圆的基本性质教案(含答案)

D

B

圆的基本性质

基础知识回放

集合：

圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹：

1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；

2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；

3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 垂径定理:

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD

圆心角定理

圆周角定理

圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半

即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB

BC BD =AC AD =

B

B

A

O

M

A

P

圆周角定理的推论：

推论1弧

即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90°

∴∠C=90° ∴AB 是直径

推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB

∴△ABC 是直角三角形或∠C=90°

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

弦切角定理:

弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 即：∵MN 是切线，AB 是弦 ∴∠BAM=∠BCA

切线的性质与判定定理 （1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN ⊥OA 且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 ∵MN 是切线 ∴MN ⊥OA

切线长定理:

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA=PB

PO 平分∠BPA

D

B

A

l O 圆内相交弦定理及其推论：

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等 即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P

∴PA ·PB=PC ·PA （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的

比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB ⊥CD ∴

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线

∴ （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）

即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线

∴

弧长、扇形面积公式

（1）弧长公式： （2）扇形面积公式：

中考热点难点突破

例1：如图1，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 在劣弧CD 上不同于点C 得到任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）

A ．45

B ．60

C ．75

D ．90

例2：如图，在

O 中，AOB ∠的度数为m C ，是ACB 上一点，D E ，是AB 上不同的两点

（不与A B ，两点重合），则D E ∠+∠的度数为（

）

例

2图

例3图

22CE DE EA EB

==2PA PC PB

=PC PB PD PE =180

n R

l π=21

3602

n R S lR π==

A ．m

B ．1802

m -

C ．902

m +

D ．

2

m 例3：高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）

A ．5

B ．7

C ．

375 D ．377

试题演练

一、选择题

1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ）

A ．

3

cm 2

B ．3cm

C ．23cm

D ．9cm

2．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ） A ．28° B ．56°

C ．60°

D ．62°

3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E,∠CDB ＝30°, ⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ） A ．

3

cm 2

B ．3cm

C ．23cm

D ．9cm

4．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22，BD ＝3，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

5．△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ） A ．120° B ．125° C ．135° D ．150°

6．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径．若∠BOC ＝80°，则∠A 等于（ ） A ．60°

B ．50°

C ．40°

D ．30°

B C

D

A

第1题图

第2题图

第3题图

第4题图

第6题图

第7题图 第8题图

第9题图