锐角三角函数的技巧及练习题附答案
锐角三角变换经典练习题附带答案
锐角三角变换经典练习题附带答案锐角三角变换是三角学中的重要概念,是一种将锐角三角函数互相转换的方法。
掌握锐角三角变换可以简化计算过程,提高计算准确性。
下面是一些经典的锐角三角变换练题,附带答案供参考。
1. 计算 $\sin(90° - x)$ 的值。
- 解答:根据余角公式,$\sin(90° - x) = \cos x$。
2. 计算 $\cos(90° - x)$ 的值。
- 解答:根据余角公式,$\cos(90° - x) = \sin x$。
3. 计算 $\tan(90° - x)$ 的值。
- 解答:根据余角公式,$\tan(90° - x) = \cot x$。
4. 计算 $\cot(90° - x)$ 的值。
- 解答:根据余角公式,$\cot(90° - x) = \tan x$。
5. 计算 $\sec(90° - x)$ 的值。
- 解答:根据余角公式,$\sec(90° - x) = \csc x$。
6. 计算 $\csc(90° - x)$ 的值。
- 解答:根据余角公式,$\csc(90° - x) = \sec x$。
以上是锐角三角变换的经典练题及答案。
通过这些练,可以更好地理解锐角三角变换的概念,并熟练运用余角公式进行计算。
锐角三角变换在解决三角函数计算问题中起到了重要的作用,值得深入研究和掌握。
注意:以上答案中的角度单位均为度。
锐角三角变换经典练题附带答案锐角三角变换是三角学中的重要概念,是一种将锐角三角函数互相转换的方法。
掌握锐角三角变换可以简化计算过程,提高计算准确性。
下面是一些经典的锐角三角变换练题,附带答案供参考。
1. 计算 $\sin(90° - x)$ 的值。
- 解答:根据余角公式,$\sin(90° - x) = \cos x$。
锐角三角函数(含习题及答案)
锐角三角函数——正弦一、教学目标1.通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边与用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角斜边的比值都固定(即正弦值不变)这一事实.2.能根据正弦概念正确进行计算3.经历当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值是固定值这一事实,发展学生的形象思维,培养学生由特殊到一般的演绎推理能力.二、教学重点、难点重点:理解认识正弦(sinA)概念,通过探究使学生知道当锐角固定时,它的对边与斜边的比值是固定值这一事实.难点:引导学生比较、分析并得出:对任意锐角,它的对边与斜边的比值是固定值的事实.三、教学过程(一)复习引入操场里有一个旗杆,老师让小明去测量旗杆高度.(演示学校操场上的国旗图片)小明站在离旗杆底部10米远处,目测旗杆的顶部,视线与水平线的夹角为34º,并已知目高为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了.你想知道小明怎样算出的吗?师:通过前面的学习我们知道,利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度;实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度,来测算出旗杆的高度.这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法.下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种:锐角的正弦(二)实践探索为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行灌溉.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30º,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管?分析:问题转化为,在Rt△ABC中,∠C=90º,∠A=30º,BC=35m,求AB根据“再直角三角形中,30o角所对的边等于斜边的一半”,即==可得AB=2BC=70m,即需要准备70m长的水管结论:在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30o,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于如图,任意画一个Rt△ABC,使∠C=90º,∠A=45º,计算∠A的对边与斜边的比,能得到什么结论?分析:在Rt△ABC 中,∠C=90º,由于∠A=45º,所以Rt△ABC是等腰直角三角形,由勾股定理得AB2 = AC2+BC2 = 2BC2,AB =BC故===结论:在一个直角三角形中,如果一个锐角等于45º,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于一般地,当∠A取其他一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?如图:Rt△ABC与Rt△A’B’C’,∠C=∠C’=90º,∠A=∠A’=α,那么与有什么关系?分析:由于∠C=∠C’=90º,∠A=∠A’=α,所以Rt△ABC与Rt△A’B’C’相似,=,即=结论:在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比也是一个固定值.认识正弦如图,在Rt△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c.师:在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦.记作sinA.板书:sinA== (举例说明:若a = 1,c = 3,则sinA=)注意:1、sinA不是 sin与A的乘积,而是一个整体;2、正弦的三种表示方式:sinA、sin56º、sin∠DEF;3、sinA 是线段之间的一个比值;sinA 没有单位.提问:∠B的正弦怎么表示?要求一个锐角的正弦值,我们需要知道直角三角形中的哪些边?(三)教学互动例、如图,在RtΔABC中,∠C = 90º,求sinA和sinB的值.分析:可利用勾股定理分别求出两个三角形中未知的那一边长,再根据正弦的定义求解.解答按课本.锐角三角函数——余弦和正切一、教学目标1.使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实.2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.二、教学重点、难点重点:理解余弦、正切的概念难点:熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算三、教学过程(一)复习引入1.口述正弦的定义2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,CD⊥AB于点D.已知AC=,BC=2,那么sin∠ACD=()A. B. C.D.(二)实践探索一般地,当∠A取其他一定度数的锐角时,它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值?如图:Rt△ABC与Rt△A’B’C’,∠C=∠C’=90o,∠A=∠A’=α,那么与有什么关系?分析:由于∠C=∠C’=90o,∠B=∠B’=α,所以Rt△ABC与Rt△A’B’C’相似,=,即=结论:在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值.如图,在Rt△ABC中,∠C=90o,把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA;即cosA ==类似地,把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA =锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.(三)教学互动例、如图,在RtΔABC中,∠C = 90º,BC=6,sinA =,求cosA和tanB的值.解:∵sinA =,∴AB == 6×= 10又AC === 8∴cosA ==,tanB ==30°、45°、60°角的三角函数值一、教学目标1.能推导并熟记30º、45º、60º角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.2.能熟练计算含有30º、45º、60º角的三角函数的运算式二、教学重点、难点重点:熟记30º、45º、60º角的三角函数值,能熟练计算含有30º、45º、60º角的三角函数的运算式难点:30º、45º、60º角的三角函数值的推导过程三、教学过程(一)复习引入还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗?即sin30º =,sin45º=你还能推导出sin60º的值及30º、45º、60º角的其它三角函数值吗?(二)实践探索让学生画30º、45º、60º的直角三角形,分别求sin30º、cos45º、tan60°归纳结果(三)教学互动例1、求下列各式的值:(1) cos260º+cos245º+sin30ºsin45º(2)+解:(1)原式 = ()2+()2+××=++= 1(2)原式 =+=+= −(1+)2−(1−)2=−3−2−3+2= −6说明:本题主要考查特殊角的正弦余弦值,解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值.易错点因没有记准特殊角的正弦余弦值,造成计算错例2、(1)如图(1), 在RtΔABC中,∠C = 90º,AB =,BC =,求∠A的度数.(2)如图(2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍,求α.解:(1)在图(1)中,∵sinA ===,∴∠A = −45º,(2)在图(2)中,∵tanα ===,∴α = 60º用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角一、教学目标1.让学生熟识计算器一些功能键的使用2.会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角二、教学重点、难点重点:运用计算器处理三角函数中的值或角的问题难点:知道值求角的处理三、教学过程(一)复习引入通过上课的学习我们知道,当锐角A是等特殊角时,可以求得这些角的正弦、余弦、正切值;如果锐角A不是这些特殊角,怎样得到它的三角函数值呢?我们可以用计算器来求锐角的三角函数值.(二)实践探索1.用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值利用求下列三角函数值(这个教师可完全放手学生去完成,教师只需巡回指导)sin37º24′sin37°23′cos21º28′ cos38°12′tan52°tan36°20′ tan75°17′2.熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.例如:sinA=0.9816.∠A=;cosA=0.8607,∠A=;tanA=0.1890,∠A=;tanA=56.78,∠A=.典型例题1.若把ΔABC中锐角A的两边AB、AC分别缩小为原来的,已知其中∠C = 90º,则锐角A的正弦,则sinA的变化情况为( )A.nsinA B.sinA C. D.保持原值不变答案:D说明:因为当一个锐角大小不变时,其正弦值是固定的,与∠A的两边大小无关,所以正确答案为D.2.已知ΔABC中,∠C = 90º,∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c、且c = 3b,则cosA = ( )A. B. C.D.答案:C说明:因为cosA =,而c = 3b,所以cosA =,答案为C.3.a、b、c是ΔABC的三边,a、b、c满足等式(2b)2= 4(c+a)(c−a),且有5a−3c = 0,求sinA+sinB的值.分析:用正弦的定义把正弦换为边的比,再由所给的边与边的关系即可求值.解:由(2b)2 = 4(c+a)(c−a)得b2 = c2−a2,∴c2 = a2+b2,∴ΔABC是直角三角形,且∠C = 90º;由5a−3c = 0,得=,即sinA =设a = 3k,则c = 5k,∴b == 4k,∴sinB ===∴sinA+sinB =+=.4.如图,∠POQ = 90º,边长为2 cm的正方形ABCD的顶点B在OP上,C在OQ上,且∠OBC = 30º;分别求点A、D到OP的距离.分析:由正方形的性质可证ΔABE≌ΔBCO≌ΔCDG,再由∠OBC = 30º,即可求出OC、CG、AE的长.解:过点A、D分别作AE⊥OP、DF⊥OP,DG⊥OG,垂足分别为E、F、G.在正方形ABCD中,∠ABC =∠BCD = 90º∵∠OBC = 30º,∴∠ABE =∠BCO = 60º同理可求∠CDG = 60º,又AB = BC = CD = 2 cm,∴RtΔABE≌RtΔBCO≌RtΔCDG∴CG = AE = AB•sin∠ABE = 2•=(cm)OC = BC•sin∠OBC = 2•= 1(cm)∴DF = OG = GC+OC = (+1)(cm)即点A到OP的距离为cm,点D到OP的距离为(+1)cm.习题精选选择题:1.如图,CD是RtΔABC斜边上的高,AC = 4,BC = 3,则cos∠BCD的值是( )A.B.C. D.答案:D说明:因为CD⊥AB,所以∠BCD+∠B = 90º;又∠A+∠B = 90º,所以∠BCD =∠A;由BC = 3,AC = 4,得AB === 5,∴cos ∠BCD = cosA ==,所以答案为D.2.如图,以平面直角坐标系的原点为圆心,以1为半径作圆,若点P是该圆在第一象限内的一点,且OP与x轴正方向组成的角为α,则点P的坐标是( )A.(cosα,1)B.(1,sinα)C.(sinα,cosα)D.(cosα,sinα)答案:D说明:如图,作PA⊥x轴于点A;由锐角三角函数定义知,cosα =,sinα =,所以OA = OPcosα = cosα,PA = OPsinα,所以点P的坐标为(cosα,sinα),所以答案为D.3.如图,将矩形ABCD沿着对角线BD折叠,使点C落在C’处,BC’交AD于E,下列结论不一定成立的是( )A.AD = BC’B.∠EBD =∠EDBC.ΔABE与ΔBCD相似D.sin∠ABE =答案:C说明:因为ΔBC’D≌ΔBCD,所以BC’ = BC;又BC = AD,所以AD = BC’;因为AD//BC,所以∠EDB =∠CBD,而∠CBD =∠EBD,所以∠EDB =∠EBD,所以EB = ED;而sin∠ABE ==,所以A、B、D都是成立的,答案为C.4.如图,RtΔABC中,∠C = 90º,D为BC上一点,∠DAC = 30º,BD = 2,AB = 2,则AC的长是( )A. B.2 C.3D.答案:A说明:在RtΔACD中,因为∠CAD = 30º,设CD = x,因为tan∠DAC =,则AC =x,在RtΔABC中,由勾股定理得AB2= AC2+BC2= AC2+(CD+DB)2,即(2)2= (x)2+(x+2)2,∴x2+x−2 = 0,解得x1 = 1或x2 = −2(舍去),即DC = 1,AC =,答案为A.5.在RtΔABC中,∠C = 90º,如果∠A = 30º,那么sinA+cosB的值等于( )A.1 B. C.D.答案:A说明:因为在RtΔABC中,∠C = 90º,∠A = 30º,所以∠B = 60º,所以sinA = sin30º =,cosB = cos60º =,故sinA+cosB =+= 1,所以答案为A.6.在矩形ABCD中,BC = 2,AE⊥BD于E,∠BAE = 30º,那么ΔECD的面积是( )A.2 B. C.D.答案:C说明:如图,由题意得,ΔABE与ΔBDC相似,∴∠CBD =∠BAE = 30º,∴CD = BC•tan∠CBD = 2•=,AB = CD =,BE = AB•sin30º =×=,EF = BE•sin30º =×=,∴SΔECD = SΔBCD−SΔEBC =BC•CD−BC•EF =×2×−×2×=,答案为C.7.如图,两条宽度都是1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的夹角为α,则它们重叠部分(图中黄色部分)的面积为( )A. B.sinα C. D.cosα答案:C说明:如图,过点A作AN⊥CD于N,过点D作DM⊥BC于M,则AN = DM = 1,∠DCM =α,在RtΔDCM中,CD == ,所以S平行四边形ABCD = CD•AN =,答案为C.解答题:1.如果α是锐角,且cosα =,求sinα及tanα的值.分析:事实上,因为α为锐角,所以可构造一个RtΔABC,使∠C = 90º,∠A = α,则有AC = 4k,AB = 5k,由勾股定理得BC == 3k,从而可求sinα;还可直接用公式sinA =求解.解:构造RtΔABC,使∠A = α,∠C = 90º,如图,∵cosα = cosA =,∴可令AC = 4k,AB = 5k,∴BC == 3k,∴sinA ===,tanA ===,即sinα =,tanα =.2.若tan2x−(+1)tanx+= 0,求锐角x.分析:这是以tanx为未知数的一元二次方程,可先求出tanx,再求x.解:tan2x−(+1)tanx+= 0,(tanx−1)(tanx−) = 0,得tanx = 1或tanx =;当tanx = 1时,x = 45º;当tanx =时,x = 60º;∴x1 = 45º,x2 = 60º.。
初三锐角三角函数知识点总结、典型例题附带部分答案、练习(精选)
三角函数专项复习锐角三角函数知识点总结1、勾股定理:直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。
a 2 b 2c 22、以以下列图,在Rt △ABC 中,∠ C 为直角,则∠ A 的锐角三角函数为 ( ∠A 可换成∠ B):定 义 表达式取值范围关系正A 的对边 a 0 sin A 1sin A 斜边sin A(∠A 为锐角 )sin A cosB 弦ccos Asin B余A 的邻边 b 0 cos A 1sin 2 A cos 2 A 1cos A 斜边cos A(∠A 为锐角 )弦c正A 的对边atan A 0tan Atan A(∠A 为锐角 )切A 的邻边b3、随意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值; 随意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
由 A B 90 B得 B90A斜边c对a 边sin A cosBsin Acos(90A)bcos A sin Bcos A sin(90A)AC邻边4、 0°、 30°、 45°、 60°、 90°特别角的三角函数值 (重要 )三角函数0° 30°45°60°90°sin0 1 2 3 1 222cos13 2 1 02 22tan0 3 13-35 、正弦、余弦的增减性:当 0°≤≤ 90°时, sin 随 的增大而增大, cos 随的增大而减小。
6 、正切的增减性:当 0° < <90°时, tan随的增大而增大,7、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,此中必有一边)→全部未知的边和角。
依照:①边的关系:a2b2c2;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。
( 注意:尽量防范使用中间数据和除法)8、应用举例:(1)仰角:视野在水平线上方的角;俯角:视野在水平线下方的角。
新初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附答案
新初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附答案一、选择题1.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校外实践活动中对此睁开丈量活动.如图,在桥外一点 A 测得大桥主架与水面的交汇点 C 的俯角为α,大桥主架的顶端D 的仰角为β,已知丈量点与大桥主架的水平距离AB= a,则此时大桥主架顶端离水面的高CD为()a a A. asin α +asin βB. acos α +acos βC. atan α +atan βD.tan tan【答案】 C【分析】【剖析】在 Rt△ABD 和 Rt△ABC中,由三角函数得出 BC= atan α, BD= atan β,得出 CD=BC+BD=atan α +atan即β可.【详解】在 Rt△ABD 和 Rt△ABC中, AB= a, tan α=BC, tan β=BD,AB AB∴BC= atan α, BD= atan β,∴CD=BC+BD= atan α+atan β,应选 C.【点睛】本题考察认识直角三角形﹣仰角俯角问题;由三角函数得出BC 和BD 是解题的重点.2.公元三世纪,我国汉代数学家赵爽在讲解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如下图,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.假如大正方形的面积是 125,小正方形面积是 25,则sincos 2( )A.1B.5C.3 5D.9 5555【答案】 A 【分析】【剖析】依据正方形的面积公式可得大正方形的边长为角形的边角关系列式即可求解.【详解】解:∵大正方形的面积是 125,小正方形面积是∴大正方形的边长为 5 5 ,小正方形的边长为5 5 ,小正方形的边长为5,再依据直角三25,5,∴ 5 5 cos 5 5 sin5 ,∴cos sin 5 ,5∴ sin cos21.5应选: A.【点睛】本题考察认识直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积,难度适中,解题的重点是正确得出cos sin 5 .53.一个物体的三视图如下图,此中主视图和左视图是全等的等边三角形,俯视图是圆,依据图中所示数据,可求这个物体的表面积为()A B C D.. 2. 3.(31)【答案】 C【分析】【剖析】由三视图可知:该几何体是一个圆锥,其轴截面是一个高为 3 的正三角形.可计算边长为 2,据此即可得出表面积.【详解】解:由三视图可知:该几何体是一个圆锥,其轴截面是一个高为 3 的正三角形.∴正三角形的边长32 .sin 60∴圆锥的底面圆半径是1,母线长是2,∴底面周长为 2∴侧面积为12 2 2 ,∵底面积为 r 2,2∴全面积是 3 .应选: C . 【点睛】本题考察了圆锥的计算,正确理解圆锥的侧面睁开图与本来的扇形之间的关系是解决本题的重点,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.4.为了方便行人推车过某天桥 ,市政府在 10m 高的天桥一侧修筑了 40m 长的斜道示),我们能够借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,详细按键次序是 ( )(如图所A .B .C .D .【答案】 A【分析】【剖析】先利用正弦的定义获得sinA=0.25,而后利用计算器求锐角∠ A .【详解】解:由于 AC = 40, BC = 10, sin ∠ A = BC,AC 所以 sin ∠ A =0.25.所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时,按键次序为应选: A .点睛:本题考察了计算器 -三角函数:正确使用计算器,一般状况下,三角函数值直接能够求出,已知三角函数值求角需要用第二功能键.5.如图,为了丈量某建筑物30°,向 N 点方向行进 16mMN 的高度,在平川上 A 处测得建筑物顶端 M 的仰角为抵达 B 处,在 B 处测得建筑物顶端M 的仰角为 45°,则建筑物MN的高度等于 ( )A.8(31) m B.8(31)m C.16(31) m D.16(31)m 【答案】 A【分析】设 MN=xm ,在Rt△BMN 中,∵∠MBN=45°,∴BN=MN=x,在 Rt△AMN 中 ,tan ∠MAN=MN,ANx=3√3,∴tan30 °=16x解得: x=8( 3+1),则建筑物MN 的高度等于8( 3 +1)m;应选 A.点睛:本题是解直角三角形的应用,考察了仰角和俯角的问题,要明确哪个角是仰角,哪个角是俯角,知道仰角是向上看的视野与水平线的夹角,俯角是向下看的视野与水平线的夹角,并与三角函数相联合求边的长.6.如图,在矩形ABCD中E是CD的中点,EA均分BED, PE AE交BC于点P,连结 PA ,以下四个结论:①EB均分AEC ;② PA BE ;③AD3AB;2④ PB 2PC .此中结论正确的个数是()A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个【答案】 A【分析】【剖析】依据矩形的性质联合全等三角形的判断与性质得出△ADE≌△ BCE( SAS),从而求出△ABE 是等边三角形,再求出△AEP≌△ ABP( SSS),从而得出∠E AP=∠ PAB=30°,再分别得出AD 与 AB, PB与 PC的数目关系即可.【详解】解:∵在矩形ABCD中,点 E 是 CD 的中点,∴DE=CE,又∵ AD= BC,∠ D=∠ C,∴△ ADE≌△ BCE( SAS),∴AE= BE,∠ DEA=∠ CEB,∵EA 均分∠ BED,∴∠ AED=∠ AEB,∴∠ AED=∠ AEB=∠ CEB=60°,故:①EB 均分∠ AEC,正确;∴△ ABE 是等边三角形,∴∠ DAE=∠ EBC= 30°,AE= AB,∵PE⊥ AE,∴∠ DEA+∠ CEP= 90°,则∠ CEP= 30°,故∠ PEB=∠ EBP= 30°,则 EP= BP,又∵ AE= AB, AP= AP,∴△ AEP≌△ ABP( SSS),∴∠ EAP=∠ PAB= 30°,∴AP⊥BE,故②正确;∵∠ DAE= 30°,∴tan ∠ DAE=DE= tan30 °= 3 ,AD3∴AD=3DE 3CD ,,即 AD2∵AB= CD,∴③ AD 3AB 正确;2∵∠ CEP= 30°,∴CP=1EP,2∵EP= BP,∴CP=1BP,2∴④ PB= 2PC正确.综上所述:正确的共有4 个.应选: A .【点睛】本题主要考察了四边形综合,全等三角形的判断与性质,等边三角形的判断与性质,含 30度角的直角三角形性质以及三角函数等知识,证明△ABE 是等边三角形是解题重点.7.如图,在 x 轴的上方,直角∠ BOA 绕原点 O 按顺时针方向旋转 .若∠ BOA 的两边分别与1 、 y2 )函数 y的图象交于 B 、 A 两点,则∠ OAB 大小的变化趋向为( xxA .渐渐变小B .渐渐变大C .时大时小D .保持不变【答案】 D 【分析】 【剖析】如图,作协助线;第一证明△BEO ∽△ OFA ,,获得BEOE;设 B 为( a ,1 ),A 为OF AFa( b , 2),获得 OE=-a , EB= 1b a, OF=b , AF= 2 ,从而获得 a 2 b 2 2 ,此为解决问题的关b键性结论;运用三角函数的定义证明知tan ∠ OAB=2为定值,即可解决问题.2【详解】解:分别过 B 和 A 作 BE ⊥ x 轴于点 E , AF ⊥x 轴于点 F ,则△BEO ∽△ OFA ,∴BE OE , OF AF设点 B 为( a ,1a), A 为( b , 2), b则 OE=-a , EB= 1, OF=b , AF= 2,ab可代入比率式求得2 22 ,即 a22 ,a bb 2OB=22212224依据勾股定理可得: OE EBa2 ,OA=OFAFb2,aba212b2142)∴tan ∠ OAB= OBa2b2 2 =(2b2b4=2OA242422b b2b b2b b2∴∠ OAB 大小是一个定值,所以∠OAB 的大小保持不变 .应选 D【点睛】该题主要考察了反比率函数图象上点的坐标特点、相像三角形的判断等知识点及其应用问题;解题的方法是作协助线,将分别的条件集中;解题的重点是灵巧运用相像三角形的判断等知识点来剖析、判断、推理或解答.8.将直尺、有直尺的交点,60°角的直角三角板和光盘如图摆放,AB=4,则光盘表示的圆的直径是()A 为60°角与直尺的交点,B 为光盘与A.4B.83C.6D.43【答案】 B【分析】【剖析】设三角板与圆的切点为C,连结 OA、 OB,依据切线长定理可得AB=AC=3,∠ OAB=60°,然后依据三角函数,即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C,连结 OA、 OB,由切线长定理知,AB=AC=3, AO 均分∠ BAC,∴∠ OAB=60°,在 Rt△ABO 中, OB=ABtan∠ OAB=4 3 ,∴光盘的直径为8 3 .应选: B.【点睛】本题主要考察了切线的性质,解题的重点是娴熟应用切线长定理和锐角三角函数.9.如图,某地修筑高速公路,要从 A 地向B地修一条地道(点 A ,B在同一水平面上).为了丈量 A ,B两地之间的距离,一架直升飞机从 A 地腾飞,垂直上涨1000米到达 C处,在C 处察看 B 地的俯角为,则AB 两地之间的距离约为()A.1000sin米B.1000tan米C.1000 米D. 1000 米tan sin【答案】 C【分析】【剖析】在 Rt△ABC中,∠ CAB=90°,∠ B=α, AC=1000 米,依据tan AC,即可解决问题.AB【详解】解:在 Rt ABC 中,∵CAB 90o,B, AC1000 米,∴ tan AC ,AB∴ ABAC1000米.tantan应选: C.【点睛】本题考察解直角三角形的应用 -仰角俯角问题,解题的重点是娴熟掌握基本知识,属于中考常考题型.10.如下图,Rt AOB中,AOB90 ,极点A, B分别在反比率函数y1x 0x与 y5x 0 的图象器上,则tan BAO 的值为()xA .5B . 5C .2 5D . 1055【答案】 B【分析】【剖析】过 A 作 AC ⊥ x 轴,过 B 作 BD ⊥ x 轴于 D ,于是获得∠ BDO=∠ ACO=90°,依据反比率函数的性质获得 S △BDO = 5, S △AOC = 1,依据相像三角形的性质获得=OB5 ,依据三角函数的22 OA定义即可获得结论.【详解】解:过 A 作 AC ⊥ x 轴,过 B 作 BD ⊥x 轴于 D ,则∠ BDO=∠ACO=90°,∵极点 A , B 分别在反比率函数 y1x 0 与 y5x 0的图象上,xx∴S △BDO = 5, S △AOC = 1,22∵∠ AOB=90°,∴∠ BOD+∠DBO=∠ BOD+∠ AOC=90°,∴∠ DBO=∠AOC ,∴△ BDO ∽△ OCA ,∴ S △BOD2OB 5 1 5 ,S△OACOA2 2∴ OB5 ,OA∴tan ∠ BAO=OB5 .OA应选 B.【点睛】本题考察了反比率函数的性质以及直角三角形的性质,三角形相像的判断和性质.解题时注意掌握数形联合思想的应用,注意掌握协助线的作法.11.如图,在 Rt△ABC 内有边长分别为 a, b, c 的三个正方形.则 a、 b、 c 知足的关系式是()A. b=a+c B. b=ac C. b2=a2+c2D. b=2a=2c【答案】 A【分析】【剖析】利用解直角三角形知识.在边长为 a 和 b 两正方形上方的两直角三角形中由正切可得a b cb a c【详解】,化简得b= a+ c,应选 A.请在此输入详解!12.如图,VABC中,ACB 90 , O 为 AB 中点,且 AB 4 , CD , AD 分别均分ACB 和CAB ,交于D点,则OD的最小值为().A.1B.2D.22 2C.212【答案】 D 【分析】【剖析】依据三角形角均分线的交点是三角形的心里,获得DO 最小时, DO 为三角形 ABC 内切圆的半径,联合切线长定理获得三角形为等腰直角三角形,从而获得答案.【详解】解: Q CD,AD分别均分ACB 和CAB ,交于D点,∴D 为ABC的心里,OD 最小时,OD为ABC 的内切圆的半径,DO AB,过D作DE AC, DF BC , 垂足分别为 E,F ,DE DF DO ,四边形 DFCE 为正方形,QO为 AB的中点,AB 4,AO BO2,由切线长定理得: AO AE 2, BO BF 2, CE CF r ,AC BC AB ?sin 45 2 2,CE AC AE 222,Q 四边形DFCE为正方形,CE DE,OD CE22 2,应选 D.【点睛】本题考察的动向问题中的线段的最小值,三角形的心里的性质,等腰直角三角形的性质,锐角三角函数的计算,掌握有关知识点是解题重点.13.已知圆锥的底面半径为5cm,侧面积为260π cm,设圆锥的母线与高的夹角为θ,则sin θ的值为()3 5 5 12 A .B .C .D .13131213【答案】 C 【分析】【剖析】先求出圆锥底面周长可获得圆锥侧面睁开图扇形的弧长,再利用扇形面积公式1 Slr 可2求出母线的长,最后利用三角函数即可求出答案.【详解】解:∵圆锥底面周长为 2 5 10 ,且圆锥的侧面积为 60π,2 60 ,∴圆锥的母线长为1210∴sin θ=5.12应选 C. 【点睛】本题考察了圆锥和三角函数的有关知识 .利用所学知识求出圆锥母线的长是解题的重点 .14. 一艘轮船从港口 O 出发,以15 海里 / 时的速度沿北偏东 60°的方向航行4 小时后抵达 A处,此时观察到其正西方向50 海里处有一座小岛B .若以港口 O 为坐标原点,正东方向为x 轴的正方向,正北方向为y 轴的正方向,1 海里为 1 个单位长度成立平面直角坐标系(如图),则小岛B 所在地点的坐标是()A . (30 3 -50, 30)B . (30, 30 3 -50)C . (30 3 , 30)D . (30, 30 3 )【答案】 A【分析】【剖析】【详解】解: OA=15×4=60海里,∵∠ AOC=60°,∴∠ CAO=30°,∵s in30°= OC=1,AO 2∴C O=30 海里,∴A C=30 3海里,∴B C=( 30 3-50)海里,∴B( 30 3 -50,30).应选 A【点睛】本题考察掌握锐角三角函数的应用.15.如图,等边V ABC边长为a,点O是V ABC的心里,FOG 120 ,绕点 O 旋转FOG ,分别交线段 AB 、 BC 于D、 E 两点,连结DE,给出以下四个结论:① VODE 形状不变;② VODE 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一;③四边形 ODBE 的面积一直不变;④VBDE周长的最小值为 1.5a .上述结论中正确的个数是()A.4B.3C.2D.1【答案】 A【分析】【剖析】连结 OB、 OC,利用 SAS证出△ODB≌△ OEC,从而得出△ODE是顶角为 120°的等腰三角形,即可判断①;过点 O 作 OH⊥ DE,则 DH=EH,利用锐角三角函数可得OH= 1OE 和2△ODE 32,从而得出OE 最小时,S△ODE最DE= 3 OE,而后三角形的面积公式可得S =OE4小,依据垂线段最短即可求出S△ODE的最小值,而后证出S四边形 ODBE=S△OBC 3 2即可判断=a12② 和③ ;求出 VBDE 的周长 =a + DE ,求出 DE 的最小值即可判断 ④ .【详解】解:连结 OB 、OC∵ V ABC 是等边三角形,点 O 是 V ABC 的心里,∴∠ ABC=∠ ACB=60°, BO=CO , BO 、 CO 均分∠ ABC 和∠ ACB∴∠ OBA=∠ OBC=1 ∠ ABC=30°,∠ OCA=∠ OCB=1∠ ACB=30°22∴∠ OBA=∠ OCB ,∠ BOC=180°-∠ OBC -∠ OCB=120°∵FOG 120∴ FOG ∠ BOC∴∠ FOG -∠ BOE=∠ BOC -∠ BOE∴∠ BOD=∠COE在△ODB 和△OEC 中BOD COE BO CO OBDOCE∴△ ODB ≌△ OEC∴OD=OE∴△ ODE 是顶角为 120°的等腰三角形,∴ VODE 形状不变,故 ① 正确;过点 O 作 OH ⊥DE ,则 DH=EH∵△ ODE 是顶角为 120°的等腰三角形∴∠ ODE=∠ OED=1( 180°- 120°) =30°2∴OH=OE ·sin ∠ OED=1 3OE , EH= OE ·cos ∠ OED=OE22∴DE=2EH=3 OE∴S △ODE = 1 DE ·OH= 3 OE 224∴ OE最小时,S △ODE 最小,过点 O 作 OE ′⊥ BC 于 E ′,依据垂线段最短, OE ′即为 OE 的最小值∴BE ′=1 BC=1a22在 Rt △OBE ′中OE ′ =BE ′·∠ OBEtan ′= 1= 3 aa × 3236S △ 32 3 2 ∴ ODE 的最小值为 4 OE ′= a48 ∵△ ODB ≌△ OEC1 32∴S 四边形 ODBE =S △ODB + S △OBE = S △OEC +S △OBE =S △OBC = BC · OE ′=a212∵3 2 1×3248a=a4 121∴S △ODE ≤ S 四边形 ODBE4即 VODE 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一,故 ② 正确;∵S 四边形 ODBE = 3 a 212∴四边形 ODBE 的面积一直不变,故 ③ 正确;∵△ ODB ≌△ OEC∴DB=EC∴ VBDE 的周长 =DB +BE + DE= EC + BE + DE=BC + DE=a +DE∴DE 最小时 VBDE 的周长最小∵ D E= 3 OE∴OE 最小时, DE 最小而 OE 的最小值为 OE ′= 3a6∴DE 的最小值为 3 × 3a = 1 a62∴ VBDE 的周长的最小值为a + 1a =1.5a ,故 ④ 正确;2综上: 4 个结论都正确,应选 A .【点睛】本题考察的是等边三角形的性质、全等三角形的判断及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用,掌握等边三角形的性质、全等三角形的判断及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决本题的重点.16. 如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 订交于点 O , AB : BC = 2: 1,且 BE ∥ AC , CE ∥DB,连结 DE,则 tan ∠ EDC=()11C.23A.B.6D.4610【答案】 B【分析】【剖析】过点 E 作 EF⊥直线 DC 交线段 DC 延伸线于点 F,连结 OE 交 BC 于点 G.依据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形,则OE与 BC垂直均分,易得EF=1 x,2CF=x.再由锐角三角函数定义作答即可.【详解】解:∵矩形ABCD的对角线AC、BD 订交于点O, AB: BC= 2: 1,∴BC= AD,设 AB= 2x,则 BC= x.如图,过点 E 作 EF⊥直线 DC 交线段 DC延伸线于点F,连结 OE交 BC于点 G.∵BE∥AC, CE∥BD,∴四边形BOCE是平行四边形,∵四边形ABCD是矩形,∴OB= OC,∴四边形BOCE是菱形.∴OE 与 BC 垂直均分,∴E F=1AD=1x, OE∥ AB,22∴四边形AOEB是平行四边形,∴OE=AB= 2x,∴C F=1OE= x.2∴tan ∠ EDC=EF=1x=12.DF2x6x应选: B.【点睛】本题考察矩形的性质、平行四边形的判断与性质、菱形的判断与性质以及解直角三角形,解题的重点是娴熟掌握矩形的性质和菱形的判断与性质,属于中考常考题型.17.如图, AB 是⊙ O 的直径,弦CD⊥AB 于 E 点,若 AD CD 2?3.则BC的长为()A.2C.3D.2 3B.3333【答案】 B 【分析】【剖析】依据垂径定理获得CE DE3, ??OD=2,BC BD,∠ A=30°,再利用三角函数求出即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图:连结OD,∵AB 是⊙ O 的直径,弦CD⊥AB于 E 点, AD CD2 3 ,∴CE DE3, ??BC BD,∠ A=30°,∴∠ DOE=60°,∴OD=DE2,sin 60o∴?的长= ?的长 =6022 BC BD180,3应选: B.【点睛】本题考察垂径定理,三角函数,弧长公式,圆周角定理,是一道圆的综合题.18.已知 B 港口位于 A 观察点北偏东45°方向,且其到A 观察点正寒风向的距离BM 的长为102 km,一艘货轮从 B 港口沿如下图的BC 方向航行 47 km抵达C处,测得C处位于 A 观察点北偏东75°方向,则此时货轮与 A 观察点之间的距离AC的长为()km.A.83B.93C.63D.73【答案】 A【分析】【剖析】【详解】解:∵∠ MAB=45°, BM=102 ,∴AB= BM2MA2 = (10 2)2(10 2) 2=20km,过点 B 作 BD⊥ AC,交 AC 的延伸线于D,在 Rt△ADB 中,∠ BAD=∠ MAC﹣∠ MAB=75° ﹣45°=30°,BD= 3 ,tan∠ BAD=AD3∴AD= 3 BD, BD2 +AD2 =AB2,即 BD2+(3 BD)2=202,∴BD=10,∴ AD=10 3,在 Rt△BCD中, BD2+CD2=BC2,BC=4 3,∴ CD=2 3,∴AC=AD﹣ CD=10 3﹣ 2 3 =8 3 km,答:此时货轮与 A 观察点之间的距离AC 的长为 83 km.应选 A.【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.19.在Rt△ABC中,∠C= 90°,假如∠A=α, BC=a,那么AC 等于()A. a?tan αB. a?cot α【答案】 B【分析】【剖析】画出图形,依据锐角三角函数的定义求出即可【详解】如图,∠ C= 90°,∠ A=α, BC= a,C. a?sin .αD. a?cos α∵cot αAC,BC∴AC=BC?cotα= a?cot α,应选: B.【点睛】本题考察了锐角三角函数的定义的应用,在直角三角形中,锐角的正弦是角的对边与斜边的比;余弦是角的邻边与斜边的比;正切是对边与邻边的比;余切是邻边与对边的比;娴熟掌握三角函数的定义是解题重点 .20.如图,△ABC的外接圆是⊙ O,半径 AO=5, sinB= 2,则线段AC 的长为()5A.1B.2C.4D.5【答案】 C【分析】【剖析】第一连结CO并延伸交⊙ O 于点 D,连结 AD,由 CD是⊙ O 的直径,可得∠CAD=90°,又由⊙O 的半径是 5, sinB= 2,即可求得答案.5【详解】解:连结CO并延伸交⊙ O 于点 D,连结 AD,由 CD 是⊙ O 的直径,可得∠ CAD=90°,∵∠ B 和∠ D 所对的弧都为弧 AC ,∴∠ B=∠D ,即 sinB=sinD= 2,5∵半径 AO=5, ∴CD=10,AC AC 2 ∴ sin D10,CD5∴AC=4,应选: C.【点睛】本题考察了同弧所对的圆周角相等,以及三角函数的内容,注意到直径所对的圆周角是直角是解题的重点 .。
用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案11页)
用锐角三角函数概念解题的常见方法知识要点1.锐角三角函数(1)锐角三角函数的定义我们规定:sinA=ac,cosA=bc,tanA=ab,cotA=ba.锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数.(2)用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算,甚至可以背诵下来,但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢?用计算器可以帮我们解决大问题.①已知角求三角函数值;②已知三角函数值求锐角.2αsinαcosαtanαcotα30º123233345º22221 160º3212333直角三角形中,30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半. 3.锐角三角函数的性质(1)0<sinα<1,o<cosα<1(0°<α<90°)(2)tan α·cot α=1或tan α=1cot α; (3)tan α=sin cos αα,cot α=cos sin αα. (4)sin α=cos (90°-α),tan α=cot (90°-α).方法点拨有关锐角三角函数的问题,常用下面几种方法: 一、设参数例1. 在ABC ∆中,︒=∠90C ,如果125tan =A ,那么sinB 的值等于( ) 512.125.1312.135.D C B A 解析:如图1,要求sinB 的值,就是求AB AC 的值,而已知的125tan =A ,也就是125=AC BC 可设k AC k BC 125==, 则k k k AB 13)12()5(22=+=13121312sin ==∴k k B ,选B 二、巧代换例2. 已知3tan =α,求ααααcos sin 5cos 2sin +-的值。
解析:已知是正切值,而所求的是有关正弦、余弦的值,我们可以利用关系式3cos sin tan ==ααα,作代换ααcos 3sin =,代入即可达到约分的目的,也可以把所求的分式的分子、分母都除以αcos 。
锐角三角函数(含答案)
一、基础知识1、1、利用计算器求锐角三角三角函数值。
如求sin63゜52′41″的值.(精确到0.0001)先用如下方法将角度单位状态设定为“度”:再按下列顺序依次按键:显示结果为0.897 859 012.所以sin63゜52′41″≈0.89792、利用计算器根据锐角三角函数值求锐角。
如已知tan x=0.7410,求锐角x.(精确到1′)在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示出),按下列顺序依次按键:显示结果为36.538 445 77.再按键:显示结果为36゜32′18.4. 所以,x≈36゜32′注意:利用计算器求锐角三角函数值或已知锐角三角函数值求相应的锐角时,不同的计算器操作步骤有所不同。
二、重难点分析重点:用计算器求任意角的三角函数值。
难点:由锐角三角函数值求锐角:例1:如图,工件上有一个V形槽,测得它的上口宽20mm,深19.2mm,求V形角(∠ACB)的大小(结果精确到1°)三、中考感悟(2014•tan56°≈。
(结果精确到0.01)四、专项训练(一)基础练习1、用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是()A. 0.90B. 0.72C. 0.69D. 0.66【答案】B2、按键,使科学记算器显示回后,求sin90°的值,以下按键顺序正确的是()3、用计算器求下列各式的值:(1)sin47°;(2)sin12°30′;(3)cos25°18′;(4)tan44°59′59″;(5)sin18°+cos55°-tan59°(3)cos25°18′=0.9003;(4)tan44°59′59″=1.0000;(5)sin18°+cos55°-tan59=-0.7817.4、利用计算器求下列各角(精确到1″)(1)sinA=0.75,求A;(2)cosB=0.888 9,求B;(3)tanC=45.43,求C;(4)tanD=0.974 2,求D.6、用计算器验证,下列不等式中成立的是()A.sin37°24′>cos37°24′+cos3°10′B.cos45°32′>sin45°-sin1°12′C.sin63°47′<cos18°21′-cos87°D.2sin30°12′<sin60°24′【解析】使用计算器分别对各选项进行计算,只有B正确.【答案】B(二)提升练习7、先用计算器求:sin20°≈,sin40°≈,sin60°≈,sin80°≈,再按从小到大的顺序用“<”把sin20°,sin40°,sin60°,sin80°连接起来:.归纳:正弦值,角大值。
初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附答案解析
解:延长PQ交直线AB于点E,设PE=x.
在直角△APE中,∠A=45°,
AE=PE=x;
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中,BE= PE= x,
∵AB=AE-BE=6米,
则x- x=6,
解得:x=9+3 .
则BE=3 +3.
在直角△BEQ中,QE= BE= (3 +3)=3+ .
∴DE=BD•tan30°=1,
故选:A.
【点睛】
此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用,解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
7.如图,AB是垂直于水平面的建筑物.为测量AB的高度,小红从建筑物底端B点出发,沿水平方向行走了52米到达点C,然后沿斜坡CD前进,到达坡顶D点处, .在点D处放置测角仪,测角仪支架DE高度为0.8米,在E点处测得建筑物顶端A点的仰角 为 (点A,B,C,D,E在同一平面内).斜坡CD的坡度(或坡比) ,那么建筑物AB的高度约为()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析,从而得到答案
【详解】
∵菱形ABCD的周长为20cm
∴AD=5cm
∵sinA=
∴DE=3cm(①正确)
∴AE=4cm
∵AB=5cm
∴BE=5﹣4=1cm(②正确)
∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2(③正确)
【详解】
解:由作法得AE垂直平分CD,
∴∠AED=90°,CE=DE,
∵四边形ABCD为菱形,
∴AD=2DE,
锐角三角函数的技巧及练习题含答案
∴ AD BD , ∴ BOD AOD 2ACD 30 , ∴ AOB 60 , ∵ OA OB ,
∴ AOB 是等边三角形,
∵ AE 3, ∴ OE AE tan 60 3 3 ,
故选 D. 【点睛】 本题考查圆周角定理,勾股定理,垂径定理,解直角三角形等知识,解题的关键是熟练掌 握基本知识,属于中考常考题型.
∴BE= 1 AB=2,∠BEF=90°, 2
∵把纸片展平,再一次折叠纸片,使点 A 落在 EF 上的点 A’处,并使折痕经过点 B, ∴A′B=AB=4,∠BA′M=∠A=90°,∠ABM=∠MBA′, ∴∠EA′B=30°, ∴∠EBA′=60°, ∴∠ABM=30°,
∴在 Rt△ABM 中,AB=BM cos∠ABM,即 4=BM cos30°,
解:连接 BD ,如图,
AB 为直径,
ADB ACB 90 , AD CD,
DAC DCA,
而 DCA ABD ,
DAC ABD , ∵DE⊥ AB ,
ABD BDE 90 ,
而 ADE BDE 90 , ABD ADE , ADE DAC ,
FD FA 5 , 在 RtAEF 中, sin CAB EF 3 ,
锐角三角函数的技巧及练习题含答案
一、选择题
1.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 P, 连接 AC,若∠A=30°,PC=3,则⊙O 的半径为( )
A. 3
【答案】A 【解析】 连接 OC,
B.2 3
C. 3 2
D. 2 3 3
∵OA=OC,∠A=30°, ∴∠OCA=∠A=30°, ∴∠COB=∠A+∠ACO=60°, ∵PC 是⊙O 切线, ∴∠PCO=90°,∠P=30°, ∵PC=3,
锐角三角函数的技巧及练习题附答案解析
【分析】
根据特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】
解:原式 .
故选A.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值,解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值.
8.如图,在 中, , , 为 边上的中线, 平分 ,则 的值()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线定理可得AE:BE=AC:BC=3:4,进而求得AE= AB,再由点D为AB中点得AD= AB,进而可求得 的值.
∴BO′=4 ,CO′=4,
∴BC=AB= ,
∵AC=8,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∴CP=BC×sin60°=8× =4 ,BP=4,
BN=4x,BM=2x,
, ,
∴ ,
又∵∠NBM=∠CBP,
∴△NBM∽△CBP,
∴∠NMB=∠CPB=90°,
∴ ;
∴ ,
即y= ,
当2<x⩽4时,作NE⊥AB,垂足为E,
【详解】
解:∵ 平分 ,
∴点E到 的两边距离相等,
设点E到 的两边距离位h,
则S△ACE= AC·h,S△BCE= BC·h,
∴S△ACE:S△BCE= AC·h: BC·h=AC:BC,
又∵S△ACE:S△BCE=AE:BE,
∴AE:BE=AC:BC,
∵在 中, , ,
∴AC:BC=3:4,
∴AE:BE=3:4
∴
在Rt△ADC中,DC2=AC2﹣AD2,
∴
即a2+c2=b2+ac,
∴
故选C.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容.在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法.
九年级下《锐角三角函数》专项训练含答案.docx
九年级下《锐角三角函数》专项训练含答案专训 1求锐角三角函数值的常用方法名师点金:锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系,对于斜三角形,要把它转化为直角三角形求解.在求锐角的三角函数值时,首先要明确是求锐角的正弦值,余弦值还是正切值,其次要弄清是哪两条边的比.直接用锐角三角函数的定义1.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若CD=5,AC=6,(第 1 题)则 tan B 的值是 ()43A.5B.534C.4D.32.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan∠3BAD =4,求 sin C 的值.(第 2 题)133.如图,直线y=2x+2与x轴交于点A,与直线y=2x交于点B.(1)求点 B 的坐标;(2)求 sin∠BAO 的值.(第 3 题)利用同角或互余两角三角函数间的关系.若∠A 为锐角,且sin A=3,则 cos A= ()42321 A.1 B. 2 C. 2 D.2125.若α为锐角,且cosα=13,则sin(90°-α)=()512512A.13B.13C.12D. 56.若α为锐角,且sin2α+cos230°=1,则α=______.巧设参数47.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=5,则tan B的值为()4334A.3B.4C.5D.58.已知,在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边长分别为a,b,c,且a,b,c 满足 b2= (c+a)(c-a).若 5b- 4c=0,求 sin A+sin B 的值.利用等角来替换9.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB的中线,过点A 作AE ⊥CD,AE 分别与 CD, CB 相交于点 H,E 且 AH =2CH,求 sin B 的值.(第 9 题)专训 2同角或互余两角的三角函数关系的应用名师点金:2α=1,tan α=sinα.同角三角函数关系:21sinα+cos.cos α2.互余两角的三角函数关系: sin α=cos(90 °-α),cos α=sin(90 °-α),tan α·tan(90 °-α)=1.同角间的三角函数的应用sin A=4,求sin A -3cos A1.已知cos A4sin A +cos A的值.22.若α为锐角,sinα-cosα=2,求sinα+cosα的值.余角的三角函数的用3.若45°-α和45°+α均角,下列关系式正确的是()A.sin(45 °-α)=sin(45 °+α)22B.sin (45 °-α)+cos (45 °+α)=122C.sin (45 °-α)+sin (45 °+α)=122D.cos (45 °-α)+sin (45 °+α)=14.算tan 1°·tan 2°·tan 3°·⋯·tan 88°·tan 89°的.同角的三角函数的关系在一元二次方程中的用125.已知sinα·cosα=25(α 角),求一个一元二次方程,使其两根分sin α和 cos α.26 .已知α角且sinα 是方程2x - 7x + 3 = 0 的一个根,求3用三角函数解与有关名点金:用三角函数解与有关的,是近几年中考命内容,型多化;一般以中档、形式出,高度重.一、1.如,已知△ABC的外接⊙O的半径3,AC=4,sin B=() 1342A.3B.4C.5D.3(第 1 )(第 2 )2.如是以△ABC的AB直径的半O,点C恰好在半上,C作CD ⊥AB 交 AB于D,已知∠ACD=3,BC=4, AC 的 ()cos52016A.1 B. 3C.3 D. 343.在△ABC中, AB = AC =5,sin B= 5.⊙O 过B,C 两点,且⊙O 半径r =10,则OA的长为 ()A.3 或5B. 5C.4 或 5D. 44.如图,在半径为 6 cm 的⊙ O 中,点 A 是劣弧 BC 的中点,点 D 是优弧BC 上一点,且∠ D=30°.下列四个结论:(第 4 题)①OA⊥BC;②BC=6 3 cm;3③sin∠AOB =2;④四边形 ABOC 是菱形.其中正确结论的序号是 ()A.①③ B.①②③④ C.②③④ D.①③④二、填空题5.如图,AB是⊙O的直径,AB=15,AC=9,则tan∠ADC=________.(第 5 题)(第 6 题)6.如图,直线MN与⊙O相切于点M,ME=EF且EF∥MN,则cos E=________.7.如图,在半径为5的⊙O中,弦AB=6,点C是优弧AB上的一点(不与A, B 重合 ),则 cos C 的值为 ________.(第 7 题)(第 8 题)8.如图,在直角坐标系中,四边形OABC是直角梯形,BC∥OA,⊙P分别与 OA ,OC, BC 相切于点 E,D, B,与 AB 交于点 F,已知 A(2 ,0), B(1,2),则 tan∠FDE=________.三、解答题19.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,tan B=2,半径为 2 的⊙ C 分别交 AC ,BC 于点 D, E,得到 .(1)求证: AB 为⊙ C 的切线;(2)求图中阴影部分的面积.(第 9 题)10.如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.(1)求证: AT 是⊙ O 的切线;(2)连接 OT 交⊙ O 于点 C,连接 AC ,求 tan∠TAC 的值.(第 10 题 )11.如图,AB是⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,与AB的延长线交于点D,DE⊥AD 且与 AC 的延长线交于点 E.(1)求证: DC=DE;1(2)若 tan∠CAB =2,AB =3,求 BD 的长.(第 11 题 )12.如图,以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC,BC的交点分别为 D, E,且= .(1)试判断△ ABC 的形状,并说明理由;(2)已知半圆的半径为5,BC=12,求 sin∠ABD 的值.(第 12 题 )13.如图,在四边形 ABCD 中,AB =AD ,对角线 AC ,BD 交于点 E ,点 O3在线段 AE 上,⊙ O 过 B , D 两点,若 OC = 5, OB = 3,且 cos ∠BOE =5.求证: CB 是⊙ O 的切线.(第 13 题 )答案专训 1 1.CBD2.解: ∵AD ⊥BC ,∴ tan ∠BAD =AD .∵ t an ∠BAD =34,AD =12,∴34=BD12 ,∴ BD = 9. ∴CD =BC -BD = 14- 9=5,∴在 Rt △ADC 中, AC = AD 2+CD 2= 122+ 52=13,AD 12∴sin C =AC =13.13y = x + ,x =1,3.解: (1)解方程组2 2得y =2x ,∴点 B 的坐标为 (1, 2).(第 3 题)13(2)如图,过点 B 作 BC ⊥x 轴于点 C ,由 2x + 2= 0,解得 x =- 3,则 A( -3,0),∴ OA =3, ∴AB = AC 2+BC 2=2 5,∴ sin ∠ BAC =BC= 2 = 5, AB2 5 55即 sin ∠BAO = 5 .4.D 5.B 6.30° 7.B8.解: ∵b 2=(c + a)(c -a),∴ b 2 =c 2-a 2,即 c 2=a 2+b 2,∴△ ABC 是直角三角形.∵5b -4c =0,∴ 5b =4c ,则bc =45,设 b = 4k ,c =5k ,那么 a = 3k.3k 4k 7∴sin A +sin B = 5k +5k = 5.9.解: ∵CD 是斜边 AB 的中线, ∴CD =AD = BD. ∴∠ DCB =∠ B.∵∠ ACD +∠ DCB =90°,∠ ACD +∠ CAH =90°, ∴∠ DCB =∠ CAH =∠ B.在 Rt △ACH 中, AH = 2CH ,CH5∴AC = 5CH.∴sin B =sin ∠CAH =5CH = 5 .专训 2sin Acos A , 1.分析: 本题可利用 cos A 求解,在原式的分子、分母上同时除以sin Asin A= 4,把原式化为关于 cos A 的代数式,再整体代入求解即可.也可直接由cos A 得到 sin A 与 cos A 之间的数量关系,代入式子中求值.sin A -3解: (方法 1)原式= (sin A -3cos A )÷cos A = cos A (4sin A +cos A )÷cos A 4sin A .+1cos A sin A4- 3 1∵cos A = 4,∴原式= × += 17.441方法 sin A=4,∴ sin A =4cos A.(2)∵ cos A4cos A - 3cos A cos A1=17cos A=17.∴原式=4×4cos A+cos A2.分析:要求 sin α+cos α的 , 必 利用 角三角函数之 的关系找出它与已知条件的关系再求解.解: ∵sin α- cos α= 2 2 12 ,∴ (sin α-cos α)=2,即 sin 2α+ cos 2α- 2sin αcos α=12.11∴1-2sin αcos α=2,即 2sin αcos α=2.2221 3α+ 2sin αcos α=1+2= 2.∴(sin α+cos α)=sin α+cos 又∵ α 角,∴ sin α+cos α>0.∴ s in α+cos α= 26.3.C 点 : ∵(45 °-α)+(45 °+α)=90°,∴ sin (45 °- α)=cos (45 °+α), sin 2(45 °-α)+sin 2(45 °+ α)=cos 2(45 °+α)+sin 2(45 °+α)=1.4.解: tan 1°·tan 2°·tan 3°·⋯·tan 88°·tan 89°= (tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan88°)·⋯·(tan 44 °·tan 46 °)·tan 45 °=1.点 :互余的两角的正切 的 1,即若 α+β= 90°, tan α·tan β= 1.5.解: ∵sin 2α+ cos 2α=1,sin α·cos α=1225,2 2 21249∴(sin α+cos α)=sin α+cos α+ 2sin αcos α=1+2× 25=25.7∵α 角,∴ sin α+ cos α> 0.∴sin α+cos α=5.又∵ sin α·cos α=1225,2 712∴以 sin α, cos α 根的一元二次方程x - 5x +25=0.点 :此 用到两方面的知 : (1)公式 sin 2α+cos 2α=1 与完全平方公式的 合运用; (2)若 x 1+x 2 =p ,x 1x 2= q , 以 x 1 ,x 2 两根的一元二次方程 x 2 - px +q =026.解: ∵sin α是方程 2x -7x + 3= 0 的一个根,-(- 7) ± (- 7)2- 4× 2× 37±5 sin α=2× 2= 4.∴sin α=1或 sin α=3(不符合 意,舍去 ).22221 2 3∵sin α+cos α= 1,∴ cos α=1- 2 =4.3又∵ cos α> 0,∴ cos α= 2 .∴ 1-2sin αcos α= sin 2α+cos 2α- 2sin αcos α=21 33- 1(sin α-cos α) =|sin α-cos α|= 2-2 =2 .专训 3 一、 1.D2.D 点拨:∵AB 为直径, ∴∠ ACB = 90°.又∵ CD ⊥ AB ,∴∠ B =∠ ACD.BC 3 20 2 2 16∴ cos B =AB =5,∴ AB =3 .∴AC = AB -BC = 3 .3.A 4.B3 141二、 5.4 6.2 7.5 8.2三、(第 9 题)AC9.(1)证明:如图,过点 C 作 CF ⊥AB 于点 F ,在 Rt △ABC 中, tan B =BC=12,∴ BC =2AC = 2 5.∴ AB = AC 2+BC 2= ( 5)2+( 2 5)2= 5,∴ CF· 5×2 5= AC BC==2.∴ AB 为⊙ C 的切线.AB 51 n πr2 1 90π× 22(2)解: S 阴影 =S △ABC -S 扇形 CDE =2AC ·BC - 360 =2× 5× 2 5- 360 =5- π.10. (1)证明: ∵ AB =AT ,∴∠ ABT =∠ ATB = 45°,∴∠ BAT =90°,即 AT 为⊙ O 的切线.AT(2)解:如图,过点 C 作 CD ⊥AB 于 D ,则∠ TAC =∠ ACD ,tan ∠ TOA = AO= CD OD = 2,设 OD =x ,则 CD = 2x ,OC = 5x = OA. ∵AD =AO - OD =( 5-1)x ,∴ tan ∠TAC =tan ∠ACD =AD( 5-1)x=5-1=2x2 .CD(第 10 题 )(第 11 题 )11. (1)证明:连接 OC ,如图,∵ CD 是⊙ O 的切线,∴∠ OCD = 90°,∴∠ ACO +∠ DCE = 90°.又∵ ED ⊥ AD ,∴∠ EDA =90°,∴∠ EAD +∠ E =90°.∵OC =OA ,∴∠ ACO =∠ EAD ,故∠ DCE =∠ E ,∴ DC =DE.(2)解:设 BD =x ,则 AD =AB +BD =3+x ,OD =OB + BD = 1.5+ x.在 Rt1 1 1 1△ EAD 中,∵tan ∠CAB =2,∴ED =2AD = 2(3+ x) .由(1)知,DC =2(3+x).在Rt △ OCD 中,OC 2+CD 2=DO 2,则 1.52+ 1( 3+ x ) 2 =(1.5+x)2,解得 x 1=-23(舍去 ), x 2=1,故 BD =1.12. 解: (1)△ABC 为等腰三角形,理由如下:连接 AE ,如图, ∵=,∴∠ DAE =∠ BAE ,即 AE 平分∠ BAC. ∵AB 为直径,∴∠ AEB =90°,∴ AE ⊥ BC , ∴△ ABC 为等腰三角形.(2)∵△ ABC 为等腰三角形, AE ⊥BC ,1 1∴BE =CE = 2BC =2×12= 6.在 Rt △ABE 中,∵ AB =10, BE = 6,∴ AE = 102-62=8.∵AB 为直径,∴∠ ADB =90°,∴S △ABC= 1 · =1· ,∴BD = 8×12= 482AE BC 2BD AC10 5 .在 Rt △ABD 中,∵ AB =10,BD =485,142 2 14AD 5 7 ∴AD =AB -BD = 5 ,∴ sin ∠ABD =AB=10=25.(第 12 题 )(第 13 题 )13. 证明:如图,连接 OD ,可得 OB = OD. ∵AB =AD ,∴ AE 垂直平分 BD.3 9在 Rt △BOE 中, OB = 3, cos ∠BOE = 5,∴ OE = 5.16 ∴CE =OC -OE = 5 .2212根据勾股定理得 BE = BO -OE = 5.在 Rt △CEB 中, BC = CE 2+BE 2=4.∵OB =3, BC = 4,OC = 5,∴ OB 2+BC 2 =OC 2, ∴∠ OBC = 90°,即 BC ⊥OB ,∴ CB 为⊙ O 的切线.。
专题13 巧求锐角三角函数值(含答案)
第三章三角函数专题13 巧求锐角三角函数值知识解读在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的正弦sinA=错误!未找到引用源。
,∠A的余弦cos A=错误!未找到引用源。
,∠A的正切tanA=错误!未找到引用源。
,∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数.求锐角三角函数值的方法较多,常用的方法有:定义法、参数法、等角代换法、等比代换法、构造法.典例示范一、定义法当已知直角三角形的两条边时,可直接应用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值.例1 如图3-13-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则sinA的值为 .图3-13-1ABC【提示】题目中已知∠A的对边和斜边长,可直接应用正弦的定义求解.跟踪训练在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,那么cosA的值等于 .二、参数法锐角三角函数值实质上是直角三角形两边的比值,所以解题中有时需将三角函数转化为线段比,通过设定一个参数,并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长,然后结合相关条件解决问题.例2在Rt△ABC中,∠C=90°,若tanA=错误!未找到引用源。
,则sinB的值为 .【提示】根据题意作出Rt△ABC,然后根据tanA=错误!未找到引用源。
,设一条直角边BC为5x,另一条直角边AC为12x,根据勾股定理求出另一条边AB的长度,然后根据三角函数的定义可求出sinB.跟踪训练1.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=错误!未找到引用源。
,则tanB的值为( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
2.已知∠A=2,求错误!未找到引用源。
的值.【解答】3.求tan15°的值.【解答】三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或者锐角不在直角三角形中,可将该角通过等角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中,利用“若两锐角相等,则此两角的三角函数值也相等”来求解.例3如图3-13-2,已知Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD 是斜边AB 上的中线,过点A 作AE ⊥CD ,AE 分别与CD ,CB 相交于点H ,E ,AH =2CH ,则sinB 的 .图3-13-2HABCDE【提示】根据∠ACB =90°,CD 是斜边AB 上的中线,可得出CD =BD ,则∠B =∠BCD ,再由AE ⊥CD ,可证明∠B =∠CAH ,由AH =2CH ,可得出CH :AC =1:错误!未找到引用源。
锐角三角函数知识点及试题(含答案)
锐角三角函数一.知识框架二.知识概念1.Rt △ABC 中(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦,记作sinA =∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦,记作cosA =∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切,记作tanA =∠A 的对边∠A 的邻边(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切,记作cota = ∠A 的邻边∠A 的对边2.特殊值的三角函数:锐角三角函数(1)基础扫描1. 求出下图中sinD ,sinE 的值.2.把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′,那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为( ).A . sinA =sinA ′B . sinA =2sinA ′C . 2sinA =sinA ′D . 不能确定3.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AB =5,AC =4,则sinB 的值是( )A . 35B . 45. 34 D . 434. 如图,△ABC 中,AB=25,BC=7,CA=24.求sinA 的值.25247CBA5. 计算:sin30°·sin 60°+sin45°.能力拓展6. 如图,B 是线段AC 的中点,过点C 的直线l 与AC 成60°的角,在直线上取一点P ,连接AP 、PB ,使sin ∠APB=12,则满足条件的点P 的个数是( )A 1个B 2个C 3个D 不存在7. 如图,△ABC 中,∠A 是锐角,求证:1sin 2A B C S A B A C A∆=⋅⋅8.等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,求sinA 、sinB .lCBA (第7题图)85F E D创新学习9. 如图,△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点,则sin ∠BAC 等于( ) A .3B.5C .5.13答案或提示1.8989sin sin ,DE ==2.A 3.B 4.证明:由2225625AB ==,22749BC ==,2224576CA ==,得222AB BC CA=+ ∴又∠C=90°,∴7sin 25B C A A B==.5. 原式=12224⨯+=. 6. B7. 证明:作CD ⊥AB 于D ,则CD=AC ·sinA ∴ 1122sin A B C A B C D A B A C AS ∆==8. 解:如图,作AD ⊥BC 于D ,BE ⊥AC 于E ∵ AB=AC ∴ BD=12BC=3 ∴4=∴ 4sin 5A DA B C A B ∠== 由1122ABCBC AD AC BES ∆==得 642455B C A D B E A C ⋅⨯===∴24sin 25B E B AC A B∠==9.B锐角三角函数(2)基础扫描1. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,若b=3a ,则tanA= .2. 在△ABC 中,∠C =90°,cosA =4,c =4,则a =_______.3. 如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角,则cos α的值是( )A.122C.14. 如图,P 是∠α的边OA 上一点,且P 点坐标为(2,3),则sin α=_______,cos α=_________,tan α=______ _.5.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ,若AC =AB =,则tan ∠ACD 的值为( )ED C BA6. 已知α是锐角,且cos α=34,求sin α、tan α的值.能力拓展7. 若α为锐角,试证明:sin tan cos ααα=.8. 如图,在Rt △ABC 中,CD 、CE 分别为斜边AB 上的高和中线,BC=a ,AC=b (b >a ),若tan ∠DCE=12,求a b的值.创新学习9.如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,D 为CA 上一点,∠DBC=30°,DA=3,AB=,试求cosA 与tanA的值.答案或提示 1. 132. . B 4.1313,325. A6. 解:如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,设∠A=α, ∵ 3cos 4A C A Bα==∴设AC=3k ,AB=4k (k >0),则k . ∴sin tan 43BC ABαα===.baE D CBA (第8题图)C BAD CBA7. 证明:如图,R t A B C ∆中,∠C=90°,设∠A=α, 则sin ,cos B C A C A BA Bαα== ∴sin cos B C A Cαα=又 ∵ tan B C A Cα= ∴sin tan cos ααα=.8. 解:如图,∵1tan 2D E D C E D C∠==,∴设 DE=k ,DC=2k (k >0)则CE =. 又CE 是Rt △ABC 斜边上的中线 ∴∴1),BD k =∴tan 2BD BC D C D∠==∵ A B C D ∠=∠ ∴tan tan A B C D ∠=∠∴12a b -=9.解:在Rt △DBC 中,∠C=90°,∠DBC=30°,∴tan 3D C D BC BC∠==∴可设DC=k ,BC=(k >0).在Rt △ABC 中,由勾股定理知:222BC CA AB +=.∴)()22319k ++=.整理得()()2510k k +-=.∴k=1. ∴CA=4.∴cos tan 194A A ==.锐角三角函数(3)基础扫描 1. 已知sin α12=,则锐角α= 度.2. 若tan 1α=,则2cos α= .3.计算tan 60452cos 30+- 的结果是( )A .2 B.C .1D.13-.4. 如图,已知等腰梯形ABCD 中,A B ∥CD ,∠A=60°,AB=10,CD=3,则此梯形的周长为( )A . 25B . 26C . 27D . 28.5. 计算:(1)计算:()013sin 452007tan 30--+-D CCBAbaE D CBA CBAD(2) 先化简,再求值:()2221x x xx+-÷+1,其中,tan 60x = .(3)已知tanA=2.236,用计算器求锐角A (精确到1度).能力拓展6.如图,小明利用一个含60°角的直角三角板测量一栋楼的高度,已知他与楼之间的水平距离BD 为10m ,眼高AB 为1.6m (即小明的眼睛距地面的距离),那么这栋楼的高是( ) A .(8105)m B .21.6m C ..835⎛⎫+⎪⎪⎝⎭m7.如图,已知AB 是半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P ,若∠DPB=α,那么C D A B等于( )A .sin αB .COS αC .tan αD .1tan α8.如图,⊙O 的半径为3,弦AB 的长为5.求cosA 的值.ED CBA第6题图BAO 第7题图创新学习9.如图,∠C=90°,∠DBC=45°,AB=DB ,利用此图求tan22.5°的值.答案或提示 1.30 2.123.C 4.C 5.(1).原式=111223-+=(2)原式=()()()()221111111xx x x x x x x x +-+=-+=-++ .当tan 60x ===214-=-(3)∠A ≈66°6. A 7. B8.解:作OC ⊥AB ,垂足为C .则1522A C AB ==.∴5cos 6A C A O A ==.9.解:∵∠C=90°,∠DBC=45°,且AB=DB , ∴∠A=∠ADB=12∠DBC=22.5°设DC=1, 则BC=1,∴tanA=1DC AC==-,∴tan22.51.。
《锐角三角函数》习题(含答案)正确无误版
《锐角三角函数》一、选择题1. 4sin tan 5ααα=若为锐角,且,则为 ( ) 933425543A B C D . . . . 2.在Rt △ABC 中,∠C = 90°,下列式子不一定成立的是( )A .sinA = sinB B .cosA=sinBC .sinA=cosBD .∠A+∠B=90° 3.直角三角形的两边长分别是6,8,则第三边的长为( )A .10B .22C .10或27D .无法确定4.在Rt △ABC 中,∠C=90°,当已知∠A 和a 时,求c ,应选择的关系式是( ) A .c =sin a A B .c =cos a A C .c = a ·tanA D .c = tan aA5、οο45cos 45sin +的值等于( )A.2B.213+ C.3D. 16.在Rt △ABC 中,∠C=90°,tan A=3,AC 等于10,则S △ABC 等于( )A. 3B. 300C. 503 D. 1507.当锐角α>30°时,则cos α的值是( ) A .大于12 B .小于12C .大于3D .小于38.小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米,那么他下降( ) A .1米 B .3米 C .23 D .2339.如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,则AB=( )(A )4 (B )5 (C )23 (D )83310.已知Rt △ABC 中,∠C=90°,tanA=43,BC=8,则AC 等于( ) A .6 B .323C .10D .12 二、填空题11.计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______. 12.若sin28°=cos α,则α=________.13.已知△ABC 中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则tanA=______.14.某坡面的坡度为1:3,则坡角是_______度. 15.在△ABC 中,∠C =90°,AB =10cm ,sinA =54,则BC 的长为_______cm . 16.如图,在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒,向高楼前进60米到C 点,又测得仰角为45︒,则该高楼的高度大约为A.82米B.163米C.52米D.70米17.如图,小鸣将测倾器安放在与旗杆AB 底部相距6m 的C 处,量出测倾器的高度CD =1m ,测得旗杆顶端B 的仰角α=60°,则旗杆AB 的高度为 .(计算结果保留根号)(16题) (17题) 三、解答题18.由下列条件解直角三角形:在Rt △ABC 中,∠C=90°:(1)已知a=4,b=8,求c (2)已知b=10,∠B=60°.(3)已知c=20,∠A=60°. (4) (2)已知a=5,∠B=30°19.计算下列各题.(1)s in 230°+cos 245°+2sin60°·tan45°; (2)22cos 30cos 60tan 60tan 30︒+︒︒⨯︒+ sin45°(45︒30︒BAD C四、解下列各题20.如图所示,平地上一棵树高为5米,两次观察地面上的影子,•第一次是当阳光与地面成45°时,第二次是阳光与地面成30°时,第二次观察到的影子比第一次长多少米?21.如图,AB是江北岸滨江路一段,长为3千米,C为南岸一渡口,•为了解决两岸交通困难,拟在渡口C 处架桥.经测量得A在C北偏西30°方向,B在C的东北方向,从C处连接两岸的最短的桥长多少?(精确到0.1)22. 如图,点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有B、C两个村庄,现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通,经测得∠ABC=45o,∠ACB=30o,问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算进行说明。
初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附答案
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠BAC=∠ACD,然后求出AC.
【详解】
解:∵DE⊥AC,
∴∠ADE+∠CAD=90°,
∵∠ACD+∠CAD=90°,
∴∠ACD=∠ADE=α,
∵矩形ABCD的对边AB∥CD,
【答案】B
【解析】
【分析】
画出图形,根据锐角三角函数的定义求出即可.
【详解】
如图,∠C=90°,∠A=α,BC=a,
∵cotα ,
∴AC=BC•cotα=a•cotα,
故选:B.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义的应用,在直角三角形中,锐角的正弦是角的对边与斜边的比;余弦是角的邻边与斜边的比;正切是对边与邻边的比;余切是邻边与对边的比;熟练掌握三角函数的定义是解题关键.
12.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,点B的坐标是(0,4),点D的坐标是(8 ,4),点M和点N是两个动点,其中点M从点B出发,沿BA以每秒2个单位长度的速度做匀速运动,到点A后停止,同时点N从点B出发,沿折线BC→CD以每秒4个单位长度的速度做匀速运动,如果其中一个点停止运动,则另一点也停止运动,设M,N两点的运动时间为x,△BMN的面积为y,下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是()
过点B作BM⊥EA的延长线于点M,过点B作BN⊥CE于点N,通过解直角三角形可求出BM,AM,CN,DE的长,再结合CD=CN+EN−DE即可求出结论.
【详解】
解:过点B作BM⊥EA的延长线于点M,过点B作BN⊥CE于点N,如图所示.
在Rt△ABE中,AB=10米,∠BAM=30°,
(完整版)求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法一、定义法当已知直角三角形的两条边,可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值. 例1 如图1,在△ABC 中,∠C =90°,AB =13,BC =5,则sin A 的值是( )(A )513 (B )1213 (C )512 (D )135 对应训练:1.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB =5,则tan A 的值为( )A .5 B .25 C .12D .2 二、参数(方程思想)法锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值,所以解题中有时需将三角函数转化为线段比,通过设定一个参数,并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长,然后结合相关条件解决问题. 例2 在△ABC 中,∠C =90°,如果tan A =512,那么sin B 的值是 . 对应训练:1.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=53,那么tan A 的值等于( ). A .35 B . 45 C . 34 D . 432.已知△ABC 中,ο90=∠C ,3cosB=2, AC=52 ,则AB= .3.已知Rt △ABC 中,,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B .4.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,⋅=∠43sin AOC求:AB 及OC 的长.D C B A Oyx第8题图AD ECBF三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时,可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中,利用“两锐角相等,则三角函数值也相等” 来解决.例3 在Rt △ABC 中,∠BCA =90°,CD 是AB 边上的中线,BC =5,CD =4,则cos ∠ACD 的值为 . 对应训练1.如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径,若O ⊙的半径为32,2AC =,则sin B 的值是( )A .23 B .32 C .34 D .432. 如图4,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ,使点D 落在BC 边的点F 处.已知8AB =,10BC =,AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )A.34 B.43 C.35 D.453. 如图6,在等腰直角三角形ABC ∆中,90C ∠=︒,6AC =,D 为AC 上一点,若1tan 5DBA ∠= ,则AD 的长为( )A .2B .2C .1D .224. 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C ,和点(00)O ,,与x 轴的正半轴交于点D ,B 是y 轴右侧圆弧上一点,则cos ∠OBC 的值为( )A .12 B .32 C .35D .455.如图,角α的顶点为O ,它的一边在x 轴的正半轴上,另一边OA 上有一点P (3,4),则sin α= .6.(庆阳中考)如图,菱形ABCD 的边长为10cm ,DE ⊥AB ,3sin 5A =,则这个菱形的面积= cm 2.7. 如图6,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,∠A 的平分线AD =3316求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长.DABCCBA四、构造(直接三角形)法直角三角形是求解或运用三角函数的前提条件,故当题目中已知条件并非直角三角 形时,需通过添加辅助线构造直角三角形,然后求解,即化斜三角形为直角三角形. (1)化斜三角形为直角三角形例4 在△ABC 中,∠A =120°,AB =4,AC =2,则sinB 的值是( )(A )5714 (B )35 (C )217 (D )2114对应训练:1.已知:如图,△ABC 中,AB =9,BC =6,△ABC 的面积等于9,求sin B .2.(重庆)如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,点D 在BC 边上,且△ABD 是等边三角形.若AB=2,求△ABC 的周长.(结果保留根号)(2)利用网格构造直角三角形例5 如图所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则sinA 的值为( )A .12 B .55 C .1010D .255 1.如图,△ABC 的顶点都在方格纸的格点上,则sin A =_______. 2.如图,A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处,若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆,则'tan B 的值为( )A.41B.31C.21D.13.正方形网格中,AOB∠如图放置,则tan AOB∠的值是()A.5B.25C.12D.24. 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,ABC△的三个顶点在格点上,请按要求完成下列各题:(1)用签字笔...画AD∥BC(D为格点),连接CD;(2)线段CD的长为;(3)请你在ACD△的三个内角中任选一个锐角..,若你所选的锐角是,则它所对应的正弦函数值是.(4)若E为BC中点,则tan∠CAE的值是 .三角函数与四边形:1.如图,四边形ABCD中,∠BAD=135°,∠BCD=90°,AB=BC=2,tan∠BDC=63.(1) 求BD的长;(2) 求AD的长.2.如图,在平行四边形ABCD中,过点A分别作AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.(1)求证:∠BAE=∠DAF;(2)若AE=4,AF=245,3sin5BAE∠=,求CF的长.三角函数与圆:3.如图,DE是⊙O的直径,CE与⊙O相切,E为切点.连接CD交⊙O于点B,在EC上取一个点F,使EF=BF. (1)求证:BF是⊙O的切线;(2)若54Ccos=, DE=9,求BF的长.ABO。
锐角三角函数(全)
锐角三角函数 ( 1)一.问题: 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬 水站,对坡面的绿地进行喷灌 .现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30 ,为使出水口的高度为 35m , 求需要准备多长的水管?探究:如图, Rt ABC 与 Rt ABC 中, C C 90 , A A , 探究 BC 与 BC 的关系AB A B结论:在直角三角形中,当锐角 A 的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠ A 的对边 与斜边的比是一个固定值 .※在 Rt ABC 中, C 90 ,我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦 . 记作 sin ABC 如图, sinA A 的对边a A 的斜边 c AB 二.例题与练习: 1. 例题:如图,在 Rt ABC 中, C 90 ,求 sin A 和 sinB的值 . 同理: sinB B 的对边B 的斜边 2. 练习: 1. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则 3. 4 C . 3 . C . 35 Rt ABC 中, C 90 ,若 AB 5 , C .3 4 A . 42. 如图,在 A .3 5 B .45 3. 在 Rt ABC 中, C 90 , BC 2 , 4 3 AB 是⊙ O 的直径,点 ; sin ADC = 5.在 Rt ABC 中, ACB 90 , A . 13 B 4.如图,已知 则 sin BAC = sin ACD 的值为( ) A . 5B . 2 33D D ,则边 AC 的长是 ( ) .5 且 AB 5 , BC 3 . 则 sinA 的值是( 4 3 b c sin 的值是﹙ .4 5 AC 4, ACABsin A 23 C 、 D 在⊙ O 上, CD AB 于点 D . 已知 AC 5 , BC 2 , .5三.在直角三角形中,当锐角 A 的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠ A 的邻边与 斜边的比是一个固定值,∠ A 的对边与邻边的比是一个固定值,※在 Rt ABC 中, C 90 ,我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦.记作 cosAA 的邻边 b ACB 的邻边 a BC 如图, cosA 同理: cosB A 的斜边 c AB B 的斜边 c AB ※在 Rt ABC 中, C 90 ,我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切.记作 tanABC AC 如图, tanA A A 的的邻对边边 a b 四.例题与练习: 同理: tanB B B 的的对邻边边b a AC BC 例题:如图,在 Rt ABC 中, 3 C 90 , BC 6 ,sin A ,求 cos A , tanB 的值 . 5练习: 1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值 2. 如图,在 Rt ABC 中, 五.课后作业:1. 在 Rt ABC 中, A . b a tan A2. 在 Rt ABC中, C 90 , AC 8 , 3 tan A 4 求 sin A 、 cosB 的值C 90 , a , b , c 分别是 A 、 B 、 C 的对边,则有( B . b c sinA C . a c cosBD C 90 ,如果 cosA 4,那么 tan B 的值为 5 c a sinA A . 3 5 3.如图: 4. 分别求出图中 A 、 B 的正弦值、余弦值和正切值 5 C . 3 44 P 是 的边 OA 上一点,且 4 3 P 点的坐标为( 3, 4),则 cos = (B 层)在 ABC 中, AB a , AC b , A ,求 ABC 的面积(用含有字母示)a ,b , 的式子表三 角 函 数(2).探究: 如图,在 Rt ABC 中, C 90 .⑴如图 1, A 30 ,求 sin A 、⑵如图 1, B 60 ,求sinB 、⑶如图 2, A 45 ,求 sin A 、⑶ A 的正切值随着 A 的角度的增大而三.例题与练习:例题 1:求下列各式的值:例题 2:⑴如图 1, 在 Rt ABC 中, C 90 , AB 6 , BC 3 ,求 A 的度数 . ⑵如图 2,已知圆锥的高 AO 等于圆锥的底面半径 OB 的 3倍, 求 .⑵ 3 tan 30 tan45 2 sin 60 ⑶ cos60 1二.结论: 1. 完成表格:2. ⑴ A 的正弦值随着 A 的角 度的增大而 .⑵ A 的余弦值随着 A 的角度 的增大而 .cosA 、 tanA 的值; cosB 、 tanB 的值; cosA 、 tan A 的值; ⑴ cos 260 sin 260cos45 sin45tan45 练习: 1. 求下列各式的值: ⑴ 1 2 sin 301 sin60 tan30 四.课堂检测:计算:cos260 cos245 2sin30 sin 451.将21 cosB 23 sin B改写成下列形式的式子,其中错误的是()A. sin30 cosB cos30 sinBB. sin30 cosB sin60 sinBC. cos60 cosB cos30 sinBD. cos60 cosB sin30 sinB2. 在 Rt ABC中, C 90 , a:b 3,则 sin A的值是()1A. 1B.2 22C. 32D.333. 在 ABC 中,A、 B 都是锐角,且sin A 1,,cosB 3,则 ABC 的形状为()2 2A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定4. 化简tan30 12的结果为()3A.1B. 3 1C. 3 1D. 133 35. 已知2sin 3 0 ,则锐角的度数为 . B16.已知 B 是锐角,若sin B 1,则 tan B的值为.2237.在 Rt ABC中, C 90 ,sinB ,则 cos A的值为.238.已知 sin90 23,则锐角的度数为 .9.求下列各式的值:3⑴tan230 2 sin 60 tan45 tan60 cos230 ⑵ cos60 sin 245 tan230 cos 230 sin30410.在Rt ABC中, C 90 , tanA 3 ,且 AB 10cm ,求 AC 、BC的长.11.如图,一块为 ABC 的空地, AC 10m , BC 30m , C 150 ,现在这块空地上种植每平方米 a 元的草皮,求购买这种草皮至少需要多少钱?(B层)12.如图, A ,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经 C地沿折线A→C→B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB 行驶. 已知 AC 10km, A 30 , B 45 ,求开通隧道后,汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少千米?(结果保留根号)锐角三角函数 ( 3)二.课堂检测:1. 求下列锐角三角函数值(精确到 0.0001):⑴ sin25 30 = ; ⑵ cos62 18 =一.例题与练习:例题 1:用计算器计算下列锐角三角函数值(精确到 0.0001) ⑴ sin 20 ⑵ cos70 ⑶ sin15 32 ⑷ cos74 28 ⑸tan3 8⑹ tan80 25 43由⑴→⑷你能得到的猜想为 ,请利用下图验证你的猜想练习:用计算器计算下列锐角三角函数值(精确到 0.0001)⑸ tan36 20 ⑹ tan75 17例题 2:已知下列锐角三角函数值,用计算器求其相应的锐角 ⑴ sinA 0.6275 ⑵ cosA 0.6252 ⑶ tanA 4.8425 练习:⑴ sin A 0.0547⑵ cosA 0.1659 ⑶ tanA 0.8816⑷ sinA 0.9816 ⑸ cosA 0.8607 ⑹ tanA 0.1890例题 3:如图,要焊接一个高 3.5m ,底角为 32 的人字形钢架,约需要多长的钢材(结果保留小数点 后两位)练习:如图,一块平行四边形木板的两条邻边 AD 、 BC 的长分别为 62.31cm 和 35.24cm ,它们之间的 夹角 B 为 35 40 ,求这块木板的面积(结果保留小数点后两位)tan26 50 = .⑴ sinA 0.4723,A= ;⑵ cos A A= ;⑶ tanA 15.94 , A三.课后练1.计算 2sin 60 3 tan 30 的值)A .3B . 2 3C .3 3D .432.在 Rt ABC 各边的长度都扩 4 倍,那么 B 的正切值()A .扩大 4 倍B .扩大 2倍C .保持不变D .缩小4倍3.已知为锐角,tan 3 ,则c os 等于()A .1B .2C .3 D. 3 2 2 2 34.如果等腰三角形的底角为 30 ,腰长为 6cm ,那么这个三角形的面积为()A .4. 5cm2B .9 3 cm2C .18 3cm2D .36cm25Rt ABC C 90 , b a 则 cosB 等()5 .5.12 12A B cm C D .cm12 .12 .13 136已知 cos 则的度数为()A40 B .41 C .42 D .437.已知 cosA 0.5761,则 A ;若tanA 15.21,则 A ;若sin A 0.3562 ,则 A8. 某人沿倾斜角为 25 的斜坡前行了 100m ,则他上升的最大高度为(精确到 0.01 m )9.计算:⑴ 2cos60 6 sin 45 sin 60 ⑵ cos45 sin 301cos60 tan45210. 已知:如图,在 Rt ABC中, C 90 ,CD 是高,BC 10cm, B 53 6 ,?求CD 、 AC 、AB .(精确到 1cm)(B层)1.要求 tan30 的值,可构造如图所示的直角三角形进行计算:作Rt ABC ,使 C 90 ,斜边AB 2 ,直角边 AC 1,那么BC 3 , ABC 30 ,tan30 AC 1 3,在此图的基础上,BC 3 3 通过添加适当的辅助线,可求出 tan15 的值,请简要写出你添加的辅助线和求出 tan15 的值.2 如图,把矩形纸片 OABC 放入平面直角坐标系中,y 轴上,连接 OB ,将纸片 OABC 沿 OB 折叠,使点--6--锐角三角函数 ( 4)一.问题: 如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角 满足 50 75 ,现有一个长 6m 的梯子,问: ⑴使用这个梯子最高可以攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)? ⑵当梯子底端距离墙面 2.4m 时,这个人是否能够安全使用这个梯子? B 得 AC BC.解直角三角形:在 Rt ABC 中, C 90 ,AC ABB得 A 或由BCA AB三.例题与练习:例题 1:如图, Rt ABC 中, C 90 , AC 2 , BC 6 ,解这个直角三角形练习:如上图, Rt ABC 中, C 90 , BC 30 , AC 20 ,解这个直角三角形 .例题 2:如图,在 Rt ABC 中, C 90 , B 35 , AC 20 ,解这个直角三角形(结果保留小数点 后一位) 练习:如上图,在 Rt ABC 中, C 90 , A 72 , 后一位) . AB 14 ,解这个直角三角形(结果保留小数点四.课堂检测:在 Rt ABC中, C 90 , A 、 B 、 C 的对边分别为 解这个直角三角形 a 、b 和c ,若c 20,b 102 ,五.课后作业:1.在 Rt ABC 中, C 90 , A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、b 和 c ,根据下列条件解直角三角形2.在 ABC 中, AD BC 于点 D ,且 B 30 , C 45 ⑴若 AD 5 ,求 BC 的长 ⑵若 BC =15,求 AD 的长3.为了测量塔高,小龙在距塔的中心点 B 50 米的C 处,用测角器量得仰角为 40 ,已知测角器的高度为 1.52 米,求塔高 AB 的长 .(精确到 0.1 米)4. 如图所示,在离铁塔 150米的 A 处用测角仪测得塔顶仰角 求铁塔高 BE . (精确到 0.1 米)5.如图所示,从某海岛上的观察所 A 测得海上某船只 B 的俯角为 8 18 ,若观察所 A 与海面的垂⑴ a 3 3 , c 6 ⑵ a 36 , B 30 ⑶ c 10 , b 6BAC 26 12 ,已知仪器高 AD 1.5 米,直高度 AC 50 米,求船只 B 到观察所的水平距离。
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A.100sin35°米B.100sin55°米C.100tan35°米D.100tan55°米
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正切函数可求小河宽PA的长度.
∵DE⊥CE,CE∥AB,∴DG⊥AB,∴△ADG是直角三角形
∵DE=55m,CE=FG=36m
∴DG=167m,BG=120m
设AB=ym
∵∠DAB=40°
∴tan40°=
解得:y=78.8
故选:C
【点睛】
本题是三角函数的考查,注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.
4.一个物体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是全等的等边三角形,俯视图是圆,根据图中所示数据,可求这个物体的表面积为( )
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,
∴NE=CP=4 ,
BM=2x,
∴y= ;
故选D.
【点睛】
本题主要考查了动点问题的函数图象,掌握动点问题的函数图象是解题的关键.
15.如图,两根竹竿 和 斜靠在墙 上,量得 , ,则竹竿 与 的长度之比为().
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用锐角三角函数关系分别表示出AB,AD的长,即可得出答案.
2.菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA= ,则下列结论正确的个数有( )
①DE=3cm; ②BE=1cm; ③菱形的面积为15cm2; ④BD=2 cm.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析,从而得到答案
【详解】
∵菱形ABCD的周长为20cm
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用正弦的定义得到sinA=0.25,然后利用计算器求锐角∠A.
【详解】
解:因为AC=40,BC=10,sin∠A= ,
所以sin∠A=0.25.
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时,按键顺序为
故选:A.
点睛:
本题考查了计算器-三角函数:正确使用计算器,一般情况下,三角函数值直接可以求出,已知三角函数值求角需要用第二功能键.
【解析】
试题分析:如答图,过点O作OD⊥BC,垂足为D,连接OB,OC,
∵OB=5,OD=3,∴根据勾股定理得BD=4.
∵∠A= ∠BOC,∴∠A=∠BOD.
∴tanA=tan∠BOD= .
故选D.
考点:1.垂径定理;2.圆周角定理;3.勾股定理;4.锐角三角函数定义.
6.如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tan∠DAC的值为()
A. B. 或 C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出草图,因为C点位置待定,所以分情况讨论求解.
【详解】
利用垂径定理可知:AD= .
sin∠AOD= ,∴∠AOD=60°;
sin∠AOE= ,∴∠AOE=45°;
∴∠BAC=75°.
当两弦共弧的时候就是15°.
故选:C.
【点睛】
此题考查垂径定理,特殊三角函数的值,解题关键在于画出图形.
∴AD=5cm
∵sinA=
∴DE=3cm(①正确)
∴AE=4cm
∵AB=5cm
∴BE=5﹣4=1cm(②正确)
∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2(③正确)
∵DE=3cm,BE=1cm
∴BD= cm(④不正确)
所以正确的有三个.
故选C.
【点睛】
本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义,熟练掌握性质是解题的关键
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用相似三角形的相似比证明点D是AB的中点,再解直角三角形求得AB,最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF.
【详解】
解:∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴点D是AB的中点,
∵ , ,
∴∠B=30°,
∴ ,
∴DF=3,
故选:D.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质,熟练掌握性质的运用是解题关键.
为直径,
,
,
,
而 ,
,
,
,
而 ,
,
,
,
在 中, ,,Leabharlann , ,, ,,
,即 ,
,
.
故选:D.
【点睛】
本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角, 的圆周角所对的弦是直径.也考查了解直角三角形.
9.在半径为 的 中,弦 、 的长度分别是 , ,则 为()度.
【详解】
解:∵∠BAC=60°,∠DAC=70°,
∴cos60°= ,
则AB=2AC,
∴cos70°= ,
∴AC=AD•cos70°,
AD= ,
∴ =2cos70°.
故选:B.
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用,正确表示出各边长是解题关键.
16.如图,在 中, , 则 的长为()
A. B.
C. D.
3.在课外实践中,小明为了测量江中信号塔 离河边的距离 ,采取了如下措施:如图在江边 处,测得信号塔 的俯角为 ,若 米, , 米, 平行于 , 的坡度为 ,坡长 米,则 的长为()(精确到0.1米,参考数据: , , )
A.78.6米B.78.7米C.78.8米D.78.9米
【答案】C
【解析】
【分析】
∴BO′=4 ,CO′=4,
∴BC=AB= ,
∵AC=8,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∴CP=BC×sin60°=8× =4 ,BP=4,
BN=4x,BM=2x,
, ,
∴ ,
又∵∠NBM=∠CBP,
∴△NBM∽△CBP,
∴∠NMB=∠CPB=90°,
∴ ;
∴ ,
即y= ,
当2<x⩽4时,作NE⊥AB,垂足为E,
11.如图,已知⊙O上三点A,B,C,半径OC=1,∠ABC=30°,切线PA交OC延长线于点P,则PA的长为()
A.2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OA,由圆周角定理可求出∠AOC=60°,再根据∠AOC的正切即可求出PA的值.
【详解】
连接OA,
∵∠ABC=30°,
∴∠AOC=60°,
A.1B.2C.4D.5
【答案】C
【解析】
【分析】
首先连接CO并延长交⊙O于点D,连接AD,由CD是⊙O的直径,可得∠CAD=90°,又由⊙O的半径是5,sinB= ,即可求得答案.
【详解】
解:连接CO并延长交⊙O于点D,连接AD,
由CD是⊙O的直径,可得∠CAD=90°,
∵∠B和∠D所对的弧都为弧AC,
锐角三角函数的技巧及练习题附答案
一、选择题
1.如图, 是一张顶角是 的三角形纸片, 现将 折叠,使点B与点A重合,折痕DE,则DE的长为()
A.1B.2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作AH⊥BC于H,根据等腰三角形的性质求出BH,根据翻折变换的性质求出BD,根据正切的定义解答即可.
【详解】
解:作AH⊥BC于H,
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两个点的运动变化,写出点N在BC上运动时△BMN的面积,再写出当点N在CD上运动时△BMN的面积,即可得出本题的答案;
【详解】
解:当0<x⩽2时,如图1:
连接BD,AC,交于点O′,连接NM,过点C作CP⊥AB垂足为点P,
∴∠CPB=90°,
∵四边形ABCD是菱形,其中点B的坐标是(0,4),点D的坐标是(8 ,4),
∴全面积是 .
故选:C.
【点睛】
本题考查了圆锥的计算,正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.
5.如图,△ABC内接于半径为5的⊙O,圆心O到弦BC的距离等于3,则∠A的正切值等于()
A. B. C. D.
【答案】C
∵AB=AC,AH⊥BC,
BH= BC=3,
∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=30°,
∴AB= =2 ,
由翻折变换的性质可知,DB=DA= ,
∴DE=BD•tan30°=1,
故选:A.
【点睛】
此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用,解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
17.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB:BC=2:1,且BE∥AC,CE∥DB,连接DE,则tan∠EDC=()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F,连接OE交BC于点G.根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形,则OE与BC垂直平分,易得EF= x,CF=x.再由锐角三角函数定义作答即可.
【详解】
∵PA⊥PB,PC=100米,∠PCA=35°,
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米.