有限元收敛性
有限元分析理论基础
有限元理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
釆用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
4.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
(Weighted residual method WRM)是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。
设问题的控制微分方程为：在V域内厶(")-八0 (5.1.1)在S 边界上〃(“)-& = 0 (5.1.2)式中：L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f、g ——为与未知函数u无关的己知函数域值；u——为问题待求的未知函数当弄!J用力u权余•肚法求近丁以解首先在求耳军域上理立一个T式閑数H 一般兵升如下形式:仁土CN=NC(5.1.3)T M式中：c{----------- 彳寺定系数. 也可称为广义坐标；N：--- 取白完备函冬攵*S线.性无关的基函孕攵°由于〃一般只圮彳守求函缨攵U的近1以耳岂因u匕将式(5 1.3) 代入式(5 1 1)牙口式(5 1.2)后将诃•不誉斯兄，昔迅:| R] = L(flb— f在V域内\R B =B(^~g在S 边界上("14)城然 & 、尽反映了r式函竽攵与实解之问的偏差. 它丁门分另U称做内召卩牙口边界余覺。
若在域\'内引入内部权函数硏，在边界S上引入边界权函数W B 则可理立11个消除余甘的条件.一般可农示为：L兀W B1R B dS = 0 (/ = L2.L ,〃) (51-5)• V • S不同的权函数幵；和jr R反映了不同的消除余•眩的准则。
有限元分析理论基础
有限元分析概念有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。
由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。
在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。
如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。
非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。
有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。
由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。
研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。
它包括大位移大应变及大位移小应变问题。
Abaqus有限元分析不收敛该怎么办？
Abaqus有限元分析不收敛该怎么办？ABAQUS提供式和隐式两种求解类型，其中显式计算方法是“有条件收敛的”，只需满足增量步小于限值，大多数情况均能顺利计算完成；而隐式计算方法，在非线性情况下极易出现不收敛的情况，比如：欠约束、接触、材料塑性或失效、断裂、屈曲失稳等，都可能导致多次迭代不收敛，增量步大小一降再降，直到满足终止条件而退出计算。
作为老司机，使用了这么多年的软件总有点心得吧，总结了五条经验，分享给大家：一、ABAQUS的任务提交流程了解ABAQUS的任务提交流程，也就是让我们学会找错！当我们点击Submit后会有两个处理阶段：1）预处理；2）任务计算。
结合ABAQUS Job Monitor窗口进行讲解，两个阶段的分界点位于Data File子页面的内容是否完成；也就是说，当出现Error，而Message File和Status File未激活（生成）时，表明还处于预处理阶段，我们定义的模型一开始就存在问题，Errors子页面都会一一列出，通常会有：信息不完整、材料参数不符合本构模型、特殊定义之间冲突、关键字输入问题等，我们只需逐个修改即可。
当顺利进入任务计算阶段后，窗口上方的表格将实时更新为Status File（jobName.sta）中的内容，提示计算的进度，当后续再出现Error时，才可能是由于计算不收敛导致的错误。
二、收敛的基本条件模型收敛是什么？很多初学者估计都不太清楚，从而提出一些奇奇怪怪的问题，比如：“我用弹性材料可以计算，换成复杂材料模型就计算不了，为什么？”。
所以了解有限元基本原理是非常必要的，而要了解ABAQUS的求解机制，就需要看帮助文档，个人认为：帮助文档分析手册第七章（Analysis Solution and Control）的内容，是进阶的必修内容，然而前市面上除了王鹰宇先生的译本，并没有书籍进行过归纳和总结，还是感觉挺遗憾的。
求解的总体思路就是：整个任务分为多个阶段（Steps）；每个阶段分为若干个增量步（Increments）；一个增量步进行若干迭代（Iterations），上图为二次迭代过程，而这个过程中cb=ub-ua需要小于一定限值，通过类似的多次迭代，外力P与内力I之间容差R 小于给定限值，从而认为增量步达到收敛要求。
有限元收敛问题
有限元收敛问题引言有限元方法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程学和科学领域。
在使用有限元方法进行数值计算时，我们通常关注的一个重要问题就是收敛性。
收敛性指的是当离散网格逐渐细化时，数值解是否能够趋近于真实解。
有限元收敛问题是指在使用有限元方法求解偏微分方程时，通过增加网格的细化程度来提高数值解的精度。
本文将介绍有限元收敛问题的定义、判定准则以及影响因素，并对其进行详细讨论。
有限元收敛问题定义在开始讨论之前，我们先来明确一下什么是有限元收敛问题。
给定一个偏微分方程及其边界条件，在使用有限元方法离散化后，我们可以得到一个离散形式的代数方程组。
通过求解这个代数方程组，我们可以得到一个数值解。
如果我们将网格逐渐细化，即将离散网格划分为更小的单元，然后再次求解代数方程组得到新的数值解。
如果随着网格细化，新的数值解逐渐趋近于真实解，那么我们就说有限元方法在这个问题上具有收敛性。
有限元收敛问题判定准则在实际应用中，我们如何判断使用有限元方法求解的数值解是否满足收敛性呢？以下是一些常用的判定准则：1. 网格细化首先，我们需要逐渐增加网格的细化程度。
通过将离散网格划分为更小的单元来提高数值解的精度。
通常情况下，我们会使用不同层次的网格进行计算，并比较不同网格下得到的数值解之间的差异。
2. 解析解比较如果我们能够得到偏微分方程的解析解，那么可以将数值解与解析解进行比较。
通过计算数值解与解析解之间的误差，并观察误差随着网格细化程度增加时是否逐渐减小来判断收敛性。
3. 收敛阶验证除了与解析解进行比较外，还可以对数值解的收敛阶进行验证。
收敛阶指的是当网格细化程度增加时，数值解误差与网格尺寸之间的关系。
通常情况下，我们希望数值解误差与网格尺寸之间存在线性或二次关系。
通过计算不同网格下的数值解误差和网格尺寸，并绘制误差与网格尺寸的对数-log 图，可以得到收敛阶。
如果收敛阶满足预期的要求，那么我们可以认为有限元方法在该问题上具有收敛性。
有限元分析理论基础
有限元分析概念有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。
由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。
在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。
如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。
非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。
有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。
由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。
研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。
它包括大位移大应变及大位移小应变问题。
有限元网格划分和收敛性
一、基本有限元网格概念1．单元概述ﻫ几何体划分网格之前需要确定单元类型.单元类型的选择应该根据分析类型、形状特征、计算数据特点、精度要求和计算的硬件条件等因素综合考虑。
为适应特殊的分析对象和边界条件,一些问题需要采用多种单元进行组合建模。
ﻫ 2.单元分类选择单元首先需要明确单元的类型，在结构有限元分析中主要有以下一些单元类型：平面应力单元、平面应变单元、轴对称实体单元、空间实体单元、板单元、壳单元、轴对称壳单元、杆单元、梁单元、弹簧单元、间隙单元、质量单元、摩擦单元、刚体单元和约束单元等。
根据不同的分类方法,上述单元可以分成以下不同的形式。
ﻫ3。
按照维度进行单元分类根据单元的维数特征，单元可以分为一维单元、二维单元和三维单元。
ﻫ一维单元的网格为一条直线或者曲线。
直线表示由两个节点确定的线性单元。
曲线代表由两个以上的节点确定的高次单元,或者由具有确定形状的线性单元。
杆单元、梁单元和轴对称壳单元属于一维单元,如图1~图3所示。
ﻫ二维单元的网格是一个平面或者曲面，它没有厚度方向的尺寸.这类单元包括平面单元、轴对称实体单元、板单元、壳单元和复合材料壳单元等,如图4所示。
二维单元的形状通常具有三角形和四边形两种，在使用自动网格剖分时,这类单元要求的几何形状是表面模型或者实体模型的边界面。
采用薄壳单元通常具有相当好的计算效率。
ﻫﻫ三维单元的网格具有空间三个方向的尺寸，其形状具有四面体、五面体和六面体,这类单元包括空间实体单元和厚壳单元，如图5所示．在自动网格划分时，它要求的是几何模型是实体模型(厚壳单元是曲面也可以）。
ﻫ4.按照插值函数进行单元分类根据单元插值函数多项式的最高阶数多少，单元可以分为线性单元、二次单元、三次单元和更高次的单元。
线性单元具有线性形式的插值函数,其网格通常只具有角节点而无边节点，网格边界为直线或者平面.这类单元的优点是节点数量少，在精度要求不高或者结果数据梯度不太大的情况下，采用线性单元可以得到较小的模型规模.但是由于单元位移函数是线性的，单元内的位移呈线性变化,而应力是常数,因此会造成单元间的应力不连续,单元边界上存在着应力突变，如图6所示。
有限元收敛性
本文讨论了有限元网格的重要概念，包括单元的分类、有限元误差的分类与影响因素;并讨论分析结果的收敛性控制方法，并由实例说明了网格质量及收敛性对取得准确分析结果的重要性。
同时讨论了一些重要网格控制的建议及其他网格设定的说明。
一、基本有限元网格概念1.单元概述几何体划分网格之前需要确定单元类型。
单元类型的选择应该根据分析类型、形状特征、计算数据特点、精度要求和计算的硬件条件等因素综合考虑。
为适应特殊的分析对象和边界条件，一些问题需要采用多种单元进行组合建模。
2.单元分类选择单元首先需要明确单元的类型，在结构有限元分析中主要有以下一些单元类型：平面应力单元、平面应变单元、轴对称实体单元、空间实体单元、板单元、壳单元、轴对称壳单元、杆单元、梁单元、弹簧单元、间隙单元、质量单元、摩擦单元、刚体单元和约束单元等。
根据不同的分类方法，上述单元可以分成以下不同的形式。
3.按照维度进行单元分类根据单元的维数特征，单元可以分为一维单元、二维单元和三维单元。
一维单元的网格为一条直线或者曲线。
直线表示由两个节点确定的线性单元。
曲线代表由两个以上的节点确定的高次单元，或者由具有确定形状的线性单元。
杆单元、梁单元和轴对称壳单元属于一维单元，如图1～图3所示。
二维单元的网格是一个平面或者曲面，它没有厚度方向的尺寸。
这类单元包括平面单元、轴对称实体单元、板单元、壳单元和复合材料壳单元等，如图4所示。
二维单元的形状通常具有三角形和四边形两种，在使用自动网格剖分时，这类单元要求的几何形状是表面模型或者实体模型的边界面。
采用薄壳单元通常具有相当好的计算效率。
三维单元的网格具有空间三个方向的尺寸，其形状具有四面体、五面体和六面体，这类单元包括空间实体单元和厚壳单元，如图5所示。
在自动网格划分时，它要求的是几何模型是实体模型(厚壳单元是曲面也可以)。
4.按照插值函数进行单元分类根据单元插值函数多项式的最高阶数多少，单元可以分为线性单元、二次单元、三次单元和更高次的单元。
Abaqus收敛准则
Abaqus收敛准则有限元计算中，经常会遇到解的收敛性问题，要解决这个，首先需知道，什么是解的收敛性。
在有限元法中，场函数的总体泛函是由单元泛函集成的。
如果采用完全多项式作为单元的插值函数（即试探函数），则有限元解在一个有限尺寸的单元内可以精确地和真正解一致。
但是实际上有限元的试探函数只能取有限项多项式，因此有限元解只能是真正解的一个近似解答。
每一个单元的泛函有可能趋于它的精确值。
如果试探函数还满足连续性要求，则整个系统的泛函将趋近于它的精确值。
有限元解就趋近于精确解，也就是说解是收敛的。
最书面的理解是：当选取的单元既完备又协调时，有限元解是收敛的。
即当单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真正解。
（关于单元的完备、协调性概念可以参考清华大学王勖成老师的书《有限单元法》，2003年）这就是有限元的收敛性，需要说明的是：由于数学微分方程的精确解往往不一定能够得到，甚至问题的数学微分方程并未建立（例如对于复杂型式的结构）。
同时有限元解中通常包含多种误差（例如计算机的截断误差和舍入误差），因此有限元解收敛于精确解，在更严格意义上说是问题的有限元解的离散误差趋于零。
abaqus的隐式求解的目的是求解一个很大的刚度矩阵的解，这个方程能否迭代得到一个系统默认的收敛准则的范围内的数值，决定了这次的收敛是否成功。
因此，要收敛的话，系统与上一个分析步的边界条件区别越小，越容易找到收敛解。
有如下方式：1.接触分析真正加载之前，设置一个接触步让两个面接触，且接触面的过盈小，接下来再把作用和俩哥哥接触体的力及接触方向的自由度放开。
2.如果系统加载的载荷很多，可以将载荷分为多步加载。
3.系统有多个接触的画，可以分多个step进行接触。
4.若仍然不收敛，直接查看那一步，若果载荷和接触是多步加载，可以尝试调换顺序5.查看模型的接触面是否是overclosure，若是，可以在assemble中将相对位置移动。
或者是接触的定义几何出现了问题。
有限元的性质和收敛性
有限元的性质和收敛性一、有限元解的收敛准则有限单元法作为求解数学微分方程的一种数值方法可以认为是里兹法的一种特殊形式，不同在于有限单元法的试探函数是定义于单元（子域）而不是全域。
因此有限元解的收敛性可以与里兹法的收敛性对比进行讨论。
里兹法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，如果试探函数满足完备性和连续性要求，当试探函数的项数n--->∞时，则Ritz法的近似解将趋近于数学微分方程的精确解。
现在要研究什么是有限元解的收敛性提法？收敛的条件又是什么？在有限单元法中，场函数的总体泛函是由单元泛函集成的。
如果采用完全多项式作为单元的插值函数（即试探函数），则有限元解在一个有限尺寸的单元内可以精确地和真正解一致。
但是实际上有限元的试探函数只能取有限项多项式，因此有限元解只能是真正解的一个近似解答。
有限元解的收敛准则需要回答的是，在什么条件下当单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真正解。
下面仍以含有一个待求的标量场函数为例，微分方程是：A(φ) = L(φ) + b = 0 (1.1)相应的泛函是：（1.2）假定泛函∏中包含φ和它的直至m阶的各阶导数，若m阶导数是非零的，则近似函数至少必须是m次多项式。
若取p次完全多项式为试探函数，则必须满足p≥m，这时及其各阶导数在一个单元内的表达式如下：......（1.３）由上式可见，由于是p次完全多项式，所以它的直至m阶导数的表达式中都包含有常数项。
但单元尺寸趋近于零时，在每一单元内及其直至m阶导数将趋近于它的精确值，即趋近于常数。
因此，每一个单元的泛函有可能趋于它的精确值。
如果试探函数还满足连续性要求，那么整个系统的泛函将趋近于它的精确值。
有限元解就趋近于精确解，也就是说解是收敛的。
从上述讨论可以得到下列收敛准则：准则1完备性要求。
如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。
或者说试探函数中必须包括本身和直至m 阶导数为常数的项。
第4章 平面问题的有限元法-4收敛准则
当单元尺寸无限缩小时，每个单元中的应变应该趋于常量。 因此，在位移模式中必须包含有这些常应变，否则就不可 能使数值解收敛于正确解。 很显然，三角形三节点单元位移模式中 ，与2、3、5、 6 有关的线性项就是提供单元中的常应变的。 ⑶ 位移模式在单元内要连续、且在相邻单元之间的位移 必须协调。当选择多项式来构成位移模式时，单元内的连续 性要求总是得到满足的，单元间的位移协调性，就是要求单 元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象。通常，当单 元交界面上的位移取决于该交界面上节点的位移时，就可以 保证位移的协调性。
然后，就用这组维数不变的方程来求解所有的节点位移。显 然，其解答仍为原方程(a)的解答。
⒉将[K]中与指定的节点位移有关的主对角元素乘上一个 大数，如1015，同时将{R}中的对应元素换成指定的节点位 移值与该大数的乘积。实际上，这种方法就是使[K]中相应 行的修正项远大于非修正项。 若把此方法用于上面的例子，则方程(a)就变成
一般情况下，求解的问题，其边界往往已有一点的位移 约束条件，本身已排除了刚体运动的可能性。否则的话，就 必须适当指定某些节点的位移值，以避免出现刚体位移。这 里介绍两种比较简单的引入已知节点位移的方法，这两种方 法都可保持原[K]矩阵的稀疏、带状和对称等特性。
⒈ 保持方程组为2n×2n系统，仅对[K]和{R}进行修正。 例如，若指定节点i在方向y的位移为vi ，则令[K]中的元素 k2i, 2i 为1，而第2i行和第2i列的其余元素都为零。{R}中 的第2i个元素则用位移 vi 的已知值代入，{R}中的其它各 行元素均减去已知节点位移的指定值和原来[K]中该行的相 应列元素的乘积。
二. 节点的选择及单元的划分 节点的布置是与单元的划分互相联系的。通常，集中载 荷的作用点、分布载荷强度的突变点，分布载荷与自由边界 的分界点、支承点等都应该取为节点。并且，当物体是由不
一维非光滑解有限元逼近的超收敛性及后处理的开题报告
一维非光滑解有限元逼近的超收敛性及后处理的开题报告一、研究背景在实际工程问题中，很多时候都需要对非光滑解进行数值模拟。
而一维非光滑解通常表现为跳跃现象，例如悬崖型解等。
传统的有限元数值解法在处理这类问题时由于数值精度限制等原因会出现一些固有缺陷，例如数值分片误差和数值耗散等。
因此，需要对传统的数值方法进行一些改进。
针对这些问题，一些新的数值方法被提出，如超收敛有限元解法。
二、研究内容本研究将定量地研究一维非光滑解的有限元逼近问题。
首先会比较传统有限元解法的数值精度和稳定性，发掘其固有缺陷。
然后会介绍一些新的数值方法，例如超收敛有限元解法，对这些方法进行分析，探讨它们在处理非光滑解时的性质和优点。
最后，提出一些可以进一步提高数值解精度和稳定性的后处理方法，例如后处理平滑和后处理插值，以达到更好的数值逼近结果。
三、研究意义本研究对于提高非光滑解的数值逼近精度和稳定性具有重要意义。
同时，本研究所提出的超收敛有限元解法以及后处理方法可以为实际问题的处理提供参考。
一个更加精确的数值模拟可以帮助工程师更好地理解并解决实际问题。
四、研究方法本研究将从理论和实验两个方面进行研究。
理论部分主要采用数学分析的方法，对有限元逼近的超收敛性进行研究。
实验部分则采用数值实验的方法，对不同的数值方法在一些标准测试例上进行比较和评估。
五、预期成果通过本研究，预期能够获得以下成果：1.比较不同数值方法的优劣，发现其缺陷和优点；2.提出新的数值方法和后处理方法，提高数值精度和稳定性；3.对超收敛有限元解法的性质进行分析和评估；4.在标准测试例上进行数值实验，验证所提出方法的有效性。
六、研究难点与传统有限元方法相比，超收敛有限元解法需要对离散误差和光滑误差进行更加精细的分析。
此外，在实际应用中，后处理方法的选择和效果也是一个值得深入研究的问题。
七、参考文献[1]Oden, J.T., Carey, G.F. and Patra, A., 2004. Inspection of superconvergence in finite element methods by the method of manufactured solutions. Mathematics of Computation, 73(245), pp.1107-1130.[2]Babuška, I., Osborn, J.E. and Pitkäranta, J., 1985. Analysis of mixed methods using mesh dependent norms. Mathematics of Computation, 55(191), pp.1-22. [3]Zienkiewicz, O.C. and Zhu, J.Z., 1992. Superconvergent patch recovery and a posteriori error estimates. Part 1: The recovery techniques. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 33(7), pp.1331-1364.[4]Babuska, I. and Suri, M., 1992. The p-version of the finite element method. Part 1: an overview. Computer methods in applied mechanics and engineering, 98(2), pp. 381-397.。
有限元方法超收敛性综述
有限元方法超收敛性综述专业方向计算数学学号082111026 姓名何果一、有限元方法简介有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。
由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法（Finite Element Method）。
在19世纪末及20世纪初，数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用展开函数来表达其上的未知函数。
1915年，数学家伽辽金提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法被广泛地用于有限元。
1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。
这实际上就是有限元的做法。
有限元方法是解偏微分方程数值解一中行之有效的数值计算方法，广泛应用与科学与工程计算各领域，它已经取得了巨大的成功。
冯康先生在1965年著名的论文《基于变分原理的差分格式》中第一次独立阐明了有限元方法的实施数学实质和理论基础，这是第一次系统的采用连续的工具特别是偏微分方程的工具来处理离散化的技术，更确切地说，有限元法就是为了对一些工程问题求得近似解的一种数值方法，从数学的角度来讲，有限元法是从变分原理或加权残数法出发，通过区域剖分和分片插值，通常是分片多项式插值，把偏微分方程的求解化为线性方程组的求解。
然而，直接从有限元解计算所得的导数在单元边界不连续且整体精度不高，网格加密呵有限元次数增加能适当改善精度，然而随着网格的加密和多项式次数的提高，有限元方法产生的线性代数方程组的阶将暗几何级数增长，但是计算机技术发展的速度总是赶不上有限元方法对它的这种需求。
因而怎样对有限元方法所得到得数值结果事后进行某种加工（这种加工工作量极小）来提高有限元解及其导数的精度是有限元研究的一项重要内容。
在这一方面前辈们已经做出的很多出色的工作。
二、有限元的超收敛性历史回顾和当前进展有限元的超收敛现象最早由工程师发现，早在1967年ZienkiewiczCheung 就在《The finite element in structural and continuum mechanics》中指出在计算在计算中发现线性有限元解得导数在某些特殊点上有特别高的精度。
抛物问题时间连续全离散有限元超收敛性
湖南师范大学硕士学位论文中文摘要本文在Ｄｅｌｆｏｕｒ提出的常微分方程的有限元思想的基础上，利用对偶论证和单元上的正交展开方法，简明论证了一阶常微分初值问题的ｍ次连续有限元和间断有限元在节点及内部特征点的超收敛性。
利用张量积分解将常微分方程的连续有限元的超收敛性推广到抛物型方程，证明了抛物型的全离散有限元在节点和内部的特征点的超收敛型。
并用连续有限元计算了非线性ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程，验证了能量的守恒性。
主要结果如下（１）利用两类单元正交展开，结合对偶论证思想，较简明的论证了一阶线性常微分方程的连续有限元和间断有限元解在单元节点和内部特征点的超收敛性。
并采用一种简化连续性方法将连续有限元超收敛结果推广到非线性问题。
（２）在Ｔｈｏｍｅｅ提出的抛物问题的有限元思想的基础上，采用Ｄｏｕ—ｇｌａｓ等人对椭圆闻题提出的张量积思想应用到抛物型方程的时空变量，证明了线性抛物问题时空全离散连续有限元解矽∈妒ｓ珊在单元Ｌ＝（ｔ，一白）内部ｍ十１阶Ｌｏｂａｔｔｏ特征点。
州上有超收敛性：（∑ｌ（ｕ—ｕ）（ｔ一，工）１２＾２）１／２＝ｏ（＾２＋“＋％２＋”），ｍ、ｎ三２ｉ∈矗其中铲是时间的ｍ次有限元空间，醋空间方向的ｎ次有限元空间．磊为ｎ上的ｎ＋ｌ阶Ｌｏｂａｔｔｏ点集（３）对非线性ｓｃｈｒｏｄｉⅡｇｅｒ常微分和偏微分方程的两种情形．用连续有限元求解，验证了其能量积分保持守恒．而动量近似守恒，误差为高阶精度．并在数值计算上探讨了守恒性和近似程度：结果与理论相吻合．湖南师范大学硕士学位论文·２性。
关键词连续有限元，抛物问题，超收敛，非线性ｓｃｌｌｒｏｄ，ｎｇｅｒ方程，守恒湖南师范大学硕士学位论文，３．ＡｂｓｔｒａｃｔＢａｓｅｄｏｎｃｈｅｈｎｉｔｅｅｌｅｍｅｒｌｔｉｄｅａｌｆｏｒｏｒｄｉｎａｒｙｄｌ丘ｂｒｅｎｔｉａｌｅｑｌｌａｔｉｏｎｃ｝１ａｔ【）Ｌ（）ｐ（）ｓｅ（ｊｂｙＤｅｌｆｏｕｒ，ｗｅｔａｋｅａｄＶａｎｔａｇｅ。
有限元法的收敛性概念与收敛条件
有限元法的收敛性概念与收敛条件有限元法是一种数值分析方法，因此应考虑收敛性问题。
有限元法的收敛性是指：当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于精确解。
有限元的收敛条件包括如下四个方面：1）单元内，位移函数必须连续。
多项式是单值连续函数，因此选择多项式作为位移函数，在单元内的连续性能够保证。
2）在单元内，位移函数必须包括常应变项。
每个单元的应变状态总可以分解为不依赖于单元内各点位置的常应变和由各点位置决定的变量应变。
当单元的尺寸足够小时，单元中各点的应变趋于相等，单元的变形比较均匀，因而常应变就成为应变的主要部分。
为反映单元的应变状态，单元位移函数必须包括常应变项。
3）在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。
一般情况下，单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。
形变位移与物体形状及体积的改变相联系，因而产生应变；刚体位移只改变物体位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移是不产生变形的位移。
空间一个物体包括三个平动位移和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。
由于一个单元牵连在另一些单元上，其他单元发生变形时必将带动单元做刚体位移，由此可见，为模拟一个单元的真实位移，假定的单元位移函数必须包括刚体位移项。
4）位移函数在相邻单元的公共边界上必须协调。
对一般单元而言，协调性是指相邻单元在公共节点处有相同的位移，而且沿单元边界也有相同的位移，也就是说，要保证不发生单元的相互脱离开裂和相互侵入重叠。
要做到这一点，就要求函数在公共边界上能由公共节点的函数值唯一确定。
对一般单元，协调性保证了相邻单元边界位移的连续性。
但是，在板壳的相邻单元之间，还要求位移的一阶导数连续，只有这样，才能保证结构的应变能是有界量。
总的说来，协调性是指在相邻单元的公共边界上满足连续性条件。
前三条又叫完备性条件，满足完备条件的单元叫完备单元；第四条是协调性要求，满足协调性的单元叫协调单元；否则称为非协调单元。
有限元分析理论基本
有限元分析概念有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。
由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。
在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。
如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。
非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。
有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。
由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。
研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。
它包括大位移大应变及大位移小应变问题。
有限元的收敛性摘抄
有限元的收敛性一，有限元定义：1，一阶和二阶单元，通常称为H单元。
三阶及以上的称其为P单元。
2，有限元分析首先计算节点的位移量，接着再推算其对应的单元应变值，再计算积分点的应力。
3，因此：位移的准确性高于应变、应变高于应力。
4，线性计算中，单元不可变形过大，否则造成求解失败。
二，三种收敛性技术：手动控制收敛、软件自动控制收敛（h，p自适应方法）1，h方法：根据应力梯度变化情况，根据预先规定的收敛准则，自动重新剖分网格，进行自动加密。
适用于实体零件及装配体（仅仅支持实体单元）的静态分析在应变能误差较高的区域使用较小的网格尺寸目标精度定义应变能默认值98%，一般认为达到分析要求。
2，p方法：根据约束条件，在约束条件大的地方，根据预先规定的收敛准则，调整此处的单元形状函数的阶次，在单元大小不变的情况下提高单元内部应力的准确性。
适用于实体零件及装配体的静态，但装配体仅仅支持结合方式，不可有其他接触存在默认的收敛准则是总应变能，通常默认的就足够必须使用二阶单元为初始网格雅可比检查设定在节点处三，手动收敛性检查：1，相对收敛性检查：大多数复杂情况下很难通过自适应方法得到好的结果，必须通过相对收敛性检查得到收敛的结果：步骤如下执行多个分析研究，逐步调整加密网格，检查应力值的变化情形每次以2：1的比例调整加细网格尺寸如果局部网格尺寸远小于整体尺寸，注意扭曲、失真的情况2，等值线质量检查：应力等值线应该和几何体一样连续，使用不连续选项可以更清楚的看到不连续的结果。
如果几何体光滑连续而结果呈锯齿状，表明此处结果不好，需要加密或提高网格质量。
3，误差估算方法：能量范数值：能量范误差绘图可以显示相邻元素的应力值差异，越小越好节点和单元应力值比较：节点解是临近单元的节点应力的平均值单元解是每个单元所有节点应力的平均值评定标准：理论上节点解和单元解应该有较小的差异：一般情况下，节点应力与单元应力的误差不允许超过5%建议：1，针对单一零件的分析：使用h自适应、二阶单元及默认单元大小2，针对结合的装配体：使用p自适应、二阶单元及默认单元大小3，针对有连接接头或接触条件的装配体分析：使用手动h的单元收敛使用二阶单元及默认单元大小使用初始网格控制以确保符合未变形的几何体使用局部网格控制在需要的位置以达到收敛。
MARC有限元收敛性问题及程序退出代码说明
solver workspace needed for out-of-core matrix storage = 7612 solver workspace needed for in-core matrix storage = 10114 matrix solution will be in-core
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SECTION 12
RESOLVING CONVERGENCE PROBLEMS
PMMAAATRR31122800,1,S–LeeCcctoitounres3e4, ,NMMoatarecrsch,h2S20e00c01.112, November 2005
There are a number of sources of examples and benchmarks available that may help in this regard…
1. The MARC User Guide manual. This contains an increasing amount of worked examples written with the express intention of demonstrating the use of the facilities clearly
1. For contact analyses, this would mean changing all contact conditions to GLUED 2. For material nonlinearity simply increase the failure criteria so that it cannot be
有限元分析理论基础-大全-超详细
应力的单元平均或节点平均处理方法
最简单的处理应力结果的方法是取相邻单元或围绕节点各单元应力的平均值。
• 1.取相邻单元应力的平均值 这种方法最常用于 3 节点三角形单元中。这种最简单而又相当实用的单元得
到的应力解在单元内是常数。可以将其看作是单元内应力的平均值，或是单元 形心处的应力。由于应力近似解总是在精确解上下振荡，可以取相邻单元应力
们的平均值作为该节点的最后应力值 ，即 i
i
1
m
m
e i
e 1
其中，1~m 是围绕在 i 节点周围的全部单元。取平均值时也可进行面积加权。
有限元法求解问题的基本步骤
1.结构离散化
对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连；
2.求出各单元的刚度矩阵[K](e)
虚应力原理的力学意义：如果位移是协调的，则虚应力和虚边界约束反力在他们 上面所作的功的总和为零。反之，如果上述虚力系在他们上面所作的功的和为零，则 它们一定是满足协调的。所以，虚应力原理表述了位移协调的必要而充分条件。
虚应力原理可以应用于线弹性以及非线性弹性等不同的力学问题。但是必须指 出，无论是虚位移原理还是虚应力原理，他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于 小变形理论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问题。
虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分的“弱”形式； 虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积分“弱”形式。 虚位移原理的力学意义：如果力系是平衡的，则它们在虚位移和虚应变上所作的 功的总和为零。反之，如果力系在虚位移（及虚应变）上所作的功的和等于零，则它 们一定满足平衡方程。所以，虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分条件。一般而 言，虚位移原理不仅可以适用于线弹性问题，而且可以用于非线性弹性及弹塑性等非 线性问题。
基于半圆弯曲试验的有限元模型收敛性分析
基于半圆弯曲试验的有限元模型收敛性分析段跃华;付欣;张肖宁【摘要】The article used the finite element method to conduct the numerical simulation on semi-circular bending test （SCB）, and made the convergence analysis on the constraint conditons and unit size involved in the process of building the finite element model. The analysis result that：compared to the unit size, the constraint condition has a larger effect on tensile stress of SCB specimen bottom; the calculation finite element solution, restraining the displacement in UY and UZ directions at the supporting part of SCB spadmen bottom, has high degree of consistence with the theoretical solulion; considering the calculation predsion and computation time, 2mm in unit size was appropriate for the SCB model .%文章采用有限元方法对半圆弯曲试验（SCB）进行数值模拟，对有限元模型建立过程中所涉及到的约束条件和单元尺寸进行了收敛性分析。
分析结果表明：相对于单元尺寸，约束条件对SCB试件底部拉应力的影响较大；ScB试件底部支座处约束UY和UZ方向的位移计算有限元解与理论解吻合度较高；综合考虑计算精度和运算时间，SCB模型采用2mm的单元尺寸较为适宜。
有限元分析理论基础
有限元分析概念有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。
由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。
在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。
如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。
非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。
有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。
由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。
研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。
它包括大位移大应变及大位移小应变问题。
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本文讨论了有限元网格的重要概念，包括单元的分类、有限元误差的分类与影响因素;并讨论分析结果的收敛性控制方法，并由实例说明了网格质量及收敛性对取得准确分析结果的重要性。
同时讨论了一些重要网格控制的建议及其他网格设定的说明。
一、基本有限元网格概念1.单元概述几何体划分网格之前需要确定单元类型。
单元类型的选择应该根据分析类型、形状特征、计算数据特点、精度要求和计算的硬件条件等因素综合考虑。
为适应特殊的分析对象和边界条件，一些问题需要采用多种单元进行组合建模。
2.单元分类选择单元首先需要明确单元的类型，在结构有限元分析中主要有以下一些单元类型：平面应力单元、平面应变单元、轴对称实体单元、空间实体单元、板单元、壳单元、轴对称壳单元、杆单元、梁单元、弹簧单元、间隙单元、质量单元、摩擦单元、刚体单元和约束单元等。
根据不同的分类方法，上述单元可以分成以下不同的形式。
3.按照维度进行单元分类根据单元的维数特征，单元可以分为一维单元、二维单元和三维单元。
一维单元的网格为一条直线或者曲线。
直线表示由两个节点确定的线性单元。
曲线代表由两个以上的节点确定的高次单元，或者由具有确定形状的线性单元。
杆单元、梁单元和轴对称壳单元属于一维单元，如图1～图3所示。
二维单元的网格是一个平面或者曲面，它没有厚度方向的尺寸。
这类单元包括平面单元、轴对称实体单元、板单元、壳单元和复合材料壳单元等，如图4所示。
二维单元的形状通常具有三角形和四边形两种，在使用自动网格剖分时，这类单元要求的几何形状是表面模型或者实体模型的边界面。
采用薄壳单元通常具有相当好的计算效率。
三维单元的网格具有空间三个方向的尺寸，其形状具有四面体、五面体和六面体，这类单元包括空间实体单元和厚壳单元，如图5所示。
在自动网格划分时，它要求的是几何模型是实体模型(厚壳单元是曲面也可以)。
4.按照插值函数进行单元分类根据单元插值函数多项式的最高阶数多少，单元可以分为线性单元、二次单元、三次单元和更高次的单元。
线性单元具有线性形式的插值函数，其网格通常只具有角节点而无边节点，网格边界为直线或者平面。
这类单元的优点是节点数量少，在精度要求不高或者结果数据梯度不太大的情况下，采用线性单元可以得到较小的模型规模。
但是由于单元位移函数是线性的，单元内的位移呈线性变化，而应力是常数，因此会造成单元间的应力不连续，单元边界上存在着应力突变，如图6所示。
二次单元的插值函数是二次多项式，其网格不仅在每个顶点处有角节点，而且在棱边上还存在一个边节点，因此网格边界可以是二次曲线或者曲面。
这类单元的优点是几何和物理离散精度较高，单元内的位移呈二次变化，应力呈线性变化，因此单元边界上的应力是连续的。
但是在单元数量相同的条件下二次单元的节点数比线性单元的节点数多，模型的规模较大，如图7和图8所示。
三次单元的插值函数是三次多项式，其网格的每条边上存在两个节点，有些三次单元还具有内部节点。
这类单元的离散精度更高，但是由于单元节点数较多，网格划分较为困难，模型规模很大，一般用于具有特殊精度要求的场合，如图9所示。
对于一阶和二阶单元，我们通常也称其为H单元。
三阶及以上的单元，我们也称其为P 单元，高阶次的P单元可以更好地拟合变形形状，特别对于曲率或者应力梯度变化较大的区域会较为真实的模拟，但会比H-单元有较多的运算量，如图10所示。
5.结构单元与非结构单元根据单元能否离散成实际结构，可以将单元分为结构单元和非结构单元。
能离散成实际结构的称为结构单元，如轴对称单元离散轴对称结构，杆、梁单元用于离散杆件结构，实体单元用于离散空间结构等，这些单元都属于结构单元。
除此之外，还有一类单元并不用于实际结构的离散，而是在模型中模拟一些特殊的结构和边界条件，如质量单元用于实际的物体质量效应，弹簧和阻尼单元用于模拟结构的弹性支承和减振吸能部件，间隙和接触单元用于结构之间的相互接触作用，螺栓预紧力单元用于模拟螺栓的预紧力，刚体单元用于模拟节点之间的刚性连接等，这些单元称为非结构单元。
由于非结构单元非常抽象，使用起来有一定的难度，在设计仿真一体化分析里面通常会将其工程化，帮助使用者淡化其力学概念。
6.节点和单元的重要力学概念针对前述的单元分类，此处要澄清关于节点和单元的一些非常有用的总结性概念。
◎有限元分析首先计算节点的位移量，接着再推算其对应单元的应变值，再计算积分点的应力。
因此位移的准确性高于应变、应变高于应力;◎当结构静力平衡时计算变形的单元是求得准确有限元分析结果的关键，因此线性计算中单元不可以变形过大，否则会造成求解失败;◎网格质量概括来说，初始网格必须可呈现初始模型的几何形状，而且要足够“弹性”以符合静力平衡后的变形几何形状;◎在预计会有应力梯度变化剧烈的位置上，为预测其准确变形情况，细小特征几何必须要更精确符合，以利于准确计算这些位置上的应力值;◎在理想曲率边线与网格曲率边线之间的差距称之为离散误差。
二、有限元误差分析1.有限元误差有限元的误差主要来自两个方面，一是模型误差，一是计算误差。
模型误差是指将实际工程问题抽象为适合计算机求解的有限元模型时所产生的误差，即有限元模型和实际问题之间的差异。
它包括有限元离散处理所固有的原理性误差，也可能包括几何模型处理、实际工况转化为模型边界条件时所带来的偶然性误差。
计算误差是指采用数值方法对有限元模型进行计算所产生的误差，误差的性质是舍入误差和截断误差。
模型误差包含离散误差、边界条件误差和单元形状误差，离散误差包含物理离散误差和几何离散误差。
2.离散误差物理离散误差是插值函数和真实函数之间的差异，其大小与单元尺寸和插值多项式的阶次有关，单元尺寸减小也就是网格划分越密，插值函数的阶次增加，将使有限元的解收敛于精确解。
几何离散误差是指离散后的几何体与原有几何形状上的差异。
对于由直线或者平面边界构成的规则结构，这类误差较小。
对于具有复杂曲线或者曲面边界构成的结构，离散后会产生较大的形状误差。
本文下面通过SolidWorks Simulation来详细讨论物理离散误差与几何离散误差的具体操作细节。
三、收敛性及自动收敛方法一般而言，网格拥有较多的单元，可得到较准确的结果。
会有更多的节点可供计算，所以结果会较准确。
较多的单元也就表示单元大小较小，所以物理离散误差可减小。
实际分析上也有极限，在收敛性分析过程中网格尺寸一再缩减也不一定会对精确结果有帮助。
对一给定的几何而言，要达到收敛性的网格会与外部负载条件及边界约束条件有关(见图11)。
在线性静态分析中，载荷大小不是收敛性的系数。
下面以SolidWorks Simulation的收敛性为例简单介绍收敛性的处理方法和技巧。
SolidWorks Simulation提供三种收敛性的技术。
包括有手动控制收敛性和软件自动控制收敛性技术。
其中自动控制收敛性的方法我们也称之为自适应方法，如图12所示，包括自动H自适应方法(H-adaptive)、自动P自适应方法(P-adaptive)。
1.自动H自适应方法(H-adaptive)H方法的本质就是根据应力梯度的变化情况自动在应力梯度大的地方，根据预先规定的收敛准则，重新自动剖分网格，进行自动加密(见图13，原始网格与H自适应网格结果)。
SolidWorks Simulation的H方法具有以下特性。
1)适用于实体零件及装配体(仅支持实体单元)的静态分析研究;2)在应变能误差较高的区域使用较小网格尺寸;3)可以在应变能误差较低区域网格粗化(加大网格尺寸)，便于在后面的优化计算中降低计算规模，大大提高优化效率;4)目标精度定义应变能量密度范数的精度等级默认值是98%，此处可以调整能量密度范数的精度等级，一般情况下默认的精度可以达到分析的要求;5)精度偏差设置(见图13);◎精度偏差设置有局部(本地)和全局(整体);◎滑动杆朝局部移动，指示程序以较少的单元取得精确的峰值应力结果;◎滑动杆朝全局移动，指示程序取得整体零件刚度精确的结果，而不是应力结果。
6)若不确定，保持默认值即可;7)网格粗糙化的目的是对应力梯度变化不大的区域，加大此处的单元尺寸，可以使用较小的网格得到较好的结果，同时也便于后继的优化求解。
图14展示了某机械零件，采用一阶单元不同单元大小，并采用自适应方法进行分析。
方案1采用平均单元大小13.6mm 进行网格划分，然后采用H自适应网格划分，此时得到的最大应力点的应力是44MPa。
方案2采用平均单元大小为3.4mm进行网格划分，然后采用H自适应网格划分，此时得到的最大应力点的应力是75.6MPa。
两者之间有42%的差异。
说明采用线性单元，使用H方法得不到准确的结果。
同样的模型，不做任何修改采用二阶单元进行网格划分，如图15所示，然后采用H方法，得到的应力误差小于3%，说明采用较大的全局二阶单元，然后采用H方法可以得到相当准确的应力结果。
2.自动P自适应方法(P-adaptive)P方法的本质就是根据约束条件(如应变能)的变化情况自动在约束条件大的地方，根据预先规定的收敛准则，调整该处的单元形函数的阶次，在单元大小不变的情况下提高单元内部应力的精确性(见图16)。
SolidWorks Simulation的P方法具有以下特性。
1)适用于实体零件及装配体的静态分析研究，但装配体仅支持结合方式，不可以有其他接触存在;2)收敛准则有总应变能、均方根合位移、均方根von Mises应力;3)默认收敛准则是总应变能，均方根合位移及von Mises应力准则并不常用;4)默认的设定通常就足够，由于系统通常会提前满足设定精度，因此最大p-order及最大循环数很少用到;5)开始p-阶序起始于2，设为1会报错;6)必须使用二阶单元为初始网格;◎一般而言初始的网格尺寸影响很小(见图17);◎Jacobian(雅可比检查)对误差有较大的影响，在局部位置无法反馈结果。
建议将Jacobian检查设定在节点(见图18)。
四、手动收敛性检查1.相对收敛性检查在大多数复杂情况下很难通过自适应方法得到好的结果，必须通过相对收敛性检查得到收敛的结果(见图19)，其操作步骤如下。
1)执行多个分析研究，逐步调整加密网格，检查应力值的变化情形;2)每次以2:1比例调整加细网格尺寸;3)如果局部网格尺寸远小于整体网格尺寸，要留意扭曲失真的情况。
2.等值线质量检查(见图20)1)应力等值线应该和连续几何体一样连续，使用不连续选项可以更清楚看到不连续的结果，如果几何体光滑连续而结果呈锯齿状，表明此处结果不好，需要加密网格或提高网格质量;2)没有一个收敛的绝对测试标准，但是可以显示区域检查;3)显示带有结果的单元结果可以显示他们如何影响结果。
3.误差估算方法1：能量范数值(见图21)1)ERR能量范数误差绘图可以显示出相邻元素之应力值差异，理论上要愈小愈好;2)并非绝对是收敛性测试方法，但会显示出要特别注意的高误差区域;3)最佳的应用方式是在比较不同的设计过程。