第5章插值法PPT课件
插值法(共7张PPT)
( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), , ( x n , y n ), 有
n
[ y k ( x k )] 2
k 1
n
[ y k ( a 0 a 1 x k )] 2 k 1
f (a 0,a1)
可见 , f ( a 0 , a 1 )的极大值点
即为所待定的常数
(a 0,a1)
由a0,a1) 0 a0
f (a0,a1) 0 a1
2
n
(yk
a0
a1xk )
0
k 1
n
2 ( y k a 0 a 1 x k ) x k 0
k 1
na
0
n
xk
a1
n
yk
k 1
k 1
n k 1
x
k
a
0
n x k 2 a 1 k 1
g(x) f(x)
xx
0
1
x
x
2
第一页，共7页。
x
x
3
4
拟合曲线：从数据中找出的趋势性、规律性曲线。消除了数据 的 局部波动。
y
(xi , yi) , i = 1, 2, …, m
x
这时不是取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) yi 总体上尽可能小。
常见做法：
太复杂
➢ 使 m 1im a|P x(xi)yi |最小 /* mini(max()) problem? */
m
m
2
aj
y x
j i
k
＝
xk
ii
j0
i1
i 1
m
m
记 bk xik , ck yi xik
第5章 插值方法
第5章插值方法5.1 插值问题概述假设f(x)是某个表达式很复杂,甚至根本写不出来的实函数,且已知f(x)在某个区间[a,b]上的n+1个互异的点x0,x1,…,x n处的函数值f(x0),f(x1),…,f(x n)，我们希望找到一个简单的函数y=P(x),使得P(x k)=f(x k),k=0,1,…,n.这就是插值问题。
如果我们找到了这样的函数y=P(x),我们就可以在一定范围内利用P(x)近似表示f(x),从而解决了相应的计算问题。
1.利用函数值列表来表示插值问题对于一个插值问题来说，我们的已知条件就是n+1个互异的点处的函数值.回顾高等数学中学习过的函数的表示方法，我们可用下面表1的形式列出已知的函数值，并简称为由表1给出的插值问题。
表1：插值问题的函数值列表2.重要术语对于n+1个基点的插值问题，我们称：f(x) 为被插值函数;P(x)为插值函数；x0,x1,…,x n为插值基点或插值节点;P(x k)=f(x k),k=0,1,…,n为插值条件；[a,b]为插值区间。
注释：对于早期的插值问题来说，f(x)通常是已知的，比如对数函数，指数函数，三角函数等这些问题现在已经不用插值法来计算了；对于现在的许多实际问题来说，我们并不知道f(x)的具体形式，所对应的函数值可能是由测量仪器或其他物理设备中直接读出来的，f(x)只是一个概念中的函数。
3．多项式插值对于n+1个基点的插值问题，如果要求插值函数是次数不超过n 的多项式，记为P n(x)，则相应的问题就是多项式插值，并且把P n(x)称为插值多项式。
实际上，我们所考虑的插值函数通常都是多项式函数或分段多项式函数。
由于次数不超过n的多项式的一般形式为P n((x)=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n （1）所以只要确定了n+1个系数a 0,a 1,a 2,a n ，我们便确定了一个插值多项式。
4．多项式插值的一般方法对于n+1个基点的多项式插值问题，我们完全可以用上一章中的办法来求插值多项式P n (x)的系数，a 0,a 1,a 2,a n ，它们可表为下面的线性方程组的解，所以多项式插值相对说来是很简单的。
数值分析第五章插值法精品PPT课件
故 R n ( x ) K ( x ) x x ( 0 ) x x ( 1 ) ( x x n ).
其中 K (x)是与 x有关的待定函数.
如何求 K (x) ?
8
现把x看成是[a, b]上的固定点, 作辅助函数
x22
x2n
a2
f
(x2
)
1 xn xn2 xnnan f (xn)
系数矩阵A的行列式是Vandermonde行列式，其值为
n
deA t() (xj xi)
i,j0,ij
当插值节点xi (i=0, 1, 2, …, n)互不相同时，此行列
式不为0, 即系数矩阵A可逆. 因此ai (i=0, 1, 2, …, n),
11 2181.031 3 03.
抛物线插值. 取x0=11, x1=12, x1=13, 插值多项式为
L2(x)2.39((1 7x 1 91 1))2 21 x (( 111)3 )32.48((1 4x 2 91 1))1 11 x (( 211)3 )3 2.56(4x 91)1x (1)2 (1 31)11 ( 31)2
xx0xx11y0xx1xx00y1
x0
x1
l0 ( x)
xi x0 x1
1次多项式
10
l0 (x )y 0 l1 (x )y 1
l1( x)
xi x0 x1
1次多项式
01
13
➢ 二次插值多项式
已知
xi
x0 x1 x2
yi f(xi) y 0 y 1 y 2
求 L2(x)
(1) 至多2次多项式; (2) L 2 ( x i ) f ( x i ) y i ( i 0 , 1 , 2 ).
计算方法PPT课件第五章 插值与拟合
因此
li (x)
(x x0 )(x x1 ) (xi x0 )(xi x1 )
(x ( xi
xi1 )(x xi1 ) ( x xi1 )( xi xi1 ) ( xi
xn ) xn
)
n x x j . j0 xi x j ji
5.2.2 拉格朗日插值多项式
设用试验或观测方法得到函数 的如下函数y 值f表(x)
xi x0 , x1, , xn
yi y 0 , y1 , , y n
(5.11)
其中：yi f (xi )(i 0,1,..., n).我们用插值基函数li (x)(i 0, 1,..., n)的线性组合来构造满足式(5.11)的插值多项式，令
2020年1月26日星期日
主讲 韩光朋
17
(2) 将x 2.5代入，得L2 (2.5) 1.2625，因此
f (2.5) L2 (2.5) 1.2625.
(3)
f
(x)
ln(1
x), 求出f
''' ( x)
2 (1 x)3
,
从而max f ''' ( x) 1 .
1 x3
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)
,
(5.6)
其中： （a,b)且依赖于x,而x [a,b].
证明（见P111)略
2020年1月26日星期日
主讲 韩光朋
9
在实际插值问题中，由 于一般不知道，且实
际插值中f (x)一般较复杂或者未知， 因此用余项公 式（5.6）求误差是较困难的， 只能对其进行估计。 若
计算方法教学配套课件刘师少第五章插值与曲线拟合
Tel：86613747E-mail：*************授课: 68学分：45.1 问题的提出– 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值y i = f(x i )– 或者给出函数表x x 0x 1x 2……x n yy 0y 1y 2……y n第五章插值与曲线拟合5.2 插值法的基本原理设函数y=f (x )定义在区间[a, b ]上,是[a, b ]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值 为已知 ,即若存在一个f(x)的近似函数 ,满足则称为f (x )的一个插值函数, f (x )为被插函数, 点x i 为插值节点, 称(5.1)式为插值条件, 而误差函数R(x)= 称为插值余项, 区间[a, b ]称为插值区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插n x x x ,,,10 )(,),(),(10n x f x f x f )(i i x f y =)(x ϕ),,2,1()()(n i x f x i i ==ϕ)(x ϕ(5.1))()(x x f ϕ-插值函数 在n+1个互异插值节点(i=0,1,…,n )处与 相等,在其它点x 就用的值作为f (x )的近似值。
这一过程称为插值，点x 称为插值点。
换句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所 要点的函数值。
用的值作为f (x )的近似值,不仅希望能较好地逼近f (x ),而且还希望它计算简单。
由于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点。
所 以本章主要介绍代数插值。
即求一个次数不超过n 次的多项式。
)(x ϕi x )(i x f )(x ϕ)(x ϕ)(x ϕ0111)(a x a xa x a x P n n n n ++++=--111)(a x a xa x a x P n n n n ++++=-- 满足),,2,1,0()()(n i x f x P i i ==则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。
数值计算方法 5插值法
5.2.3 n次拉格朗日插值
➢问题描述
插值基点：x0，x1，…，xn（n+1个点互异） 插值函数：不超过n次的多项式
插值条件：Ln(xi)=yi, i=0,1,2,…,n
➢基函数
li (x)
(x x0 ) (x xi1 )(x xi1 ) (x xn ) (xi x0 ) (xi xi1 )(xi xi1 ) (xi xn )
定义5-3
设H
是
n
不超过n次的多项式的全体的集合，
0
(
x)
,1
(
x),
,n (x)
是H n中n
1个线性无关的多项式，则0 (x),1 (x),
,
n
(
x)是H
的
n
一组基函数。
注意：基函数是不唯一的；
n
H n中的任一多项式pn (x)均可由基函数唯一表示，即pn (x) kii (x) i0
➢定理5-1 (插值函数的存在唯一性定理)
由于多项式有其优良的特性，所以通常都是用多项式作为 插值函数。还有其它类型的插值函数，如有理函数插值、 三角函数插值等
➢函数插值涉及的基本问题
插值函数的存在唯一性问题
插值函数的构造问题
截断误差估计与收敛性问题
➢ 代数多项式插值函数的构造方法
拉格朗日插值法 埃尔米特插值法
牛顿插值法
样条函数插值法
拉格朗日插值函数均可表示为一组基函数与函数值的线性组 合，这些基函数与被插函数无关，只需用插值基点有来构造。
5.2.1 拉格朗日线性插值L1(x) ➢线性插值及几何意义
n=1时的n次多项式L1(x) 称为线性插值。此时，有两个互异的 插值基点:x0，x1，插值条件为: L1(x0)=y0, L1(x1)=y1 。
《数值分析》第5章 曲线拟合与函数插值
例如用函数
y Aebx
(5.8)
去拟合一组给定的数据，其中 A和 b是待定参这数时. ，可以在 (5.8) 式两端取
对数，得
ln y ln A bx
记 y ln y，a ln A，则上式可写成 y a b. x这样，仍可用最小二乘法解出
和 a (从而b 也就确定了 和 A) ，于b 是得到拟合函数
区间 [a,b]上是存在的，但往往不知道其具体的解析表达式，只能通过观察、
测量或实验得到一些离散点上的函数值.
我们希望对这种理论上存在的函数用一个比较简单的表达式近似地给出整体 上的描述.
此外，有些函数虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论 分析和数值计算，我们同样希望构造一个既能反映函数特性又便于计算的简 单函数，近似替代原来的函数.
图5-1 人口增长的线性模型
5.1.1 最小二乘问题
设人口 y 与年份 x之间的函数关系为
y a bx
（5.1）
其中 a和 b 是待定参数. 由图5-1可知， (xi , yi并) 不是严格地落在一条直线上，
因此，不论怎样选择 和 a，都b不可能使所有的数据点
(x均i ,满yi )足关系
式 (5.1) .
s0 10, s1 545, s2 29785, u0 18.09, u1 987.78
于是正规方程组为
10 545 a 18.09 545 29785 b 987.78
5.1.2 最小二乘拟合多项式
解得 a 0.570，4 b 0.02，27于是 A ea 1.76，90所求拟合函数为
21 91
441
a1
163
91 441 2275 a2 777
解得 a0 26.8，a1 14.08，57 a2 ，2因此所求拟合多项式为
数值分析课件-5.3Neton插值
第五章函数近似计算的插值法5.3 Newton插值法§均差（也称为差商）是数值方法中的一个重要概念，它可以反映出列表函数的性质，并能对Lagrange 插值公式给出新的表达形式，这就是Newton 插值 。
一、均差二、 Newton 插值公式三、等距节点的Newton 插值公式四、Newton 插值算法5.3 Newton 插值法§,1,0x x -),)((10x x x x --)())((110----n x x x x x x , 显然，多项式组线性无关，因此，可以作为插值基函数,i x 设插值节点为ni f i ,,1,0, =函数值为1,,2,1,0,1-=-=+n i x x h i i i iih h max =ni f x P i i ,,1,0,)( ==插值条件为)())(())(()()(110102010----++--+-+=n n x x x x x x a x x x x a x x a a x P具有如下形式设插值多项式)(x P一、差商(均差)定义1.n i f x x f i i ,,1,0,)( =处的函数值为在互异的节点设称)(],[j i x x f f x x f ji j i j i ≠--=(),()();i j f x x x 为关于节点一阶差商均差平均变化率)(],[],[],,[k j i x x x x f x x f x x x f jk j i k i k j i ≠≠--=(),,i j k f x x x x 为关于的二阶差商(均差), 它是由1阶均差再作一次差商所得;依此类推],,,,[110k k i i i i x x x x f - 阶差商的关于节点为k x x x x x f k k i i i i ,,,,)(110- ],,,,[110k k x x x x f - 差商具有如下性质(请同学们自证)：且的线性组合表示可由函数值阶差商的,)(,),(),(],,,,[)()1(10110k k k x f x f x f x x x x f k x f -显然kk k k k i i i i i i i i i x x x x x x f x x x f --=---1210110],,,,[],,,[ kk k k k x x x x x x f x x x f --=---1210110],,,,[],,,[)()()()()()(4433221100x f x x f x x f x x f x x f x x f x k k 四阶差商三阶差商二阶差商一阶差商差商的计算方法(表格法):],[10x x f ],[21x x f ],[32x x f ],[43x x f ],,[210x x x f ],,[321x x x f ],,[432x x x f ],,,[3210x x x x f ],,,[4321x x x x f ],,,[410x x x f 规定函数值为零阶差商差商表二、Newton 基本插值公式)())(())(()()(110102010----++--+-+=n n x x x x x x a x x x x a x x a a x P设插值多项式满足插值条件ni f x P i i ,,1,0,)( ==则待定系数为0f a =],[101x x f a =],,[2102x x x f a =],,,[10n n x x x f a =()()[]()()n 1001N ,, n n n Newton x N x f x x x x x x Newton Lagrange --=+-- 由插值表达式，我们可以看出 这样，每增加一个节点，插值多项式只增加一项，克服了插值的缺点。
插值法概述PPT课件
i0
拉格朗日(Lagrange) 插值多项式
若引入记号 n 1 ( x ) ( x x 0 )x (x 1 )x . .x n .)(
' n 1 ( x k ) （ x k x 0 ） .x . k . x k 1 ( ) x k ( x k 1 )x k . x . n ) ..
(3)
a0a1xna2xn2...anxnn yn
一般插值多项式的原理
令： 1
A
1
x0
x1
x0n x1n
1
xn
xnn
方程组的矩阵形式如下：
a 0
X
a
1
a
n
y0
Y
y
1
y
n
A Y X
( 4 )
n n1
由 于A (xi xj)0 i1 j0
所以方程组（4）有唯一解。
则 (x k ) 0 (k 0 ,1 ,2 ,.n )..
Lagrange插值余项与误差估计
注 R n ( x 意 ) f ( x ) L n ( 到 x ) K ( x ) n 1 ( x )
故 ( x k 有 ) 0( k 0 , 1 , 2 ,n . )且 .. ( x ) 0
插值引例
三、插值引例
实例1
标准正态分布函数 (x)
查
x0
1
2…
函
┇┇ ┇ ┇┇
数
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 … 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 …
表
┇┇ ┇ ┇┇
求(1.014)
实例2
插值引例
求机翼下轮廓线上一点的近似数值
计算方法第5章 插值法
N
7
5.2 拉格朗日插值
n次拉格郎日插值对应的程序（1/2）
#include <stdio.h> #include <math.h> #define MAXSIZE 50 void input(double x[MAXSIZE],double y[MAXSIZE],long n); void main(void) { double x[MAXSIZE],y[MAXSIZE],_x,_y,t; long n,i,j; printf("\n请输入插值节点的个数："); scanf("%ld",&n); input(x,y,n); printf("\n请输入插值点："); scanf("%lf",&_x); _y=0; for(i=0;i<=n-1;i++) { t=1; for(j=0;j<=n-1;j++) if(j!=i) t*=(_x-x[j])/(x[i]-x[j]); _y+=t*y[i];} printf("\n插值点(x,y)=(%lf,%lf)。",_x,_y);}
f ( n 1) ( ) 因此Rn(x)=f[x,x0,x1,…,xn]Wn(x)= Wn(x)，与差商的性质3吻合。 (n 1)!
13
5.3 差商与牛顿插值
五、n次牛顿插值的算法
输入插值节点的个数n。 输入插值节点(x[n],f[n][0])，插值点_x。 for(j=1;j<=n-1;j++) ① 构造差商表 for(i=j;i<=n-1;i++) f[i][j]=(f[i][j-1]-f[i-1][j-1])/(x[i]-x[i-j]); _y=f[n-1][n-1]; ② 牛顿插值 for(i=n-2;i>=0;i--) _y=f[i][i]+(_x-x[i])*_y; 输出插值点(_x,_y)。
第5章插值法
第5章插值法第五章代数插值在⽣产实践和科学研究所遇到的⼤量函数中，相当⼀部分是通过测量或实验得到的。
虽然其函数关系y=f(x)在某个区间［a ，b ］上是客观存在的，但是却不知道具体的解析表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间［a ，b ］上⼀些离散点上的函数值、导数值等，因此，希望对这样的函数⽤⼀个⽐较简单的函数表达式来近似地给出整体上的描述。
还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂⽽不便于进⾏理论分析和数值计算，同样希望构造⼀个既能反映函数的特性⼜便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。
插值法就是寻求近似函数的⽅法之⼀。
在⽤插值法寻求近似函数的过程中，根据所讨论问题的特点，对简单函数的类型可有不同的选取，如多项式、有理式、三⾓函数等，其中多项式结构简单，并有良好的性质，便于数值计算和理论分析，因此被⼴泛采⽤。
本章主要介绍多项式插值、分段多项式插值和样条插值。
第⼀节插值多项式的存在唯⼀性5.1.1 插值问题设函数y=f(x)在区间［a,b ］上有定义n y y y ,...,,10且已知函数在区间［a,b ］上n+1个互异点n x x x ,...,10上的函数值，若存在⼀个简单函数y=p(x )，使其经过y=f(x)上的这n+1个已知点(00,y x ),(11,y x ),…，(n n y x ,)5-1），即p(i x )= i y ,i=0,1,…,n那么，函数p(x)称为插值函数，点n x x x ,...,10称为插节点，点(00,y x ),(11,y x ),…，(n n y x ,)a,b ］称为插值区间,求p (x)的⽅法称为插值法，f(x)称为被插函数。
若p(x)是次数不超过n 的多项式,⽤P n(x)表⽰，即n n n x a x a x a a x p ++++=...)(2210 则称)(x p n 为n 次插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若P(x)为分段多项式，称为分段插值，多项式插值和分段插值称为代数插值。
计算方法(8) 第五章 插值法
得 a2abb10
a 1, b 2
(2)2( x)为四次多项式,且满足
2
(0)
0,
2
(1)
0,2
(2)
1,2'
(0)
0,
' 2
(1)
0
设
2
(
x
)
l22
(
x)
(
(x (2
0)( x 0)(2
1) 1)
)2
由2(2) 1, l2(2) 1得 1,2( x)
H 2n1 H '2n1
( (
xi xi
) )
yi y 'i
i 0，1，2，L n
一、一般情形的 Hermite插值问题
用Lagrange型插值基函数法
设Hermite插值多项式为
n
n
H2n1( x) i ( x) yi i ( x) y 'i
i0
i0
1( x) （1 （ 2 x x1）l（1 x1））l 2（1 x ）
0 ( x) （x x0）l 2（0 x ）
1( x) （x x1）l 2（1 x ）
其中
l0( x)
x x1 ， x0 x1
l
' 0
(
x
)
x0
1
x1
l1( x)
x x0 ， x1 x0
' i
(
xi
)
n j0
1
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结论： 差商值与变量的排列次序无关。 当f(x)=Pn(x)为n次多项式时，可以证明它的n 阶差商是一个常量
11
§1.2 牛顿基本差商公式
• 设x为插值区间内的一个节点，按照差商 定义，有如下关系式
f [x0, x]
f [x] f [x0] x x0
f [ x1, x0 , x]
f [ x0 , x] f [ x1, x0 ] x x1
3 27
(49-19)/(5-2)=10
(125-27)/(5-3)=49
(14-10)/(6-2)=1
5 125
(91-49)/(6-3)=14
(216-125)/(6-5)=91
6 216
8
§1.1 差 商
如以x代表时间t,f(x)代表路程s,则一阶差商为 si/ ti=Vi，它相当于在[ti, ti+1]范围内的一 种平均速度，二阶差商则为上述平均速度 的平均变化率，即平均加速度,…,所以差商 表的数值可以直接反映出函数值的变化情 况。 • 差商的重要特性——对称性，即差商的值 与同组节点排列的次序无关。
f (x0)
f (x1)
f (x2)
(x0 x1)(x0 x2) (x1 x0)(x1 x2) (x2 x0)(x2 x1)
10
§1.1 差 商
f [ x 0 ,x 2 ,x 1 ] ( x 0 x f 1 ( ) ( x x 0 0 ) x 2 ) ( x 2 x f 0 ( ) x ( x 2 ) 2 x 1 ) ( x 1 x f 0 ( ) ( x x 1 ) 1 x 2 )
f (x) f (x0) (x x0) f [x0, x] f ( x0 ) ( x x0 )[ f [ x1, x0 ] ( x x1 ) f [ x1, x0 , x]] f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x1, x0 ] ( x x0 )( x x1 )[ f [ x2 , x1 , x0 ] ( x x2 )[ f [ x2 , x1, x0 , x ]] ...
2
预备知识
多项式的插值问题 构造n次多项式
Pn(x)= a0 + a1x + a2x2+…+ anxn 使满足Pn(xi)= yi (i=0,1,2,…,n)，及利用 多项式Pn(x)进行插值计算的问题。
3
§1 不等距条件下的 牛顿基本差商公式
4
§1.1 差 商
• 差商的定义
f(x)在xi点的零阶差商为
7
§1.1 差 商
例5.1 试列出f(xi)=x3在节点x=0,2,3,5,6上的各阶 差商值。
xi f[xi]
f[xi,xi+1]
f[xi,xi+1,xi+2]
f[xi,xi+1,xi+2]
00
(8-0)/(2-0)=4
28
(19-4)/(3-0)=5
(27-8)/(3-2)=19
(10-5)/(5-0)=1
例 如 ： f[x0,x1,x2]f[x1,x x 22 ] x f0 [x0,x1]
5
§1.1 差商
例 如 ： f[x1,x2,x3]f[x2,x x 33 ] x f1 [x1,x2]
区间[xi,xi+1,…,xi+n]上的n阶差商为：
f[xi,xi1,...,xin1,xin] f[xi1,xi2,...,xin]f[xi,xi1,...,xin1]
x2 x0
f (x2)
f (x1)
f (x1)
f (x0)
(x2 x0)(x2 x1) (x2 x0)(x2 x1) (x2 x0)(x1 x0) (x1 x0)(x2 x0)
f (x2)
f (x1) [ x1 x0 x2 x1 ]
f (x0)
(x2 x0)(x2 x1) (x2 x0) (x2 x1)(x1 x0) (x0 x1)(x0 x2)
f [ x2 , x1, x0 , x]
f [ x1, x0 , x] f [ x2 , x1, x0 ] x x2
.....................................
12
§1.2 牛顿基本差商公式
由上式逐次解出f(x), f[x0 ,x], f[x1 ,x0 , x], f[x2 , x1 ,x0 , x],…,并代入f(x)得：
9
§1.1 差 商
x0,
x1]
f[x1]f[x0] x1x0
f(x0)f(x1) x0 x1
f(x0) x0 x1
f(x1) x1x0
f[x1,x0]
f (x2) f (x1) f (x1) f (x0)
f[x0,
x1,
x2]
f[x1,
x2] f[x0, x2 x0
x1]
x2 x1
x1 x0
第五章 插值法
1
预备知识
• 实践中有些函数解析式未知，或虽有明确 解析式，但计算复杂，这时需要用比较简 单且易于计算的函数p(x)去近似代替它，使 得
p(xi)= yi (i=0,1,2,…,n) 这类问题称为插值问题。函数p(xi)称为插 值函数。 x0,x1,… xn称为插值节点或简称节 点。插值节点所在的区间称为插值区间。 p(xi)= yi 称为插值条件。
f[xi]= f(xi)
(i=0,1,2,…,n)
f(x)在[xi,xj]上的一阶差商为
f[xi,xj]f[x xjj] x fi[xi]f(xx j)j x fi(xi)
f(x)在[xi,xj,xk]区间上一阶差商之差商为二阶差商
f[xi,xj,xk]f[xj,xxkk] x fi[xi,xj]
xinxi
6
差商表
xi f[xi] x0 f(x0)
x1 f(x1)
x2 f(x2)
x3 f(x3) ……
§1.1 差商
f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2]
f[x0,x1] f[x1,x2] f[x2,x3]
f[x0,x1,x2] f[x1,x2,x3]
…
f[xi,xi+1,xi+2] f[x0,x1,x2 ,x3]