03 正规子群与商群

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陪集 陪集思想： 利用子群的一种等价关系,对群进行分类。
例：Z整数集，（Z, +）是群，记nZ {nr|r Z} Z ， （nZ, +）是（Z, +）的子群 又a，b Z，a b(modn), 整数上模n剩余关系 n|a b a b nZ 推广：规定关系：设H是（G,)的子群, a，b G,a b(modH ) ab H.
商群的阶#（G
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商群
S3 =（ { 1），（ 12），（ 13），（23），（ 123），（ 132） } A 3 ={（ 1），（ 123），（ 132）}， S3 A3 ={A 3，A （ 3 12）}，运算如
如：交错群A3是3元对称群S3的正规子群。得A 3关于S3的商群。
个左陪集代表系，
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{a , b , c ,} 是群
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G 关于子群 H 的一个右陪集代表系.
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陪集
定义：群G关于子群H的左（右）陪集个数，称为 H在G中的指数。记#（G：H） #G 定理（Lagrange）：有限群G的子群H把G分为 类， #H #G 即 =#（G：H）,#G =#（G：H）#H。 #H
A （ A （ （ 12）=A （ 3 12） 3 12）=A 3 12）（ 3 1）=A 3
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单群
定义：设群G除 {e}和G本身外，没有其他正规子群, 称G是单群。
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第3节 群同态基本定理
定义：设f 是G H的一个群同态映射， a，b G, （ f a b） （ f a）* （ f b）, 像为H的单位元eH的所有元素的集，称为同态映射f 的核， 记为Kerf, Kerf = {g G|（ f g）=eH }
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陪集 定理1：设H是（G,)的子群,则关系a b(modH )
是G上的等价关系。 满足反身性，对称性，传递性。 包含a的等价类可表示为 {x x G,x a(modH )} {x x G,xa H} {x x G,xa 1 h H} {ha | h H}=Ha. 说明，群G用子群H分类：a G，包含a的等价类是Ha. 称Ha为G关于H的一个右陪集，称a为这个右陪集的代表。
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左陪集的性质及左陪集分解 1） a aH 2）a H aH
1
陪集的性质及陪集分解
H
3） b aH aH bH a b H 4） aH bH
aH bH
群 G 中每个元素属于且只属于一个左陪集， 因此群 G 可以按照其子群 H 的左陪集分类. 群 G 的按照其子群 H 的左陪集分类中除去
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正规子群
定理：设（G1，）与（ G 2，）是群（ G，）的正规子群 , 则（G1G 2，）是群（ G，）的正规子群。
思路：（ 1）G1G 2是群G的子群。 （2）G1G 2是群G的正规子群。
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S3的2阶子群：必是循环群{（ 12），（ 1）}，{（ 13），（ 1）}，{（23），（ 1）}
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乘积集的例
（#H）（#K) 定理：设H、K是群G的有限子群，则 #（HK）= #(H K）
如：在3元对称群S3中，H=（ { 1），（ 12） }, K=（ { 1），（ 13） } (#H)(#K） 2 2 是S3的子群，#（HK）= 4, #（H K） 1 HK是S3的子群? 不是。
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定义
若存在群 G 到群 G 的同态满射 ，则称群 G 与群 G 同态；
若存在群 G 到群 G 的同构映射 ，则称群 G 与群 G 同构.
假定 是集合 A 到 A 的一个满射， s A ，称 s ( s) { (a) | a s} 为
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要判断一个子群是不是不变子群，一般来说， 使用上述定理中所描述的判断方法比较方便．
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近世代数及其应用

罗守山 教授 博士生导师

北京邮电大学计算机学院
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第3章 正规子群与商群

本章继续研究特殊重要的群：正规子群，并引 出商群，介绍群同态基本定理，低阶群的构造。
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第1节 陪集 拉格朗日（Lagrange）定理


先在群中引入一种特殊等价关系，由此对该群 进行分类——群的陪集分解。 进而引出拉格朗日（Lagrange）定理：子群 的阶都是有限母群阶的因子。
定义：设H是群G的子群,且g G，gH=Hg, 称H是G的正规子群（或不变子群）,记H G， 对正规子群H不用区分左陪集、右陪集，简称为H的陪集。
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陪集例
如：3元对称群S3关于交错群A3的所有右陪集？ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 S3 ={ ， ， ， ， ， } 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1 3 2 2 1 3 3 2 1 （ { 1），（12），（13），（23），（123），（132） } 交错群A3 ={（1），（123），（132）}。 A（ （ （ , 3 1）=A 3 =A 3 123）=A 3 132） A（ 12），（13），（23）}=A（ （ 3 12）={（ 3 13）=A 3 23）. S3的全部6个元素已经被A3分为两个等价类， S3 =A（ A（ 3 1） 3 12）.
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且
| ai H || a j H | H
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Lagrange定理推论
推论1：#H|#G, 子群元素个数是群元素个数的因数。 推论2：群元素的阶|#G, 群元素a的阶是群G的阶的因数。 推论3：每个阶为素数p的群G都是循环群。
群G元素个数=子群H元素个数 G关于H的左（右）陪集个数.
H {(1), (12)}
③
H 在 G 中的全部不同的右陪集有:
H (1) {(1), (12)} H (12) H (13) {(13), (132)} H (132) H (23) {(23), (123)} H (123)
H (13) (13) H ⑤ G (1) H (13) H (23) H H (1) H (13) H (23)
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例
G S3
{(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
H {(1), (12)}
① H G
②
H 在 G 中的全部不同的左陪集有:
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右陪集的性质及右陪集分解 1） a Ha
2）a H Ha H 3） b Ha Ha Hb ba H
1
4） Ha Hb
Ha Hb
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右陪集与左陪集的对应关系
定理 设 H G ，则群G 的任何两个 陪集含有相同个数的元素；且 H 在 G 中 左陪 集的个数与右陪集的个数相同. 证明 a G , a : h ah 是 H 到 aH 的一一映射; a : h ha 是 H 到 Ha 的一一 映射;
Sl aH | a G , Sr Ha | a G 1 则 : aH Ha 是 Sl 到 Sr 的一一
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映射.
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由上定理知，源自文库
G aH bH cH
G Ha Hb Hc ，即{a, b, c ,} 是群 G 关于子群 H 的一
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商群
定理：设H 是群（G，）的正规子群 , 则G关于H的所有陪集的集 G 称（G H 对运算（Hg1） （ Hg 2）=（Hg1 g 2）是群。 H ， ）为G关于H的商群。 #G ）= H #H ＝{Hg | g G}
(1) H {(1), (12)} (12) H (13) H {(13), (123)} (123) H (23) H {(23), (132)} (132) H
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例
G S3
{(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
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第2节 正规子群 商群
回忆前定理：设H是（G,)的子群,则关系a b(modH ) 是G上的等价关系。 包含a的等价类可表示为 {x G|x a(modH )} {x G|xa 1 H} {ha | h H}＝Ha. 元素a所在的右陪集 = 元素a所在的左陪集？ 不一定。交换群可以。
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如：找3元对称群S3的所有子群？ S3 =（ { 1），（ 12），（ 13），（23），（ 123），（ 132） } 子群的阶必是#S3 6的因子为1， 2， 3， 6 S3的1阶子群：{（ 1）} S3的6阶子群：S3 S3的3阶子群：必是循环群{(1),（ 123），（ 132）}
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Lagrange定理证明
证明 因为 H G , 所以 H 也是有限群， 从而 H 在 G 中左陪集的个数也有限. 设
#(G : H ) r ，且 G a1 H a2 H ar H
由前定理, ai H a j H 所以,
| G || a1 H | | a2 H | | ar H | r | H | H #(G : H )
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集合的积
设 G 为群, A, B 是群 G 的两个非空 子集, 定义
AB {ab | a A, b B}
若 B {g} ，则
Ag AB {ag | a A}
gA BA {ga | a A}
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陪集的引入
引例 对于整数加群 ( z, ) ，模4的剩余类： 构成 ( z, ) 的一个分类：
H 外，再无子群 存在.
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定义
设 aH , bH , cH , 是子群 H 在群 G 中的所有不同的左陪集，称等式
G aH bH cH 为群 G 关于子群 H 的左陪集分解，而称
{a , b, c, }
为群G 关于子群 H 的一个左陪集代表系.
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[0],[1],[2],[3]
Z 4 0 , 1 , 2 , 3
现利用群的观点，分析此分类的特点： ①分类中存在一个特殊的类[0]是子群, 而其余的类都不是子群. ②每个类正好是这个子群“乘”上这个类中 任取定的一个元素.[i]=i+[0].
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