)f (5)＝35＝243.(3)因为f (x )的定义域为N ＋，且在定义域上单调递增，所以f (x )有最小值，最小值是f (1)＝3；f (x )无最大值．20．解：设新树苗的木材量为Q ，则十年后有两种结果： ①连续生长十年，木材量N ＝Q (1＋18%)5(1＋10%)5； ②生长五年后重栽，木材量M ＝2Q (1＋18%)5， 则52(110%)M N =+， 因为(1＋10%)5≈1.61＜2，所以>1M N ，即M ＞N . 因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．。
高一数学正整数指数函数试题
高一数学正整数指数函数试题，下面几个函数中，是正整数指数函数的是（）1.若x∈N+A．y=x3B．y=﹣2x C．y=（﹣2）x D．y=πx【答案】D【解析】利用指数函数的概念y=a x（a＞0且a≠1）对诸选项判断即可．的正整数指数函数只有D，解：依题意，满足形式为y=a x（a＞0且a≠1）的x∈N+故选D．点评：本题考查指数函数的定义及解析式，属于基础题．2.函数y=（）x，x∈N是（）+A．增函数B．减函数C．奇函数D．偶函数【答案】A【解析】因为指数函数的底数＞1，所以函数是递增函数．解：由正整数指数函数不具有奇偶性，可排除C、D；的底数大于1，所以此函数是增函数．因为函数y=（）x，x∈N+故选A．点评：本题主要考查了指数函数的单调性和底数之间的关系，比较基准．3.已知正整数指数函数f（x）=（a﹣2）a x，则f（2）=（）A．2B．3C．9D．16【答案】C【解析】利用指数函数的定义，先确定a，然后求f（2）即可．解：因为函数f（x）=（a﹣2）a x是指数函数，所以a﹣2=1，则a=3，所以f（x）=3x，x∈N，+所以f（2）=32=9．故选C．点评：本题主要考查指数函数的定义和性质，要求熟练掌握指数函数的定义．4.若a=（2+）﹣1，b=（2﹣）﹣1，则（a+1）﹣2+（b+1）﹣2的值是（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】利用根式的运算法则即可得出．解：=，，∴（a+1）﹣2+（b+1）﹣2的值====．故选D．点评：熟练掌握指数幂的运算法则是解题的关键．5.某细胞在培养过程中，每15分钟分裂一次（由1个细胞分裂成2个），则经过两个小时后，1个这样的细胞可以分裂成个．【答案】256【解析】确定分裂的次数，再结合每次由1个细胞分裂成2个，可得1个这样的细胞经过两个小时后，共分裂成28个，即可得到结论．解：由于每15分钟分裂一次，则两个小时共分裂8次．一个这样的细胞经过一次分裂后，由1个分裂成2个；经过2次分裂后，由1个分裂成22个；…经过8次分裂后，由1个分裂成28个．∴1个这样的细胞经过两个小时后，共分裂成28个，即256个．故答案为：256点评：本题考查指数函数的实际应用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．6.当x∈N时，用“＞”“＜”或“=”填空：+1，2x 1， 2x，，2x 3x．【答案】＜、＞、＜、＞、＜．【解析】由指数函数的性质得和2x＞1，进而得，由2x＜3x得．解：根据指数函数的性质得，时，，2x＞1，则，当x∈N+且2x＜3x，则，故答案为：＜、＞、＜、＞、＜．点评：本题主要考查了指数函数的性质的应用，属于基础题．7.已知不等式（a2+a+2）2x＞（a2+a+2）x+8，其中x∈N，使此不等式成立的x的最小整数值+是．【答案】9【解析】可求得指数函数的底数a2+a+2＞1，利用指数函数单调性可求得x＞8，而x∈N，从而+可得使此不等式成立的x的最小整数值．，解：∵a2+a+2=（a+）2+＞1，且x∈N+∴由正整数指数函数在底数大于1时单调递增的性质，得2x＞x+8，即x＞8，∴使此不等式成立的x的最小整数值为9．故答案为：9．点评：本题考查指数函数单调性，分析得到指数函数的底数a2+a+2＞1是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．），若f（f（2））=4a，则实数a等于．8.已知函数f（x）=（x∈N+【答案】﹣25．【解析】先计算f（2）的值为5，然后再利用f（5）=52+5a=4a，求出a．解：∵2＜4，∴f（2）=22+1=5．∵5＞4，∴f（f（2））=f（5）=52+5a=4a，∴a=﹣25．故答案为：﹣25．点评：本题主要考查分段函数的求值问题，比较基础．9.已知正整数指数函数f（x）的图象经过点（3，27），（1）求函数f（x）的解析式；（2）求f（5）；（3）函数f（x）有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．）．【答案】（1）f（x）=3x（x∈N+（2）f（5）=35=243．（3）f（x）有最小值，最小值是f（1）=3；f（x）无最大值．【解析】（1）设正整数指数函数为f（x）=a x（x∈N+），由函数f（x）的图象经过点（3，27），求得a的值，可得函数f（x）的解析式．（2）直接根据函数f（x）的解析式求得f（5）的值．（3）由于f（x）的定义域为N+，且在定义域上单调递增，可得f（x）的最大值和最小值的情况．解：（1）设正整数指数函数为f（x）=a x（a＞0，a≠1，x∈N+），因为函数f（x）的图象经过点（3，27），所以f（3）=27，即a3=27，解得a=3，所以函数f（x）的解析式为f（x）=3x（x∈N+）．（2）由f（x）=3x（x∈N+），可得f（5）=35=243．（3）∵f（x）的定义域为N+，且在定义域上单调递增，∴f（x）有最小值，最小值是f（1）=3；f（x）无最大值．点评：本题主要考查指数函数的性质的综合应用，用待定系数法求函数的解析式，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题．10.对于5年可成材的树木，从栽种到5年成材的木材年生长率为18%，以后木材的年生长率为10%．树木成材后，既可以出售树木，重栽新树苗；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量？（注：只需考虑10年的情形）（参考数据：lg2=0.3010，lg1.1=0.0414）【答案】第一种方案可获得较大的木材量【解析】第一种方案：树木成材后，既可以出售树木，重栽新树苗，得到的木材为（1+18%）5×2第二种方案：树木成材后，让其继续生长，得到的木材为（1+18%）5×（1+10%）5从而可得结论．解：由题意，第一种得到的木材为（1+18%）5×2第二种得到的木材为（1+18%）5×（1+10%）5第一种除以第二种的结果为所以第一种方案可获得较大的木材量．点评：本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查指数函数模型，关键是将实际问题转化为数学问题，从而得解．。
【北师大版】高中数学必修一：3.1《正整数指数函数问题》导学案(含答案)
3.1 正整数指数函数问题导学一、正整数指数函数的概念活动与探究1若函数y ＝(a －2)x为正整数指数函数，求实数a 的取值范围．迁移与应用1．下列函数中一定是正整数指数函数的是( )．A ．y ＝x 5(x ∈N ＋)B ．y ＝3x ＋2(x ∈N ＋)C ．y ＝4－x (x ∈N ＋)D ．y ＝4×3－x(x ∈N ＋)2．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x为正整数指数函数，求a 的值．判断一个函数是否是正整数指数函数的步骤是：首先看形式：函数解析式为指数幂的形式，系数为1，且幂的底数为常数，此常数大于零且不为1，指数位置仅为x ；其次看定义域：x 的取值为全体正整数．以上全部满足，函数是正整数指数函数，只要有一条不满足，函数就不是正整数指数函数．二、正整数指数函数的图像与性质活动与探究2某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质是原来的84%，假设这种放射性物质最初质量为1.(1)写出这种物质的剩留量y 随年数x (x ∈N ＋)变化的函数关系式； (2)画出该函数的图像； (3)说明该函数的单调性．迁移与应用1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x，x ∈N ＋是( )．A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数2．画出正整数指数函数y ＝3x(x ∈N ＋)的图像，并指出其单调性和值域．1．正整数指数函数的图像是一系列孤立的点，且全部在第一象限内；2．正整数指数函数不具有奇偶性，但具有单调性，当底数a ＞1时，函数是增函数；当底数0＜a ＜1时，函数是减函数．三、正整数指数函数的应用活动与探究3高一某学生家长去年年底到银行存入2 000元活期存款，如果银行的年利率为0.38%(按复利计算)，他n 年后把钱从银行全部取出，设取出的钱数为y ，请写出n 与y 之间的关系式，12年后他把钱全部取出，能取多少钱？(只列式不计算)迁移与应用某公司研发了一种新产品，第一年获利100万元，以后每年比前一年多获利20%，则第三年获利__________万元．1．正整数指数函数在实际生产、生活中具有广泛的应用，增长率问题、复利问题、细胞分裂问题、质量浓度等问题都与正整数指数函数相关．当堂检测1．下列函数中一定是正整数指数函数的是( )．A ．y ＝2x ＋1，x ∈N ＋B ．y ＝x 3，x ∈N ＋C ．y ＝3－x ，x ∈N ＋D ．y ＝3×2x，x ∈N ＋2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈N ＋的图像是( )．A ．一条上升的曲线B ．一条下降的曲线C ．一系列上升的点D ．一系列下降的点3．若正整数指数函数y ＝(a －1)x(x ∈N ＋)在N ＋上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ∈N ＋，且x ∈[－3,2]的值域是________．5．某市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，则经过x (x ∈N ＋)年后，该市人口总数y (万人)的表达式为__________．答案：课前预习导学 【预习导引】1．y ＝a xN ＋预习交流1 提示：正整数指数函数的形式具有以下两个特点：(1)形如y ＝a x形式．(2)对各量的要求是a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋. 预习交流2 提示：由于正整数指数函数的定义域是正整数集N ＋，而正整数集是不连续的，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，不能用平滑的曲线连起来，也就是说，正整数指数函数的图像是由一系列孤立的点组成的．2．y ＝ka x(k ∈R ，k ≠0，k ≠1，a ＞0，且a ≠1) 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：利用正整数指数函数的定义来求a 的取值范围．解：若函数y ＝(a －2)x为正整数指数函数， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －2>0，a －2≠1，解得a ＞2，且a ≠3. 所以实数a 的取值范围是{a |a ＞2，且a ≠3}．迁移与应用 1．C 解析：y ＝4－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x (x ∈N ＋)是正整数指数函数．2．解：若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x为正整数指数函数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0，且a ≠1，解得a ＝2.活动与探究2 思路分析：通过归纳分析，将剩留量y 表示成经过年数x 的函数，并可列表、描点、作图，进而求得答案．解：(1)由于这种物质最初的质量是1，经过x 年，剩留量是y .经过1年，剩留量y ＝1×84%＝0.841；经过2年，剩留量y ＝1×84%×84%＝0.842； ……一般地，经过x 年，剩留量y 随年数x 变化的函数关系式为y ＝0.84x(x ∈N ＋)． (2)用描点法画出正整数指数函数y ＝0.84的图像(如下图)，它的图像是由一些孤立的点组成的．(3)通过计算和看图可知，随着年数的增加，剩留量在逐渐减少，即该函数为减函数． 迁移与应用 1．A2．解：3927…单调性：函数y ＝3x(x ∈N ＋)是增函数．值域：{3,32,33，…}．活动与探究3解：一年后他应取出的钱数为y ＝2 000(1＋0.38%)，两年后他应取出的钱数为y ＝2 000(1＋0.38%)2；三年后他应取出的钱数为y ＝2 000(1＋0.38%)3，…，n 年后他应取出的钱数为y ＝2 000(1＋0.38%)n；所以n 与y 之间的关系式为y ＝2 000(1＋0.38%)n (n ∈N ＋),12年后他把钱全部取出，取出的钱数应为y ＝2 000(1＋2.38%)12.迁移与应用 144 解析：依题意，第三年获利为100×(1＋20%)2＝144万元． 【当堂检测】1．C 解析：能化简的首先化简，正整数指数函数最终应为y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的形式，其中指数仅为自变量，且x ∈N ＋，a x 的系数为1.而A 中y ＝2x ＋1＝2×2x ；B 中y ＝x 3是幂函数的形式；D 中y ＝3×2x ，均不符合；C 中y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 符合题目要求．2．D 解析：底数0＜12＜1，函数为减函数，图像下降．因为x ∈N ＋，所以其图像为一系列下降的点．3．1＜a ＜2 解析：依题意，应有0＜a －1＜1，解得1＜a ＜2. 4．⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，19 解析：∵x ∈[－3,2]，且x ∈N ＋， ∴x ＝1,2.又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，∴y ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，19.5．y ＝100×(1＋1.2%)x解析：经过1年，人口总数为100×(1＋1.2%)，经过2年，人口总数为100×(1＋1.2%)2，…，因此经过x 年后，人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x.。
数学高一- 必修1学案 3.1正整数指数函数
3.1 正整数指数函数1．理解正整数指数函数的概念，会求正整数指数函数的值域． 2．掌握正整数指数函数的性质及应用．正整数指数函数(1)定义：一般地，函数y ＝_______(a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)叫作正整数指数函数．其中x 是______(x 在指数位置上)，底数a 是常数．(2)定义域：__________.(3)正整数指数函数的图像是一群__________的点，且都位于x 轴的__________． 【做一做1－1】 下列函数是正整数指数函数的为( )． A ．y ＝－2x (x ∈N ＋) B ．y ＝2x (x ∈R ) C ．y ＝x 2(x ∈N ＋) D ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ∈N ＋) 【做一做1－2】 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x (x ∈N ＋)，则f (2)＝__________.答案：1．(1)a x 自变量 (2)N ＋ (3)孤立 上方 【做一做1－1】 D 【做一做1－2】491．在正整数指数函数的定义中，为什么限定底数的范围为a ＞0且a ≠1?剖析：(1)若a ＝0，则由于x ∈N ＋，则a x ＝0，即a x 是一个常量，没有研究的必要． (2)若a ＜0，则在正整数指数函数的定义直接扩充到指数函数的定义时对于x 的某些取值，a x 无意义，即不利于定义的扩充，这是因为{正整数指数函数}{指数函数}，即正整数指数函数是指数函数的特例．(3)若a ＝1，则对于任意x ∈N ＋，a x ＝1，即a x 是一个常量，没有研究的必要． 为了避免出现上述各种情况，所以规定a ＞0且a ≠1，在规定以后，对于任意x ∈N ＋，a x 都有意义，且a x ＞0.2．为什么正整数指数函数的图像不是曲线？剖析：由于正整数指数函数的定义域是正整数集N ＋，而正整数集是不连续的，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，不能用平滑的曲线连起来．也就是说，正整数指数函数的图像是由一系列孤立的点组成的．例如：正整数指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ∈N ＋)的图像如图所示．题型一 判断正整数指数函数【例1】 若x ∈N ＋，下列哪个函数是正整数指数函数？ (1)y ＝(－2)x ；(2)y ＝x 3；(3)y ＝7×2x ； (4)y ＝(13)x ；(5)y ＝(π－1)x .分析：只需判断函数的解析式是否符合形式y ＝a x (a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)即可． 反思：根据函数的解析式判断是否为正整数指数函数时，关键是抓住正整数指数函数解析式的基本特征：a x 前的系数必须是1，自变量x ∈N ＋，且x 在指数的位置上，底数a ＞0，a ≠1.要注意正整数指数函数与幂函数y ＝x α(α是常数)的区别．题型二 正整数指数函数的性质【例2】 画出正整数指数函数y ＝3x (x ∈N ＋)的图像，并指出其单调性和值域． 反思：正整数指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)的值域是{a ，a 2，a 3，…}．当a ＞1时，为增函数，当0＜a ＜1时，为减函数．题型三 实际应用中的正整数指数函数【例3】 已知镭每经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为20克的镭经过x百年后剩留量为y克(其中x∈N＋)，求y与x之间的函数关系式，并求出经过1 000年后镭的质量．(可以用计算器)分析：把100年看成一个基数，然后看每经过100年镭的质量的变化，归纳出函数关系式．反思：通常利用归纳法求实际应用中的正整数指数函数型的解析式．答案：【例1】解：(1)y＝(－2)x的底数小于0，不是正整数指数函数．(2)y＝x3中自变量x在底数的位置上，是幂函数，不是正整数指数函数．(3)y＝7×2x中2x的系数等于7，是正整数指数型函数，不是正整数指数函数．(4)(5)是正整数指数函数．【例2】解：列表，描点作图，如图所示.单调性：函数y＝3x(x∈N＋)是增函数．值域是：{3,32,33，…}．【例3】解：镭原来质量为20克；100年后镭的质量为20×95.76%(克)；200年后镭的质量为20×(95.76%)2(克)；300年后镭的质量为20×(95.76%)3(克)；……x 百年后镭的质量为20×(95.76%)x (克)． ∴y 与x 之间的函数关系式为 y ＝20×(95.76%)x (x ∈N ＋)．∴经过1 000年(即x ＝10)后镭的质量为 y ＝20×(95.76%)10≈12.97(克)．1 若x ∈N ＋，下面几个函数中，是正整数指数函数的是( )． A ．y ＝x 4 B ．y ＝－2x C ．y ＝(－2)x D ．y ＝πx 2函数y ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭(x ∈N ＋)的值域是( )．A ．RB ．R ＋C ．N D.23111,,,222⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭3 函数y ＝43x⎛⎫⎪⎝⎭(x ∈N ＋)是( )．A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数4 已知f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)的图像过点(3,64)，则f (2)＝________.5 一种产品的成本原来是220元，在今后10年内，计划使成本每年比上一年降低20%，写出成本y 随经过年数x 变化的函数关系式．答案：1．D 2.D 3.A4．16 由题意，得a 3＝64，∴a ＝4. ∴f (x )＝4x .∴f (2)＝42＝16. 5．分析：归纳出函数关系式．解：每年的成本是上一年的1－20%＝80%＝0.8. 当x ＝1时，y ＝220×0.8；当x＝2时，y＝220×0.8×0.8＝220×0.82；当x＝3时，y＝220×0.82×0.8＝220×0.83；……所以成本y与年数x的函数关系式为y＝220×0.8x(x＝1, 2,3，…10)．。
指数函数和对数函数练习题
第三章 指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质1．正整数指数函数 函数y ＝a x (a>0，a ≠1，x ∈N ＋)叫作________指数函数；形如y ＝ka x (k ∈R ，a >0，且a ≠1)的函数称为________函数． 2．分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯—的正实数b ，使得b n ＝a m ，我们把b 叫作a 的mn 次幂，记作b ＝mn a ；(2)正分数指数幂写成根式形式：m na ＝na m (a >0)；(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：m na -＝__________________(a >0，m 、n ∈N ＋，且n >1)；(4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质(1)a m a n ＝________(a >0)；(2)(a m )n ＝________(a >0)；(3)(ab )n ＝________(a >0，b >0)． 一、选择题1．以下说法中：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中正确的选项是( )A ．①③④B ．②③④C ．②③D ．③④ 2．假设2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是( ) A ．5－2a B ．2a －5 C ．1 D ．－1 3．在(－12)－1、122-、1212-⎛⎫⎪⎝⎭、2－1中，最大的是( ) A ．(－12)－1 B ．122- C ．1212-⎛⎫⎪⎝⎭D ．2－14．化简3a a 的结果是( )A ．aB ．12a C ．a 2 D ．13a 5．以下各式成立的是( ) A.3m 2＋n 2＝()23m n + B ．(ba)2＝12a 12bC.6(－3)2＝()133- D.34＝1326．以下结论中，正确的个数是( ) ①当a <0时，()322a＝a 3；②na n ＝|a |(n >0)；③函数y ＝()122x -－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)； ④假设100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1.A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题 7.614－3338＋30.125的值为________． 8．假设a >0，且a x＝3，a y＝5，则22y x a+＝________.9．假设x >0，则(214x ＋323)(214x －323)－412x -·(x －12x )＝________.三、解答题10．(1)化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0)； (2)计算：122-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·238.11．设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． 12．化简：413322333842a a b b ab a-++÷(1－23b a)×3a .13．假设x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xyy ＋2xy的值．§3 指数函数(一)1．指数函数的概念一般地，________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是____． 2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像和性质a >1 0<a <1图像定义域 R 值域 (0，＋∞) 性 质 过定点 过点______，即x ＝____时，y ＝____ 函数值 的变化 当x >0时，______； 当x <0时，________ 当x >0时，________； 当x <0时，________单调性 是R 上的________ 是R 上的________1．以下以x 为自变量的函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－4)x B ．y ＝πxC ．y ＝－4xD ．y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1) 2．函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有( )A ．a ＝1或a ＝2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a >0且a ≠13．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( )4．已知f (x )为R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝3x ，那么f (2)的值为( )A ．－9 B.19C ．－19D ．95．如图是指数函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图像，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( ) A ．a <b <1<c <d B ．b <a <1<d <c C ．1<a <b <c <d D ．a <b <1<d <c6．函数y ＝(12)x －2的图像( )A ．第—、二、三象限B ．第—、二、四象限C ．第—、三、四象限D ．第二、三、四象限 二、填空题7．函数f (x )＝a x 的图像经过点(2,4)，则f (－3)的值为________．8．假设函数y ＝a x －(b －1)(a >0，a ≠1)的图像不经过第二象限，则a ，b 必满足条件________．9．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 三、解答题10．比拟以下各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7；(2)1314⎛⎫⎪⎝⎭和2314⎛⎫⎪⎝⎭； (3)2－1.5和30.2.11．2022年10月18日，美国某城市的以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积到达50 000 m 3〞，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍〞．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你依据下面关于垃圾的体积V (m 3)与垃圾体积的加倍的周期(3年)数n 的关系的表格，答复以下问题．周期数n 体积V (m 3)0 50 000×20 1 50 000×2 2 50 000×22 … … n 50 000×2n(1)设想城市垃圾的体积每3年继续加倍，问24年后该市垃圾的体积是多少？ (2)依据报纸所述的信息，你估量3年前垃圾的体积是多少？ (3)如果n ＝－2，这时的n ，V 表示什么信息？(4)写出n 与V 的函数关系式，并画出函数图像(横轴取n 轴)． (5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？ 能力提升12．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊕2x 的图像是( )13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足对任意的实数x ，y 都有f (x y )＝yf (x )． (1)求f (1)的值；(2)假设f (12)>0，解不等式f (ax )>0.(其中字母a 为常数)．§3 指数函数(二)1．以下肯定是指数函数的是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝X (x >0，且x ≠1)C ．y ＝(a －2)x (a >3)D ．y ＝(1－2)x 2．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图像如图，则( )A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <1 3．函数y ＝πx 的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．0，＋∞)C ．RD ．(－∞，0)4．假设(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，12)5．设13<(13)b <(13)a <1，则( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a6．假设指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为( ) A ．a <2 B ．a >2 C ．－1<a <0 D ．0<a <1 一、选择题1．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则( ) A ．Q P B ．Q PC ．P ∩Q ＝{2,4}D ．P ∩Q ＝{(2,4)} 2．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．0，＋∞)B ．0,4C ．0,4)D ．(0,4)3．函数y ＝a x 在0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3 D.324．假设函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数 C ．f (x )与g (x )均为奇函数 D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数 5．函数y ＝f (x )的图像与函数g (x )＝e x ＋2的图像关于原点对称，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝－e x －2B ．f (x )＝－e －x ＋2C ．f (x )＝－e －x －2D ．f (x )＝e －x ＋2 6．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝1243-⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 三个数的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．a <b <c D ．b <a <c 二、填空题7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，假设荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________________． 9．函数y ＝2212x x-+⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增区间是________．三、解答题10．(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试推断f (x )的单调性； (2)求函数y ＝2212x x --的单调区间．11．函数f (x )＝4x －2x ＋1＋3的定义域为－12，12]．(1)设t ＝2x，求t 的取值范围； (2)求函数f (x )的值域． 能力提升12．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )13．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1.(1)求f f (0)＋4]的值；(2)求证：f (x )在R 上是增函数；(3)解不等式：0<f (x －2)<1517.习题课1．以下函数中，指数函数的个数是( )①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3.A ．0B ．1C ．2D ．32．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．33．对于每一个实数x ，f (x )是y ＝2x 与y ＝－x ＋1这两个函数中的较小者，则f (x )的最大值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．无最大值4．将22化成指数式为________．5．已知a ＝40.2，b ＝80.1，c ＝(12)－0.5，则a ，b ，c 的大小顺序为________．6．已知12x ＋12x -＝3，求x ＋1x的值．一、选择题 1．(1222-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为( )A. 2 B ．－ 2 C.22 D ．－222．化简3(a －b )3＋(a －2b )2的结果是( )A ．3b －2aB ．2a －3bC ．b 或2a －3bD ．b3．假设0<x <1，则2x ，(12)x ，(0.2)x 之间的大小关系是( )A ．2x <(0.2)x <(12)xB ．2x <(12)x <(0.2)xC ．(12)x <(0.2)x <2xD ．(0.2)x <(12)x <2x4．假设函数则f (－3)的值为( ) A.18 B.12 C ．2 D ．85．函数f (x )＝a x －b 的图像如下图，其中a ，b 均为常数，则以下结论正确的选项是( )A ．a >1，b >0B ．a >1，b <0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <06．函数f (x )＝4x ＋12x 的图像( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称 二、填空题7．计算：130.064-－(－14)0＋160.75＋120.01＝________________.8．已知10m ＝4,10n ＝9，则3210m n -＝________. 9．函数y ＝1－3x (x ∈－1,2])的值域是________． 三、解答题10．比拟以下各组中两个数的大小：(1)0.63.5和0.63.7；(2)(2)－1.2和(2)－1.4； (3)1332⎛⎫⎪⎝⎭和2332⎛⎫ ⎪⎝⎭；(4)π－2和(13)－1.3 11．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．能力提升12．已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)，商量f (x )的单调性．13．依据函数y ＝|2x －1|的图像，推断当实数m 为何值时，方程|2x －1|＝m 无解？有一解？有两解？§4 对数(一)1．对数的概念如果a b ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数b 叫做______________，记作__________，其中a叫做__________，N 叫做________． 2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做__________，以e 为底的对数叫做__________，log 10N 可简记为________，loge N 简记为________． 3．对数与指数的关系假设a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝____.对数恒等式：log a Na ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质(1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数________． 一、选择题1．有以下说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(ln e)＝0；③假设10＝lg x ，则x ＝100；④假设e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的选项是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a >5或a <2B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <44．方程3log 2x＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝9 5．假设log a 5b ＝c ，则以下关系式中正确的选项是( ) A ．b ＝a 5c B ．b 5＝a c C ．b ＝5a c D ．b ＝c 5a6．0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A ．6 B.72C ．8 D.37二、填空题7．已知log 7log 3(log 2x )]＝0，那么12x-＝________.8．假设log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.9．已知lg a ＝2.431 0，lg b ＝1.431 0，则ba＝________.三、解答题10．(1)将以下指数式写成对数式：①10－3＝11 000；②0.53＝0.125；③(2－1)－1＝2＋1.(2)将以下对数式写成指数式：①log 26＝2.585 0；②log 30.8＝－0.203 1；③lg 3＝0.477 1.11．已知log a x ＝4，log a y ＝5，求A ＝121232x x y -⎡⎤⎢⎥⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦的值． 能力提升12．假设log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n 的值是( ) A ．15 B ．75 C ．45 D ．22513．(1)先将以下式子改写成指数式，再求各式中x 的值：①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a ＝8，试用a 表示以下各式： ①log 68；②log 62；③log 26.§4 对数(二)1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，则： (1)log a (MN )＝________________；(2)log a MN＝________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )． 2．对数换底公式log b N ＝log a Nlog a b(a ，b >0，a ，b ≠1，N >0)；特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)． 一、选择题1．以下式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A ．log a x ·log a y ＝log a (x ＋y ) B ．(log a x )n ＝n log a xC.log a x n ＝log a n xD.log a x log a y ＝log a x －log a y2．计算：log 916·log 881的值为( )A ．18 B.118 C.83 D.383．假设log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( )A ．9 B.19 C ．25 D.1254．已知3a ＝5b ＝A ，假设1a ＋1b＝2，则A 等于( )A ．15 B.15 C ．±15 D ．225 5．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3等于( )A.a b －1B.32(b －1)C.3a2(b ＋1)D.3(a －1)2b6．假设lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg ab)2的值等于( )A ．2 B.12 C ．4 D.14二、填空题7．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷425＝______________. 8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.9．2022年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了庞大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的X 的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛X ．三、解答题10．(1)计算：lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34；(2)已知3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b的值．11．假设a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值． 能力提升12．以下给出了x 与10x 的七组近似对应值： 组号 一 二 三 四 五 六 七 x 0.301 03 0.477 11 0.698 97 0.778 15 0.903 09 1.000 00 1.079 18 10x 2 3 5 6 8 10 12假设在上表的各组对应值中，有且仅有一组是错误的，它是第________组．( ) A ．二 B ．四 C ．五 D ．七13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估量约经过多年少，该物质的剩余量是原来的13？(结果保存1位有效数字)(lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1)§5 对数函数(一)1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________________叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是________．________为常用对数函数；y ＝________为自然对数函数.2．对数函数的图像与性质定义 y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 底数 a >1 0<a <1图像定义域______ 值域 ______单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数共点性 图像过点______，即log a 1＝0 函数值x ∈(0,1)时， x ∈(0,1)时，特点y ∈______； x ∈1，＋∞)时， y ∈______. y ∈______； x ∈1，＋∞)时， y ∈______.对称性 函数y ＝log a x 与y ＝1log ax 的图像关于______对称3.反函数对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数____________________互为反函数． 一、选择题1．函数y ＝log 2x －2的定义域是( )A ．(3，＋∞)B ．3，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．4，＋∞)2．设集合M ＝{y |y ＝(12)x ，x ∈0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N是( )A ．(－∞，0)∪1，＋∞)B ．0，＋∞)C ．(－∞，1D ．(－∞，0)∪(0,1) 3．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，假设f (α)＝1，则α等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 4．函数f (x )＝|log 3x |的图像是( )5．已知对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且过点(9,2)，f (x )的反函数记为y ＝g (x )，则g (x )的解析式是( )A ．g (x )＝4xB ．g (x )＝2xC ．g (x )＝9xD ．g (x )＝3x6．假设log a 23<1，则a 的取值范围是( )A ．(0，23)B ．(23，＋∞)C ．(23，1)D ．(0，23)∪(1，＋∞)二、填空题7．如果函数f (x )＝(3－a )x ，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是________． 8．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是________．9．给出函数，则f (log 23)＝________. 三、解答题10．求以下函数的定义域与值域： (1)y ＝log 2(x －2)；(2)y ＝log 4(x 2＋8)．11．已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a >0，且a ≠1)． (1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为3,63]，求函数f (x )的最值．(2)求使f (x )－g (x )>0的x 的取值范围． 能力提升12．已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝1log a x ，y ＝2log a x ，y ＝3log a x ，y ＝4log a x 的图像，则a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是( ) A ．a 4<a 3<a 2<a 1 B ．a 3<a 4<a 1<a 2 C ．a 2<a 1<a 3<a 4 D ．a 3<a 4<a 2<a 113．假设不等式x 2－log m x <0在(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．§5 对数函数(二)1．函数y ＝log a x 的图像如下图，则实数a 的可能取值是( )A ．5 B.15 C.1e D.122．以下各组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x 2和y ＝(x )2B ．|y |＝|x |和y 3＝x 3C ．y ＝log a x 2和y ＝2log a xD ．y ＝x 和y ＝log a a x3．假设函数y ＝f (x )的定义域是2,4]，则y ＝f (12log x )的定义域是( )A ．12，1 B ．4,16]C ．116，14 D ．2,4]4．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．1，＋∞)5．函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图像经过(－1,0)和(0,1)两点，则f (2)＝________.6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a >0且a ≠1)恒过定点______________________________ __________________________________________．一、选择题1．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c2．已知函数y ＝f (2x )的定义域为－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( )A ．－1,1B ．12，2]C ．1,2D ．2，4]3．函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)且f (8)＝3，则有( )A ．f (2)>f (－2)B ．f (1)>f (2)C ．f (－3)>f (－2)D ．f (－3)>f (－4)4．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14 B.12 C ．2 D ．45．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，假设f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－bC.1b D ．－1b6．函数y ＝3x (－1≤x <0)的反函数是( )A ．y ＝13log x (x >0) B ．y ＝log 3x (x >0)C ．y ＝log 3x (13≤x <1)D ．y ＝13log x (13≤x <1)二、填空题7．函数f (x )＝lg(2x －b )，假设x ≥1时，f (x )≥0恒成立，则b 应满足的条件是________．8．函数y ＝log a x 当x >2时恒有|y |>1，则a 的取值范围是________．9．假设log a 2<2，则实数a 的取值范围是______________．三、解答题10．已知f (x )＝log a (3－ax )在x ∈0,2]上单调递减，求a 的取值范围．11．已知函数f (x )＝12log 1－ax x －1的图像关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；(2)假设当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12log (x －1)<m 恒成立．求实数m 的取值范围．能力提升12．假设函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋12)有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,1)∪(1，2)C ．(1，2)D ．2，＋∞)13．已知log m 4<log n 4，比拟m 与n 的大小．习题课1．已知m ＝0.95.1，n ＝5.10.9，p ＝log 0.95.1，则这三个数的大小关系是( )A ．m <n <pB ．m <p <nC ．p <m <nD ．p <n <m2．已知0<a <1，log a m <log a n <0，则( )A ．1<n <mB ．1<m <nC ．m <n <1D ．n <m <13．函数y ＝x －1＋1lg (2－x )的定义域是( ) A ．(1,2) B ．1,4]C ．1,2)D ．(1,2]4．给定函数①y ＝12x ，②y ＝12log (x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．设函数f (x )＝log a |x |，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是________________．6．假设log 32＝a ，则log 38－2log 36＝________.一、选择题1．以下不等号连接错误的一组是( )A ．log 0.52.7>log 0.52.8B ．log 34>log 65C ．log 34>log 56D ．log πe>log e π2．假设log 37·log 29·log 49m ＝log 412，则m 等于( ) A.14 B.22C. 2 D ．4 3．设函数假设f (3)＝2，f (－2)＝0，则b 等于( )A ．0B ．－1C ．1D ．24．假设函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，－14)B ．(－14，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－12)5．假设函数假设f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式f (18log x )<0的解集为( )A ．(0，12)B ．(12，＋∞) C ．(12，1)∪(2，＋∞) D ．(0，12)∪(2，＋∞) 二、填空题7．已知log a (ab )＝1p ，则log ab a b＝________. 8．假设log 236＝a ，log 210＝b ，则log 215＝________.9．设函数假设f (a )＝18，则f (a ＋6)＝________. 三、解答题10．已知集合A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |log 4(x ＋a )<1}，假设A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．11．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)能力提升12．设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，求不等式log a (x －1)>0的解集．13．已知函数f (x )＝log a (1＋x )，其中a >1.(1)比拟12f (0)＋f (1)]与f (12)的大小； (2)探究12f (x 1－1)＋f (x 2－1)]≤f (x 1＋x 22－1)对任意x 1>0，x 2>0恒成立． §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比拟1．当a >1时，指数函数y ＝a x 是________，并且当a 越大时，其函数值增长越____．2．当a >1时，对数函数y ＝log a x (x >0)是________，并且当a 越小时，其函数值________．3．当x >0，n >1时，幂函数y ＝x n 是________，并且当x >1时，n 越大，其函数值__________．一、选择题1t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12v 1.5 4.40 7.5 12 18.01A ．v ＝log 2tB ．v ＝12log t C ．v ＝t 2－12 D ．v ＝2t －2 2．从山顶到山下的招待所的距离为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s (千米)与时间t (小时)的函数关系用图像表示为( )3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，假设要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数4．某自行车存车处在某天的存车量为4 000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，一般车0.2元/辆次．假设当天一般车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式为( )A ．y ＝0.2x (0≤x ≤4 000)B ．y ＝0.5x (0≤x ≤4 000)C ．y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)D ．y ＝0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)5．已知f (x )＝x 2－bx ＋c 且f (0)＝3，f (1＋x )＝f (1－x )，则有( )A ．f (b x )≥f (c x )B ．f (b x )≤f (c x )C ．f (b x )<f (c x )D ．f (b x )，f (c x )大小不定6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为l 1＝5.06x －0.15x 2和l 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．假设该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润是( )A ．45.606B ．45.6C ．45.56D ．45.51二、填空题7．一种特意侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB 内存(1MB ＝210KB)．8．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2022年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2022年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________．三、解答题9．用模型f (x )＝ax ＋b 来描述某企业每季度的利润f (x )(亿元)和生产本钱投入x (亿元)的关系．统计说明，当每季度投入1(亿元)时利润y 1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y 2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y 3＝2(亿元)．又定义：当f (x )使f (1)－y 1]2＋f (2)－y 2]2＋f (3)－y 3]2的数值最小时为最正确模型．(1)当b ＝23，求相应的a 使f (x )＝ax ＋b 成为最正确模型； (2)依据题(1)得到的最正确模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y 4(亿元)的值．10．依据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f (t )与时间t 满足关系f (t )＝，销售量g (t )与时间t 满足关系g (t )＝－13t ＋433(0≤t ≤40，t ∈N )．求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值．11．某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系是p ＝该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系式为Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N )，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？能力提升12．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的方法，实践说明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在肯定范围内，礼品价值为(n ＋1)元时，比礼品价值为n 元(n ∈N ＋)时的销售量增加10%.(1)写出礼品价值为n 元时，利润y n (元)与n 的函数关系式；(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．13．已知桶1与桶2通过水管相连如下图，开始时桶1中有a L 水，t min 后剩余的水符合指数衰减函数y 1＝a e －nt ，那么桶2中的水就是y 2＝a －a e －nt ，假定5 min 后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有a 4L 第三章 章末检测一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．已知函数f (x )＝lg(4－x )的定义域为M ，函数g (x )＝0.5x －4的值域为N ，则M ∩N 等于( )A ．MB ．NC ．0,4)D ．0，＋∞)2．函数y ＝3|x |－1的定义域为－1,2]，则函数的值域为( )A ．2,8B ．0,8]C ．1,8D ．－1,8]3．已知f (3x )＝log 29x ＋12，则f (1)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D.124．21log 52 等于( )A ．7B ．10C ．6 D.925．假设100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．36．比拟13.11.5、23.1、13.12的大小关系是( ) A ．23.1<13.12<13.11.5 B ．13.11.5<23.1<13.12 C ．13.11.5<13.12<23.1 D ．13.12<13.11.5<23.17．式子log 89log 23的值为( ) A.23 B.32C ．2D ．38．已知ab >0，下面四个等式中：①lg(ab )＝lg a ＋lg b ； ②lg a b＝lg a －lg b ； ③12lg(a b )2＝lg a b ； ④lg(ab )＝1log ab 10. 其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．39．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图像，只需把函数y ＝lg x 的图像上全部的点( ) A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度10．函数y ＝2x 与y ＝x 2的图像的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．311．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}等于( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}12．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(12)x ， x ≥4f (x ＋1)， x <4，则f (2＋log 23)的值为______． 14．函数f (x )＝log a 3－x 3＋x (a >0且a ≠1)，f (2)＝3，则f (－2)的值为________． 15．函数y ＝12log (x 2－3x ＋2)的单调递增区间为______________．16．设0≤x ≤2，则函数y ＝124x -－3·2x ＋5的最大值是________，最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知指数函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的反函数g (x )的解析式；(2)解不等式：g (x )≤log a (2－3x )．18．(12分)已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈－3,0]的值域；(2)假设关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．19．(12分)已知x >1且x ≠43，f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，试比拟f (x )与g (x )的大小． 20．(12分)设函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )，14≤x ≤4， (1)假设t ＝log 2x ，求t 的取值范围；(2)求f (x )的最值，并写出最值时对应的x 的值．21．(12分)已知f (x )＝log a 1＋x 1－x(a >0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)推断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)求使f (x )>0的x 的取值范围．22．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋2是奇函数． (1)求b 的值；(2)推断函数f (x )的单调性；(3)假设对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．。
数学高一- 必修1 3.1 正整数指数函数 作业
3.1 正整数指数函数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1. 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73x (x ∈N ＋)的图像是( )A ．一条上升的曲线B ．一条下降的曲线C ．一系列上升的点D ．一系列下降的点【解析】 73>1且x ∈N ＋，故图像是一系列上升的点． 【答案】 C2. 函数f (x )＝3x －2中，x ∈N ＋且x ∈[－1,3]，则f (x )的值域为( ) A ．{－1,1,7} B ．{1,7,25}C ．{－1,1,7,25}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53，－1，1，7，25 【解析】 ∵x ∈N ＋且x ∈[－1,3]， ∴x ∈{1,2,3}，∴3x ∈{3,9,27}，∴f (x )∈{1,7,25}． 【答案】 B3. 若正整数指数函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的解析式为( )A ．y ＝2xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝(－2)x 【解析】 设f (x )＝a x ，则a 2＝14，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .【答案】 C4. 若正整数指数函数f (x )＝(a －4)x 满足f (15)<f (14)，则a 的取值范围是( )A ．a >4且a ≠5B ．4<a <5C ．a >5或a <4D ．a >5【解析】 由f (15)<f (14)知，函数f (x )是减函数，因此0<a －4<1，解得4<a <5. 【答案】 B5. 某产品计划每年成本降低p %，若三年后成本为a 元，则现在成本为( )A ．a (1＋p %)元B ．a (1－p %)元 C.a(1－p %)3元D.a(1＋p %)元【解析】 设现在成本为x 元，则x (1－p %)3＝a ， ∴x ＝a (1－p %)3，故选C.【答案】 C 二、填空题6. 已知正整数指数函数y ＝(m 2－5m －5)m x (x ∈N ＋)，则m ＝________. 【解析】 由题意m 2－5m －5＝1，∴m 2－5m －6＝0， 解得m ＝6或－1(舍去)，∴m ＝6. 【答案】 67. 比较下列各式的值． (1)π3____π2； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫222____⎝ ⎛⎭⎪⎫226. 【解析】 由正整数指数函数的单调性知，π3>π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫222>⎝ ⎛⎭⎪⎫226.【答案】 (1)> (2)>8. 光线通过一块玻璃板时，其强度要损失20%，把几块相同的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为1，通过x 块玻璃板后的强度为y ，则y 关于x 的函数关系式为________．【解析】 20%＝0.2，当x ＝1时，y ＝1×(1－0.2)＝0.8；当x ＝2时，y ＝0.8×(1－0.2)＝0.82； 当x ＝3时，y ＝0.82×(1－0.2)＝0.83； …∴光线强度y 与通过玻璃板的块数x 的关系式为y ＝0.8x (x ∈N ＋)． 【答案】 y ＝0.8x (x ∈N ＋) 三、解答题9. 若x ∈N ＋，判断下列函数是不是正整数指数函数，若是，指出其单调性． (1)y ＝(－59)x；(2)y ＝x 4；(3)y ＝2x 5；(4)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫974x ；(5)y ＝(π－3)x .【解】 因为y ＝(－59)x 的底数－59小于0，所以y ＝(－59)x 不是正整数指数函数；(2)因为y ＝x 4中自变量x 在底数位置上，所以y ＝x 4不是正整数指数函数，实际上y ＝x 4是幂函数；(3)y ＝2x 5＝15·2x ，因为2x前的系数不是1，所以y ＝2x 5不是正整数指数函数； (4)是正整数指数函数，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫974x 的底数是大于1的常数，所以是增函数；(5)是正整数指数函数，因为y ＝(π－3)x 的底数是大于0且小于1的常数，所以是减函数．10. 已知正整数指数函数f (x )的图像经过点(3,27)． (1)求函数f (x )的解析式； (2)求f (5)；(3)函数f (x )有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因.【解】 (1)设正整数指数函数为f (x )＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)，因为函数f (x )的图像经过点(3,27)，所以f (3)＝27，即a 3＝27，解得a ＝3，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3x (x ∈N ＋)．(2)f (5)＝35＝243.(3)∵f (x )的定义域为N ＋，且在定义域上单调递增， ∴f (x )有最小值，最小值是f (1)＝3，f (x )无最大值．[能力提升]1. 已知正整数指数函数y ＝(a －1)x (x ∈N ＋)是减函数，则a 的取值范围是( )A ．a >2B ．a <2C ．1<a <2D ．a <1【解析】 由题意0<a －1<1，∴1<a <2. 【答案】 C2. 若正整数x ，满足3x ≤27，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，3] B ．[3，＋∞) C ．{0,1,2,3}D ．{1,2,3} 【解析】 由3x ≤27，即3x ≤33得x ≤3，又x ∈N ＋，所以x ＝1,2,3. 【答案】 D3. 当x ∈{x |－1<x ≤4，x ∈N ＋}时，函数f (x )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的值域是________．【解析】 因为{x |－1<x ≤4，x ∈N ＋}＝{1,2,3,4}，∴当x ＝1,2,3,4时，f (x )＝12，34，78，1516，故函数f (x )的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，34，78，1516.【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，34，78，1516 4. 某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y ＝f (t )．(1)写出函数y ＝f (t )的定义域和值域； (2)在坐标系中画出y ＝f (t )(0≤t <6)的图像；(3)写出研究进行到第n 个小时(n ≥0，n ∈Z )时，细菌的总个数．(用关于n 的式子表示)【解】 (1)y ＝f (t )的定义域为{t |t ≥0}，值域为{y |y ＝2n ，n ∈N ＋}；(2)0≤t <6时，f (t )为分段函数， y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0≤t <2，4，2≤t <4，8，4≤t <6.图像如图所示．。
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1．下列函数中，正整数指数函数的个数为
( )
①y ＝1x ；②y ＝－4x ；③y ＝(－8)x .
A ．0
B ．1
C ． 2
D ．3 解析：由正整数指数函数的定义知，A 正确．
答案：A
2．函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x (x ∈N ＋)为正整数指数函数，则a 等于
( ) A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．以上都不对 解析：由正整数指数函数的定义，得a 2－3a ＋3＝1，
∴a ＝2或a ＝1(舍去)．
答案：B
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是
( ) A ．增加7.84%
B ．减少7.84%
C ．减少9.5%
D ．不增不减
解析：设商品原价格为a ，两年后价格为a (1＋20%)2，
四年后价格为a (1＋20%)2(1－20%)2＝a (1－0.04)2＝0.921 6a ， ∴a －0.921 6a a
×100%＝7.84%. 答案：B
4．某产品计划每年成本降低p %，若三年后成本为a 元，则现在成本为
( )
A ．a (1＋p %)元
B ．a (1－p %)元 C.a (1－p %)3元 D.a (1＋p %)元 解析：设现在成本为x 元，则x (1－p %)3＝a ，
∴x ＝a (1－p %)3
. 答案：C
5．计算(2ab 2)3·(－3a 2b )2＝________.
解析：原式＝23a 3b 6·(－3)2a 4b 2
＝8×9×a 3＋4b 6＋2＝72a 7b 8.
答案：72a 7b 8
6．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失20%，把几块相同的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为1，通过x 块玻璃板后的强度为y ，则y 关于x 的函数关系式为________．
解析：20%＝0.2，当x ＝1时，y ＝1×(1－0.2)＝0.8；
当x ＝2时，y ＝0.8×(1－0.2)＝0.82；
当x ＝3时，y ＝0.82×(1－0.2)＝0.83；
……
∴光线强度y 与通过玻璃板的块数x 的关系式为y ＝0.8x (x ∈N ＋)．
答案：y ＝0.8x (x ∈N ＋)
7．若x ∈N ＋，判断下列函数是否是正整数指数函数，若是，指出其单调性．
(1)y ＝(－59)x ；(2)y ＝x 4；(3)y ＝2x 5
； (4)y ＝( 974
)x ；(5)y ＝(π－3)x .[] 解：因为y ＝(－59)x 的底数－59小于0，
所以y ＝(－59)x 不是正整数指数函数；
(2)因为y ＝x 4中自变量x 在底数位置上，所以y ＝x 4不是正整数指数函数，实际上y ＝x 4是幂函数；
(3)y ＝2x 5＝15
·2x ，因为2x 前的系数不是1， 所以y ＝2x
5
不是正整数指数函数； (4)是正整数指数函数，因为y ＝( 974
)x 的底数是大于1的常数，所以是增函数； (5)是正整数指数函数，因为y ＝(π－3)x 的底数是大于0且小于1的常数，所以是减函数．
8．某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经过调查，现有森林面积为10 000
m2，每年增长10%，经过x年，森林面积为y m2.
(1)写出x，y之间的函数关系式；
(2)求出经过10年后森林的面积．(可借助于计算器)
解：(1)当x＝1时，y＝10 000＋10 000×10%＝10 000(1＋10%)；
当x＝2时，y＝10 000(1＋10%)＋10 000(1＋10%)×10%＝10 000(1＋10%)2；
当x＝3时，y＝10 000(1＋10%)2＋10 000(1＋10%)2×10%＝10 000(1＋10%)3；
……
所以x，y之间的函数关系式是y＝10 000(1＋10%)x(x∈N＋)；
(2)当x＝10时，y＝10 000(1＋10%)10≈25 937.42，
即经过10年后，森林面积约为25 937.42 m2.。