3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义【人教A版】

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人教A选修二第3章3.2.1

方法感悟方法技巧 1．复数加减法法则的记忆 (1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． (2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．如例1. 2．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．如例2.
失误防范 1．算式中若出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减． 2．复数的加减法可以推广到若干个复数，进行连加连减或混合运算．
(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2 z2＋z1 ，z3∈C，有z1＋z2＝______，(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) __________．
2．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 → → 若复数 z1，z2 对应的向量OZ1，OZ2不共线，则复数 → → 平行四边形 z1＋z2 是以OZ1，OZ2为两邻边的____________的对 → 角线OZ所对应的复数．因此，复数的加法可以按照向量的加法 _____________来进行． (2)复数减法的几何意义 → → 复数 z1－z2 是连接向量OZ1、OZ2的_____，并指向终点
→ → → 则AD ＝OD－OA＝(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1) ＋(y－2)i， → → → BC＝OC －OB ＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－ 3i. → → ∵AD ＝BC，∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i. x－1＝1 x＝2 ∴ ，解得， y－2＝－3 y＝－1 故点 D 对应的复数为 2－i.
【思维总结】法一是一般方法，要注意整体代换；法二充分运用了复数加减法的几何意义，数形结合，解法简捷，值得借鉴．
互动探究 3 本例中，若条件变成|z1|＝|z2|＝1， |z1＋z2|＝ 2.求|z1－z2|.

高中数学 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课后习题新人教A版选修2-2

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义课时演练·促提升A组1.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i,故z对应的点为(-1,-3),在第三象限.答案:C2.已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i解析:z=3-i-(i-3)=6-2i.答案:D3.若复数z1=a-i,z2=-4+b i,z1-z2=6+i,z1+z2+z3=1(a,b∈R),则z3为()A.-1-5iB.-1+5iC.3-4iD.3+3i解析:∵z1-z2=(a-i)-(-4+b i)=a+4-(1+b)i=6+i,∴a=2,b=-2,∴z3=1-z1-z2=1-2+i+4+2i=3+3i.故选D.答案:D4.若复平面上的▱ABCD中,对应复数6+8i,对应复数为-4+6i,则对应的复数是()A.-1-7iB.2+14iC.1+7iD.2-14i解析:设对应的复数分别为z1与z2,则有于是2z2=2+14i,z2=1+7i,故对应的复数是-1-7i.答案:A5.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:根据复数加(减)法的几何意义知,以为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.答案:B6.计算(-1+2i)+(i+i2)-|1+2i|=.解析:原式=-1+2i+(i-1)-=-2+3i-=-(2+)+3i.答案:-(2+)+3i7.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=.解析:z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(a∈R)为纯虚数,所以解得a=-1.答案:-18.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).若z1-z2=13-2i,求z1,z2.解:∵z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,又z1-z2=13-2i,∴(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i.∴解得∴z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.9.在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求对应的复数;(2)判断△ABC的形状;(3)求△ABC的面积.解:(1)对应的复数为2+i-1=1+i,对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i,对应的复数为-1+2i-1=-2+2i.(2)∵||=,||=,||==2,∴||2+||2=||2,∴△ABC为直角三角形.(3)S△ABC=×2=2.B组1.复数z=x+y i(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()A.2B.4C.4D.16解析:∵复数z=x+y i(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,∴|x+(y-4)i|=|(x+2)+y i|,化简得x+2y=3.∴2x+4y≥2=2=2=4,当且仅当x=2y=时,等号成立.答案:C2.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z即为△ABC的外心.答案:A3.设纯虚数z满足|z-1-i|=3,则z=.解析:∵z为纯虚数,∴设z=b i(b∈R,且b≠0).由|z-1-i|=3,得|-1+(b-1)i|=3.∴1+(b-1)2=9.∴b-1=±2.∴b=1±2.答案:(1±2)i4.已知复数z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,则的最大值为.解析:∵z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,∴(x-2)2+y2=3.由图可知.答案:5.已知复平面内的A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π),设对应的复数是z.(1)求复数z;(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.解:(1)∵点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,∴点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ),∴=(-cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)= (-1,-2sin2θ).∴对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i.(2)由(1)知点P的坐标是,代入y=x,得-2sin2θ=-,即sin2θ=,∴sin θ=±.又θ∈(0,π),∴sin θ=,∴θ=.6.若z∈C,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.解:设z=x+y i,x,y∈R,由|z+2-2i|=1,得|z-(-2+2i)|=1,表示以(-2,2)为圆心,1为半径的圆,如图所示,则|z-2-2i|=表示圆上的点与定点(2,2)的距离,由数形结合得|z-2-2i|的最小值为3.7.设z1=1+2a i,z2=a-i,a∈R,A={z||z-z1|<},B={z||z-z2|≤2},已知A∩B=⌀,求a的取值范围.解:因为z1=1+2a i,z2=a-i,|z-z1|<,即|z-(1+2a i)|<,|z-z2|≤2,即|z-(a-i)|≤2,由复数减法及模的几何意义知,集合A是以 (1,2a)为圆心,为半径的圆的内部的点对应的复数,集合B是以(a,-1)为圆心,2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数,若A∩B=⌀,则两圆圆心距大于或等于半径和,即≥3,解得a≤-2或a≥.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

跟踪训练3 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围是___[_0_,3_]__.
解析由复数的模及复数加减运算的几何意义可知， 1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0，当点A与点C(2,0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.
复数与向量的对应关系的两个关注点
①
②
复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的.
一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变.
跟踪训练 2 (1)已知复平面内的向量O→A，A→B对应的复数分别是－2＋i,3＋2i，则|O→B|＝____1_0___.
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2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
√C.第三象限
D.第四象限
解析
解析 z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.
故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限.
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3.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且 z1－z2为纯虚数，则a＝__－__1____.
解析 ∵O→B＝O→A＋A→B， ∴O→B对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴|O→B|＝ 12＋32＝ 10.
(2) 若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是__(_－__∞__，__2_) __.

3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义课件人教新课标

复数的减法法则：
（a+bi）－（c+di）=(a－c)+(b－ d)i
点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。
归纳总结
一、复数加法与减法的运算法则
即：两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).结果还是一个复数。
例题讲授
例1、计算(5－6i )+(-2－i) － (3+4i)
y
Z2
| z1 z2 || (a c) (b d )i |
Z1
(a c)2 (b d )2
0
x
❖复平面内两点距离就是对应两个复数的差的模
已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)| 点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
z1=a1+b1i， z2=a2+b2i ，z1+z2=？
我们规定复数的加法法则：
（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0， d=0时与实数加法法则保持一致。（2）两个复数的和仍然是一个复数。对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
距离。
|z|=
z=a+bi Z (a,b)
y
O
x
思考：
(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
(2)这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？

高中数学3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
-1-
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
课前篇自主预习课堂篇探究学习
学习目标
思维脉络
1.掌握复数代数形式的加法、减法运算法则. 2.理解复数代数形式的加法、减法运算
的几何意义.
3.能够利用复数代数形式的加法、减法运算法则及几何意义解决问题.
-14-
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
课前篇自主预习课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
思想方法当堂检测
变式训练2如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复
数0,3+2i,-2+4i.求:
(1)向量�� 对应的复数;(2)向量�� 对应的复数;(3)向量�� 对应的复数.
解:(1)因为��=-��,所以向量��对应的复数为-3-2i. (2)因为�� = �� − ��,所以向量��对应的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为�� = �� + ��,所以向量��对应的复数为 (3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
(方法二)因为z+1-3i=5-2i,
所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i. -8-
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

【全程复习方略2014-2015学年高中数学 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件新人教A版选修2-2

复数为 .
(2)已知z1，z2∈C，|z1|=|z2|=1，|z1+z2|= 3, 求|z1－z2|．
【解题探究】1.点A,B,C的坐标分别是多少？向量 AB 与向量
DC 是否相等？
2.由复数的几何意义可知，z1,z2,z1+z2在复平面上对应的点分
别为Z1,Z2,Z，则它们与原点构成了一个什么样的图形？
(3)借助向量的运算 OB OA OC. 【解析】(1) AO 则 AO 对应的复数为－(3＋2i)，＝－OA ，即－3－2i. (2) CA＝OA－OC ，所以 CA 对应的复数为(3＋2i)－(－2+4i) ＝5－2i. (3) OB ＝OA ＋AB ＝OA ＋OC ，所以 OB 对应的复数为(3＋2i)＋ (－2＋4i)＝1＋6i.
【题型示范】
类型一
复数的加法、减法运算
【典例1】 (1)若z1=2+i,z2=3+ai,复数z1+z2所对应的点在实轴
上,则a=
A.-2
(
B.2
)
C.-1 D.1
(2)计算:①(1+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2i); ②1+(i+i2)+(-1+2i)+(-1-2i).
【解题探究】1.复数z1+z2的值是多少?实轴上的点所对应复数的虚部是多少? 2.题(2)中①各小括号内的复数所对应的实部与虚部分别是多少?②中的i2等于多少? 【探究提示】1.z1+z2=5+(a+1)i,实轴上点的纵坐标为0,则实轴上的点所对应复数的虚部是0. 2.①各小括号内的复数所对应的实部分别是1,-2,-2,1,虚部分别是2,1,-1,-2.②中的i2等于-1.

高中数学《3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》教案新人教A版选修1-2

1 3.2.1 复数的代数形式的加减运算教学要求：掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。

教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义教学难点：加、减运算的几何意义教学过程：一、复习准备：1. 与复数一一对应的有？2. 试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。

3. 同时用坐标和几何形式表示复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ + 。

向量的加减运算满足何种法则？4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？二、讲授新课：1.复数的加法运算及几何意义①.复数的加法法则：12z a bi Z c di =+=+与，则12()()Z Z a c b d i +=+++。

例1．计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(72)(14)i i -++ （3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。

例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14),(72)i i +-，(32),(43),(5)i i i --++所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。

③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若12Z Z Z +=，则Z 叫做21Z Z 减去的差,21Z Z Z =-记作。

④讨论：若12,Z a b Z c di =+=+，试确定12Z Z Z =-是否是一个确定的值？（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）⑤复数的加法法则及几何意义：()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义知识总结及练习训练课件人教版数学选修2-2

结论： 1.减法法则设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则z1-z2=_(_a_-_c_)_+_(_b_-_d_)_i_.
2.几何意义复数的差z1-z2与向量 OZ1 OZ2 Z2Z1 的坐标对应.
【对点训练】
1.若复数z满足z+(3-4i)=1，则z的虚部是( )
（1)2 32 10.
主题2 复数的减法 1.规定：复数的减法是加法的逆运算，若复数 z=z1-z2，则复数z1等于什么？提示：z1=z+z2.
2.设复数z1=a+bi(a，b∈R)，z2=c+di(c，d∈R)， z=x+yi(x，y∈R)，代入z1=z+z2，由复数相等的充要条件得x，y分别等于什么？提示：x=a-c，y=b-d.
类型一复数代数情势的加减运算
【典例1】(1)已知复数z=(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)，则
复数z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)计算： ①(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)； ②(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+ (2 017-2 018i)-(2 018-2 019i).
【解析】(1)因为 AO＝，O所A 以表示AO的复数为 -3-2i. (2)因为 CA＝OA，所OC以表示CA的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为 OB＝OA，＋O所C以表示O的B 复数为 (3+2i)+(-2+4i)=1+6i.

高中数学第三章3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义讲义新人教A版选修2_2

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝□01(a ±c )＋(b ±d )i. (2)复数加法的运算律复数的加法满足□02交换律、□03结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1；(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的□06终点，并指向被减向量的向量Z 2Z 1→所对应的复数． (3)复平面内的两点间距离公式：d ＝□07|z 1－z 2|. 其中z 1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为Z 1和Z 2间的距离．1．两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，则|Z 2Z 1→|＝|z 1－z 2|＝|(x 1＋y 1i)－(x 2＋y 2i)|＝|(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.2．复数模的两个重要性质(1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．答案 (1)6＋i (2)－11i (3)1－i探究1 复数的加减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. 拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．【跟踪训练1】计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解 (1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i. 探究2 复数加减运算的几何意义例2 已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．[解] 解法一：设D 点对应复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )．又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)，∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.解法二：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i. 由已知AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即点D 对应的复数为3＋5i.[条件探究] 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ，求第四个顶点对应的复数．[解] 设1＋3i ，－i,2＋i 对应A ，B ，C 三点，D 为第四个顶点，则①当ABCD 是平行四边形时，D 点对应的复数是3＋5i.②当ABDC 是平行四边形时，D 点对应的复数为1－3i.③当ADBC 是平行四边形时，D 点对应复数为－1＋i.拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．【跟踪训练2】已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)，设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.所以sin B ＝752＝7210，所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7.所以平行四边形ABCD 的面积为7. 探究3 复数加减运算的几何意义的应用例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[解]解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1.②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.拓展提升掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．【跟踪训练3】若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋y＋12＋x2＋y－12＝2，又x2＋y＋12＝2－x2＋y－12≥0，所以0≤1－y＝x2＋y－12≤2，即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝y i(－1≤y≤1)．所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝12＋y＋12≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立．所以|z＋i＋1|的最小值为1.1.复数的加法规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加，两个复数的和仍是一个复数，这一法则可以推广到多个复数相加.2.因为复数可以用向量来表示，所以复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.3.复数的减法可根据复数的相反数，转化为复数的加法来运算.1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵z 1－z 2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i ， ∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第一象限． 2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D．4i 答案 B解析设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为纯虚数，得x ＝0，且y ≠－3，又|z |＝x 2＋y 2＝|y |＝3，∴y ＝3.故选B.3．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量O A →，O B →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则( ) A ．O A →＝O B → B ．|O A →|＝|O B →| C ．O A →⊥O B →D ．O A →，O B →共线答案 C解析如图，由向量的加法及减法法则可知，O C →＝O A →＋O B →，B A →＝O A →－O B →.由复数加法及减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应O C →的模，|z 1－z 2|对应B A →的模．又|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则O A →⊥O B →.4．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i答案 A解析 z ＝2i ＋(1－i)＝1＋i.故选A.5．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO →对应的复数； (2)向量CA →对应的复数； (3)向量OB →对应的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.。

3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义一、选择题1.已知i为虚数单位，复数z1＝2＋i，z2＝1－2i，则z1＋z2等于()A． 1＋iB． 2－iC． 3－iD．－i2.已知复数z 1＝－i和复数z2＝cos 60°＋isin 60°，则z1＋z2为()A． 1B．－1C．－iD．＋i3.复数满足(a＋3i)＋(2－i)＝5＋b i，则a＋b等于()A．－4B． 7C．－8D． 54.设复数z满足i－z＝2－i，则z等于()A．－1＋2iB．－2＋2iC． 1＋2iD． 1－2i5.设z1＝1－i，z2＝a＋2a i(a∈R)，其中i是虚数单位，若复数z1＋z2是纯虚数，则有()A．a＝1B．a＝C．a＝0D．a＝－16.已知复数z满足z＋i－3＝3－i(i为虚数单位)，则z的实部、虚部分别是()A． 6，－2B． 6，－2iC． 0，－2D． 0，－2i二、填空题7.已知复数z1＝2＋a i，z2＝a＋i(a∈R)，且复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是____．8.若复数z1＝3＋4i，z2＝1＋2i(i是虚数单位)，则z1－z2＝____.9.若复数z1＝a＋i，z2＝1－i，且z1－z2为纯虚数，则实数a的值为____．三、解答题10.已知m是实数，n是纯虚数，且2m＋n＝4＋(3－m)i，求m，n的值．答案解析1.【答案】C【解析】z1＋z2＝(2＋i)＋(1－2i)＝3－i.2.【答案】A【解析】复数z 2＝cos 60°＋isin 60°＝＋i，∴z 1＋z2＝－i＋＋i＝1.3.【答案】D【解析】由(a＋3i)＋(2－i)＝5＋b i，得a＋2＋2i＝5＋b i，则a＋2＝5且b＝2，解得a＝3，b＝2，则a＋b＝3＋2＝5.4.【答案】B【解析】复数z满足i－z＝2－i，则z＝－2＋2i.5.【答案】D【解析】∵z1＝1－i，z2＝a＋2a i，∴复数z1＋z2＝1－i＋a＋2a i＝1＋a＋(2a－1)i，∵复数z1＋z2是纯虚数，∴a＋1＝0，∴a＝－1.6.【答案】A【解析】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＋i－3＝3－i可化为a－3＋(b＋1)i＝3－i，∴解得7.【答案】(2，＋∞)【解析】复数z1＝2＋a i，z2＝a＋i(a∈R)，且复数z1－z2＝2＋a i－a－i＝(2－a)＋(a－1)i.复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，∴解得a∈(2，＋∞)．8.【答案】2＋2i【解析】z1－z2＝(3＋4i)－(1＋2i)＝2＋2i.9.【答案】1【解析】z1－z2＝(a－1)＋2i，要使其为纯虚数需a－1＝0，解得a＝1.10.【答案】解∵m是实数，n是纯虚数，且2m＋n＝4＋(3－m)i，设n＝b i，则解得m＝2，b＝1.∴m＝2，n＝i.【解析】。

( 人教A版)复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件 (共30张PPT)

(2)∵B→A·B→C＝|B→A||B→C|cos B，
→→
∴cos B＝|B→BAA||·BB→CC |＝
53×－210＝5 1 2＝ 102.
∴sin B＝572＝7102， ∴S＝|B→A||B→C|sin B＝ 5× 10×7102＝7，
∴平行四边形 ABCD 的面积为 7.
怎样求解复数加减法几何意义的问题？ 1．复数加法、减法运算的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时，主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算． 2．由于复数可用向量表示，因而可将复数问题转化为向量问题，利用向量的方法解决复数问题．
2．复数加法满足的运算律：
对任意 z1，z2，z3∈C，满足交换律：z1＋z2＝ z2＋z1 ，结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ．
二、复数加法的几何意义如图，若复数 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2不共线，则复数 z1＋z2 是以O→Z1，O→Z2 为两邻边的平行四边形的对角线O→Z所对应的复数，即复数的加法可以按照向量的加法来进行．这就是复数加法的几何意义．
探究二复数加减法的几何意义 [典例 2] 已知复平面内平行四边形 ABCD，点 A 对应的复数为 2＋i，向量B→A对应的复数为 1＋2i，向量B→C对应的复数为 3－i，求： (1)点 C，D 对应的复数； (2)平行四边形 ABCD 的面积．
[解析] (1)∵向量B→A对应的复数为 1＋2i，向量B→C对应的复数为 3－i， ∴向量A→C对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又O→C＝O→A＋A→C， ∴点 C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵A→D＝B→C， ∴向量A→D对应的复数为 3－i，即A→D＝(3，－1)．设 D(x，y)则A→D＝(x－2，y－1)＝(3，－1)， ∴xy－－12＝＝－3，1，解得xy＝＝05，， ∴点 D 对应的复数为 5.