第三节 曲面及其方程学习资料
03曲面及其方程、二次曲面27851 共34页PPT文档
（2）
x2 a2
z2 c2
1
表示什么曲面？
回顾
1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。
2. A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0 表示一张球面。
3. A xB yC zD 0表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
12.08.2019
7
高等数学（下）主讲杨益民
例7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
C
:
面的方程。
例3 方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0表示
什么图形？
一般地，三元二次方程（不含交叉项且平方项系数相同）
A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0
表示空间的一张球面。
一些特殊平面
用截痕法讨论几种特殊曲面（特别二次曲面）
高等数学（下）主讲杨益民
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地，若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足： （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0 ；
则称：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程 F(x,y,z)=0的图像。
两个基本问题：
（1）已知曲面S，求曲面方程F(x, y, z) = 0 ？
第八章第3节曲面及其方程
祝同学们在新学期 取得更好的成绩
1
内容与学时
第八章 空间解析几何 6学时
第九章 多元函数微分法及其应用 20学时
第十章 重积分 12学时
第十一章 曲线积分与曲面积分 14学时
第十二章 无穷级数 18学时
第七章 微分方程 14学时
总复习 4学时
总计 88学时
2
第3节 曲面及其方程
40
习题8 3 P31
1,2，3，5，6，8（1，3）,9(1,3),10(1,4),11(3)
x
33
（三）双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
x2 a2
y2 b2
1
z 0
34
与平面 z z1 的交线为椭圆.
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
25
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 ( | z1 | c)的交线为圆.
26
截面上圆的方程
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
10
曲面及其方程 1
(1)
yoz面上的双曲线
y2 z2 b2 c2 1
分别绕 y 轴和 z 轴;
绕 y轴:
y2 b2
z2 x2 c2
1
旋转双叶双曲面
绕 z 轴:
x2 y2 z2 b2 c2 1
旋转单叶双曲面
(2) yoz面上的椭圆
y2 b2
z2 c2
1
分别绕
y 轴和 z 轴;
绕 y轴:
y2 b2
z2 x2 c2
第三节 曲面及其方程-1 一、曲面方程的概念 ◆曲面的实例：水桶的表面、地球的表面等等． ◆在空间解析几何中,曲面被看成 空间点的几何轨迹． ◆曲面方程的定义：
如果曲面S与三元方程F ( x, y, z) 0有如下关系 : (1)曲面S上的点的坐标 都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标 都不满足方程,
展开 x2 y2 z2 Ax By Cz D 0; 反之, 任给 x2 y2 z2 Ax By Cz D 0 的图形 ?
( x A)2 ( y B)2 (z C )2 1 ( A2 B2 C 2 4D),
2
2
24
若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形是球面; 若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形是一个点; 若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形不存在.
例2 已知A(1,2,3), B(2,1,4),求线段AB的中垂面方程. 解 设M ( x, y, z)是中垂面上的任意一点, | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32 x 22 y 12 z 42 ,
化简,得 : 2x 6 y 2z 7 0, 又因为不在曲面上的点的坐标不满足上述方程, 所以, 上述方程即为所求的中垂面方程.
高等数学曲面及其方程-2022年学习资料
二、旋转曲面-定义：以一条平面曲-线绕其平面上的一条-直线旋转一周所成的-曲面称为旋转曲面。-这条曲线和定 线一-次称为旋转曲面的母-线和旋转轴。
二、旋转曲面-定义：以一条平面曲-线绕其平面上的一条-直线旋转一周所成的-曲面称为旋转曲面。-这条曲线和定 线-次称为旋转曲面的母-线和旋转轴。
二、旋转曲面-定义：以一条平面曲-线绕其平面上的一条-直线旋转一周所成的-曲面称为旋转曲面。-这条曲线和定 线-次称为旋转曲面的母-线和旋转轴。-心
1、yOz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程：-设y0z面的曲线C:fy,z=0，点M10y121在曲线C -则f6y1,z=0-4-M0,y1,z1->Mx,y,ES,z=Z.-M点到z轴的距离d=Vx2+y2= 1-M0,y1,31-将z1=z,y1=±Vx2+y2代入（4得Mx,z}-ft2+y,=0-5-就是所求 转曲面的方程.
思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？-M-C:fy,z=0-X-------------------fy ±Vx2+z2=0
2、注意：绕哪个轴旋转，哪个变量不变-1oz平面上的母线C:f0,2=0-绕0z轴旋转得旋转曲面-x=0±Vx2+y2,z=0-2.oz平面上的母线C:fy2=0-绕oy轴旋转得旋转曲面-fy,±Vx2+z2= -3.xoy平面上的母线C:-fx,y=0-绕ox轴旋转得旋转曲面-1z=0-fx,±Vy2+z2=0
例2求到A1,2,3,B2,-1,4两点距离相等的点的轨迹方程.-解：设轨迹上的动点为Mx,y,z-有MA MB-即Vx-12+0-2+-3-=Vx-2}+6+1+-4-整理得2x-6y+2z-7=0-线段AB的垂 平分面-即为所求点的轨迹方程
3曲面及其方程1
动直线L 叫柱面的 母线.
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
柱面方程的特征：
只含 x,y 而缺 z 的方程F ( x, y) 0, 在空间
直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面 //x 轴
x2 a2
取 p=3, q=4
椭圆抛物面： x2 y2 z 2 p 2q
当p、q 均为正时
当p、q 均为负时
3. 双曲抛物面
由方程
x2 y2 z
2 p 2q
( p 与q 同号） 所表示的 曲面称为
双曲抛物面 （马鞍面）
4.椭圆锥面
由方程
x2 a2
y2 b2
例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，
求生成的旋转曲面的方程．
（1）xoz 面上双曲线
x2 z2 1 a2 c2
分别绕 x 轴和 z 轴；
绕 x 轴旋转：
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕 z 轴旋转：
x2 y2 a2
z c
2 2
1
曲 面
（2）yoz 面上椭圆
y2 z2 1 a2 c2
方法：在母线方程中，保持转轴对应的坐标变量不变， 另一个变量换成其余两个变量的平方和的平方根。
例2 求顶点在坐标原点，半顶角为 (0 )
2
旋转轴为z 轴的圆锥面方程. 解 yoz 面上直线方程
第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程
第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。
四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。
例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。
例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。
例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。
7-3曲面方程-PPT文档资料
y
f( x y, z ) 0 .
2 2
x
2 2
（即曲线方程 f ( y , z ) 0 中 z 不变， y 换为 x y ）
注： f ( x2 y2 , z) 0 也可视 xoz 为 面上的 面方程 .
曲线 f (x, z) 0绕 z轴 旋 转 一 周 所 得 曲 的旋
y
c 半 径 随一条平面曲线绕其平面上的一条直 线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条 定直线叫旋转曲面的轴．
例如 :
问题：求 yoz 面上的曲线 C ： f(y ,z ) 0 绕 z 轴旋 转一周所得的曲面的方 程 .
解： 在曲面上任取一点 M(x, y, z),
C
l
z
柱面举例
y 2x
2
z
平面
o
o
y
y
x
抛物柱面
x
y x
问题 xoy ： 面 以 上的 C : F ( 曲 x ,y ) 线 0 为准
z方 程 母线平 z 轴 行 的 于 柱面
F (x ,y )0 （ z 任意） .
( x, y, z)
( x, y,0)
y
xF (x ,y ) 0
M M M 0 1 M 0
z
它是 M ( 由 0 ,y , z ) 点 绕 M 点 ( 0 , 0 , z ) 旋转 . 得 1 1 0
|y x y 1|
2
2
f( y ,z ) 0 1
所以旋转曲面方程为
(0, 0, z ) M 0 d M ( 0 ,y ,z ) 1 1 ( x, y, z) M f(x ,z )0 f ( y ,z ) 0
2019年7-3曲面及其方程.ppt
解
设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点，
| MO | 1 , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 y2 z2
x 2 y 3 z 4
2 2
2
1 , 2
2
2 4 116 2 . 所求方程为 x y 1 z 3 3 9
二、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
播放
旋转过程中的特征：
z
如图
设 M ( x , y , z ),
o
(1) z z1
（2）点 M 到z 轴的距离
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
y
d x y | y1 |
2 2 2
x
2
将 z z1 , y1 x y 代入
f ( y1 , z1 ) 0
2 2 z z , y x y 将 代入 f ( y1 , z1 ) 0 0,
播放
柱面举例
z
z
y 2x
2
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面
x
y x
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x , y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上曲线C . （其他类推）
实 例
y z 2 1 椭圆柱面 // x 轴 2 b c x2 y2 2 1 双曲柱面 // z 轴 2 a b 2 抛物柱面 // y 轴 x 2 pz
高等数学第八章第三节曲面及其方程课件.ppt
3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
0
y y1
(实轴平行于z 轴;
虚轴平行于x 轴）
z
x
y
z
x
y
(2) 双叶双曲面
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a, b, c 为正数)
平面 y y1 上的截痕为曲线 x 平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
例2. 研究方程 的曲面.
表示怎样
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
二、旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
f ( y1, z1) 0
一、曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z), 则 AM BM , 即
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
化简得 2x 6 y 2z 7 0
《曲面及其方程》课件
02
常见曲面及其方程
平面
总结词：二维平面
详细描述：平面是一种常见的曲面，它在三维空间中表现为一个无限延展且没有 厚度的二维表面。平面的方程通常可以表示为 Ax + By + Cz = D。
球面
总结词
三维球体表面
详细描述
球面是三维空间中球体的表面，它可以由球心和球面上任意两点之间的距离来确定。球面的方程通常可以表示为 x^2 + y^2 + z^2 = R^2。
03
曲面的参数方程
参数方程的定义与特点
总结词
参数方程是描述曲面的重要方式，它通过引 入参数来表达曲面上点的坐标。
详细描述
参数方程通常由两个或三个参数变量和对应 的坐标表达式组成，例如，平面上的圆心为 $(h, k)$，半径为$r$的圆的参数方程为$(xh)^2+(y-k)^2=r^2$。参数方程能够清晰 地表达曲面的形状和大小，并且可以通过调 整参数来改变曲面的形状。
《曲面及其方程》 ppt课件
目录
CONTENTS
• 曲面及其方程概述 • 常见曲面及其方程 • 曲面的参数方程 • 曲面的性质与变换 • 曲面方程的求解方法 • 曲面在几何与工程中的应用
01
曲面及其方程概述
曲面的定义与分类
总结词
曲面的定义、分类
详细描述
曲面是三维空间中弯曲的二维表面，它可以由多种方式形成，如旋转、平移、 拉伸等。根据形成方式的不同，曲面可以分为多种类型，如球面、锥面、柱面 等。
性。
曲面的参数方程
曲面可以用参数方程表示，其中 两个参数（u和v）用于描述曲面 上的点。通过参数方程，可以方 便地研究曲面的几何性质和变换
方法。
曲面及其方程
y
绕 y 轴一周
得 :旋转单叶双曲面
o
a
x
x2 + z2 y2 − 2 =1 2 a b
z
.
⎧ x2 y2 ⎪ 2 − 2 =1 双曲线 ⎨ a b ⎪z = 0 ⎩
x
绕 x 轴一周
0
y
⎧ x2 y2 ⎪ 2 − 2 =1 双曲线 ⎨ a b ⎪z = 0 ⎩
x
绕 x 轴一周
z
.
0
y
⎧ x2 y2 ⎪ 2 − 2 =1 双曲线 ⎨ a b ⎪z = 0 ⎩
yoz 面上直线方程为 z = y cot α
x
α
圆锥面方程
o
y
z = ± x 2 + y 2 cot α
例5 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x y （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 y 轴和 x轴； a b
绕 y 轴旋转,得
x2 + z2 a2 − y2 b2 = 1 旋转单叶双曲面
⎧ f ( y, z ) = 0 绕 z 轴 曲线 C : ⎨ ⎩x = 0
z
旋转一周得旋转曲面 S
P M
N ( 0, y 1 , z 1 )
.
∀ M(x,y,z) ∈ S
f (y1, z1)=0
z1 = z
.
S
z o
z1
C
| y1 |= MP =
x +y
2
2
y1
y
y1 = ± x 2 + y 2
∴ S： f ( ± x + y , z ) = 0
4⎞ 116 2⎞ ⎛ 2 ⎛ ⎜ x + ⎟ + ( y + 1) + ⎜ z + ⎟ = 3⎠ 9 3⎠ ⎝ ⎝
03曲面及其方程、二次曲面27851 35页PPT
cz22
1
双叶双曲面
z
o
y
x
oy x
30.08.2019
21
高等数学（下）主讲杨益民
习题8－3 4，5，7，8，9，10，11
30.08.2019
22
Thank you
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
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8
高等数学（下）主讲杨益民
例7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
C
:
30.08.2019
15
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椭球面的几种特殊情况：
(1)
ab,
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋转椭球面
由椭圆
x2 z2
a2
c2
1
或
y2 b2
z2 c2
1
y 0
x 0
绕z轴旋转而成。
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
30.08.2019
3
高等数学（下）主讲杨益民
例4 方程 z (x 1 )2 (y 2 )2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z1
用平面z c去截图形得圆：
z
( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 1 c( c 1 )
当平面z c上下移动时，得
目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。
24--第三节--曲面及其方程
第三节 曲面及其方程一 曲面方程的概念 若一个三元方程(, , )0F x y z = (1)和曲面S 之间满足:(1) S 上的任意点的坐标(, , )x y z 都满足(1)式;(2) 如果一点P 的坐标(, , )x y z 满足(1)式, 则P 在S 上, 则称(1)式为S 的方程, 称S 为(1)式的图形.例1 (球面的标准方程) 球心在点()0000, , M x y z 且半径为R 的球面的方程为若球心在原点, 则球面方程为例2 设有点()1, 2, 3A 和()2, 1, 4B -, 求线段AB 的垂直平分面的方程. 解 设点(), , M x y z 为所求平面上的任一点, 则AM BM =, 即=于是得26270x y z -+-=, 此即所求.例3 (球面的一般式) 方程表示一个球面, 半径为当22240D E F G ++->时, 该球面为实球.当22240D E F G ++-=时, 该球面为点球, 即原方程表示一点, , 222DE F P ⎛⎫--- ⎪⎝⎭.当22240D E F G ++-<时, 该球面为虚球, 即原方程无实轨迹.例如, 在222240x y z x y ++-+=中, 2D =-, 4E =, 0F =, 0G =. 于是球心为()1, 2, 0P -,半径为r =.二 旋转曲面平面上的一条曲线C 绕该平面上的一条直线l 旋转一周所形成的曲面S 叫做旋转曲面.在yz 平面上的曲线(): , 0C f y z =绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为C 绕y 轴旋转所成的旋转面的方程为在zx 平面上的曲线(): , 0C f z x =绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为C 绕x 轴旋转所成的旋转面的方程为在xy 平面上的曲线(): , 0C f x y =绕x 轴旋转所得的旋转曲面的方程为C 绕y 轴旋转所成的旋转面的方程为例4 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周, 所得的旋转面叫做圆锥面. 两直线的交点叫做圆锥面的顶点, 两直线的夹角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭叫做圆锥面的半顶角. 试建立顶点在原点O、旋转轴为z 轴且半顶角为α的圆锥面的方程.解 在yz 平面上, 直线L 的方程为cot z y α=. 于是所求圆锥面的方程为z α=, 令cot a α=, 则()2222z a x y =+为所求.例5 将xz 平面上的双曲线22221x z a c -=绕x 轴旋转所生成的旋转面为(22221x a c -=, 即222221x y z a c +-=,绕z 轴旋转所生成的旋转面为(22221z a c-=, 即222221x y z a c+-=. 将xy 平面上的椭圆22221x y a b +=绕y 轴旋转所生成的旋转面为(22221y a b+=, 即222221x z y a b++=. 例(补) 说明下列旋转面是怎样形成的: 22z x y =+.解 旋转面22z x y =+的旋转轴是z 轴. 用平面0x =去截曲面22z x y =+, 得yz 面上的抛物线2z y =,它即旋转面22z x y =+的母线.注 若用平面0y =去截曲面22z x y =+, 可得xz 面上的抛物线2z x =, 它也是旋转面22z x y =+的母线.三 柱面平行于固定直线并沿固定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面. 固定曲线C 叫做柱面的准线, 动直线L 叫做柱面的母线.方程(), 0F x y =在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面, 其准线为xy 面上的曲线(), 0F x y =.方程(), 0G x z =在空间直角坐标系中表示母线平行于y 轴的柱面, 其准线为xz 面上的曲线(), 0G x z =. 方程(), 0H y z =在空间直角坐标系中表示母线平行于x 轴的柱面, 其准线为yz 面上的曲线(), 0H y z =.特别注意: 不能说方程(), 0F x y =在空间直角坐标系中表示xy 面上的一条曲线, 而要说它表示一个曲面. 对(), 0G x z =和(), 0H y z =也是一样的.例6 方程222x y R +=表示母线平行于于z 轴的圆柱面,其准线是xy 面上的圆222x y R +=.方程22y z =表示母线平行于于x 轴的柱面, 其准线为yz 面上的抛物线22y z =. 该柱面称为抛物柱面. 方程0x z -=表示母线平行于于y 轴的柱面, 其准线为xz 面上的直线0x z -=. 该柱面为一个平面. 四 二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.(1) 椭圆锥面22222x y z a b+=(2) 椭球面1222222=++c z b y a x (a 、b 、0c >). 其中a 、b 和c 称为椭球面的半轴.若a b =, 则1222222=++cz b y a x 成为2222221x y z a a c++=. 这是由xz 面上的椭圆22221x z a c+=绕z 轴旋转而成的旋转曲面, 称为旋转椭球面.当a b c ==时, 此椭球面成为球面2222x y z a ++=.例 (补) 求椭球面1222222=++cz b y a x 与各坐标轴的交点.解 该曲面与x 轴的交点(), 0, 0x 满足222222001x a b c++=, 于是, x a =±. 故曲面与x 轴的交点为(), 0, 0a ±.同理, 曲面与y 轴的交点为()0, , 0b ±,与z 轴的交点为()0, 0, c ±.(3) 单叶双曲面2222221x y z a b c +-= (a 、b 、0c >).若a b =, 则2222221x y z a b c+-=成为2222221x y z a a c +-=. 它是由yz 面上的双曲线22221y z a c -=绕z 轴旋转而得的旋转面, 称为旋转单叶双曲面.(4) 双叶双曲面222222: 1x y z S a b c-+-= (a 、b 、0c >).(5) 椭圆抛物面2222x y z a b+=原点称为该椭圆抛物面的顶点.(6) 双曲抛物面 (马鞍面) 2222x y z a b-=原点称为双曲抛物面的鞍点.作业 P.318 1——9, 10 (1),(2),(3), 11。
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M (x,y,z)的坐标也满足方程 x2 y2 R2 ,
沿曲线C, 平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点
的坐标都满足此方程
19
此曲面称为圆柱面.
z
M•
在空间, x2y2R2就是圆柱面方程.
•
C
因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线, x
OM1
• •
• •
y
•
母线平行于z轴的柱面.
L
20
z
第三节 曲面及其方程
z
一、曲面方程的概念
F(x, y,z) 0
S
曲面方程的定义
O
y
如果曲面S与三元方程 F (x ,y ,z) x0 有下述关系:
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;
那么, 方 F (x 程 ,y ,z ) 0就叫做曲面S的方程,
而曲面S就叫做方程的图形.
13
圆锥面方程 zx2y2cot
即 z 2 a 2 (x 2 y 2 )( a co ) t
a1时, cot1
4
即 圆锥面方程 z2x2y2
(用得较多)
14
yOz面上直线方程为 yzcot
绕y轴旋转所得曲面方程及图形.
y x2z2cot
即 y 2 c2 o (x 2 t z2 )
绕 y轴 旋 转 ay22x2c2z21
旋 转
椭
绕 z轴 旋 转 x2a2y2cz22 1
球 面
(3) yO坐 z 标面上的抛y2物 2线 pz绕z轴.
x2y22pz 旋转抛物面
17
三、柱面 (cylindrical surface )
定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L
所形成的曲面称为 柱面.
4
例 求与 O 及 原 M 0(2,3 点 ,4)的距离 1 ： 2的 之 比
的全体所组成的曲面方程.
解
设 M (x,y,z)是曲面上任一点,
| MO| | MM0 |
1 2
x2y2z2
1
x22y32z42 2
所求方程
x2 2y1 2 z4 2116
3
3 9
5
研究空间曲面有两个基本问题
z
O
y
a2(x2z2)(aco )t x
15
例 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成
的旋转曲面的方程.
(1) xoz坐标面上的双曲线
x2 a2
cz22
1
绕x轴旋转
x2 a2
y2 z2 c2
1
旋 转 双
绕z轴旋转
x2 y2 z2
a2
c2 1
曲 面
16
(2) yO坐 z 标面上ay的 22cz椭 221圆绕y轴和z轴;
(1)已知曲面, 求方程; (讨论旋转曲面)
(2)已知方程, 研究图形. (讨论柱面, 二次曲面)
6
二、旋转曲面 (surface of revolution)
定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面, 称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴. 此曲线称母线.
为方便, 常把曲线所在平面取
旋转一周的 旋转曲面方程为 f ( y , x2z2) 0
10
总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的 一个 坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以 这样得到 :
曲线方程中与旋转轴相同的变量不动, 而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、 负号)替代曲线方程中另一个变量即可.
11
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周
这条定曲线C 称为柱面的 准线,
母 线
准线
动直线L称为柱面的 母线.
LC
18
例 讨论方程 x2y2R2的图形.
z
解 在xOy面上, x2y2R2表一个圆C.
M•
•
现在空间直角坐标系中讨论问题.
C
OM1
• •
y
设点 M1 ( x, y,0)在圆C上, 过点
x
• •
•
L
M 1(x,y,0)作平行z轴的直线L, 对任意z,点
2
凡三元方程都表示空间一曲面
错,如 x2y2z21是一个三元方程,
但不表示任何曲面.
3
以下给出几例常见的曲面. 例 建立球 M 0(x 心 0,y0,在 z0)、 点 半 R 的 径为
球面方程.
解 设 M (x,y,z)是球面上任一点, |M0|M R
( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2 R 所求方程为 ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2 R 2 特殊 球心在原点的球面方程 x2y2z2R 2
所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角(0)称为
2
圆锥面的半顶角.
z
z
O
y
x
O
y
x
12
例：试建立顶点在坐标原点O, 旋转轴为z轴,
半顶角为的圆锥面的方程. z
解 在 yO z 面上,直线方程为
zyco t
圆锥面方程
zx2y2c ot
•
• M1(0, y,z)
O
y
x
M (x,y,z)
z
柱
面
y2 2x
举
例
O
y
x
抛物柱面
O
x
平面
y
yx
y2 2x表示母线平行于z yx表示母线平行于z轴
轴的柱面, 其准线是xOy面 的柱面, 其准线是xOy面上
上的抛物线 y22x.
的直线 yx.
21
从柱面方程看柱面的特征： 只 x ,y 而 含 z 的 缺 F ( 方 x ,y ) 0 ,程 在空间 直角坐标系中表示平行于z轴的柱面, 其准线 为xOy面上的曲线C. （其他类推）
(1)z1z
O
x
(2)点M到z轴的距d离 x2y2| y1|
C :f(y ,z) 0 y
将 z1z, y1x2y2 代入f(y1,z1)0
得方程 f(x2y2,z)0
9
f(x2y2,z)0 即为 yO坐 z 标面上的已f知 (y,z曲 )线 0 绕z轴 旋转一周的 旋转曲面方程. 同理, yO坐 z 标面上的已f(知 y,z曲 )0线绕y轴
轴
作坐标面, 旋转轴取作坐标轴.
母线
7
2 旋转曲面方程的求法 ：
1）设在 yoz 坐标平面上有一已知曲线C，
方 程 f(y,z)0
把该曲线绕z 轴旋转一周，得一个以z轴为轴 的旋转曲面。
8
旋转过程中的特征： 如图 设 M (x,y,z),
z
d
M 1(0 ,y1,z1)
M(x,y,z)
M 1(0,y1,z1),f(y1,z1)0
22
四、二次曲面
1. 二次曲面的定义 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. 如: 球面、某些柱面(圆柱面、抛物柱面、 双曲柱面等) 都是二次曲面. 相应地平面被称为 一次曲面.
23
实
y2 b2
cz22
1
椭圆柱面
母线平行于x轴
例
x2 y2 a2 b2 1
双曲柱面
母线平行于z轴
x2 2pz 抛物柱面 母线平行于y轴