复变函数第5讲

w= z = n z
1 n
性质： 性质： 的单值解析函数； ① w =zn是z的单值解析函数； 的单值解析函数 ② 幂函数
w= z = n z
是一个多值函数，由于 的多值性， 是一个多值函数，由于Ln z的多值性，它可以取到 的多值性 它可以取到n 个不同的值，即当 时的对应值， 个不同的值，即当k=0,1,...,(n-1)时的对应值，因此它 时的对应值 个分支。 有n个分支。 个分支
由于Arg z为多值函数 所以对数函数 为多值函数, 由于 为多值函数 所以对数函数w=f(z)为多值 为多值 函数, 并且每两个值相差2π 的整数倍 的整数倍,记作 函数 并且每两个值相差 πi的整数倍 记作 Ln z=ln|z|+iArg z 如果规定上式中的Arg z取主值 取主值arg z, 则Ln z为一单值 如果规定上式中的 取主值 为一单值 函数, 记作ln 称为Ln z的主值, 函数, 记作ln z, 称为Ln z的主值, 因此 ln z = ln|z|+iarg z 而其余各值可由 Ln z=ln z+2kπi 表达. 表达 (k=±1,±2,...) ± ±
k=0,±1,±2, … ± ±
四、三角函数和双曲函数 根据欧拉公式有 eiθ=cosθ +i sin θ e-i θ =cos θ - i sin θ 将这两式相加与相减, 将这两式相加与相减 分别得到
eiθ + e−iθ eiθ −e−iθ cosθ = , sinθ = 2 2i
1. 定义：对于任意复数 ，规定 定义：
1 n
k=0,1,...,(n-1).
3．一般幂函数 ． 在乘幂a 为一复变数， 在乘幂 b中，若a=z为一复变数，则有一般幂函数 为一复变数 w=zb=ebLn z (z≠0, a为复常数 ≠ 为复常数) 为复常数 为正整数) 得到通常的幂函数： 当b=n (n为正整数 时，得到通常的幂函数： 为正整数 w=zn=enLn z . 为正整数) 得到幂函数： 当b=1/n (n为正整数 时，得到幂函数： 为正整数
a =e
b
p L a n q
=e
p [ln|a|+i (arga+2kπ )] q
=e
p lna q
⋅e
2kpπi q
ab具有 个值 即当 具有q个值 即当k=0,1,...,(q-1)时相应的各个值 个值, 时相应的各个值. 时相应的各个值 除此而外, 一般而论 b具有无穷多个值 除此而外 一般而论a 具有无穷多个值. 为整数时, ④ 当b=n为整数时 由于 为整数时
对于每一个固定的k, 对于每一个固定的 Ln z=ln z+2kπi为一单值函 为一单值函 称为Ln 的一个分支. 的一个分支 数, 称为 z的一个分支 特别, 的主值ln 特别 当z=x>0时, Ln z的主值 z=ln x, 就是实变 时 的主值 数对数函数. 数对数函数 3. 对数函数的解析性 讨论主值支ln 讨论主值支 z = ln|z|+iarg z的连续性 的连续性 对于主值ln 对于主值 z, 由于 ln|z|=1/2 ln(x2+y2), 除原点外在其它点都是连续的. 故ln|z|除原点外在其它点都是连续的 除原点外在其它点都是连续的
分别成为z的正切、余切、正割及余割函数。 分别成为 的正切、余切、正割及余割函数。
2. 性质 ① 当y=0时， sin z= sin x, cos z= cos x, 与高等数学 时 中的实三角函数相同. 中的实三角函数相同 平面上是解析的， ② 在z平面上是解析的，且 平面上是解析的 (cos z)'= -sin z, (sin z)'= cos z
1 n
例2 求 i i . 解
i =e
i
iL i n
=e
π i i +2kπi 2 π − +2kπ 2
=e (k = 0,±1,±2,⋯ ).
i
,
−
π
2
由此可见 i 是正实数 , 它的主值是 e
.
例3 求 21+i .
π 解 21+i =e(1+i)Ln2=e(1+i)(ln2+2kπi) π π =e(ln2- 2kπ)+i(ln2+2kπ) π = e(ln2- 2kπ)(cosln2+isinln2)
eiz + e−iz eiz −e−iz cos z = , sinz = 2 2i
分别称为z的 弦函数和 弦函数。 分别称为 的余弦函数和正弦函数。 规定： 规定：
sinz tg z = , cos z 1 secz = , cos z cos z ctg z = , sinz 1 cscz = . sinz
以及它们相应的主值. 例1 求Ln 2, Ln(-1)以及它们相应的主值 以及它们相应的主值 因为Ln 所以它的主值就是ln2. [解] 因为 2=ln 2+2kπi, 所以它的主值就是 Ln(-1)=ln 1+iArg(-1)=(2k+1)πi(k为整数 为整数). π 为整数 所以它的主值是: ln(-1)=πi. 所以它的主值是 π
1 n
③ w= n =
分成单值解析分支的方法与Ln 相同 相同， z 分成单值解析分支的方法与 z相同，且
w= n z 的各分支在除去原点与负实轴的平面内解 =
析。其导数为 :
′ 1 1 L nz 1 n−1 n n z = ( z )′ = (e )′ = z n
an=enLna= eLna+Lna+…+Lna =a·a·…·a
所以这时a 具有单一的值. 所以这时 b具有单一的值
为整数时, ⑤ 当 b=1/n, n为整数时 由于 为整数时
a =e
b
1 L na n
=e
1 [ln|a|+i (arga+2kπ )] n
arg a + 2kπ arg a + 2kπ n =| a | cos + i sin = a n n
二、对数函数 1.定义 把指数函数的反函数定义为对数函数 即 定义: 把指数函数的反函数定义为对数函数, 定义 满足 ew=z (z≠0) ≠ 的函数w=f(z)称为对数函数. 记作 w=Lnz 称为对数函数 记作: 的函数 称为对数函数 注意: 当z=0时, w=Lnz无意义 无意义. 注意 时 无意义 2.对数函数为多值函数 对数函数为多值函数 令z=reiθ, w=u+iv, 则eu+iv=reiθ, 所以 因此 u=ln r, v=θ +2kπ=Argz w=Ln z=ln|z|+iArg z=ln|z|+i(arg z+ 2kπ)
n
不成立
Ln z2≠2Ln z 说明: 说明: 记号Ln 表示一个有无穷多个元素的集合 表示一个有无穷多个元素的集合， 记号 z表示一个有无穷多个元素的集合，因此 Ln z+ Ln z≠ 2 Ln z ,这里 z+ Ln z应该看作是由两个 这里Ln 这里 应该看作是由两个 相同集合Ln z中,各取一个元素相加所得的和的集合 各取一个元素相加所得的和的集合. 相同集合 中 各取一个元素相加所得的和的集合 只是集合中每一个元素的两倍所成的集合。 而2 Ln z只是集合中每一个元素的两倍所成的集合。 只是集合中每一个元素的两倍所成的集合 显然2 仅是Ln 的一个真子集。 显然 Ln z仅是 z+ Ln z的一个真子集。所以在复数 仅是 的一个真子集 域中, 域中 Ln z2≠2 Ln z .
d(Lnz)k 1 = dz z
4. 运算法则 复变数对数函数是实变数对数函数的拓广. 复变数对数函数是实变数对数函数的拓广 有
L ( z1z2 ) = L z1 + L z2 n n n
z1 L n = L z1 − L z2 n n z2
但
L nz = nL z, n
n
1 L z= L z n n n
主要考虑如下几点： 主要考虑如下几点： ·如何将相应实变函数推广到复数域 如何将相应实变函数推广到复数域 ·这些函数的解析性 这些函数的解析性 ·这些函数作为复变函数所特有的新性质. 这些函数作为复变函数所特有的新性质 这些函数作为复变函数所特有的
一、 指数函数 1.定义 设z=x+iy, 则称 x(cos y+i sin y)为复数 的 定义: 则称e 为复数z的 定义 为复数 指数函数. 记作: 指数函数 记作 exp z=ex(cos y+isin y) 或ez=ex(cos y+isin y). 显然有 Re(ez)=excos y, Im(ez)=exsin y, |ez|=ex, Arg(exp z)=y+2kπ
结论1 在除去原点与负实轴外，处处都是连续的。 结论1： lnz 在除去原点与负实轴外，处处都是连续的。
讨论主值支ln 讨论主值支 z = ln|z|+iarg z的解析性 的解析性 z=ew在区域 π<arg z<π 内的反函数 在区域-π 是单值的, π 内的反函数w=ln z是单值的 是单值的 由反函数求导法则可知: 由反函数求导法则可知
复变函数 第5讲
韩 艺 兵
Email：hanyibing1982@ ：
解放军信息工程大学理学院
本节主要内容
一、指数六、反三角函数与反双曲函数
幂函数z 三角函数sinz, cosz, … , 幂函数 n, 指数函数 ez, 三角函数 双曲函数shz, chz, …, … ,它们都可以看成是 双曲函数 它们都可以看成是 相应实变函数在复数域中的推广。 相应实变函数在复数域中的推广。
2.性质 性质: 性质 ① ez≠0, 因为|ez|=ex ≠0. 因为 ② 当z=x (y=0)时, 与通常的实变指数函数 x一致 时 与通常的实变指数函数e 一致. ③ ez1·ez2 = ez1+z2 在复平面处处解析, ④ w=ez 在复平面处处解析 且 (ez)'= ez. ⑤ w=ez 以2kπi为周期 即 为周期: 为周期 ez+2kπi=ez k=0, ±1, ±2, ±3, … 这个性质是实变指数函数所没有的。 这个性质是实变指数函数所没有的。 不存在. ⑥ limez 不存在 z→∞ 因为z沿实轴的正负方向趋于 沿实轴的正负方向趋于∞ 因为 沿实轴的正负方向趋于∞时, ez分别趋于 ∞和0. 分别趋于+
在实变函数中, 负数无对数, 在实变函数中 负数无对数 此例说明 在复数范围内不再成立. 在复数范围内不再成立 而且正实数的对数也是无穷多值的. 而且正实数的对数也是无穷多值的
乘幂a 三、 乘幂 b与幂函数 1.定义: 为不等于0的一个复数 1.定义: 设a为不等于 的一个复数 b为任意一个复 定义 为不等于 的一个复数, 为任意一个复 定义乘幂a 数, 定义乘幂 b为ebLna, 即 ab=ebLn a 2. 性质 ① 当a为正数 b为实数 则乘幂与高等数学中乘幂一 为正数, 为实数, 为正数 为实数 致. ② 当a ∈C, b∈C时, 有 ∈ 时
dln z 1 1 = w = d e dz z dw
又由Ln 又由 z=ln z+2kπi ，所以各分支在在除去原点与 负实轴外，处处可导， 负实轴外，处处可导，且导数为
d(Lnz)k d(ln z + 2kπ i)k 1 = = dz dz z
结论2： Ln z的各分支在除去原点与负实轴的平面内 结论2 的各分支在除去原点与负实轴的平面内 解析， 解析，且
π ab=ebLna=e b[ln|a|+i(arg a+2kπ)] π π =eb(ln|a|+iarg a)+2kbπi=eblna e2kbπi
由于Lna 是多值的 因而 b也是多值的 是多值的, 因而a 也是多值的. 由于
为互质的整数, ③ 当b=p/q (p和q为互质的整数 q>0)时, 由于 和 为互质的整数 时
讨论arg z的连续性 讨论 的连续性 对于arg z, 设z=x+iy, 则当 则当x<0时, 有 对于 时
y→ 0
lim arg z = −π, lim arg z = π. − +
y→ 0
所以, 除去原点与负实轴, 在复平面内其它点arg z处处 所以 除去原点与负实轴 在复平面内其它点 处处 连续. 连续 上沿 下沿