常微分方程在高中物理中的应用

微分方程在高中物理中的应用

高中阶段，我们经常会遇到一些需要定性分析的物理问题，其实如果我们应用高等数学

的知识，可以把其中一些问题进行定量的分析。

例如，质量为m 的物体从高度H 自由下落，所受阻力f 与速度v 成正比，g 为重力加速

度这是我们平时常见的一类问题。但我们只知道速度V 最终会趋近于某一数值v0。下面我

进行一下定量分析。

根据题目所给信息，可列出动力学方程 mg-kv=ma ①

a=dv/dt ②

结合①式可得mg-kv=mdv/dt

这里移项可得dt=mdv/(mg-kv)③

两边同时积分便可的到

V=mg(ce*(-kt/m)+1)/k

又∵自由下落，可得t=0时v=.0

∴v=mg(1-e*(-kt/m))/k ④

由④式知，当t 趋近于正无穷时，e*(-kt/m)=0，

此时v=mg/k ⑤

若按照正常思路，当物体受力平衡时，mg=kv,此时也能得到⑤式的结论。

而在高考中，更为常见的是在电磁场中的同类问题，我们不妨看一下下面这一道例题

（2012·山东理综）如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹

角为θ，上端接有定值电阻，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B 。将质量为m 的导

体棒由静止释放，当速度达到v 时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的

拉力，并保持拉力的功率为P ，导体棒最终以2v 的速度匀速运动。导体棒始终与导轨垂直

且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g ，下列选项正

确的是

A ．P =2mg sin θ

B ．P =3mg sin θ

C ．当导体棒速度达到v /2时加速度为1

2g sin θ

D ．在速度达到2v 以后匀速运动的过程中，R 上产生的焦耳热等于拉力

所做的功

我们根据题目也可以列出动力学方程

Mgsin θ-B*2L*2V/R=ma ①

a=dv/dt ②

同样可以解得v=(mgRsin θ/B*2L*2)(1-e*(-B*2L*2t/mR))③

从③式可以看出当t 趋近于正无穷时，v=mgRsin θ/B*2L*2即B*2L*2v/R=mgsin θ转化而来。

所以题目中所说当速度到达V 时开始匀速运动存在明显错误。应改为近似于做匀速直线运

动。

参考文献：2012年山东高考理综卷