小波分析在信号奇异性检测中的应用
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博士生导师 。主要从事数字通信系统 、扩频通信技术 、 软件无线电技术方面的研究 。
b 为实数且 a ≥0 , a 为伸缩因子 , b 为平移因子 。任
意信 号 f ( t) ∈ L2 ( R) , 其 小 波 变 换 Wf ( a , b) 定
义为 :
Wf ( a , b) =〈f ( t) , Ψab ( t) 〉=
中图分类号 :TN911 文献标识码 :A 文章编号 :1009 - 2552 (2008) 05 - 0058 - 03
小波分析在信号奇异性检测中的应用
郭黎利 , 刘 微 , 叶桂林
(哈尔滨工程大学信息与通信工程学院 , 哈尔滨 150001)
摘 要 : 小波变换突破了传统傅里叶变换等信号处理方法的限制 , 在时域和频域上可同时对信 号实现局部化处理 , 因而在检测信号奇异性等方面具有广泛的应用价值 。现介绍了小波变换的 基本理论以及在检测信号奇异性中的作用 。并在 Matlab 下进行了两种奇异信号仿真试验 , 取得 了一定的效果 。实验结果表明 , 小波变换在奇异信号的检测中是有效的 。 关键词 : 小波变换 ; 奇异性检测 ; 信号处理
西安 :西安电子科技大学出版社 ,2002. 责任编辑 :张荣香
Application of wavelet analysis on testing singular signal
GUO Li2li , LIU Wei , YE Gui2lin
( College of Information and Communication Engineering , Harbin Engineering University , Harbin 150001 , China)
小波变换突破了传统傅里叶变换等信号处理方 法的限制 ,在时域和频域上可同时对信号实现局部 化处理 ,这更符合信号非平稳的变频带结构特征 ,因 而在信号检测奇异性等方面具有广泛的应用价值 。 本文简要地介绍了小波应用在信号奇异性检测方面
— 58 —
变换的基本原理 ,并通过仿真实验进行了验证 。
1 小波变换的基本概念
(7)
则称( x0 , y0) 为小波变换模极大值(过零) 点。尺度空间
中所有的模极大值点的连续称为模极大值线 。关于模 极大值与信号的突变(奇异) 点有下面的定理。 定理 :设 n 为一严格的整数 , Ψ为具有 n 阶消失矩 、n 次连续可微和紧支集的小波 , f ( t) ∈ L1 ( c , d) ( [ c , d ] 为某一实数区间) ,若存在尺度 x0 > 0 , 使得 Π x < 0 , t ∈ ( c , d) , { Wf ( x , y) { 没有局部极大值点 , 则在区间 ( c +ε, d - ε) 是一致Lipschitz a (ε为任意 小的正数) 。一般来讲 , 函数在某一点的 Lipschitz 指 数 a 表征了该当的奇异性大小 , a 越大 ,该点的光滑 度越高 ; a 越小 ,该点的奇异性越大[3] 。
— 60 —
图 6 小波分解后分段正弦信号各层细节信号
参 考 文 献:
[1 ] 程正兴. 小波分析算法与应用 [ M] . 西安 : 西安交通大学出版 社 ,1998.
[2 ] 董长虹. Matlab 小波分析工具箱原理及应用[ M] . 北京 :国防工 业出版社 ,2004.
[3 ] 胡广书. 现代信号处理教程[M] . 北京 :清华大学出版社 ,2004. [4 ] 马拉特 ,杨力华 ,戴道清. 信号处理的小波引导[ M] . 北京 :机械
节信号部分能清晰地显示出该信号的频率间断点的
准确位置 ,而第一层细节信号中对信号的不连续性 显示的相当的明显 。
图 4 傅里叶变换后分段正弦信号频谱 图 5 小波分解后分段正弦信号各层逼近信号
图 3 分段正弦信号波形
5 结束语
小波变换被誉为分析信号的显微镜 ,能精确刻 画信号在小波变换下的局部奇异性 。同时 ,各奇异 点的位置 ,也可以由小波变换的局部模极大值性质 检测出来 。实验仿真结果表明小波变换在信号奇异 点检测是可行的 ,尤其在时频分析方面有着傅里叶 变换所无法比拟的优越性 。
Abstract : Unlike the traditional Fourier transform ,the wavelet transform has good localization property both in time and frequency domains. This paper introduces the concept of wavelet transform and the application of the wavelet transform in the detection of the singularity. The simulation validates is also made. It is proved that the technique has specific property for singular detection. Key words : wavelet transformation ; singularity detection ; signal processing
∫ 1
-∞
f ( t) Ψ
a +∞
ta
b
dt
(3)
由上式可知 a 的变化不仅改变连续小波的频谱结
构 ,也改变其窗口的大小与形状 。随着 a 的减小 ,
Ψab ( t) 的频谱就向高频方向移动 , 而 Ψab ( t) 的宽
度则越来越狭小 。这就满足了信号频率高相应的窗
口应该小 ,因而它在时间或 (空间) 域上均有较高的
分辨力 。
小波变换是可逆的 ,则信号 f ( t) 的重构公式
∫∫ f ( t)
=
1 Ch
+∞ +∞
-
∞
-
Wf
∞
(
a
,
b)
Ψab
(
t)
1 a2
d
ad
b
(4)
ห้องสมุดไป่ตู้
式中 :
∫ Ch =
+∞ -∞
{φ^ (ω) { {ω {
2
dω
(5)
2 应用小波变换对奇异信号进行检测
傅里叶变换是研究函数奇异性的主要工具 。但
设 Ψ( t) 为 一 平 方 可 积 函 数 , 即 Ψ( t) ∈ L2 ( R) ,若其傅里叶变换 Ψ(ω) 满足条件 :
∫ CΨ =
{ Ψ (ω) {ω {
{
2
dω
<
∞
(1)
R
则称 Ψ( t) 为一个基本小波或小波母函数 , 我们称
式 (1) 为小波函数的可容许性条件 。其中 t 为时间 ,
3 基于小波变换的奇异信号检测仿真
选择合适的小波可以提高检测的准确度 。适合 于检 测 奇 异 信 号 的 小 波 基 需 要 满 足 以 下 条 件 : ①Ψ( t) 有紧支集 ; ②Ψ( t) 连续可微 ; ③Ψ( t) 具有 对称性 ; ④Ψ( t) 有阶消失矩 。 3. 1 第一类间断点的检测
ω为频率 , R 为实数集合 , L2 ( R) 为实数域平方可积
空间 , 由函数 Ψ( t) 经过伸缩和平移得到的一族
函数 :
Ψab ( t) =
1Ψ
a
t- b a
(2)
称为小波函数族或依赖于 a , b 的连续小波 ,式中 a ,
收稿日期 : 2007 - 10 - 18 作者简介 : 郭黎利 (1955 - ) ,男 ,哈尔滨工程大学教授 ,硕士生导师 、
傅里叶变换及小波变换 。如图 4 所示 ,经过傅里叶
变换后 ,从信号的频谱中不能确定信号奇变点的位
置 ,只能判断出原始信号所包含的频率 ,原因是傅里
叶变换不具备局部分析能力 ,从而无法判断出信号
频率瞬变的时间 。应用 db5 小波对信号进行 5 层分
解后 ,得到的细节信号如图 6 所示 ,可以看出 ,在细
图 1 5 层 db5 小波分解细节信号
312 第二类间断点的检测 利用 Matlab 调入含有奇变点的 nearbrk 信号 。
从原始信号来看 ,原始信号是一条光滑直线 ,但是它 的一阶微分有突变 。利用‘db2’小波进行分解后 ,该 信号的第二类间断点就显现出来了 。在第二类间断 点的检测中 ,选择小波的正则性非常重要 ,如果所选 择小波不具有正则性 ,将检测不出第二类间断点 。 如图 2 所示 。
在信号处理的领域中 ,存在众多的频域分析方 法 ,其基本思想都是通过研究信号的频谱特征来得 到进行信号处理的基本信息 ,傅里叶分析方法是一 种最古老也是发展最充分的方法 ,但是傅里叶分析 方法的严重不足在于不能表达时域信息 ,应用很受 局限 ,后来提出的短时傅里叶变换虽然可以表达时 域信息 ,但是在空间中的分辨率是固定的 ,不够灵 活 ,不能反映信号瞬变的特点 。如果一个信号在某 个时刻的一个小的邻域中发生突变 ,那么整个频谱 都将受到影响[1] 。因此 ,在非平稳信号分析和实时 信号处理的许多应用中 ,只有傅里叶变换是不够的 。 而许多信号的急剧变化之处常常是分析信号特性的 最关键之处 。
利用 Matlab 调入含有奇变点的 freqbrk 信号 。 从原始信号来看 ,在具有低频信号特征的正弦信号 的后半部分加入了具有中高频特征的正弦信号 。用 ‘db5’小波将信号分解到第 5 层 ,来检测第一种类型 的间断点 。由图 1 可以看出 ,在信号的低高频变化 部分清晰的显示出了间断点的准确位置 ,在该信号 的小波分解中 ,第一层和第二层 (d1 和 d2) 将信号的 不连续部分表现得很明显 。
— 59 —
图 2 5 层 db2 小波分解细节信号
4 小波变换与傅里叶变换仿真结果比
较分析
原始信号采用如式 8 所示的分段正弦信号 :
sin (0. 05 t) 1 ≤ t ≤500
s ( t) = sin (0. 5 t) 501 ≤ t ≤1000
(8)
其频谱图如图 3 所示 。对该分段正弦信号分别进行
定义 :在某一尺度 x0 下 , 如果存在一点 ( x0 , y0) 使得
9 Wf ( x0 , y0) 9y
=0
(6)
则称点 ( x0 , y0)
是局部极值点
,
且
9
Wf
( x0
9y
,
y)
在y
=
y0 上有一个模极大值 (过零) 点 。如果对 y0 的某一领
域内的任点 y ,有
{ Wf ( x0 , y) { ≤ { Wf ( x0 , y0) {
是傅里叶变换缺乏空间局部性 , 它只能确定一个函 数奇异性的整体性质 , 而难以确定奇异点在空间的 位置和分布情况 。小波分析具有空间局部化性质 ,因 此 ,利用小波分析来分析信号的奇异性及奇异点的 位置和奇异度的大小是比较有效的 。
信号的奇异性一般分为两种情况 :一种是信号 在某一个时刻内 ,其幅值或频率发生突变 ,幅值或频 率发生突变处是第一种类型的间断点 ; 另一种是信 号外观上很光滑 ,幅值没有突变 ,但是信号的一阶微 分有突变产生 ,且一阶微分是不连续的 ,称为第二种 类型的间断点[2] 。
工业出版社 ,2002. [5 ] 徐佩霞 , 孙功宪. 小波分析与应用实例[M] . 合肥 :中国科学技
术大学出版社 ,1996. [ 6 ] Walker J S. Fourier Analysis and Wavelet Analysis[J ] . Notice of Amer
Math. Soc ,1997 ,44 (6) :658 - 670. [7 ] 胡昌华. 基于 MATLAB 的系统分析与设计 ———小波分析 [ M] .
b 为实数且 a ≥0 , a 为伸缩因子 , b 为平移因子 。任
意信 号 f ( t) ∈ L2 ( R) , 其 小 波 变 换 Wf ( a , b) 定
义为 :
Wf ( a , b) =〈f ( t) , Ψab ( t) 〉=
中图分类号 :TN911 文献标识码 :A 文章编号 :1009 - 2552 (2008) 05 - 0058 - 03
小波分析在信号奇异性检测中的应用
郭黎利 , 刘 微 , 叶桂林
(哈尔滨工程大学信息与通信工程学院 , 哈尔滨 150001)
摘 要 : 小波变换突破了传统傅里叶变换等信号处理方法的限制 , 在时域和频域上可同时对信 号实现局部化处理 , 因而在检测信号奇异性等方面具有广泛的应用价值 。现介绍了小波变换的 基本理论以及在检测信号奇异性中的作用 。并在 Matlab 下进行了两种奇异信号仿真试验 , 取得 了一定的效果 。实验结果表明 , 小波变换在奇异信号的检测中是有效的 。 关键词 : 小波变换 ; 奇异性检测 ; 信号处理
西安 :西安电子科技大学出版社 ,2002. 责任编辑 :张荣香
Application of wavelet analysis on testing singular signal
GUO Li2li , LIU Wei , YE Gui2lin
( College of Information and Communication Engineering , Harbin Engineering University , Harbin 150001 , China)
小波变换突破了传统傅里叶变换等信号处理方 法的限制 ,在时域和频域上可同时对信号实现局部 化处理 ,这更符合信号非平稳的变频带结构特征 ,因 而在信号检测奇异性等方面具有广泛的应用价值 。 本文简要地介绍了小波应用在信号奇异性检测方面
— 58 —
变换的基本原理 ,并通过仿真实验进行了验证 。
1 小波变换的基本概念
(7)
则称( x0 , y0) 为小波变换模极大值(过零) 点。尺度空间
中所有的模极大值点的连续称为模极大值线 。关于模 极大值与信号的突变(奇异) 点有下面的定理。 定理 :设 n 为一严格的整数 , Ψ为具有 n 阶消失矩 、n 次连续可微和紧支集的小波 , f ( t) ∈ L1 ( c , d) ( [ c , d ] 为某一实数区间) ,若存在尺度 x0 > 0 , 使得 Π x < 0 , t ∈ ( c , d) , { Wf ( x , y) { 没有局部极大值点 , 则在区间 ( c +ε, d - ε) 是一致Lipschitz a (ε为任意 小的正数) 。一般来讲 , 函数在某一点的 Lipschitz 指 数 a 表征了该当的奇异性大小 , a 越大 ,该点的光滑 度越高 ; a 越小 ,该点的奇异性越大[3] 。
— 60 —
图 6 小波分解后分段正弦信号各层细节信号
参 考 文 献:
[1 ] 程正兴. 小波分析算法与应用 [ M] . 西安 : 西安交通大学出版 社 ,1998.
[2 ] 董长虹. Matlab 小波分析工具箱原理及应用[ M] . 北京 :国防工 业出版社 ,2004.
[3 ] 胡广书. 现代信号处理教程[M] . 北京 :清华大学出版社 ,2004. [4 ] 马拉特 ,杨力华 ,戴道清. 信号处理的小波引导[ M] . 北京 :机械
节信号部分能清晰地显示出该信号的频率间断点的
准确位置 ,而第一层细节信号中对信号的不连续性 显示的相当的明显 。
图 4 傅里叶变换后分段正弦信号频谱 图 5 小波分解后分段正弦信号各层逼近信号
图 3 分段正弦信号波形
5 结束语
小波变换被誉为分析信号的显微镜 ,能精确刻 画信号在小波变换下的局部奇异性 。同时 ,各奇异 点的位置 ,也可以由小波变换的局部模极大值性质 检测出来 。实验仿真结果表明小波变换在信号奇异 点检测是可行的 ,尤其在时频分析方面有着傅里叶 变换所无法比拟的优越性 。
Abstract : Unlike the traditional Fourier transform ,the wavelet transform has good localization property both in time and frequency domains. This paper introduces the concept of wavelet transform and the application of the wavelet transform in the detection of the singularity. The simulation validates is also made. It is proved that the technique has specific property for singular detection. Key words : wavelet transformation ; singularity detection ; signal processing
∫ 1
-∞
f ( t) Ψ
a +∞
ta
b
dt
(3)
由上式可知 a 的变化不仅改变连续小波的频谱结
构 ,也改变其窗口的大小与形状 。随着 a 的减小 ,
Ψab ( t) 的频谱就向高频方向移动 , 而 Ψab ( t) 的宽
度则越来越狭小 。这就满足了信号频率高相应的窗
口应该小 ,因而它在时间或 (空间) 域上均有较高的
分辨力 。
小波变换是可逆的 ,则信号 f ( t) 的重构公式
∫∫ f ( t)
=
1 Ch
+∞ +∞
-
∞
-
Wf
∞
(
a
,
b)
Ψab
(
t)
1 a2
d
ad
b
(4)
ห้องสมุดไป่ตู้
式中 :
∫ Ch =
+∞ -∞
{φ^ (ω) { {ω {
2
dω
(5)
2 应用小波变换对奇异信号进行检测
傅里叶变换是研究函数奇异性的主要工具 。但
设 Ψ( t) 为 一 平 方 可 积 函 数 , 即 Ψ( t) ∈ L2 ( R) ,若其傅里叶变换 Ψ(ω) 满足条件 :
∫ CΨ =
{ Ψ (ω) {ω {
{
2
dω
<
∞
(1)
R
则称 Ψ( t) 为一个基本小波或小波母函数 , 我们称
式 (1) 为小波函数的可容许性条件 。其中 t 为时间 ,
3 基于小波变换的奇异信号检测仿真
选择合适的小波可以提高检测的准确度 。适合 于检 测 奇 异 信 号 的 小 波 基 需 要 满 足 以 下 条 件 : ①Ψ( t) 有紧支集 ; ②Ψ( t) 连续可微 ; ③Ψ( t) 具有 对称性 ; ④Ψ( t) 有阶消失矩 。 3. 1 第一类间断点的检测
ω为频率 , R 为实数集合 , L2 ( R) 为实数域平方可积
空间 , 由函数 Ψ( t) 经过伸缩和平移得到的一族
函数 :
Ψab ( t) =
1Ψ
a
t- b a
(2)
称为小波函数族或依赖于 a , b 的连续小波 ,式中 a ,
收稿日期 : 2007 - 10 - 18 作者简介 : 郭黎利 (1955 - ) ,男 ,哈尔滨工程大学教授 ,硕士生导师 、
傅里叶变换及小波变换 。如图 4 所示 ,经过傅里叶
变换后 ,从信号的频谱中不能确定信号奇变点的位
置 ,只能判断出原始信号所包含的频率 ,原因是傅里
叶变换不具备局部分析能力 ,从而无法判断出信号
频率瞬变的时间 。应用 db5 小波对信号进行 5 层分
解后 ,得到的细节信号如图 6 所示 ,可以看出 ,在细
图 1 5 层 db5 小波分解细节信号
312 第二类间断点的检测 利用 Matlab 调入含有奇变点的 nearbrk 信号 。
从原始信号来看 ,原始信号是一条光滑直线 ,但是它 的一阶微分有突变 。利用‘db2’小波进行分解后 ,该 信号的第二类间断点就显现出来了 。在第二类间断 点的检测中 ,选择小波的正则性非常重要 ,如果所选 择小波不具有正则性 ,将检测不出第二类间断点 。 如图 2 所示 。
在信号处理的领域中 ,存在众多的频域分析方 法 ,其基本思想都是通过研究信号的频谱特征来得 到进行信号处理的基本信息 ,傅里叶分析方法是一 种最古老也是发展最充分的方法 ,但是傅里叶分析 方法的严重不足在于不能表达时域信息 ,应用很受 局限 ,后来提出的短时傅里叶变换虽然可以表达时 域信息 ,但是在空间中的分辨率是固定的 ,不够灵 活 ,不能反映信号瞬变的特点 。如果一个信号在某 个时刻的一个小的邻域中发生突变 ,那么整个频谱 都将受到影响[1] 。因此 ,在非平稳信号分析和实时 信号处理的许多应用中 ,只有傅里叶变换是不够的 。 而许多信号的急剧变化之处常常是分析信号特性的 最关键之处 。
利用 Matlab 调入含有奇变点的 freqbrk 信号 。 从原始信号来看 ,在具有低频信号特征的正弦信号 的后半部分加入了具有中高频特征的正弦信号 。用 ‘db5’小波将信号分解到第 5 层 ,来检测第一种类型 的间断点 。由图 1 可以看出 ,在信号的低高频变化 部分清晰的显示出了间断点的准确位置 ,在该信号 的小波分解中 ,第一层和第二层 (d1 和 d2) 将信号的 不连续部分表现得很明显 。
— 59 —
图 2 5 层 db2 小波分解细节信号
4 小波变换与傅里叶变换仿真结果比
较分析
原始信号采用如式 8 所示的分段正弦信号 :
sin (0. 05 t) 1 ≤ t ≤500
s ( t) = sin (0. 5 t) 501 ≤ t ≤1000
(8)
其频谱图如图 3 所示 。对该分段正弦信号分别进行
定义 :在某一尺度 x0 下 , 如果存在一点 ( x0 , y0) 使得
9 Wf ( x0 , y0) 9y
=0
(6)
则称点 ( x0 , y0)
是局部极值点
,
且
9
Wf
( x0
9y
,
y)
在y
=
y0 上有一个模极大值 (过零) 点 。如果对 y0 的某一领
域内的任点 y ,有
{ Wf ( x0 , y) { ≤ { Wf ( x0 , y0) {
是傅里叶变换缺乏空间局部性 , 它只能确定一个函 数奇异性的整体性质 , 而难以确定奇异点在空间的 位置和分布情况 。小波分析具有空间局部化性质 ,因 此 ,利用小波分析来分析信号的奇异性及奇异点的 位置和奇异度的大小是比较有效的 。
信号的奇异性一般分为两种情况 :一种是信号 在某一个时刻内 ,其幅值或频率发生突变 ,幅值或频 率发生突变处是第一种类型的间断点 ; 另一种是信 号外观上很光滑 ,幅值没有突变 ,但是信号的一阶微 分有突变产生 ,且一阶微分是不连续的 ,称为第二种 类型的间断点[2] 。
工业出版社 ,2002. [5 ] 徐佩霞 , 孙功宪. 小波分析与应用实例[M] . 合肥 :中国科学技
术大学出版社 ,1996. [ 6 ] Walker J S. Fourier Analysis and Wavelet Analysis[J ] . Notice of Amer
Math. Soc ,1997 ,44 (6) :658 - 670. [7 ] 胡昌华. 基于 MATLAB 的系统分析与设计 ———小波分析 [ M] .